第十五章軸對稱(復習講義)1.了解軸對稱、軸對稱圖形、線段垂直平分線、等腰三角形等相關(guān)概念的意義，體會它們之間的整體聯(lián)系。2.能用坐標表示軸對稱，會畫軸對稱圖形。3.理解并利用線段垂直平分線的性質(zhì)與判定、等腰三角形及等邊三角形的性質(zhì)與判定、含30°角的直角三角形的性質(zhì)解決問題，能運用軸對稱知識解決最短路問題。線段垂直平分線2.線段垂直平分線的判定軸軸對稱 (1)定義：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸.這時，我們也說這個圖形關(guān)于這條直線(成軸)對稱.(2)判斷一個圖形是不是軸對稱圖形，可利用軸對稱圖形的定義，將圖形對折，看是否能夠完全重合，若能夠完全重合，則這個圖形是軸對稱圖形，否則這個圖形不是軸對稱圖形.【注意】(1)對稱軸是一條直線，而不是射線或線段.(2)一個軸對稱圖形的對稱軸可以有1條，也可以有多條，還可以有無數(shù)條.(3)軸對稱圖形是對于一個圖形而言的，它表示具有一定特性(軸對稱性)的某一類圖形.把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線(成軸)對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應(yīng)點，叫做對稱點.軸對稱和軸對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系名稱關(guān)系區(qū)別意義不同兩個圖形之間的特殊位置關(guān)系一個形狀特殊的圖形圖形個數(shù)一個圖形對稱軸的位置不同可能在兩個圖形的外部，也可能經(jīng)過兩個圖形的內(nèi)部或它們的公共邊(點)一定經(jīng)過這個圖形對稱軸的只有一條聯(lián)系(1)如果把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形(2)如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形成軸對稱(1)兩個圖形成軸對稱的性質(zhì)：如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線.(2)軸對稱圖形的性質(zhì)：軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線.(3)軸對稱圖形(或關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形)的對應(yīng)線段(對折后重合的線段)相等，對應(yīng)角(對折后重合的角)相等.(4)成軸對稱的兩個圖形全等；軸對稱圖形被對稱軸分成的兩部分也全等，但全等的兩個圖形不一定是軸對稱圖形.4.軸對稱變換一個圖形與其關(guān)于直線1對稱后的圖形之間的關(guān)系(2)新圖形上的每一點都是原圖形上的某一點關(guān)于直線l的對稱點.(3)連接任意一對對應(yīng)點的線段被對稱軸垂直平分.【注意】(2)一個軸對稱圖形也可以看成是以它的一部分為基礎(chǔ)經(jīng)過軸對稱變換而得到的.幾何圖形都可以看作由點組成，對于某些圖形，我們只要畫出圖形中的一些特殊點(如線段端點)關(guān)于對稱軸的對稱點，連接這些對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形.(1)找——在原圖形上找特殊點(如線段的端點);(2)畫——畫各個特殊點關(guān)于對稱軸對稱的點；(3)連——依次連接各對稱點.6.用坐標表示軸對稱(2)點(x,y)關(guān)于y軸對稱的點的坐標為(-x,y).已知兩個點的坐標分別為Pi(x1,y?),P2(x?,y2),若xi=x2,yi+y?=0,則點Pi,P2關(guān)于x軸對稱；若xi+x?=0,yi=y2,則點P1,P?關(guān)于y軸對稱.反之也成立.(1)計算——計算對稱點的坐標；(2)描點——根據(jù)對稱點的坐標描點；(3)連接——依次連接所描各點得到成軸對稱的圖形.【知識點02】線段垂直平分線1.線段垂直平分線的定義及其性質(zhì)(1)線段垂直平分線的定義：經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.(2)性質(zhì)：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.書寫格式：如圖所示，點P在線段AB的垂直平分線上，則PA=PB.(3)判定：與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.書寫格式：如圖所示，若PA=PB,則點P在線段AB的垂直平分線上.【知識點03】等腰三角形1.等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1:等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”).性質(zhì)2:等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(簡寫成“三線合一”).(1)等腰三角形兩腰上的中線、高分別相等.(2)等腰三角形兩底角的平分線相等.(3)等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高.(4)當?shù)妊切蔚捻斀菫?0°時，此等腰三角形為等腰直角三角形，它的兩條直角邊相等，兩個銳角都是45°.2.等腰三角形的判定(1)定義法：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；(2)如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(簡寫成“等角對等邊”).