《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》復(fù)習(xí)資料

一、復(fù)習(xí)提綱

I、注：以下是考試的參考內(nèi)容，不作為實際考試范圍，僅作為發(fā)習(xí)參考之用,考試內(nèi)容以教學(xué)大綱和實施計劃為準；注明“了

解”的內(nèi)容一般不考e

2、會事件關(guān)系的運算，「解概率的古典定義

3、能較熟練地求解古典概率：了解概率的公理化定義

4,掌握概率的基本性質(zhì)和應(yīng)用這些性質(zhì)進行概率計算：理解條件概率的概念；掌握加法公式與乘法公式

5、能準確地選擇和運用全概率公式與貝葉斯公式解邈：掌握事件獨立性的概念及性質(zhì).

6、理解隨機變量的概念，望梆陷散怦隨機變最分布率的性質(zhì)及求法.整:報分布、二項分布、泊松分布的分布律.

7、理解分布函數(shù)的概念及性質(zhì)，理解并掌握連續(xù)型隨機變址的概率密度及性質(zhì)。

8、學(xué)握指數(shù)分布(參數(shù)之)、均勻分布、正態(tài)分布

9、會求特殊的一維的機變量函數(shù)分布的分布律或概率密度.

10、會求分布中的待定參數(shù)。會求區(qū)間的概率.

11、會求邊緣分布律、邊緣密度函數(shù).會判別隙機變量:的獨立性。

12、掌握二維連續(xù)型隨機變量未知參數(shù)的計算.，落在區(qū)域概率的計兌。

13、理解二維隨機變量的概念.理解二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)及其性質(zhì),掌握二維離散豆隨機變量的聯(lián)合分布律及其性質(zhì).

掌握二維連續(xù)型隨機變城的聯(lián)合概率密度及其性質(zhì)，并公用它們計以有關(guān)事件的概率。

14,會求二維周散型隨機變量函數(shù)的分布率.

15,掌握數(shù)學(xué)期望和方差的定義及性質(zhì)，會熟練地求防機變量及其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差.公熟練地默寫出幾種重要隨機變量的

數(shù)學(xué)期望及方差。

16、較熟練地求協(xié)方差與相關(guān)系數(shù).

17、會用獨立正態(tài)隨機變量線性組合性質(zhì)解腮，

18、理解總體、樣本、簡單隨機樣本、統(tǒng)計量及抽樣分布概念,樣本均值與樣本方差及樣本矩概念，掌握(2分布(及性質(zhì))、t分

布、F分布及其分位點概念。

19、理解正態(tài)總體樣本均值與樣本方差的抽樣分布定理：會用矩估計方法來仿計未知參數(shù)。

20、掌握極大似然估計法，無偏性與有效性的判斷方法.

21、會本單正態(tài)總體均值與方差的且信區(qū)間。

22、會求單正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗.

二、各章知識要點

第一章隨機事件與概率

I.事件的關(guān)系

2.運算規(guī)則(1)<2)

<3)(4ufl)C=(4C)u(fiC)(Atf)uC=(AuC)(8uC)(4)A\JB=ABAB=B

3.概率滿足的三條公理及性質(zhì)：

(1)0<P(A)<l(2)pg)=|

(3)對互不相容的事件，有：可以取)(可列可加性)

性質(zhì)：<4)尸@=0(5)P(A)=\-P(A)

(6)，若，則，

(7),因此，P(AB),P(A),P(B),P(AB)這四個概率只要知道三個，剩下一個就能夠求出來.

特別的若人與8互不相容，則P(AUB)=P(A)+P(?)；

若A與“獨立.則尸(AUB與P(A)+P(B).P(A)P(B)=1-P(X)P(B)：

<8)P(AuBDC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AQ-P(BC)+P(ABC)

4.古典概型：基本事件行限11等可能

(1)5.條件概率

(2)定義：若，則，

<3)條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合丁備件概率。

乘法公式：

<4)若為完備事件組，，則有

(5)全概率公式：

Bayes公式：

7.事件的獨立性：獨立(注意獨立性的應(yīng)用，求相互獨立的多個事件的和的概率)

