《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》試卷A

（考試時(shí)間:90分鐘；考試形式：閉卷）

（注意：請(qǐng)將答案填寫(xiě)在答題專(zhuān)用紙上，并注明題號(hào)。答案填寫(xiě)在試卷和草稿紙上無(wú)效）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共20小題，每小題2分，共40分）

1、A,B為二事件，則口□

A.QB.DC.DD.D

2.設(shè)A,B,（:表示三個(gè)事件，則□表示口

A.A,B,C中有一個(gè)發(fā)生

B.A,B,C中恰有兩個(gè)發(fā)生

C.A,B,C中不多于一個(gè)發(fā)生D、A,B,C都不發(fā)生

3、A、B為兩事件，若口,□,□,

則（）成立

A.口B.D

COD.D

4、設(shè)A,B為任二事件，則口

A.QB、□

C.OD.D

5、設(shè)事件A與B相互獨(dú)立，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是口

A.嶼□獨(dú)立B、□與□獨(dú)立

C.DD.□與□一定與斥

其分布因數(shù)為口，貝U□口

6.設(shè)離散型隨機(jī)變量□的分布列為012

X

A.OB.0.3C.0.8D.1

P030.50.2

7、設(shè)離散型隨機(jī)變量□的密度函數(shù)為口，則常數(shù)□口

A.口B.口C.4D.5

8、設(shè)口~口，密度函數(shù)口則口的最大值是口

A.OB.lCDD.D

9、設(shè)隨機(jī)變量口可取無(wú)窮多個(gè)值0,1,2，…,其概率分布為口，則下式成立的是口

A.DB、□

CDD、□

10、設(shè)X服從二項(xiàng)分布B(n,p),則有()

A.口B.口

C.DD.口

11、獨(dú)立隨機(jī)變量口，若X~N(l,4),Y~N(3,16),下式中不成立的是口

12.設(shè)隨機(jī)變量□的分布列為：A.口B、口(：、□□、口123

則常數(shù)c=()

X

A.OB.lC.DD.D

P1/2c1/4

13.設(shè)口~口，又常數(shù)c滿足□，則c等于口

A.lB.OCDD.-1

14.已知□□廁□:口

A.9B.6C.30D.36

15.當(dāng)口服從()分布時(shí)，口。

A指數(shù)B泊松C.正態(tài)D均勻

16、下列結(jié)論中,口不是隨機(jī)變量□與口不相關(guān)的充要條件。

A.QB、□

C口D.口與□相互獨(dú)立

17、設(shè)口~□旦口，貝悟口

A口B、□

CDD.D

18、設(shè)□分別是二維隨機(jī)變量口的聯(lián)合密度函數(shù)及邊緣密度函數(shù)，則匚是嶼□獨(dú)立的充要條件。

A.DB、□

C.□與口不相關(guān)D.對(duì)口有口

19、設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量，則□與□獨(dú)立的充要條件是口

A.DB、□C、嶼□不相關(guān)

D.對(duì)口的任何可能取值口口

20、設(shè)□的聯(lián)合密度為口

若:］為分布函數(shù)，則口口

A.OB、口C、口D、1

1、二、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題7分，共42分）

若事件A與B相互獨(dú)立,口口。求：口和口

設(shè)隨機(jī)變量口，且口。求口

6.設(shè)□的聯(lián)合密度為口,

求（1）邊際密度函數(shù)口；（2）口；（3）□與□是否獨(dú)立

1、三、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）

設(shè)口，口是來(lái)自正態(tài)總體□的樣本，下列

三個(gè)估計(jì)量是不是參數(shù)口的無(wú)偏估計(jì)量，若是無(wú)偏

估計(jì)量試判斷哪一個(gè)較優(yōu)？

2.設(shè)口口。為口的一組觀察值，求□的極大似然估計(jì)。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)試卷答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

、

單項(xiàng)

選擇

題（本

大題

共20

d題12345678910

每小

題2

分，

共40

分）

題號(hào)

答案BDCDDDDCAD

題號(hào)11121314151617181920

答案CCBBBDCDDB

二、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題7分，共42分）

解：與B相互獨(dú)立

?.P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)....(1分)

=P(A)+P(B)-P(A)P(B)....(1分)

=0.6+0.6-().8?

