廣東省肇慶聯(lián)盟校2026屆高二上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)變量滿足約束條件：，則的最小值（）A. B.C. D.2．下列函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算正確的個數(shù)為（）①；②；③；④.A.1 B.2C.3 D.43．如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為、，其中，.如果這時(shí)氣球的高度，則河流的寬度BC為（）A. B.C. D.4．一道數(shù)學(xué)試題，甲、乙兩位同學(xué)獨(dú)立完成，設(shè)命題是“甲同學(xué)解出試題”，命題是“乙同學(xué)解出試題”，則命題“至少一位同學(xué)解出試題”可表示為（）A. B.C. D.5．?dāng)?shù)列2，0，2，0，…的通項(xiàng)公式可以為（）A. B.C. D.6．在數(shù)列中，，，則（）A.985 B.1035C.2020 D.20707．學(xué)校為了解學(xué)生在課外讀物方面的支出情況，抽取了n位同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果顯示這些同學(xué)的支出都在（單位：元）內(nèi)，其中支出在（單位：元）內(nèi)的同學(xué)有67人，其頻率分布直方圖如圖所示，則n的值為（）A.100 B.120C.130 D.3908．設(shè)橢圓（）的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．過點(diǎn)F且斜率為的直線與C的一個交點(diǎn)為Q（點(diǎn)Q在x軸上方），且，則C的離心率為（）A. B.C. D.9．已知隨機(jī)變量，，則的值為（）A.0.24 B.0.26C.0.68 D.0.7610．已知直線，當(dāng)變化時(shí)，所有直線都恒過點(diǎn)（）A.B.C.D.11．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若，則（）A.19 B.21C.23 D.3812．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線為，，過的直線與垂直，且交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)_________________.14．已知為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則_____________.15．已知的展開式中項(xiàng)的系數(shù)是，則正整數(shù)______________.16．如圖，正方形ABCD的邊長為8，取正方形ABCD各邊的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，作第2個正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點(diǎn)I，J，K，L，作第3個正方形IJKL.依此方法一直繼續(xù)下去.①從正方形ABCD開始，第7個正方形的邊長為___；②如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么作到第n個正方形，這n個正方形的面積之和為___.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱柱中，，，，四邊形為菱形，在平面ABCD內(nèi)的射影O恰好為AD的中點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.18．（12分）保護(hù)生態(tài)環(huán)境，提倡環(huán)保出行，節(jié)約資源和保護(hù)環(huán)境，某地區(qū)從2016年開始大力提倡新能源汽車，每年抽樣1000汽車調(diào)查，得到新能源汽車y輛與年份代碼x年的數(shù)據(jù)如下表：年份20162017201820192020年份代碼第x年12345新能源汽車y輛305070100110（1）建立y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）假設(shè)該地區(qū)2022年共有30萬輛汽車，用樣本估計(jì)總體來預(yù)測該地區(qū)2022年有多少新能源汽車參考公式：回歸方程斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，19．（12分）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，直線與橢圓的另一個交點(diǎn)為A（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（均與A，不重合），過點(diǎn)與軸垂直的直線分別交直線，于點(diǎn)，，證明：點(diǎn)，關(guān)于軸對稱20．（12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，短軸長為4，設(shè)，的左右有兩個焦點(diǎn)求橢圓C的方程；若P是該橢圓上的一個動點(diǎn)，求的取值范圍；是否存在過點(diǎn)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C，D，使得？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明兩點(diǎn)21．