數(shù)學語言：在△ABC中，∵∠B=∠C,∴AB=AC(等角對等邊).【注意】(1)“等角對等邊”不能敘述為：如果一個三角形有兩個底角相等，那么它的兩腰也相等.因為在沒有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”這些名詞，只有等腰三角形才有“底角”“腰”.由三角形有兩角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定.3.等邊三角形及其性質(zhì)等邊三角形的概念：三邊都相等的三角形是等邊三角形.等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60°【注意】(1)等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；(2)等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性質(zhì).4.等邊三角形的判定(1)定義法：三邊都相等的三角形是等邊三角形.(2)三個角都相等的三角形是等邊三角形.(3)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.5.含30°角的直角三角形的性質(zhì)一在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.【注意】(1)該性質(zhì)是含30°角的特殊直角三角形的性質(zhì)，一般的直角三角形或非直角三角形沒有這個性質(zhì)，更不能應(yīng)用.(2)這個性質(zhì)主要應(yīng)用于計算或證明線段的倍分關(guān)系.(3)該性質(zhì)的證明出自于等邊三角形，所以它與等邊三角形聯(lián)系密切.(4)在有些題目中，若給出的角是15°時，往往運用一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和將15°的角轉(zhuǎn)化后，再利用這個性質(zhì)解決問題. (1)求直線異側(cè)的兩點到直線上一點距離的和最小的問題，只要連接這兩點，所得線段與直線的交點即為所求的位置.(2)求直線同側(cè)的兩點到直線上一點距離的和最小的問題，只要找到其中一個點關(guān)于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一個點，所得線段與該直線的交點即為所求的位置.【例1】下列圖形中為軸對稱圖形的是()A.B.D.【知識點】軸對稱圖形的識別【分析】本題主要考查了軸對稱圖形的識別，根據(jù)軸對稱圖形的定義進行逐一判斷即可：如果【變式1-1】下列圖案中，不是軸對稱圖形的是()A.B.D.一條直線對折后兩部分能夠互相重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸.選項B不能找到這樣的一條直線，使圖形沿該直線對折后直線兩旁的部分能夠完全重合，所以不是軸對稱圖形.故選B.富有水墨意味的東方審美.下圖中是四個青花瓷圖案，其中不是軸對稱圖形的是()A.B.D.【分析】本題主要考查了軸對稱圖形的相關(guān)知識，掌握軸對稱圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么稱這個圖【變式1-3】王老師給全班同學留了一個特色寒假作業(yè)，畫一張有關(guān)兔子的圖畫，以下四個圖形是開學后收上來的圖畫中的一部分，其中是軸對稱圖形的是()A.B.D.【答案【答案】C【知識點】軸對稱圖形的識別【分析】本題考查了軸對稱圖形的定義，理解定義：“將圖形沿某一條直線對折，直線兩邊的圖形能完全重合的圖形是軸對稱圖形.”是解題的關(guān)鍵.【詳解】解：A、不符合軸對稱圖形定義，故此項不符合題意；B、不符合軸對稱圖形定義，故此項不符合題意；C、符合軸對稱圖形定義，故此項符合題意；D、不符合軸對稱圖形定義，故此項不符合題意；故選：C.【例2】如圖，VABC與△A'B'C'關(guān)于直線MN對稱，P為MN上任一點(P不與AA'共線),下列結(jié)論中錯誤的是()A.A.△AA'P是等腰三角形B.MN垂直平分AA'C.VABC與A'B'C的面積相等D.直線AB,A'B'的交點不一定在MN上【答案】D【知識點】根據(jù)成軸對稱圖形的特征進行判斷【分析】該題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì).根據(jù)軸對稱的性質(zhì)解答即可；【詳解】解：∵VABC與△A'B'C′關(guān)于直線MN對稱，P為MN上任意一點，∴△AA'P是等腰三角形，MN垂直平分AA',CC′,這兩個三角形的面積相等，A、B、C選項正確；直線AB,A'B'關(guān)于直線MN對稱，因此交點一定在MN上.D錯誤；【變式2-1】如圖，VABC與。A'BC'關(guān)于直線l對稱，連接AA',BB′,CC',其中BB′分別交AC,A'C'點不一定在直線l上.其中正確的是()【知識點】根據(jù)成軸對稱圖形的特征進行判斷、根據(jù)成軸對稱圖形【分析】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，熟知如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線是解題的關(guān)鍵.根據(jù)軸對稱的性質(zhì)對各結(jié)論進行逐一分析即可.∴直線l垂直平分AA',故③正確；【變式2-2】如圖是一款運輸機的平面示意圖，它是一個軸對稱圖形，直線OF是其對稱軸.下列結(jié)論不正確的是()A.BC=B'C'【答案】【答案】D【分析】本題考查軸對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)：①關(guān)于某條直等形；②如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或?qū)?yīng)線段的延長線相交，那么交點在對稱軸上.