楊浦區(qū)2025-2026學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)數(shù)學(xué)一模2025.12一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第題每題4分，第題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置填寫結(jié)果.

1．不等式的解集為．

2．函數(shù)的最小正周期為．

3．已知向量，且，則實(shí)數(shù)．

4．若復(fù)數(shù)滿足：，則．

5．在二項(xiàng)式的展開式中，的系數(shù)為．

6．已知圓錐的底面半徑為1，高為，則該圓錐的側(cè)面積為．

7．圓的圓心到直線的距離為．

8．已知甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員罰球的命中率分別為，兩人各投一次，假設(shè)事件＂甲命中＂與＂乙命中＂是獨(dú)立的，則至少有一個(gè)人命中的概率為．

9．等差數(shù)列的公差不為0，前項(xiàng)和為，若成等比數(shù)列，則．

10．已知定義在上的函數(shù)為奇函數(shù)，且為偶函數(shù)，則．

11．某數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)小組在開展主題為＂空中不可到達(dá)兩點(diǎn)的測(cè)距問題＂的探究活動(dòng)中，抽象并構(gòu)建了如圖所示的幾何模型，該模型中均與水平面垂直，在已測(cè)得可直接到達(dá)的兩點(diǎn)間距離，且，用測(cè)角儀測(cè)得的情況下，四名同學(xué)用測(cè)角儀各自測(cè)得下面一個(gè)角：①；②；③；（4），

其中一定能唯一確定之間的距離有．（寫出所有正確的序號(hào)）

12．?dāng)?shù)列滿足：，且，記集合或。若數(shù)列滿足：對(duì)任意，均有，則稱數(shù)列是＂好的＂．＂好的＂數(shù)列的個(gè)數(shù)為.

二、選擇題（本題共有4題，滿分18分，13、14每題4分，15、16每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.

13．已知實(shí)數(shù)滿足：，則下列不等式恒成立的是（）.

A．B．C．D．

14．若為兩條不同直線，為兩個(gè)不同平面，則下列結(jié)論中正確的是（）.

A．若，則 B．若，則

C．若，則 D．若，則15．已知雙曲線，點(diǎn)，點(diǎn)分別在雙曲線的左、右兩支上，則向量的夾角（）.

A．有最大值，但無(wú)最小值B．無(wú)最大值，但有最小值C．既有最大值，又有最小值D．既無(wú)最大值，又無(wú)最小值

16．函數(shù)的定義域、值域均為，定義集合.給出如下兩個(gè)結(jié)論：①存在函數(shù)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)均有；②對(duì)任意函數(shù)，都存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)均有．下面判斷正確的是（）.

A．①正確，②正確B．①正確，②錯(cuò)誤C．①錯(cuò)誤，②正確D．①錯(cuò)誤，②錯(cuò)誤

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.

17．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）

如圖，在長(zhǎng)方體中，為上一動(dòng)點(diǎn)，已知，．

（1）求直線與平面所成角的大小；（用反三角表示）

（2）求三棱錐的體積．18．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）

已知函數(shù)．

（1）記，求證：函數(shù)為偶函數(shù)；

（2）在中，所對(duì)的邊分別為，已知，求的面積．

19．（本題滿分14分，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題滿分6分）

為了了解某校高三年級(jí)學(xué)生的體育成績(jī)，隨機(jī)選取100名學(xué)生參加考核，將考核的成績(jī)

（滿分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù)）分成六組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）求頻率分布直方圖中的值；

（2）在考核成績(jī)?yōu)榈娜M學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取13人，則考核成績(jī)?cè)谥械膶W(xué)生應(yīng)抽取多少人？

（3）若落在學(xué)生的平均成績(jī)是54.4，方差是5.2，落在學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?6.4，方差是9.2，求這兩組學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)和方差.（結(jié)果精確到0.1）20．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）

已知橢圓，過動(dòng)點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn)，交橢圓于（點(diǎn)在第一象限），過點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)，延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)．

（1）若橢圓的離心率為，求的值；

（2）已知，且是線段的垂直平分線，求的值；

（3）已知，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，且，求直線的斜率．．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）已知區(qū)間，函數(shù)的定義域?yàn)?，若函?shù)滿足：對(duì)任意，均有，則稱函數(shù)為壓縮函數(shù)．

（1）判斷函數(shù)是否為壓縮函數(shù)？并說明理由；

（2）若函數(shù)為壓縮函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）已知函數(shù)為壓縮函數(shù)，求證：為單調(diào)函數(shù)的充要條件是：對(duì)任意，均有

楊浦區(qū)2025-2026學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)數(shù)學(xué)一模2025.11一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第題每題4分，第題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置填寫結(jié)果.

