第一章隨機(jī)事件與其概率

一、隨機(jī)事件與其運(yùn)算

1.樣本空間、隨機(jī)事件

①樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)的每一個可能結(jié)果，用表示；

②樣本空間：樣本點(diǎn)的全集，用表示；

注：樣本空間不唯一.

③隨機(jī)事件：樣本點(diǎn)的某個集合或樣本空間的某個子集，用，…表示；

④必然事件就等于樣本空間；不可能事件a是不包含任何樣本點(diǎn)的空集；

⑤基本事件就是僅包含單個樣本點(diǎn)的子集。

2.事件的四種關(guān)系

①包含關(guān)系：，事件A發(fā)生必有事件B發(fā)生；

②等價關(guān)系：，事件A發(fā)生必有事件B發(fā)生，且事件B發(fā)生必有事件A發(fā)生；

③互不相容（互斥）：，事件A與事件B一定不會同時發(fā)生。

④對立關(guān)系（互逆）：，事件發(fā)生事件A必不發(fā)生，反之也成立；互逆滿足

注：互不相容和對立的關(guān)系（時立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是對立

事件。）

3.事件的三大運(yùn)算

①事件的并：，事件A與事件B至少有一個發(fā)生。若，則；

②事件的交：，事件A與事件B都發(fā)生；

③事件的差：，事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生。

4.事件的運(yùn)算規(guī)律

①交換律：

②結(jié)合律：

③分配律:

④德摩根（）定律:對于n個事件，有

二、隨機(jī)事件的概率定義和性質(zhì)

1.公理化定義：設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為，對于任一隨機(jī)事件

都有確定的實(shí)值P（A）,滿足下列性質(zhì)：

（1）非負(fù)性：（2）規(guī)范性：

⑶有限可加性（概率加法公式）：對于k個互不相容事件，有.

則稱P（A）為隨機(jī)事件A的概率.

2.概率的性質(zhì)

③若，則

三、注：性質(zhì)的逆命題不一定成立的.如若則。（X.若，則。（X）

四、古典概型的概率計(jì)算

古典概型：若隨機(jī)試驗(yàn)滿足兩個條件：①只有有限個樣本點(diǎn)，

②每個樣本點(diǎn)發(fā)生的概率相同，則稱該概率模型為古典概型，。

典型例題：設(shè)一批產(chǎn)品共N件，其中有M件次品，從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件樣品，則

⑴在放回抽樣的方式下，取出的n件樣品中恰好有m件次品（不妨設(shè)事件A1）的概率為

⑵在不放回抽樣的方式下，取出的n件樣品中恰好有m件次品（不妨設(shè)事件A2）的概率為

四、條件概率與其三大公式

1.條件概率：

2.乘法公式：

3.全概率公式：若，則。

4.貝葉斯公式：若事件如全概率公式所述，且

五、事件的獨(dú)?..l.定義：.

推廣：若相互獨(dú)立，

2.在四對事件中，只要有一對獨(dú)立，則其余三對也獨(dú)立。

3.三個事件A.B.C兩兩獨(dú)立：

注：n個事件的兩兩獨(dú)立與相互獨(dú)立的區(qū)別。(相互獨(dú)立兩兩獨(dú)立，反之不成立。)

4.伯努利概型:

1.事件的對立與互不相容是等價的。(X)

2.若日貝I」三I。(X)

3.I■o(X)

4三個事件恰有一個發(fā)生可表示為。(V)

5.n個事件若滿足,則n個事件相互獨(dú)立。(X)

6.當(dāng)時，有P()(B)(A),(V)

第二章隨機(jī)變量與其分布

一、隨機(jī)變量的定義：設(shè)樣本空間為，變量為定義在上的單值實(shí)值函數(shù)，則稱為隨

機(jī)變量，通常用大寫英文字母，用小寫英文字母表示其取值。

二、分布函數(shù)與其性質(zhì)

1.定義：設(shè)隨機(jī)變量，對于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)稱為隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)，簡稱分

布函數(shù)……注：當(dāng)時，

(DX是離散隨機(jī)變量，并有概率函數(shù)則有

(2)X連續(xù)隨機(jī)變量，并有概率密度f(x),則.

2.分布函數(shù)件質(zhì)：

(1F(x)是單調(diào)非減函數(shù)，即對于任意xl<x2,有；

(2[xi；月.「「1n；

(3離散隨機(jī)變量X,F(X)是右連續(xù)函數(shù)，即；連續(xù)隨機(jī)變量X,F(x)在(-8,+8)上處

處連續(xù)。

注：一個函數(shù)若滿足上述3個條件，則它必是某個隨機(jī)變量的分布函數(shù)。

三、離散隨機(jī)變量與其分布

I.定義.設(shè)隨機(jī)變量X只能取得有限個數(shù)值，或可列無窮多個數(shù)值且，則稱X為離散

隨機(jī)變量.（1,2,…）為X的概率分布，或概率函.（分布律）.