第一章隨機變量與概率分布

底散隨機變量：取有限或可列個值，滿足(1),(2)=1

1.(3)對任意,

2.連續(xù)隨機變量：具有概率密度函數(shù)，滿足(1)；

3.(2)；(3)對任意，

4.幾個常用隨機變量

名稱與記號分布列或密度數(shù)學(xué)期望方差

P(X=1)=p,P(X=0)=q=1-p

o1分布3(1,p)Ppq

或尸(X=A)=p￡qi,k=0,l

二項式分布B(〃，p)p(x=k)=C：pkq"-k，k=0,1,2,…n,npnpq

2A

Poisson分布尸(義)P(X=I)=-e-\^=0,l,2,-.22

Ar!

a+bS-〃)2

均勻分布f(x)=---.a<x<b,

b-a212

11

指數(shù)分布E(A)f(x)=Ae-Axx>0

9I您

I(*-“)：

正態(tài)分布/V(//,(T2)fo)=R儲4a2

分布函數(shù),具有以下性質(zhì)

(1>F(-OO)=0,尸(+8)=1：(2)單調(diào)不減；(3)右連續(xù)：

,特別：

(5)對離散隨機變量，：

(6)對連續(xù)隨機變成，為連續(xù)函數(shù)，且在連續(xù)點上，

5.分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)，它表示隨機變量落入?yún)^(qū)間(-8,x］內(nèi)的概率

正態(tài)分布的概率計算以記標準正態(tài)分布的分布函數(shù)，則有

(1)：(2)；(3)若，則；

(4)以記標準正態(tài)分布的上側(cè)分位數(shù)，則

正態(tài)分布的概率密度具有如卜性質(zhì)：

1°/(刈的圖形是關(guān)于工二〃對稱的：

2°當(dāng)時，為最大值；

3°/（X）以軸為漸近線。

6.圓機變址的函數(shù)y=g（x）

隨機變量是隨機變量的函數(shù)，若的分布函數(shù)或密度函數(shù)知道，則如何求出的分布函數(shù)或

密度函數(shù)。

（1）X是離散型隨機變量

已知X的分布列為

X萬，工2,…,X”,…

P（X=Xi）pi,〃2，….P”.…

顯然，的取值只可能是，若互不相等，則的分布列如下：，

若有某些相等，則應(yīng)將對應(yīng)的相加作為的概率。

<2）連續(xù)，在的取值范圍內(nèi)亞格單倜，且有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則，若人單周，先求分布函數(shù)，再求導(dǎo)。

第三章多維隨機變量

1.二維隨機變量的基本概念

（1）二維離散型隨機變量聯(lián)合概率分布及邊緣分布

如果一雄隨機向量（X.Y）的所有可能取值為至多可列個有序?qū)Γ▁,y）時，則稱為離散型隨機

量。理解：（X=x,Y=y）三（X=xnY=y）

設(shè)=（X,Y）的所有可能取值為，且事件｛=｝的概率為pij,,稱

為=（X,Y）的分布律或稱為X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有時也用下面的概率分布表來表示：

y^???yj???P;,

??????

xtp?p>>pi>Pi,

X2PaP23???P23???pr

■*?■a

*?*???

?a??*■

XiPn??????p<?

??a*■

*?*?

?*??*?

p-jp-iP-2???P-J???1

這里Pij具有下面兩個性質(zhì):

（1）（i,j=l,2,…）；

⑵ZZPg=L

ij

對于隨機向量（X,Y）,稱其分量X（或Y）的分布為（X,Y）的關(guān)于X（或Y）的邊緣分布。上表中的最

后一列（或行）給出了X為離散型，并且其聯(lián)合分布律為

P｛（x,y）=①，為）｝=pW1,2,…）,

則x的邊緣分布為E?=P（X=xJ=Z%（"=12…）：

j

Y的邊緣分布為匕=尸（丫=1）=2=1,2,…）。

\(X,Y)共有

卜個取正概

事的點，它

fl,是：(1,

-IV,(2,

-11,(2,

0)A2,2),

(3,\1)，

(3,鼻，并

且(X,W)取

得它們、勺概

率相同，、則

(X,Y).聯(lián)

