高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省臨沂市莒南縣2025-2026學年高二上學期期中學業(yè)質量檢測數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在空間四邊形中，（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得，.故選：B.2.如果直線與直線平行，那么a等于（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】由于直線與直線平行，故可得且，解得，故選：A.3.已知橢圓的兩個焦點分別為，過作傾斜角為的直線交橢圓C于兩點，則的周長為（）A. B. C.9 D.12【答案】D【解析】由題意可知，如圖：，即的周長為12，故選：D.4.在四面體中，點G是的重心，設，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】如圖所示：取AC的中點H，則，又，所以，故選：C.5已知圓與圓，則兩圓（）A.內含 B.相切 C.相交 D.外離【答案】D【解析】由兩圓方程知：圓心，半徑；圓心，半徑；圓心距，兩圓外離.故選：D.6.已知平面的法向量為，平面的法向量為，若，則x的值為（）A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】由于，可得：，即，解得：.故選：B.7.雙曲線兩條漸近線的夾角為，則該雙曲線的離心率e為（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】的漸近線方程為，，結合條件兩條漸近線的夾角為，則，解得，又，，，.故選：C.8.在空間直角坐標系中，向量，則下列選項中正確的是（）A.若，則 B.向量是的一個單位向量C.若為鈍角，則 D.若在上的投影向量為，則【答案】D【解析】由，，可得，故A錯誤；由的單位向量是，故B錯誤；由為鈍角，則，又當，所以為鈍角，則且，故C錯誤；由在上的投影向量為，故D正確；故選：D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.若構成空間的一個基底，則下列向量不能構成空間的一個基底的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】是空間的一個基底，故不共面，對于A選項，假設共面，則存在唯一實數使得，則，所以為共面向量，故不能構成空間的一個基底，故A正確；對于B選項，假設共面，則存在唯一實數使得，所以，無解，故不共面，故可構成空間的一個基底，故B錯誤；對于C選項，假設共面，則存在唯一實數使得，所以，解得，故共面，故故不能構成空間的一個基底，故C正確；對于D選項，假設共面，則存在唯一實數使得，所以，解得，故共面，故故不能構成空間的一個基底，故D正確.故選：ACD.10.對于直線，下列說法中正確的是（）A.的傾斜角可以為 B.時，不經過第二象限C.的一個方向向量為時， D.直線恒過定點【答案】BD【解析】對于：直線：，斜率，所以斜率肯定存在，所以傾斜角不可能是，故選項錯誤；對于：可化簡為：，所以直線恒過定點，時，斜率，所以直線經過一、三、四象限，不經過第二象限，故選項正確；對于：l的一個方向向量為時，斜率，又，所以，故選項錯誤；對于：可化簡為：，所以直線恒過定點，故選項正確；故選：.11.已知橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為，離心率為為上關于原點對稱的兩點（與的頂點不重合），則（

）A.的方程為B.C.的面積隨周長變大而變大D.直線和的斜率乘積為定值【答案】ABD【解析】由題易知，解得，故橢圓方程為，故A正確；連接，由橢圓對稱性知為平行四邊形，，，當且僅當，時等號成立，故正確；對C：由B知：，設，則，的面積為，由對稱性，不妨設在第一象限及正半軸上，故隨的增大而減小，的面積為隨的增大而增大，即的面積隨周長變大而變小，C錯誤；對D：設，則，又，所以，點在橢圓上，結合C，，所以，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線與直線平行，則它們之間的距離是________．【答案】或【解析】由直線，可得：，所以平行直線與直線的距離.故答案為：.13.在空間直角坐標系中，已知點，且平面的一個法向量，則直線與平面所成角的余弦值為________．【答案】【解析】由題意可得，又平面的一個法向量，設直線與平面所成角為，則，所以，即直線與平面所成角的余弦值為，故答案為：.14.眾所周知的“太極圖”，其形狀如對稱的陰陽兩魚互抱在一起，因而也被稱為“陰陽魚太極圖”．如圖是放在平面直角坐標系中的“太極圖”，整個圖形是一個圓形，其中黑色陰影區(qū)域在軸右側部分的邊界為一個半圓．已知直線．若直線與黑色陰影區(qū)域的邊界曲線有2個公共點．則的取值范圍是_____．【答案】【解析】陰影部分在第一象限內的邊界曲線方程為，若直線與在軸上方的陰影部分的邊界曲線有兩個不同的交點，則，解得，若直線與在軸下方的陰影部分的邊界曲線有兩個不同的交點，則即，當時，直線，此時與陰影部分的邊界有兩個不同的交點，兩個交點為符合；綜上，，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（1）已知直線過點，它在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍，求此直線的方程；（2）求直線：關于直線：對稱的直線的方程；（3）求過三點，，的圓的一般式方程．解：（1）若直線過坐標原點，則，直線的方程為，即，此時橫縱截距都等于0，滿足題意；若直線不過坐標原點，設直線的方程為，因為直線過點，所以，得，所以直線方程為.綜上，此直線的方程為或.（2）設直線關于直線對稱的直線為，由，解得，所以直線經過點，在上取一點關于對稱的點設為，則有解得，所以直線經過點，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即.（3）設所求圓的方程為，其中，因為圓過三點，，，所以，解得，故所求圓的方程為．16.如圖，在平行六面體中，且.（1）求長度；（2）求證：平面.（1）解：設，由于，即，所以，同理可得，由題意可得，所以；（2）證明：因為，所以，所以，同理可證，又因為平面．所以平面.17.已知動點P在直線上，動點Q在圓上，過點P作圓C的兩條切線，切點分別為．（1）判斷直線l與圓C的位置關系；（2）求的最小值及的最大值；（3）證明直線過定點．（1）解：圓的圓心，半徑，連接，點到直線的距離，直線與圓相離，（2）解：點在圓上，則，由切線長定理知，，而，又是銳角，正弦函數在上單調遞增，則的最大值為，當且僅當時取等號，因此的最大值為.（3）證明：設，則以為直徑的圓的方程為，即，與已知圓的方程相減可得直線的方程為，即，由，解得，即直線過定點.18.如圖，在直三棱柱中，點是線段上的中點，點，是側棱上的動點.（1）若，請證明：平面；（2）若，，，，求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：如圖，取上的中點，連接，.，分別是和的中點，且.又，且，四邊形是平行四邊形，.平面，平面.平面.（2）解：由題意得平面且，因此以點為原點，，，為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系.由題易知，平面，所以為平面的法向量.設平面的法向量為，根據所建立的空間直角坐標系，可知，，，有，.令，則，，即平面的法向量為.設平面與平面的夾角為，則有.19.定義：由橢圓的一個焦點和長軸的一個頂點（焦點與頂點在同一邊）和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“焦頂三角形”，如果兩個橢圓的”焦頂三角形”相似，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比，下列問題中（對應圖1，對應圖2）.（1）判斷橢圓與橢圓是否是“相似橢圓”?若是，求出相似比；若不是，請說明理由；（2）證明：兩個橢圓是“相似橢圓”的充要條件是離心率相等；（3）已知橢圓橢圓的離心率為，與是“相似橢圓”，且與的相似比為，若的面積為，求的面積（用，，表示）.（1）解:這兩個橢圓是“相似橢圓”，相似比為，理由如下：橢圓中，橢圓中，，則所以兩個橢圓的”焦頂三角形”相似，則這兩個橢圓是“相似橢圓”，且相似比為（2）證明：必要性：若兩個橢圓是“相似橢圓”，則其焦頂三角形的三個對應角相等.如圖，若，則，，所以，又因為，所以.充分性：若離