（12分）某校從參加高二年級期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，并統(tǒng)計(jì)了他們的化學(xué)成績（成績均為整數(shù)且滿分為100分），把其中不低于50分的分成五段，，…，后畫出如圖部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：（1）求出這60名學(xué)生中化學(xué)成績低于50分的人數(shù)；（2）估計(jì)高二年級這次考試化學(xué)學(xué)科及格率（60分以上為及格）；（3）從化學(xué)成績不及格的學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查1人，求他的成績低于50分的概率22．（10分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】如圖作出可行域，知可行域的頂點(diǎn)是A（－2，2）、B()及C(－2，－2)，平移，當(dāng)經(jīng)過A時(shí)，的最小值為-8，故選D.2、A【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)的基本公式計(jì)算后即可判斷【詳解】解：①，故錯誤；②，故正確；③，故錯誤；④，故錯誤.所以求導(dǎo)運(yùn)算正確的個數(shù)為1.故選：A.3、D【解析】由題意得，，，然后在和求出，從而可求出的值【詳解】如圖，由題意得，，，在中，，在中，，所以，故選：D4、D【解析】根據(jù)“或命題”的定義即可求得答案.【詳解】“至少一位同學(xué)解出試題”的意思是“甲同學(xué)解出試題，或乙同學(xué)解出試題”.故選：D.5、D【解析】舉特例排除ABC，分和討論確定D.【詳解】A.當(dāng)時(shí)，，不符；B.當(dāng)時(shí)，，不符；C.當(dāng)時(shí)，，不符；D.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，符合.故選：D.6、A【解析】根據(jù)累加法得，，進(jìn)而得.【詳解】解：因?yàn)樗?，?dāng)時(shí)，，，……，，所以，將以上式子相加得，所以，，.當(dāng)時(shí)，，滿足；所以，.所以.故選：A7、A【解析】根據(jù)小矩形的面積之和，算出位于10～30的2組數(shù)的頻率之和為0.33,從而得到位于30～50的數(shù)據(jù)的頻率之和為1-0.33=0.67，再由頻率計(jì)算公式即可算出樣本容量的值.【詳解】位于10～20、20～30的小矩形的面積分別為位于10～20、20～30的據(jù)的頻率分別為0.1、0.23可得位于10～30的前3組數(shù)的頻率之和為0.1+0.23=0.33由此可得位于30～50數(shù)據(jù)的頻率之和為1-0.33=0.67∵支出在[30,50)的同學(xué)有67人,即位于30～50的頻數(shù)為67，∴根據(jù)頻率計(jì)算公式，可得解之得.故選：A8、D【解析】連接Q和右焦點(diǎn)，可知|OQ|＝，可得∠FQ＝90°，由得，寫出兩直線方程，聯(lián)立可得Q點(diǎn)坐標(biāo)，Q點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得a、b、c關(guān)系﹒【詳解】設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為，連接Q，∵，，∴|OQ|＝，∴∠FQ＝90°，∵，∴，F(xiàn)Q過F(－c，0)，Q過(c，0)，則，由，∵Q在橢圓上，∴，又，解得，∴離心率故選：D9、A【解析】根據(jù)給定條件利用正態(tài)分布的對稱性計(jì)算作答.【詳解】因隨機(jī)變，，有P(ξ<4)=P(ξ≤4)=0.76，由正態(tài)分布的對稱性得：，所以的值為0.24.故選：A10、D【解析】將直線方程整理為，從而可得直線所過的定點(diǎn).【詳解】可化為，∴直線過定點(diǎn)，故選：D.11、A【解析】由已知及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到公差d，再利用前n項(xiàng)和公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由已知，得，解得，所以.故選：A12、C【解析】由題設(shè)易知是的中垂線，進(jìn)而可得，結(jié)合雙曲線參數(shù)關(guān)系及離心率公式求雙曲線的離心率即可.【詳解】由題意，是的中垂線，故，由對稱性得，則，故，∴.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】根據(jù)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得.故答案為：.14、30【解析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)得，，也成等比，即可求得結(jié)果.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，，構(gòu)成首項(xiàng)為10，公比為1的等比數(shù)列，所以【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列性質(zhì)，考查基本求解能力，屬基礎(chǔ)題.15、4【解析】由已知二項(xiàng)式可得展開式通項(xiàng)為，根據(jù)已知條件有，即可求出值.詳解】由題設(shè)，，∴，則且為正整數(shù)，解得.