合分布及

緣分布為\

xY\

10002_

66

2]_0]_

6662

300

663

P-J1

3663

因P(X=Ly=0)=0HP(X=DP(Y=0)='x'，所以x、Y不獨立

66

(3)連續(xù)型隨機變量

f(x,y)=f,(x)f,(y)

聯(lián)合分布f邊緣分布ff(x,y)=fx(x)fT(y)

直接判斷，充耍條件：

①可分離變量

②正概率密度區(qū)間為矩形

例3.7:f(x,y)=

(4)二維正態(tài)分布獨立等價于P=0

(5)隨機變量函數(shù)的獨立性

若X與Y獨立，h,g為連續(xù)函數(shù)，則：h(X)和g(Y)獨立。

例如：若X與Y獨立，則：3X+1和5Y-2獨立。

3.簡單函數(shù)的分布(重點離散性)

①離散型：

②連續(xù)型兩個獨立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布N(//,+〃2，。；+)。

有限個相互獨立的正態(tài)分布的線性組合仍為正態(tài)分布。

2.隨機變量的獨立性

例3.17：設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布密度為

C(x+)，)，0<y<x<\,

0,其他

(1)求C：

(2)求X,Y的邊緣分布：

(3)討論X與Y的獨立性：

(4)計算P(X+YW1C

第四章隨機變量的數(shù)字特征

1.期望

⑴離散時，，：

一般情況下，求離散函數(shù)的期望的步驟：(1)求函數(shù)的分布律：(2)求期望

<2)連續(xù)時，；

￡(g(X,y))=「「'y)f(x,y)dxdy

?—00J—8

連續(xù)時，求▲的期望，就拿▲與給定隨機變量的概率密度相乘，再在整個實數(shù)軸或二維平面內(nèi)積分。

(4)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

(1)E(C)=C

(2)E(CX)=CE(X)

(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y),

E(XY)=E(X)E(Y),充分條件；X和Y獨立;

充要條件：X和Y不相關(guān)。

2.方差

(1)方差，標準差：

+x>

O(X)=公

(2)方差的性質(zhì)

(1)D(C)=0：E(C)=C

(2)D(aX)=a2D(X)；E(aX)=aE(X)

(3)D(aX+b)=a2D(X)：E(aX+b)=aE(X)+b

(4)D(X尸E(X)E2(X)

D(X+Y)=D(X)+D(Y),充分條件:X和Y獨立；

充要條件:X和Y不相關(guān)。

D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))],無條件成立。

E(X+Y)=E(X)+E(Y),無條件成立。

類似的.n個相互獨立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。

9

3.協(xié)方差

<1)Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(y-E(Y))]=E(XY)-E(X)E(Y):

<2)Cou(X,y)=Cov(y,X),Cov(aX,bY)=abCoWX,Y)：

(3)Cov(X.+X2,Y)=C9P(X,,Y)+Cov(X2,Y)；

<4)時，稱不相關(guān)，

獨立不相關(guān)，反之不成立，但正態(tài)時等價：

(5)D(X+n=ZXX)+D(Y)+2Cov(X,Y)

4.相關(guān)系數(shù)；有,

與相關(guān)系數(shù)有關(guān)的幾個重要結(jié)論

(i)若隨機變量X與Y相互獨立，則：反之不直.

(ii)若(X,Y)-N(),則X與Y相互獨立的充耍條件是，即X和Y不相關(guān)。

以下五個命題是等價的：

①夕xy=0：②cov(X,Y)=0①E(XY)=E(X)E(Y);④D(X+Y)=D(X)+D(Y)：⑤D(XT)=D(X)+D(Y).

5.階原點矩，階中心矩

數(shù)理統(tǒng)計的基本概念第一節(jié)基本概念

1.總體、個體和樣本

(1)總體與樣本

總體在數(shù)理.統(tǒng)計中，常把被考察對象的某一個(或多個)指標的全體稱為總體(或母體)；而把總體

中的每一個單元稱為樣品(或個體)。在以后的討論中，我們總是把總體看成一個具有分布的隨機變量(或

隨機向量)。

例如單正態(tài)總體X,用來表示

我們把從總體中抽取的部分樣品稱為樣本。樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量，一般用n表示。為