注：概率函數(shù)的性質(zhì)：

2.幾種常見的離散隨機(jī)變量的分布：

（1）超幾何分布，（），

（2）二項(xiàng)分布，（），

當(dāng)1時稱X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布（或0—1分布）。

若（1,2,…）服從同一兩點(diǎn)分布且獨(dú)立，則服從二項(xiàng)分布。

（3）泊松（）分布，，

四、連續(xù)隨機(jī)變量與其分布

1.定義若隨機(jī)變量X的取值范圍是某個實(shí)數(shù)區(qū)間I,且存在非負(fù)函數(shù)f（x）,使得對于任意區(qū)

間，有

則稱X為連續(xù)隨機(jī)變量；函數(shù)f（x）稱為連續(xù)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密

度。

注1：連續(xù)隨機(jī)變量X任取某一確定值的概率等于0,即

注2:

2.概率密度.（x）的性質(zhì)：性質(zhì)1:性質(zhì)2:

注1:一個函數(shù)若滿足上述2個條件，則它必是某個隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)0

注2:當(dāng)時，

且在f（x）的連續(xù)點(diǎn)x處，有

3.幾種常見的連續(xù)隨機(jī)變量的分布：

（1）均勻分布

(2)指數(shù)分布日,日

(3)正態(tài)分布，

1.概率函數(shù)與密度函數(shù)是同一個概念。..)

2.當(dāng)N充分大時，超幾何分布H(n,M,N)可近似成泊松分布。(X)

3.設(shè)X是隨機(jī)變量，有。(X)

4.若的密度函數(shù)為二，則(X)

第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

一、期望(或均值)

1.定義：

2.期望的性質(zhì)：

3.隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

4.計(jì)算數(shù)學(xué)期望的方法

(1)利用數(shù)學(xué)期望的定義；(2)利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)；

常見的基本方法：

將一個比較復(fù)雜的隨機(jī)變量X拆成有限多個比較簡單的隨機(jī)變量之和，再利用期望性質(zhì)求

得X的期望.

⑶利用常見分布的期望；

1.方差

注：D(X)[(X)]2N0；它反映了隨機(jī)變量X取值分散的程度，如果D(X)值越大(小)，表示X取

值越分散(集中)。

2.方差的性質(zhì)

(4)對于任意實(shí)數(shù)CWR,有E()22D(X)

當(dāng)且僅當(dāng)C=E(X)時，E()2取得最小值D(X).

（5）（叨比雪夫不等式）：設(shè)X的數(shù)學(xué)期望E（X）與方差D（X）存在,對于任意的正數(shù)目有

=■a或■叵]

3.計(jì)算

（1）利用方差定義；（2）常用計(jì)算公式I—■（3）方差的性質(zhì)；（4）常見分布的

方差.

注：常見分布的期望與方差

1.若X?B（n.p）..E（X）.D（X...............2.若

3.若X?U（a.b）.則...4.若

5.若

三、原點(diǎn)矩與中心矩

（總體）X的k階原點(diǎn)矩：（總體）X的k階中心矩：

1.只要是隨機(jī)變量，都能計(jì)算期望和方差。（X）

2.期望反映的是隨機(jī)變量取值的中心位置，方差反映的是隨機(jī)變量取值的分散程度。（J）

3.方差越小，隨機(jī)變量取值越分散，方差越大越集中。（X）

4.方差的實(shí)質(zhì)是隨機(jī)變量函數(shù)的期望。（J）

5.對于任意的，都有成立。（X）

第四章正態(tài)分布

一、正態(tài)分布的定義

1.正態(tài)分.

⑴[X]概率密度為其分布函數(shù)為

注：a.

正態(tài)密度函數(shù)的幾何特性:

2.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

當(dāng)時，其密度函數(shù)為且其分布函數(shù)為

的性質(zhì)：

3.正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系

定理：若則.

定理：設(shè)則

二、正態(tài)分布的數(shù)字特征

設(shè).則1.期望E(X.....

