高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省濟(jì)南市長清區(qū)2026屆高三上學(xué)期期中學(xué)習(xí)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意可知，，則.故選：B.2.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，則，故.故選：C.3.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若，則，可得，所以，必要性成立；若，滿足，而，充分性不成立；所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.已知，則（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】，兩邊平方得：.故選：C.5.含甲、乙的5名同學(xué)分成兩組參加志愿服務(wù)活動，則甲、乙不同組的分配方案有（）A.6種 B.8種 C.12種 D.16種【答案】B【解析】名同學(xué)分成兩組，有和分組以及和分組這兩種情況.

若甲在人組，乙在人組，這是種情況；若甲在人組，乙在人組，這又是種情況.所以和分組時(shí)甲、乙不同組的方案數(shù)為種.

若甲在人組，乙在人組，那么從剩下人中選人與甲一組，根據(jù)組合數(shù)公式，則種情況；若甲在人組，乙在人組，同樣從剩下人中選人與乙一組，也有種情況.所以和分組時(shí)甲、乙不同組的方案數(shù)為種.

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，將兩種分組情況的方案數(shù)相加，可得甲、乙不同組的分配方案共有種.

故選：B.6.函數(shù)的部分圖像如圖（粗實(shí)曲線），則（）A.8 B.6 C.4 D.2【答案】B【解析】由函數(shù)圖像可知，函數(shù)定義域，即的解集為，也就是即的解為,∴，∴，∴，∵函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)，∴，∴.故選：B.7.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為的零點(diǎn)，因?yàn)榫鶠闇p函數(shù)，在上單調(diào)遞減且，又，，若存在，使得，只需，則即可，存在值，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即有且只有一個(gè)零點(diǎn).故選：B.8.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則（）A. B. C.0 D.1【答案】A【解析】[方法一]：賦值加性質(zhì)：因?yàn)?，令可得，，所以，令可得，，即，所以函?shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個(gè)周期為．因?yàn)?，，，，，所以一個(gè)周期內(nèi)的．由于22除以6余4，所以．故選：A．[方法二]：【最優(yōu)解】構(gòu)造特殊函數(shù)：由，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式，可設(shè)，則由方法一中知，解得，取，所以，則，所以符合條件，因此的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故選：A．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，，若，則可能為（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】，以為臨邊的平行四邊形對角線相等，，，，，時(shí)，，故選：ACD．10.已知隨機(jī)變量，，滿足，，則下列說法不正確的是（）A.若，則 B.C. D.【答案】BC【解析】，，由，等式化簡為：，故A正確；二項(xiàng)分布方差為：，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，對于其他，，故B錯(cuò)誤；，均值，因此，故C錯(cuò)誤；由正態(tài)分布的對稱性，2和6關(guān)于對稱，根據(jù)對稱性，，故D正確.故選：BC.11.已知函數(shù)和的最小值相等，則下列說法正確的是（）A.B.的最小值為2C.在上單調(diào)遞增D.若直線與和的圖象從左到右的交點(diǎn)分別為則【答案】ACD【解析】對于A，，所以易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為；，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，即，解得，故A正確；對于B，因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，兩者不能同時(shí)取等號，所以，故B錯(cuò)誤；對于C，，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，總之，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，如圖所示，當(dāng)直線與和交點(diǎn)的上方時(shí)，不妨設(shè)，則，，，，即，，同理，，，所以，即.同理，當(dāng)直線與和交點(diǎn)的下方時(shí)，，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，則______．