第七章證明1為什么要證明教師備課素材示例●情景導入故事《知人不易》(課件展示)顏回是孔子最得意的門生．有一次孔子周游列國，困于陳國與蔡國之間七天沒飯吃．顏回好不容易找到一點糧米，便趕緊埋鍋造飯．米飯將熟之際，孔子聞香抬頭，恰好看到顏回用手抓出一把米飯送入口中．等到顏回請孔子吃飯，孔子假裝說：“我剛剛夢到我父親，想用這干凈的白飯來祭拜他．”顏回趕快說：“不行，不行，這飯不干凈，剛剛燒飯時有些煙塵掉入鍋中，棄之可惜，我便抓出來吃掉了．”孔子這才知道顏回并非偷吃飯，心中相當感慨，便對弟子們說：“所信者目也，而目猶不可信；所恃者心也，而心猶不足恃．弟子記之，知人固不易！”【教學與建議】教學：通過小故事吸引學生的注意力，感知生活中不一定是“眼見為實”，誘發(fā)學生對新知識的需求．建議：可以讓學生尋找身邊欺騙我們眼睛的實例，為本節(jié)課的學習做好鋪墊．●懸念激趣(1)圖①中三角形的三邊是直的還是曲的？(2)圖②的兩幅圖中中間的圓哪個更大？eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖①))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖②))【教學與建議】教學：通過圖片，激發(fā)學生的學習熱情．同時讓學生明白眼見未必為實，只有實踐才能出真知的道理．建議：在學生操作時，教師要引導學生進行思考、分析．我們認識事物，可能會出現偏差，沒有經過嚴格的證明都是不能令人信服的．【例1】(1)在可以不同年的條件下，下列結論敘述正確的是(A)A．400個人中至少有兩人生日相同B．300個人中至少有兩人生日相同C．300個人中一定沒有兩人生日相同D．300個人中一定有兩人生日相同(2)甲、乙、丙三位同學踢球時，不小心將教室的玻璃打破．當班主任追問時，甲說：是丙打破的．乙說：不是我打破的．丙說：甲說謊．三個人只有一人說了真話，請你判斷，玻璃是__乙__打破的．命題角度2檢驗數學結論通常利用七年級所學的知識證明數字、線段、角之間的大小關系或位置關系．【例2】(1)下列結論正確的是(A)A．全等三角形的對應角相等B．對應角相等的兩個三角形全等C．有兩條邊和一角對應相等的兩個三角形全等D．兩個角相等，則這兩個角一定是對頂角(2)當n＝1，2，3，4，5時，代數式n2－3n＋7的值是質數，對于所有的自然數n，n2－3n＋7__不一定__(選填“一定”或“不一定”)是質數．高效課堂教學設計1．初步體會觀察、實驗、歸納得到的結論不一定正確．2．通過探索，初步了解數學中證明的重要性．3．初步了解判定一個數學結論正確與否，必須進行有理有據的證明．▲重點判斷一個結論正確與否必須進行有理有據的證明．▲難點體會數學中證明的重要性和必要性．活動1創(chuàng)設情境導入新課(課件)在以前的學習過程中，我們通過觀察、實驗、歸納得到了很多正確的結論，那么通過觀察、實驗、歸納得到的結論一定正確嗎？今天我們一起來研究這個問題．活動2實踐探究交流新知【探究1】通過觀察得到的結論一定正確嗎？(多媒體出示教材P180嘗試·思考上面部分)1．閱讀并猜想結果．2．用直尺和量角器檢驗你觀察到的結果．(1)圖①中兩條線段a，b的長度相等嗎？圖②中的四邊形是正方形嗎？請你先觀察，再設法檢驗你觀察到的結論．eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖①))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖②))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖③))(2)如圖③，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道長1m的鐵絲將地球赤道圍起來，鐵絲與地球赤道之間的間隙能有多大？