《充分條件與必要條件（第二課時(shí)）》教案教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：理解什么是充要條件，理解充要條件的含義；通過(guò)對(duì)初中定理的再認(rèn)識(shí)，理解充要條件和數(shù)學(xué)定義之間的關(guān)系；體會(huì)常用邏輯用語(yǔ)在表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容上的作用，逐步提升邏輯推理素養(yǎng).教學(xué)重點(diǎn)：理解充要條件的含義，體會(huì)充要條件與充分條件，充要條件與必要條件的關(guān)系.教學(xué)難點(diǎn)：理解充要條件與數(shù)學(xué)定義之間關(guān)系，能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言證明充要條件.教學(xué)過(guò)程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)5分鐘引入教師：提出思考問(wèn)題，下列“若p，則q”形式的命題，哪些命題與它們的逆命題都是真命題？1、若兩個(gè)三角形的兩角和其中一角所對(duì)的邊分別相等，則這兩個(gè)三角形全等;2、若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等;3、若一元二次方程ax2+4、若A∪學(xué)生先認(rèn)識(shí)逆命題，再在教師引導(dǎo)下將命題拆解為語(yǔ)句p與語(yǔ)句q，將原命題寫(xiě)為“若p，則q”，逆命題寫(xiě)為“若q，則p”的形式，并判斷原命題和逆命題的真假.學(xué)生思考，闡述自己的認(rèn)識(shí).并給出判斷依據(jù)，得出結(jié)論.2分鐘概念教學(xué)通過(guò)思考題，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)命題1、4的原命題和逆命題都是真命題.在此基礎(chǔ)上理解什么是充要條件，總結(jié)得出充要條件的概念.定義：如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p就記作p?q.讀作p等價(jià)于q.此時(shí)p既是q5分鐘概念解讀例3：下列各命題中，哪些p是q的充要條件？（1）p：四邊形是正方形，q：四邊形的對(duì)角線互相垂直平分；（2）p:兩個(gè)三角形相似，q：兩個(gè)三角形三邊成比例；（3）p:xy>0，q:x>0，y>0（4）p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根，q對(duì)于命題1，由于四邊形的對(duì)角線互相垂直平分只能推出四邊形是菱形，不能推出四邊形是正方形，所以q?p，所以p不是q的充要條件；p是對(duì)于命題2，兩個(gè)三角形相似，可以由相似三角形性質(zhì)定理推出兩個(gè)三角形三邊成比例.反之，由兩個(gè)三角形三邊成比例也可以推出兩個(gè)三角形相似，這是相似三角形的判定定理，所以命題2中p是q的充要條件.對(duì)于命題3:由xy>0，不僅能推出x>0時(shí)y>0，還可以推出x＜0時(shí)y＜0，所以p?q對(duì)于命題4，x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根，將x=1代入方程得到a+b+c=0a≠0；反之如果a+b+c=0a≠0那么當(dāng)注意：通過(guò)例題，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)，判斷p是q的充要條件，需要我們判斷命題是否既有p?q，又有q?p.所以我們既要判斷“若p，則q”是否為真，又要判斷“若q，則p”是否為真.p?q，q?p，p是q的充要條件；p?q，q?p，p是q的充分不必要條件；p?q，q?p，p是q3分鐘鞏固練習(xí)練習(xí)：下列各組命題中，p是q的什么條件？（請(qǐng)用“充分不必要條件”，“必要不充分條件”，“充要條件”，“既不充分也不必要條件”回答）（1）p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等邊三角形；（2）p：一元二次方程ax2+bx+c=0有實(shí)根，q（3）p:x>y，q:x2（4）p:x>0，q：x問(wèn)題1中由于語(yǔ)句p不能推出語(yǔ)句q，語(yǔ)句q可以推出語(yǔ)句p，所以p是q的必要不充分條件；問(wèn)題2中由于語(yǔ)句p能推出語(yǔ)句q，語(yǔ)句q也可以推出語(yǔ)句p，所以p是q的充要條件；問(wèn)題3由于語(yǔ)句p不能推出語(yǔ)句q，語(yǔ)句q不能推出語(yǔ)句p，所以p是q的既不充分也不必要條件；問(wèn)題4由于語(yǔ)句p能推出語(yǔ)句q，語(yǔ)句q不能推出語(yǔ)句p，所以p是q的充分不必要條件.8分鐘探究思考提問(wèn)學(xué)生：你能給出“四邊形是平行四邊形”的充要條件嗎？學(xué)生思考并回答.