「使抽取的樣本很好地反映總體地信息，最常用的方法是“簡單隨機抽樣”：

(1)代表性。即每一樣品X,與總體X同分布：

(2)獨立性。即樣品抽取互相間不影響。

此時的樣本是n個相互獨立的且與總體有相同分布的隨機變量，這樣的樣木稱為簡單隨機樣本。

注總：在泛指任一次抽取的結(jié)果時，表示n個隨機變量(樣本)：在具體的一次抽取之后，表示n個具

體的數(shù)值(樣本值)。我們稱之為樣本的兩重性。

(2)樣本函數(shù)與統(tǒng)計量

設(shè)為總體的一個樣本，稱()為樣本函數(shù)，其中為一個連續(xù)函數(shù)。如果中不包含任何未知參數(shù),

則稱()為一個統(tǒng)計量。

2.統(tǒng)計量

(1)常用統(tǒng)計量

-1n

樣本均值x=-YX,..

1?_

樣本方差S，=—!—￡(七一x)2.(與概率論中的方差定義不同)

n~1i=i

樣本標準差s=j——

V〃TM

1〃

樣本k階原點矩也」之只,k=|,2,….

〃/=!

樣本k階中心矩M；=-Y(xi-x/,A:=2,3,---.

(二階中心矩S*2=J_￡(X,_又)2與概率論中的方差定義相同)

(2)統(tǒng)計量的期望和方差

——(J~

E(X)=〃,D(X)=一

n

E(S2)=a2,E(S*2)=忙

n

其中，為二階中心矩.

3、三個抽樣分布(x2.t、F分布)

(1)X，分布

設(shè)n個隨機變量相互獨立，且服從標準正態(tài)分布.，它們的平方和

/=1

我們稱隨機變量W服從自由度為n的分布，記為W?(n),所謂自由度是指獨立正態(tài)隨機變量的個數(shù),

它是隨機變量分布中的一個重要參數(shù)。

(2)t分布

設(shè)X,Y是兩個相互獨立的隨機變量，且

x~N(o,i),y~%25),

函數(shù)

我們稱隨機變量T服從自山度為n的t分布，記為T?t(n)。

(3)F分布

設(shè)，且X與Y獨立，

我們稱隨機變量F服從第一個自由度為nl,第二個自由度為n2的F分布,記為F?f(nl,n2).

正態(tài)分布，

憶a5)二一%(〃)，

4.正態(tài)總體下統(tǒng)計量的分布和性質(zhì)

注意一個定理：與獨立。

(1)正態(tài)分布設(shè)為來自正態(tài)總體的一個樣本，則樣本函數(shù)

defX—U

u--g~N(O,1).

(j/yln

(2)t-分布設(shè)為來自正態(tài)總體的一個樣本，則樣本函數(shù)

X-JLJ/小

L-----

S/Jn

其中t(nT)表示自由度為n-1的t分布。

(3)分布設(shè)為來自正態(tài)總體的一個樣本，則樣本函數(shù)

def(n-l)S22

L------2------X("I)，

cr

其中%\n-1)表示自由度為n-1的X1分布。

(4)F分布設(shè)為來自正態(tài)總體的一個樣本，而為來自正態(tài)總體的一個樣本，則樣本函數(shù)

泮~一I,4T)，

s；/盧

其中S；=一￡(.、-5；=—之(勢一寸；

-1Mn2-1

表示第一自由度為，第二自由度為的F分布。

第七章參數(shù)估計

I.矩估計：

<1)根據(jù)參數(shù)個數(shù)求總體的矩：(2)令總體的矩等于樣本的矩：(3)解方程求出矩估計

2.極大似然估計：

(1)寫出極大似然函數(shù)：(2)求對數(shù)極大似然函數(shù)<3)求導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)：(4,令導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)為0,解出極大似然估計(如無

解回到(1)直接求最大值，一般為min或max)

3.估計最的評選原則

(1)無天性:

若,則為

尢倜：(2)

有效性：兩

個無偏估計

中方差小的條件估計函數(shù)置信區(qū)間

有效：

4.參數(shù)的

區(qū)間估計

(正態(tài))

參數(shù)

CT2已知X-JU—7=]

u=-----廣[x+Ua

o72

「=斗

<T2未知□+，a(〃-l)7=l

s/yln27n

22

2("