2.方差D(X)S[

3.標(biāo)準(zhǔn)差L^sJ

三、正態(tài)分布的性質(zhì)

1.線性性.設(shè)則；

2.可加性.設(shè)且X和Y相互獨(dú)立，則

3.線性組合性設(shè)，且相互獨(dú)立，則

四、中心極限定理

1.獨(dú)立同分布的中心極限定理

設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，服從相同的分布，且

則對于任何實(shí)數(shù)x,有

定理解釋：若滿足上述條件，有

(1)

(3)

2.棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理

設(shè)則

定理解釋：若當(dāng)n充分大時，有

(1)[|(2)1口

1.若」—■貝IJI一■(X)

2.若IX1貝ij[x](J)

3.設(shè)隨機(jī)變量X與Y均服從正態(tài)分布：

4.已知連續(xù)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為|x|則X的數(shù)學(xué)期望為1;X的方差為

1/2.

第五章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識

一、總體個體樣本

1.總體：把研究對象的全體稱為總.(或母體).它是一個隨機(jī)變量，記X.

2.個體：總體中每個研究對象稱為個體.即每一個可能的觀察值.

3.樣本：從總體X中，隨機(jī)地抽取n個個體，稱為總體X的容量為n的樣本。

注：⑴樣本是一個n維的隨機(jī)變量;(2)本書中提到的樣本都是指簡單隨機(jī)樣本，其滿足2

個特性：

,代表性：中每一個與總體X有相同的分布..獨(dú)立性：是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.

4.樣本的聯(lián)合分布

設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x),則樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為

(1)設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為f(x),則樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為叵]

(2)設(shè)總體X的概率函數(shù)為\一■,則樣本的聯(lián)合概率函數(shù)為1x1

二、統(tǒng)計(jì)量

1.定.

不含總體分布中任何未知參數(shù)的樣本函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量，是

I一■的觀測值.

注：(1)統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量；(2)統(tǒng)計(jì)量不含總體分布中任何未知參數(shù);

(3)統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布.

2.常用統(tǒng)計(jì)量

(1)樣本矩:①樣本均..其觀測......可用于推斷：總體均.E(X).

②樣本方差

其觀測值可用于推斷：總體方差D(X).

③樣本標(biāo)準(zhǔn)差目I*I

其觀測值目[H]

④樣本k階原點(diǎn)矩其觀測值a

⑤樣本k階中心矩[X[其觀測值日

注：比較樣本矩與總體矩，如樣本均值和總體均值E(x)；樣本方差與總體方差D(X)；

樣本k階原點(diǎn)矩與總體k階原點(diǎn)矩J：樣本k階中心矩

與總體k階原點(diǎn)矩.前者是隨機(jī)變量，后者是常數(shù).

⑵樣本矩的性質(zhì):

設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為，為樣本均值、樣本方差，則

3.抽樣分布：統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布.

四、3大抽樣分布

定義.設(shè)相互獨(dú)立，且,則

注：若則

(2)性質(zhì)(可加性)

設(shè)相互獨(dú)立，且則

2八分布..設(shè).與.相互獨(dú)立，且則

注：t分布的密度圖像關(guān)于0對稱；當(dāng)n充分大時，t分布趨向于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（O,1）.

3.F分布..定義.設(shè)X與Y相互獨(dú)立，且則

⑵性質(zhì).設(shè)則.

四、分位點(diǎn)

定義：對于總體X和給定的若存在，使得則稱為X分布的分位點(diǎn)。

注：常見分布的分位點(diǎn)表示方法

（1）分布的分位點(diǎn)（2）分布的分位點(diǎn)其性質(zhì)：

（3）Ix]分布的可分位點(diǎn)I*[其性質(zhì)[[

（4）N（0,1）分布的可分位點(diǎn)岡有■

第六章參數(shù)估計(jì)

一、點(diǎn)估計(jì):設(shè)為來自總體X的樣本，為X中的未知參數(shù)，為樣本值，構(gòu)造某個統(tǒng)

il-

量作為參數(shù)的估計(jì)，則稱為的點(diǎn)估計(jì)量，為的估計(jì)值.

2.常用點(diǎn)估計(jì)的方法：矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法.

二、矩估計(jì)法

1.基本思想：用樣本矩（原點(diǎn)矩或中心矩）代替相應(yīng)的總體矩.

2.求總體X的分布中包含的m個未知參數(shù)的矩估計(jì)步驟：

①求出總體矩，即；②用樣本矩代替總體矩，列出矩估計(jì)方程：

③解上述方程（或方程組）得到的矩估計(jì)量為：

④的矩估計(jì)值為：

3.矩估計(jì)法的優(yōu)缺點(diǎn):

優(yōu)點(diǎn)：直觀、簡單；只須知道總體的矩,不須知道總體的分布形式.

缺點(diǎn)：沒有充分利用總體分布提供的信息；矩估計(jì)量不具有唯一性；可能估計(jì)結(jié)果的精度

比其它估計(jì)法的低

三