注意：通過(guò)問(wèn)題，結(jié)合以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)“四邊形的兩組對(duì)邊分別平行”，“四邊形的一組對(duì)邊平行且相等”，“四邊形的兩組對(duì)邊分別相等”，“四邊形的對(duì)角線互相平分”，均是“四邊形是平行四邊形”的充要條件.說(shuō)明充要條件并不唯一.上面四條都可以作為平行四邊形的定義，而這些新的定義方式，分別從不同的側(cè)面刻畫(huà)了平行四邊形.使學(xué)生進(jìn)一步理解定義與充要條件之間的關(guān)系.8分鐘能力提升例4：已知圓O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為求證：d=r是直線分析：證明分為兩個(gè)部分，我們把充分性的證明和必要性的證明分開(kāi).這樣便于理清證明思路.設(shè)p:d=r，q:直線（1）先來(lái)證明充分性：如圖，做OP⊥l于點(diǎn)P，則OP=d.若d=r，則點(diǎn)P在圓O上.在直線l上任取一點(diǎn)Q（異于點(diǎn)P），連接OQ.在直角三角形OPQ中，OQ＞OP=r.所以，除點(diǎn)P外直線l上的點(diǎn)都在圓O外部，即直線l（2）再來(lái)證明必要性：若直線l與圓O相切，不妨設(shè)切點(diǎn)為P，則OP⊥l.因此d=OP綜合（1）（2）可得，d=r是直線l與圓O相切的充要條件.注意：通過(guò)例題，學(xué)習(xí)充要條件的證明方法，要證明兩個(gè)命題是否為充要條件關(guān)系，需要我們將問(wèn)題分為充分性的證明和必要性的證明兩個(gè)部分分別進(jìn)行，這樣既有利于思考清晰，又有利于書(shū)寫(xiě)清楚.結(jié)合實(shí)際問(wèn)題進(jìn)一步體會(huì)充要條件的含義.在解決問(wèn)題的過(guò)程中注意指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)方法，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)將命題拆分為“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”的形式再判斷真假.同時(shí)認(rèn)識(shí)到充要條件是進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化的機(jī)遇.1分鐘總結(jié)新知最后我們一起來(lái)總結(jié)一下本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容：1、對(duì)于語(yǔ)句p和語(yǔ)句q，如果p?q，q?p，那么p是2、判斷充要條件的過(guò)程是將原命題改寫(xiě)成逆命題，再判斷原命題和逆命題是否為真；3、證明充要條件要關(guān)注兩個(gè)方面，既要證明充分性，又要證明必要性；4、體會(huì)充要條件和定義間的關(guān)系;5、認(rèn)識(shí)到在推理證明中充要條件是進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化的重要機(jī)遇.課后篇鞏固提升合格考達(dá)標(biāo)練1.“四邊形是平行四邊形”是“四邊形是正方形”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案B解析由“四邊形是平行四邊形”不一定得出“四邊形是正方形”,但由“四邊形是正方形”必推出“四邊形是平行四邊形”,故“四邊形是平行四邊形”是“四邊形是正方形”的必要不充分條件.2.設(shè)a,b∈R,則“a>b”是“a2>b2”的()A.充分必要條件 B.既不充分也不必要條件C.充分不必要條件 D.必要不充分條件答案B解析若a=1,b=-4,滿足a>b,此時(shí)a2>b2不成立;若a2>b2,如a=-4,b=1,此時(shí)a>b不成立.3.設(shè)集合A={1,a2,-2},B={2,4},則“a=2”是“A∩B={4}”的()條件.A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要答案A解析當(dāng)“a=2”時(shí),顯然“A∩B={4}”;但當(dāng)“A∩B={4}”時(shí),a可以為-2,故不能推出“a=2”.4.(2021山西運(yùn)城高二期末)“a>1,b>1”是“ab>1”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析“a>1,b>1”?“ab>1”,反之不成立,例如取a=12,b=4.∴“a>1,b>1”是“ab>1”的充分不必要條件.故選A5.(多選題)已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列結(jié)論正確的是()A.Δ=b2-4ac≥0是這個(gè)方程有實(shí)根的充要條件B.Δ=b2-4ac=0是這個(gè)方程有實(shí)根的充分條件C.Δ=b2-4ac>0是這個(gè)方程有實(shí)根的必要條件D.Δ=b2-4ac<0是這個(gè)方程沒(méi)有實(shí)根的充要條件答案ABD解析A正確,Δ≥0?方程ax2+bx+c=0有實(shí)根;B正確,Δ=0?方程ax2+bx+c=0有實(shí)根;C錯(cuò)誤,Δ>0?方程ax2+bx+c=0有實(shí)根,但ax2+bx+c=0有實(shí)根Δ>0;D正確,Δ<0?方程ax2+bx+c=0無(wú)實(shí)根.故選ABD.6.(2020重慶高一檢測(cè))已知p:-1<x<3,q:-1<x<m+1,若q是p的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

