三維網(wǎng)格模型變換中圖信號的傅里葉變換及采樣重構(gòu)分析案例 一個三維網(wǎng)格模型通常由兩組向量表示，即M=V,F；其中V=v1,v2,…,v 我們可以把三維網(wǎng)格模型看作一無向圖，把網(wǎng)格信息當(dāng)作是一個圖信號來處理。一維信號的離散傅里葉變換(DiscreteFourierTransform)將離散周期函數(shù)映射到一組正交基，這組正交基由固定周期的三角函數(shù)構(gòu)成。DFT基函數(shù)表達(dá)式：CS(2-1) 所以這個一維信號可以表示成在這一組正交基上的坐標(biāo)值和：f(2-2)圖2-1一維信號的傅里葉變換同樣的，圖信號的傅里葉變換（GraphFourierTransform）也是將圖信號線性映射到一組正交基上，不過這組正交基不是由三角函數(shù)構(gòu)成。圖信號的傅里葉變換的基取決于圖的結(jié)構(gòu)。但是與離散傅里葉變換一樣，GFT的通過線性映射之和得到的也是包含不同頻率的成分。在三角函數(shù)中，頻率的定義是三角函數(shù)周期的倒數(shù)，也就是說頻率越高周期越短，在單位時間內(nèi)震蕩變化越快。一維信號的短時傅里葉變換能夠?qū)⑵浞纸鉃椴煌l率的正弦波的累加和。所以我們可以通過傅里葉變換對一維信號的不同頻率進(jìn)行分離，從而對其進(jìn)行研究或編輯。我們把頻率的概念擴(kuò)展到圖信號中去，把圖信號的“頻率”定義為圖節(jié)點的變化程度。那么這個變化程度可以表示為當(dāng)前節(jié)點的信號值與鄰接節(jié)點的信號值之差的加權(quán)和，即:z(2-3)其中Ni為節(jié)點i而整個圖的變化量可以定義為所有節(jié)點的“頻率”的加權(quán)和：Δ=(2-4) 不難看出上式其實就是xTLx，其中L是圖的拉普拉斯矩陣。λ=uTLu表示的是圖信號在向量u上的震蕩程度，也就是在基Λ=(2-5)如果我們認(rèn)為U是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，也就是每個基的為單位長度的向量，那么U作為一個正交矩陣:UTΛ=(2-6)L=(2-7)我們可以發(fā)現(xiàn)這一組標(biāo)準(zhǔn)正交基實際上就是圖信號的單位化特征向量。而每一個標(biāo)準(zhǔn)正交基上的震蕩幅度就是這個特征向量對應(yīng)的特征值。所以我們已經(jīng)證明了如果把一個圖信號映射到以這個圖的單位化特征向量為基的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基上，我們就可以將這個圖信號分解為不同頻率的信號，而這個圖信號在該頻率下的震蕩幅度就是這個特征值對應(yīng)的特征向量。也就是說如果我們把這一組特征向量按照其對應(yīng)的特征值的大小進(jìn)行由小到大排列：0=我們把這組按照遞增順序排列的特征值叫做拉普拉斯矩陣的譜，較小的特征值表示震蕩幅度小，對應(yīng)的特征值是網(wǎng)格上變化平緩的基函數(shù)，較大的特征值編碼的則是圖信號的高頻部分。所以我們可以圖信號的傅里葉變換：對于一個無向圖G上的信號x，其傅里葉變換為：a(2-8) ak表示圖信號x在第k個特征向量，也就是第kx(2-9) 這一步叫做圖的傅里葉逆變換，也就是圖信號重構(gòu)的過程。 我們將圖信號進(jìn)行傅里葉變換的目的是為了將圖信號分解為不同頻率的信號。從而舍棄圖信號中變化比較劇烈的部分，也就是高頻部分，只保留低頻部分，達(dá)到將圖信號細(xì)節(jié)剝離的目的。 如果我們只對低頻部分進(jìn)行采樣，也就是采用第k,A(2-10)重構(gòu)的過程與是采樣的一個逆過程：x(2-11) 我們把三維網(wǎng)格模型的點的坐標(biāo)作為圖信號的信號值，那么網(wǎng)格頂點的可以表示為：V其中：(2-12)如果我們只對網(wǎng)格的低頻