能放進一個拳頭嗎？先憑感覺想象一下，再具體算一算，看看與你的感覺是否一致，并與同伴進行交流．解：畫出示意圖如圖．設鐵絲圈的半徑OB為R，地球的半徑OA為r，赤道周長為C.由題意，得R－r＝eq\f(C＋1,2π)－eq\f(C,2π)＝eq\f(1,2π)≈0.16(m).∴可以放進一個拳頭．【探究2】通過歸納得到的結論正確嗎？(多媒體出示教材P180嘗試·思考)1．讀題并小組交流．2．展示成果．(1)當n＝0時，n2－n＋11＝11；當n＝1時，n2－n＋11＝11；當n＝2時，n2－n＋11＝13；當n＝3時，n2－n＋11＝17；當n＝4時，n2－n＋11＝23；當n＝5時，n2－n＋11＝31.由此可知：當n＝0，1，2，3，4，5時，代數式n2－n＋11的值都是質數．但當我們繼續(xù)往后計算，計算到n＝11時，n2－n＋11＝121，此時為合數．所以“對于所有自然數n，代數式n2－n＋11的值都是質數”這種說法是錯誤的；(2)通過測量猜想DE∥BC,DE＝eq\f(1,2)BC.通過改變三角形的形狀(如圖)，在不同的三角形中再次得到驗證，因而較為相信這個結論的正確性；但畢竟是測量結果，測量難免有誤差，因此難以令人信服，還需要尋找更為可信的證明．【歸納】觀察、實驗、歸納得到的結論可能正確，也可能不正確．因此，要判斷一個數學結論是否正確，僅僅依靠觀察、實驗、歸納是不夠的，必須進行有理有據的證明．活動3開放訓練應用舉例【例1】我們知道2×2＝4，2＋2＝4，試問對于任意數a與b，是否一定有結論a×b＝a＋b成立？【方法指導】若不成立，可以舉反例證明．解：∵3×2＝6，而3＋2＝5，6≠5，∴不是對于任意數a與b都一定有結論a×b＝a＋b成立．【例2】當a＝1，b＝2時，12＋22>2×1×2；當a＝－1，b＝3時，(－1)2＋32>2×(－1)×3；當a＝－eq\f(1,2)，b＝－3時，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋(－3)2>2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×(－3).于是猜想：對于任意實數a，b，總有a2＋b2>2ab成立．這個結論正確嗎？請說明理由．【方法指導】判斷一個數學結論是否正確，必須進行有理有據的證明．解：不正確．理由如下：因為對于任意的實數a，b都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0成立，所以a2＋b2≥2ab成立，而不是a2＋b2>2ab.所以，這個結論不正確．活動4隨堂練習1．下列說法正確的是(D)A．經驗、觀察或實驗完全可以判斷一個數學結論的正確與否B．證明是科學家的事，與我們沒有多大的關系C．對于自然數n，n2＋n＋37一定是質數D．有10個蘋果，將它們放進9個筐中，則至少有一個筐中的蘋果不少于2個2．在手工制作課上，小明和小華各自用鐵絲制作樓梯模型，如圖所示，他們制作模型所用的鐵絲一樣長嗎？請說明理由．解：一樣長．通過平移可知兩個樓梯模型鐵絲一樣長．3．在學習中，小明發(fā)現：當n＝1，2，3時，n2－4n的值都是負數．于是小明猜想：當n為任意正整數時，n2－4n的值都是負數．小明的猜想對嗎？請簡要說明你的理由．解：小明的猜想不對．理由如下：當n＝4時，n2－4n＝42－4×4＝0.當n＝5時，n2－4n＝52－4×5＝5>0.因此，當n為任意正整數時，n2－4n的值不一定都是負數．活動5課堂小結與作業(yè)學生活動：你這節(jié)課的主要收獲是什么？教學說明：讓學生理解數學的嚴謹性，養(yǎng)成深入思考的能力，并培養(yǎng)學生的質疑精神．作業(yè)：教材P181隨堂練習，P181～182習題7.1中的T