=0.92....(1分)

P\A(A+B)]

又P(^A+8)=（1分）

P(A+B)

尸(A6)_P(A)尸(6)

（2分）

P(A+B)~P(A+B)

=0.13....(1分)

解:□....(5分)

=1-0(1.65)=1-0.95=0.05....(2分)

3.解：由已知有口（3分）

則：口（2分）

（2分）

4解:（1）由口,□

有:口

解之有：□,□....（3分）

(2)P(-1<X<1)=F(1)-F(-I)=1………(2分)

⑶/⑺=4幻=小……小分）

5解Q)

X123

(3分)

P2/32/91/9

322117

(2)EX=^x,.p,=lx-+2x-+3x-=^………(2分)

/=|J，，，

G2122c22,2123

⑶???EX:/XjPj=1x—i-2x—F3x—=—

tr3999

ADX=EX2-(EX)2=-)2=—..........(2分)

9981

6.解：(1)□

2x,0<x<1

,?幾")=,

0,其它

同理:□.....(3分)

1

⑵￡(f=jxpi{x}dx=^2xdx=^

同理:口（2分）

⑶???p(x,y)=p：(x)/%()，)

「石與〃獨(dú)立（2分）

1、三、應(yīng)用題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）

21

2、解：?.%=%乂+/）=〃

JJ

同理：口

m4為參數(shù)〃的無(wú)偏估計(jì)量………（3分）

又.?。M=。（"+（%）=駟I+!嘰+

JJ777

同理:口,□

且＜。從＜。〃2

???〃3較優(yōu)………（6分）

解:□的似然函數(shù)為：

I:.

3，和…,天，0=立獷汽………（3分）

1=（uU

I〃

Ln(L)=-nInU--g七

dLn(L)n1-A

-----=——+r>X=0

d0----0e1^'

解之有口（6分）

一、供30分，每題5分）

L設(shè)事件A與B相互獨(dú)立,□,

求尸（A豆）.

解：因?yàn)槭录嗀與B相互獨(dú)立，所以

P(AB)=P(A)P(B)

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B).........2分

由口，得口……2分

尸(A方)=P(A)P(豆)=0.2........1分

2.三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，他們譯出的概率分別為□.求能將

此密碼譯出的概率.

解:口?……5分

求□的分布律，并計(jì)算□.

解：y125

4.設(shè)隨機(jī)變量口服從參數(shù)為□的泊松分布，且已知□求□.

解：口，…….2分

E[(X-1)(X-2)]=E(X2-3X+2)2分

=D(X)+[E(X)Y-3E(X)+2=1........

所以口,得口...........1分

5.為檢杳某食用動(dòng)物含某種重金屬的水平，假設(shè)重金屬的水平服從正態(tài)分

布□均未知，現(xiàn)抽取容量為25的一個(gè)樣本，測(cè)得樣本均值為186,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為10,

求□的置信度為0?95的置信區(qū)間.

解：總體均值m的置信度為0?95的置信區(qū)間為

(X土^=。.025(〃-1))...........2分

即(186±—x2.0639)........2分

5

所求置信區(qū)間為(181.8722,190.1278)…?…1分

6.某車(chē)間用一臺(tái)包裝機(jī)包裝葡萄糖.包得的袋裝糖重量□當(dāng)機(jī)器正常時(shí)，其均值口

公斤，標(biāo)準(zhǔn)差□公斤.某日開(kāi)工后為檢驗(yàn)包裝機(jī)是否正常，隨機(jī)地抽取它所包裝的糖9

袋，稱(chēng)得平均重量為0.511公斤，問(wèn)這天包裝機(jī)工作是否正常？(取顯著水平口)

解：由題意設(shè)口......1分

拒絕域?yàn)閨景賽22°.。25............1分

由于口，口............2分

二、(共18分，每題6分)

1.設(shè)隨機(jī)變量□和口相互獨(dú)立，概率密度分別為口口

求：(1)E(2X-3F);(2)D(2X-3Y);(3)pXY.

