高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省臨沂市2026屆高三上學(xué)期11月期中教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，化簡(jiǎn)得，又，，復(fù)數(shù)的虛部為.故選：.2.已知集合，，則中含有的元素個(gè)數(shù)是（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】集合，集合，所以，故中含有2個(gè)元素.故選：C.3.已知數(shù)列的各項(xiàng)均不為零，若甲：是等比數(shù)列；乙：.則甲是乙的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則，所以，充分性成立；若，則，當(dāng)時(shí)，滿足，但數(shù)列不是等比數(shù)列，所以必要性不成立；所以甲是乙的充分不必要條件.故選：A.4.若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，又，所以，所以，，所以，故選：C.5.已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A.1 B. C. D.2【答案】D【解析】由可知，，聯(lián)立上述兩個(gè)等式得：，易知函數(shù)為周期函數(shù)，周期，故，而根據(jù)可知，，由題知：當(dāng)時(shí)，，故，所以，故選：D.6.已知函數(shù)是增函數(shù)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】若是增函數(shù)，則要保證:①:函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)要滿足，即；②:函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)要滿足，即；③:在處，右側(cè)函數(shù)值要大于等于左側(cè)函數(shù)值，即：.綜上：的取值范圍是：，故選：B.7.已知的內(nèi)角，，滿足，其外接圓半徑為2，則的面積為（）A.3 B. C.4 D.【答案】A【解析】因?yàn)?，即，即，又，故，，所以，所以，，，因?yàn)橥饨訄A半徑為2，又因?yàn)?，所以，故選：A.8.置換是抽象代數(shù)的一種基本變換，對(duì)于有序數(shù)組有序數(shù)組定義“間距置換”：，，.已知有序數(shù)組，經(jīng)過一次“間距置換”后得到新的有序數(shù)組，且中所有數(shù)之和為2026，則（）A.1004 B.1007 C.1010 D.1013【答案】C【解析】由“間距置換”定義，得，，.由，得.因且，故或.若，則，，，于是，得，即，故.若，同理可得.綜上所述，的值為.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)的部分圖象如圖，則（）A.函數(shù)為偶函數(shù)B.在上單調(diào)遞增C.若，則的最小值為D.若，函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)，則【答案】BCD【解析】由圖象可得，，，，，又點(diǎn)在圖象上，代入可得，由，可得，故.對(duì)于A，，令，由于，故為奇函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，單調(diào)區(qū)間為，而，故B正確.對(duì)于C，若

，則

的最小值為

，若

，則

和

分別為最大值和最小值，或反之.函數(shù)

的周期為

，因此相鄰最大值和最小值之間的距離為半個(gè)周期，因此，選項(xiàng)C正確.對(duì)于D，函數(shù)，，令，得，解得，當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，（時(shí)，，不符合有2個(gè)零點(diǎn)），故函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)，則，解得，故D正確.故選：.10.在等邊中，，，，交于點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】A選項(xiàng)：，故A正確；B選項(xiàng)：設(shè)，由A，B，D，三點(diǎn)共線可知：，又，所以，故，通過B，O，E三點(diǎn)共線可知：，故，故，則B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：在等邊中，，易知：，，，故：，故C正確；D選項(xiàng)：取線段CD中點(diǎn)記為點(diǎn)M，連接EM，在中，由三角形中位線可知：且，由可知：，故，所以與全等，故，所以：，故，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知函數(shù)，若，且，則（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】，得，即的定義域?yàn)椋瑒t，則在上單調(diào)遞增，因，，則，，則，，故B正確，C錯(cuò)誤；因，則，故A正確；取，則，，則，不滿足，故D錯(cuò)誤.故選：AB.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則____________.【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由題意得，，化簡(jiǎn)得，解得.所以.所以.故答案為：.13.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，，，若為奇函?shù)，為偶函數(shù)，則____________.【答案】【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即.又為偶函數(shù)，所以，即，得.將代入，得：，，..故答案為：.14.已知，，，則的最小值是____________.【答案】4【解析】因?yàn)椋?，則，所以，則，因?yàn)?，所以，所以，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，解得或（舍），所以的最小值是4.故答案為：4.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)，.（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切，求；（2）若，求的取值范圍.解：（1）對(duì)求導(dǎo)得，，所以在點(diǎn)處的斜率為.所以在點(diǎn)處的切線方程為.設(shè)該切線與曲線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)求導(dǎo)得：，所以，解得.（2）因?yàn)?，所以，?令，求導(dǎo)得.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減；所以函數(shù)在處取得最小值為.所以要使得不等式成立，則.16.已知函數(shù)的最小正周期為，且.（1）求在的值域；（2）將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象.若對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，恒成立，求的最小值.解：（1）由題意可知：，因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，且，則，可得，即，又因?yàn)椋傻?，所?因?yàn)?，則，可得，即，所以在的值域?yàn)?（2）將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)，若，即，且，，，可知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，則，因?yàn)?，則，可得，解得，所以的最小值為.17.已知數(shù)列中，，.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求的前項(xiàng)和；（3）令，求數(shù)列的最大項(xiàng).（1）證明：因?yàn)椋?，所以，，所以，?shù)列是以為首項(xiàng)為公比的等比數(shù)列.（2）解：由（1）得，所以化簡(jiǎn)得.（3）解：由（2）得，所以，，令易得，又單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，即，，又當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列的最大項(xiàng)為.18.記的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知.（1）求；（2）設(shè)為邊上一點(diǎn)，（ⅰ）若為中點(diǎn)，，的面積為，求的長(zhǎng)度；（ⅱ）若為銳角的角平分線，，求長(zhǎng)度的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，因?yàn)?，化?jiǎn)得，因?yàn)?，則，故，即，所以，而，則，故，解得.（2）（i）由余弦定理可得，即，又因?yàn)?，可得，則，因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以，即，所以，故；（ii）由正弦定理得，因?yàn)闉殇J角三角形，且，由得，所以，則，故，設(shè)，則，所以，解得，因此長(zhǎng)度的取值范圍是.19.已知，，，，（1）當(dāng)時(shí)，是的一個(gè)極值點(diǎn)，求；（2）是否存在，使？若存在，求的取值范圍，若不存在，說明理由；（3）證明：對(duì)，.（1）解：當(dāng)時(shí)，，解得.當(dāng)時(shí)，令則，則，下面研究時(shí)的單調(diào)性.在單調(diào)遞增，，故存在唯一使得，所以時(shí)，，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以時(shí)，時(shí)，所以時(shí)