故答案為：4.16、①.1②.【解析】根據(jù)題意，正方形邊長成等比數(shù)列，正方形的面積等于邊長的平方可得，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式即可求解.【詳解】設(shè)第n個正方形的邊長為，第n個正方形的面積為，則第n個正方形的對角線長為，所以第n+1個正方形的邊長為，，∴數(shù)列{}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，∴，即第7個正方形的邊長為1；∴數(shù)列{}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故答案為：1；.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）先證明，，即可證明平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】因?yàn)镺為在平面ABCD內(nèi)的射影，所以平面ABCD，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以.如圖，連接BD，在中，.設(shè)CD的中點(diǎn)為P，連接BP，因?yàn)?，，，所以，且，則.因?yàn)?，所以，易知，所?因?yàn)槠矫妫矫?，，所以平?【小問2詳解】由（1）知平面ABCD，所以可以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A，，所在直線分別為x，z，以平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)O且垂直于OA的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以,,，，設(shè)平面的法向量為，，，則可取平面的一個法向量為.設(shè)平面的法向量為，，，則令，得平面的一個法向量為.設(shè)平面與平面的平面角為，由法向量的方向可知與法向量的夾角大小相等，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.18、（1）（2）46800【解析】（1）第一步分別算第x，y的平均值，第二步利用，即可得到方程.（2）由第一問的結(jié)果，帶入方程即可算出預(yù)估的結(jié)果.【小問1詳解】，，，因?yàn)?，所以，所以【小?詳解】預(yù)測該地區(qū)2022年抽樣1000汽車調(diào)查中新能源汽車數(shù)，當(dāng)時(shí)，，該地區(qū)2022年共有30萬輛汽車，所以新能源汽車.19、（1）（2）證明見解析【解析】（1）先求出直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓，求出A點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，用韋達(dá)定理得到兩根之和，兩根之積，求出兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，證明出，即可證明關(guān)于軸對稱.【小問1詳解】由題意得，，所以直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立得解得或，當(dāng)時(shí)，，所以【小問2詳解】設(shè)，，的方程為，聯(lián)立消去得，則，直線的方程為，設(shè)，則，直線的方程為，設(shè)，則，因?yàn)?，即，所以點(diǎn)，關(guān)于軸對稱20、（1）（2）（3）滿足條件的直線不存在，詳見解析【解析】根據(jù)條件直接求出,進(jìn)而求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;設(shè),表示出,求出其范圍;設(shè)CD的中點(diǎn)為;由,則;得到其斜率的乘積為,最后列取方程聯(lián)立計(jì)算即可.【詳解】解：由題意可知,,則;所以橢圓C的方程為:;由題意可知,,設(shè),則,;所以的取值范圍是;假設(shè)存在滿足條件的直線,根據(jù)題意得直線的斜率存在;則設(shè)直線的方程為：；消化簡得:;,則;；設(shè)，則CD的中點(diǎn)為；,；，則;，即;即,無解;故滿足條件的直線不存在.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì),向量的數(shù)量積,直線的垂直,設(shè)而不求的思想方法,關(guān)鍵在于將幾何條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化,還考查了學(xué)生的綜合運(yùn)算能力,屬于中檔題.21、（1）6人；（2）75%；（3）.【解析】（1）由頻率分布直方圖可得化學(xué)成績低于50分的頻率為0.1，然后可求得人數(shù)為人；（2）根據(jù)頻率分布直方圖求分?jǐn)?shù)在第三、四、五、六組的頻率之和即可；（3）結(jié)合圖形可得“成績低于50分”的人數(shù)是6人，成績在這組的人數(shù)是，由古典概型概率公式可得所求概率為試題解析：（1）因?yàn)楦鹘M的頻率和等于1，由頻率分布直方圖可得低于50分的頻率為：，所以低于分的人數(shù)為（人）（2）依題意可得成績60及以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組（低于50分的為第一組），其頻率之和為，故抽樣學(xué)生成績的及格率是，于是，可以估計(jì)這次考試化學(xué)學(xué)科及格率約為75%（3）由（1）知，“成績低于5