解：(1)口.…2分

(2)D(2X-3y)=4D(A,)+9D(y)=4xi+9xi=2;…?2分

49

(3)因?yàn)榱俊鹾汀跸嗷オ?dú)立，所以口.....2分

2.已知隨機(jī)變量口，口，

求:□與□的協(xié)方差.

解：Cov(U,V)=Cov(3X+2V,X-3Y)

朱

T=3D(X)-9CoMX,y)+2CoWX,y)-6D(y)….3分

：=30(X)-IPXY<D(xj<D(yj-6D(y)

=3x25-7x0.4x5x6-6x36=-225????3分

13.設(shè)□是來(lái)自正態(tài)總體□的一個(gè)樣本，且已知隨機(jī)變量口服從自由

g度為2的□分布，

是求〃,力的值.

翁解：因?yàn)椤跚蚁嗷オ?dú)立,□.

W所以,口,□,?…2分

⑥,,且相互獨(dú)立?….2分

閶由□分布的定義，得□,

S.?所以，口............2分

E所以，□??…2分

所以，〃=乙」.…?2分

m49

三、(共18分，每題6分)

1.設(shè)總體□現(xiàn)隨機(jī)抽取容量為36的一個(gè)樣本，求樣本均值□落入(50.8,53.8)之間

的概率.

解：口，......2分

P{50.8<X<53.8}=①(53.8-52)-0(50.8-52)

=0(1.8)-<D(-1.2)=0.9641-14-0.8849....3分

=0.849.............1分

2.設(shè)隨機(jī)變量□的分布函數(shù)為口

求：(1)A,B的值；(2)口.

解：(1)由連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)的連續(xù)性，得

=

AB.一▲—_八

口解得A=B=0.5.............3分

{B=lt-A4

(2)P{X>-}=1-F(-)=1-0.5=0.5.............3分

33

3.箱子中有一號(hào)袋1個(gè)，二號(hào)袋2個(gè).一號(hào)袋中裝1個(gè)紅球,2個(gè)黃

球，二號(hào)袋中裝2個(gè)紅球,1個(gè)黃球，今從箱子中任取一袋，從中任

取一球，結(jié)果為紅球，求這個(gè)紅球是從一號(hào)袋中取得的概率.

解：設(shè)□二｛從箱子中取到i號(hào)袋｝,□

區(qū)8=｛抽出的是紅球｝

m

P(B)=P(4)P(81A)+P(A2)P(BIA2)

赧

11225

=-x—4-—x—=—

33339

p(&⑻二普坐皿=1

DIP

料￡P(guān)(Ai)P(B\Ai)

i=\

四、(8分)設(shè)隨機(jī)變量X具有密度函數(shù)f(x)=

求(1)常數(shù)4;(2)X的分布函數(shù).

亶

(1)因?yàn)樗?(x)dx=l

所以A^xdx=l得A=2

1

0,x<0,

i

(2)尸(x)=?0<x<1,

8

4

堤

黑

II蟲(chóng)P

惻

塞

五、（8分）某箱裝有100件產(chǎn)品，其中一、二.三等品分別為

60.30、10件，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一件，記

1,若抽郅等品，

求占，X2的聯(lián)合分布律.

0,沒(méi)有抽到等品.

解：設(shè)□分別表示抽到一.二、三等品,

P(Xj=0,X2=0)=P(A3)=0.1,P(X[=l,X2=0)=P(A])=0.6

P(Xx=0,X2=1)=P(A2)=03,P(X[=1,/=1)=0

...........8分（每個(gè)2分）

六、（10分）設(shè)隨機(jī)變量X和y的聯(lián)合概率密度為

15X2J,0<X<J<1,

f(x,y)=

其它

（i）求邊緣概率密度;（2）判斷隨機(jī)變量x和y是否獨(dú)立.

解：(1)口...........1分

_0<X<1,

’0,其它............2分