高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省泰安市2026屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以的虛部為.故選：B.2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，或，，，，.故選：D.3.函數(shù)的圖像大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)，則函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，排除AC；當時，，所以，排除D.故選：B.4.已知正項等差數(shù)列滿足，則（）A.5 B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，又，所以，則，則，解得或，又，所以.故選：C.5.已知函數(shù)，則在上的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，當時，令，且在上單調(diào)遞增，所以，所以，此時，故選：D.6.已知函數(shù)的定義域為，值域為，則“”是“對任意，存在，使”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】命題，即值域包含所有正數(shù)；命題對任意，存在，使；充分性分析：若，則對任意，取，則，故存在使得，所以能推出，充分性成立；必要性分析：若對任意，存在使得，這說明函數(shù)的值域無上界.例如取，定義域，則其值域.顯然，對任意，存在（例如取），使得，命題成立；但其值域，不滿足，即命題不成立，不能推出，必要性不成立.是的充分不必要條件.故選：A.7.已知，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)，則，，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，即，當且僅當時等號成立，所以，即；設(shè)，則，，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以，即，所以，即；所以.故選：B.8.已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)分別為，，，且為奇函數(shù)，則（）A.6 B.4 C.2 D.0【答案】A【解析】因為，，所以，，則，即，又為奇函數(shù)，所以，所以，即，所以，所以，所以是以為周期的周期函數(shù)，所以，，，又，所以，，即，所以.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.當時，的最小值為4【答案】AC【解析】對于A，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以由即知，，則，A正確；對于B，若，則當時，，B錯誤；對于C，由，因，可得，故有，C正確.對于D，因為，所以，在上單調(diào)遞減，所以，當且僅當即時等號成立，所以的最小值為5，D錯誤，故選：AC.10.已知函數(shù)的圖象如圖所示，點在的圖象上，若，則下列說法正確的是（）A.B.在上單調(diào)遞減C.圖象關(guān)于對稱D.若將圖象上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋兜煤瘮?shù)在上恰有一個最大值，一個最小值，則【答案】ACD【解析】選項A，，在的圖象上，，，，，，，，，在軸左側(cè)，，，，的最大值為4，最小值為，又，，，，，，，故選項A正確；選項B，，，，，在范圍內(nèi)是減函數(shù)，在范圍內(nèi)是增函數(shù)，在范圍內(nèi)是減函數(shù)，在范圍內(nèi)是增函數(shù)，故選項B不正確；選項C，，對稱軸為，，當時，對稱軸為，故選項C正確；選項D，，將圖象上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋兜煤瘮?shù)，，，，當時，即時，，的最大值為4，最小值為，，，故選項D正確.故選：ACD.11.已知三次函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若有兩個極值，則B.若，則C.若函數(shù)有3個零點，且，則D.當函數(shù)的圖象經(jīng)過的象限最多時，的取值范圍是【答案】ABD【解析】選項A，，，三次函數(shù)，，有兩個極值，有兩個不等實根，，，，，故選項A正確；選項B，，，，，，，故選項B正確；選項C，有3個零點，有3個不同的根，，，，，，，故選項C不正確；選項D，設(shè)，，，的圖像經(jīng)過的象限最多，則的圖像要經(jīng)過全部四個象限，當且僅當函數(shù)在和上均有正值和負值，時，或，當時，即，的解為或，則在和為增函數(shù)；的解為，則在為減函數(shù)；，，，時，，當時，，的圖像經(jīng)過的象限最多為第一、二、四這三個象限；當時，即，的解為或，則在和為增函數(shù)；的解為，則在為減函數(shù)；，，，時，，當時，，的圖像經(jīng)過的象限最多為第一、二、四這三個象限；當時，，則在為增函數(shù)；，，，時，，當時，，的圖像經(jīng)過的象限最多為第一、二、四這三個象限；當時，即，的解為或，則在和為減函數(shù)；的解為，則在為增函數(shù)；，，，，，，，有正有負，過二、三象限；，，當時，即，，，在的范圍有正有負，當時，的圖像經(jīng)過的象限最多為第一、四象限；綜上可知，時，的圖像經(jīng)過的象限最多為第一、二、三、四象限，故當?shù)膱D像經(jīng)過的象限最多時，.故選項D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)函數(shù)，，若，則___________．【答案】【解析】因為，且，所以，所以，故答案為：.13.已知在平面直角坐標系中，，，，設(shè)，則的取值范圍是___________．【答案】【解析】因為，，，又，所以，則，所以，則，所以，又，所以，則，所以，又，所以，所以.故答案為：.14.已知關(guān)于的函數(shù)是的零點.記其中表示不超過的最大整數(shù)，若為的前項和，則___________．【答案】【解析】因為是的零點，所以，令，則，則，令，且在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因為，，所以存在唯一使得，當()時，，所以，當()時，，所以；當()時，，當()時，，當()時，，所以，所以，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當時，求函數(shù)的極值．解：（1）由得，當時，，在上單調(diào)遞增；當時，令且得，令且得，故在上單調(diào)遞減，在

上單調(diào)遞增；綜上，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）當時，在上單調(diào)遞增，無極值；當，即時，在上單調(diào)遞減，無極值；當，即時，，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在處有極小值，無極大值.16.已知函數(shù)．（1）若為奇函數(shù)，求的值；（2）若點在直線上，函數(shù)的圖象過點且在上有兩個不同的零點，求的值及的取值范圍．解：（1）函數(shù)的定義域為，因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以定義域關(guān)于原點對稱，所以，所以，又，所以，即恒成立，所以；（2）若點在直線上，則，又函數(shù)的圖象過點，所以，所以，所以；所以，因為在上有兩個不同的零點，所以在上有兩個不同的解，且，記，其開口向上，對稱軸為，要使在上有兩個不同的零點，則，即，解得，又，所以且，所以且，即的取值范圍為.17.已知在中，內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求證：；（2）若的平分線交于，求的值．（1）證明：因為，所以，所以，所以，因為，所以，所以或(舍去，此時，不符合條件)，所以.（2）解：因為，所以，所以，因為，所以，且，所以，在中，，，，，，.18.已知數(shù)列的前項和為，，數(shù)列的各項均為正數(shù)，且.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和；（3）若對于任意的，不等式恒成立．求實數(shù)的取值范圍．解：（1）因為數(shù)列的前項和為，當時，，當，時，，也滿足上式，所以；因為，所以，由數(shù)列的各項均為正數(shù)得，即，又，所以數(shù)列為首項為2且公比為2的等比數(shù)列，所以；（2）當為奇數(shù)時，，記，則有，，①-②得：，所以，當為偶數(shù)時，，記，則，所以．（3）由與恒成立，可得恒成立，所以恒成立，即求的最大值，設(shè)，，所以單調(diào)遞增，又，所以，所以．19.已知．（1）若，求的值域；（2）已知存在唯一的極值．（i）求實數(shù)的取值范圍；（ii）若存在實數(shù)，使對于恒成立，求的最小值．解：（1）由，當時，，則，所以在上單調(diào)遞增，而，所以的值域為.（2）（i）由，則，當時，，則在上單調(diào)遞增，無極值，不滿足題意；當時，設(shè)，，則，由，，，則，從而在上單調(diào)遞增，又，，由零點存在性