【答案】【解析】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為，所以．故答案為：.13.展開式中的系數(shù)為_____．【答案】136【解析】展開式中的系數(shù)．故答案為：136.14.如圖，有一款合成2048游戲．游戲規(guī)則如下：在一個(gè)的方格中，游戲開始時(shí)，方格中會隨機(jī)出現(xiàn)兩個(gè)數(shù)字小方塊，只能是2或4．手指向一個(gè)方向（上、下、左、右）滑動，所有含有數(shù)字的小方塊都會向這個(gè)方向移動到不能移動為止，滑動過程中相同數(shù)字的兩個(gè)小方塊相撞時(shí)數(shù)字會相加，稱為一次合并運(yùn)算．每次滑動時(shí)，空白處會隨機(jī)刷新出一個(gè)含有數(shù)字（只能是2或4）的小方塊．當(dāng)界面中最大數(shù)字是2048時(shí)，最少合并運(yùn)算的次數(shù)為__________．241681632641024512256128【答案】511【解析】由題意可知算式只需出現(xiàn)1次，而算式中有2個(gè)1024，故算式需出現(xiàn)次，算式需出現(xiàn)次，以此類推，算式需出現(xiàn)次，故每次出現(xiàn)的都是數(shù)字，最少合并運(yùn)算的次數(shù)是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，角的對邊分別是，已知.（1）求；（2）若點(diǎn)滿足，且，求．解：（1）由正弦定理及，得，∵，∴，∴，∵，∴，∴∵，∴．（2）∵，∴為的中點(diǎn)，且，又，即，故，又，∴為等邊三角形，∴，在中，由，得，解得．16.年末促銷是商場常用清理庫存和資金回籠的一種措施.某商場對消費(fèi)超過500元的消費(fèi)者提供一次抽獎活動，抽獎箱中裝有10個(gè)同種材質(zhì)且大小相同的紅球、黃球和綠球（綠球的個(gè)數(shù)最多），消費(fèi)者從抽獎箱中同時(shí)抽取2個(gè)小球，若2個(gè)小球都是紅球即獲得一等獎，都是黃球即獲得二等獎，其余情況，均是不獲獎.若從抽獎箱中同時(shí)抽取2個(gè)小球，其中黃球和綠球各1個(gè)的概率是，某消費(fèi)者抽獎一次.（1）求其獲得一等獎的概率；（2）記抽到的綠球個(gè)數(shù)為，求的分布列及其期望.解：（1）設(shè)10個(gè)小球中黃球?yàn)閭€(gè)，綠球?yàn)閭€(gè)，且，由題意得，，解得，則紅球有2個(gè)，記事件：某消費(fèi)者抽獎一次獲得一等獎，則，所以該消費(fèi)者獲得一等獎的概率為.（2）由題意，的取值是，則，，，的分布列為：012期望.17.已知函數(shù)，其中，若將的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，且是偶函數(shù).（1）求的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在中，角所對的邊分別為，已知且，若是的中點(diǎn)，求的最大值.解：（1）因?yàn)?，所?因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以.又，所以，所以.因?yàn)?，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）因?yàn)?，所以，?又，所以，所以，解得.由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，所以，則的最大值是.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）若，討論方程的根的個(gè)數(shù).解：（1）的定義域?yàn)?，則，因，由，解得，①當(dāng)時(shí)，恒成立，所以的無遞增區(qū)間，遞減區(qū)間為；②當(dāng)時(shí)，，令，得；令，得，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；③當(dāng)時(shí)，，令，得；令，得，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；綜上所述，當(dāng)時(shí)，無遞增區(qū)間，遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）由題設(shè)，令，則，即在上單調(diào)遞增，故上式中滿足，則有，可得，令，則，由解得.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，且，當(dāng)時(shí)，，故.結(jié)合圖象，可知，當(dāng)時(shí)，方程有0個(gè)實(shí)根；當(dāng)或時(shí)，方程有1個(gè)實(shí)根；當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)實(shí)根.19.箱子中有個(gè)小球，標(biāo)號為1，2，…，，現(xiàn)從中摸2次球，每次摸一個(gè)小球，記錄標(biāo)號后放回．已知每次摸出小球的標(biāo)號服從概率分布，其中，．當(dāng)不全為0時(shí)，該箱子中的小球是不均勻的，否則是均勻的．（1）記第一次摸出的小球標(biāo)號為，第二次摸出的小球標(biāo)號為．（i）當(dāng)時(shí)，設(shè)事件“”的概率為，試比較與的大小，并說明理由；（ii）設(shè)事件“”的概率為，證明：．（2）證明：對于任意的，其中，都有．（1）（i）解：事件“”的概率為因?yàn)椋傻?，?dāng)