1．（）2．3．4．5．2406．7．8．9．10．11．②③④12．二、選擇題（本題共有4題，滿分18分，13、14每題4分，15、16每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.

13．B14.C15.A16.B三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.

17．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）

如圖，在長(zhǎng)方體中，為上一動(dòng)點(diǎn)，已知，．

（1）求直線與平面所成角的大??；（用反三角表示）

（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）（2）【解析】（1）連接，因?yàn)槠矫妫?/p>

所以是直線與平面所成的角，2分

由，所以

在Rt中，，4分

所以

即直線與平面所成角的大小為，6分

（2）三棱錐的體積，8分

點(diǎn)到平面的距離為，10分三角形的面積，12分

所以三棱錐的體積，14分18．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）

已知函數(shù)．

（1）記，求證：函數(shù)為偶函數(shù)；

（2）在中，所對(duì)的邊分別為，已知，求的面積．

【答案】（1）偶函數(shù)（2）【解析】（1），4分

因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且?duì)任意，所以函數(shù)為偶函數(shù)；6分

（2）由，可得8分由可得：，所以10分由，可得12分所以的面積14分

19．（本題滿分14分，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題滿分6分）

為了了解某校高三年級(jí)學(xué)生的體育成績(jī)，隨機(jī)選取100名學(xué)生參加考核，將考核的成績(jī)

（滿分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù)）分成六組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）求頻率分布直方圖中的值；

（2）在考核成績(jī)?yōu)榈娜M學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取13人，則考核成績(jī)?cè)谥械膶W(xué)生應(yīng)抽取多少人？

（3）若落在學(xué)生的平均成績(jī)是54.4，方差是5.2，落在學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?6.4，方差是9.2，求這兩組學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)和方差.（結(jié)果精確到0.1）【答案】（1）（2）6人（3）【解析】（1）由頻率之和為1結(jié)合頻率分布直方圖可得，解得，4分

（2）由頻率分布直方圖知，樣本答卷成績(jī)?cè)诘娜M學(xué)生有（人），

其中樣本答卷成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生人數(shù)為，6分

用分層抽樣的方法應(yīng)從答卷成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生中抽?。ㄈ耍?分

（3）由頻率分布直方圖知，成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生人數(shù)為，

成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生人數(shù)為，10分所以兩組學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)，12分

兩組學(xué)生成績(jī)的方差20．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）

已知橢圓，過動(dòng)點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn)，交橢圓于（點(diǎn)在第一象限），過點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)，延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)．

（1）若橢圓的離心率為，求的值；

（2）已知，且是線段的垂直平分線，求的值；

（3）已知，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，且，求直線的斜率．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）由，可得，所以，即，4分

（2）設(shè)則，又為線段的中點(diǎn)，所以，6分

又可得：，即，8分

又點(diǎn)在橢圓上，所以，所以，即，10分

（3）設(shè)，則．因?yàn)椋裕?2分

代入橢圓方程，解得，14分

所以，

聯(lián)立，則分

所以．18分21．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）已知區(qū)間，函數(shù)的定義域?yàn)?，若函?shù)滿足：對(duì)任意，均有，則稱函數(shù)為壓縮函數(shù)．

（1）判斷函數(shù)是否為壓縮函數(shù)？并說明理由；

（2）若函數(shù)為壓縮函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）已知函數(shù)為壓縮函數(shù)，求證：為單調(diào)函數(shù)的充要條件是：對(duì)任意，均有【答案】（1）是壓縮函數(shù)，理由見解析（2）（3）證明見解析【解析】（1）函數(shù)是壓縮函數(shù)，2分

理由：對(duì)任意，易知

所以，4分

（2）由題意，，都有.顯然，當(dāng)時(shí)，符合.

不妨設(shè)，則，即.

設(shè)，在上為減函數(shù)，，在上為增函數(shù)．所以，即．

所