答案{m|m>2}解析因?yàn)閝是p的必要不充分條件,即p?q,則m+1>3,解得m>2,即實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m>2}.7.設(shè)x,y∈R,求證:|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xy≥0.證明充分性:如果xy=0,那么,①x=0,y≠0;②x≠0,y=0;③x=0,y=0.于是|x+y|=|x|+|y|.如果xy>0,即x>0,y>0或x<0,y<0,當(dāng)x>0,y>0時(shí),|x+y|=x+y=|x|+|y|,當(dāng)x<0,y<0時(shí),|x+y|=-x-y=(-x)+(-y)=|x|+|y|,總之,當(dāng)xy≥0時(shí),|x+y|=|x|+|y|.必要性:由|x+y|=|x|+|y|及x,y∈R,得(x+y)2=(|x|+|y|)2,即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,得|xy|=xy,所以xy≥0,故必要性成立.綜上,原命題成立.等級(jí)考提升練8.已知實(shí)數(shù)a,b,c,則b2=ac是ab=bA.充分不必要條件B.充要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件答案C解析由ab=bc可得b2=ac,反之不成立,如b=c=0時(shí),滿足b2=ac,但ab=bc不成立,故b29.(2021安徽合肥一六八中學(xué)高一期末)若ab>0,則a<b是1a>1A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案C解析當(dāng)ab>0時(shí),1a?1b=b-aab,當(dāng)a<b時(shí),b-a>0,則1a?1b=b-aab>0,即1a>110.已知命題p:x+y≠-2,q:x≠-1且y≠-1,則p是q的()A.充要條件 B.既不充分也不必要條件C.充分不必要條件 D.必要不充分條件答案B11.(2021廣東深圳寶安高一期末)設(shè)U為全集,A,B是集合,則“存在集合C,使得A?C,B?(?UC)”是“A∩B=?”的()A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件答案A解析∵A?C,B?(?UC),即A?C且B∩C=?,∴A∩B=?.則“存在集合C,使得A?C,B?(?UC)”是“A∩B=?”的充分條件.當(dāng)A∩B=?,存在一個(gè)集合C=A使得A?C,B?(?UC),則“存在集合C,使得A?C,B?(?UC)”是“A∩B=?”的必要條件.故“存在集合C,使得A?C,B?(?UC)”是“A∩B=?”的充要條件.故選A.12.(多選題)(2021廣州二中高一月考)對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,c,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.“ac>bc”是“a>b”的必要條件B.“ac=bc”是“a=b”的必要條件C.“ac>bc”是“a>b”的充分條件D.“ac=bc”是“a=b”的充分條件答案ACD解析由a>b,若c≤0,則ac≤bc,因此“ac>bc”不是“a>b”的必要條件,故A不正確;由a=b,可得ac=bc,反之不成立,因此“ac=bc”是“a=b”的必要條件,故B正確;由“ac>bc”,若c<0,則a<b,因此“ac>bc”不是“a>b”的充分條件,故C不正確;由“ac=bc”,若c=0,則“a=b”不成立,因此“ac=bc”不是“a=b”的充分條件,故D不正確.故選ACD.13.已知集合A={x|x≥0},B={x|x≥a},若x∈A是x∈B的充分條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是;若x∈A是x∈B的必要條件,則a的取值范圍是.

答案{a|a≤0}{a|a≥0}解析因?yàn)閤∈A是x∈B的充分條件,所以a≤0;因?yàn)閤∈A是x∈B的必要條件,所以a≥0.14.已知ab≠0,求證:a+b=1的充要條件是a3+b3+ab-a2-b2=0.證明因?yàn)閍+b=1,所以a+b-1=0.所以a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.因?yàn)閍3+b3+ab-a2-b2=0,即(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,又ab≠0,所以a≠0且b≠0.因?yàn)閍2-ab+b2=a-b22所以a+b-1=0,即a+b=1.綜上可得,當(dāng)ab≠0時(shí),a