據(jù)此分析即可.【詳解】解：如圖是一個軸對稱圖形，直線OF是∴OF垂直平分BB',故此選項符合題意.【變式2-3】如圖，P是∠BAC內(nèi)部一點，P關(guān)于AB,AC的對稱點分別是點P,點P?,連結(jié)PP2分別與AB,AC交于點M,點N,連結(jié)PM,PN,下列結(jié)論：【答案】C【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)、根據(jù)成軸對稱圖形的特征進行求解、三角形的邊對等角【分析】此題考查了軸對稱的性質(zhì)，以及線段垂直平分線的性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化的思想，熟練掌握線段垂直平分線性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.由題意得∠P?AP=2∠PAB,∠P?AP=2∠PAC,從而得出∠PAP?=2∠PAB+2∠PAC=2(∠PAB+∠PAC)=2∠BAC,可判斷②,由∠PAP?=2∠BAC且∠BAC的大小沒有確定，可得出∠PAP?的大小沒有確定，可判斷①,由對稱性可得AB為線段PP的垂直平分線，AC為線段PP?的垂直平分線，從而得出MP=MP,NP=NP?,從而得出PMN的周長=PM+PN+MN=MP?+MP?+MN=PP?,可判斷③,由題意得∠AEP=∠AFP=90°,可得∠MPP?=∠MPP,∠NPP?=∠NP?P,再求解即可判斷④.【詳解】解：∵P關(guān)于AB,AC的對稱點分別是點P,點P?,∴∠P?AP?的大小沒有確定，∴PP?A不一定是等邊三角形，∵P關(guān)于AB,AC的對稱點分別是點P?,點P2,∴AB為線段PP的垂直平分線，AC為線段PP?的垂直平分線，∴△PMN的周長=PM+PN+MN=MP?+MP?+MN=PP?,如圖，設(shè)AB與PP交于點E,AC與PP?交于點F,EBNC【例3】點P(-3,6)關(guān)于y軸對稱點的坐標是()A.(3,6)B.(-2,-6)C.(2,-6)【分析】本題考查了關(guān)于y軸對稱的點的坐標，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)；關(guān)于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù).利用平面直角坐標系內(nèi)兩點關(guān)于y軸對稱時：縱坐標不變，橫坐標互為相反數(shù)，進行求解.【詳解】解：點P(-3,6)關(guān)于y軸對稱點的坐標是(3,6),【變式3-1】在平面直角坐標系中，點A(a,-6)與點B(2,b)關(guān)于y軸對稱，則ab=【知識點】坐標與圖形變化——軸對稱【分析】本題考查了關(guān)于y軸對稱的點的坐標規(guī)律，根據(jù)“關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)”求解，解題的關(guān)鍵是熟記，關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù).【詳解】解：∵點A(a,-6)與點B(2,b)關(guān)于y軸對稱，故答案為：12.【變式3-2】若點P(1,a)與Q(b,2)關(guān)于x軸對稱，則代數(shù)式a+b的值為【知識點】坐標與圖形變化——軸對稱【分析】本題考查坐標與軸對稱，根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點的橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)，求出a,b的值，進而求出代數(shù)式的值即可.【詳解】解：∵點P(1,a)與Q(b,2)關(guān)于x軸對稱，【變式3-3】如圖，在平面直角坐標系中，VABC的三個頂點都在格點上，點A的坐標為(2,4).(1)畫出VABC關(guān)于y軸對稱的△A?B?C?;(2)直接寫出點A關(guān)于x軸的對稱點A?的坐標為;(3)在x軸上找到一點P,使PB+PC的和最小(標出點P即可，不用求點P的坐標)【知識點】坐標與圖形變化——軸對稱、最短路徑問題【分析】本題考查了圖形的軸對稱變換等知識，得出變換后對應(yīng)點坐標位置及是解題關(guān)鍵.(1)根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點的坐標特點得出各對應(yīng)點坐標，順次連接即可；(2)根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點的坐標特點求解即可；(3)根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點的坐標特點得出點B關(guān)于x軸對稱的點B',連接CB′,交x軸于點P,即可得答案.【詳解】(1)解：如圖，△A?B?C?即為所求，Bx(2)解：點A(2,4)關(guān)于x軸的對稱點A?坐標為(2,-4),(3)解：如圖，點P即為所求，B題型四利用垂直平分線的性質(zhì)求解【例4】如圖，在VABC中，點E是BC邊上的一點，連接AE,BD垂直平分AE,垂足為F,交AC于點D.連接DE.(1)若VABC的周長為19,DEC的周長為7,求AB的長；【知識點】全等三角形綜合問題、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、三角形的外角的定義及三角形的外角的性質(zhì)，掌握全等三角形的性質(zhì)和判定是解本題的關(guān)鍵.(1)先證明AB=BE,AD=DE,結(jié)合VABC的周長為19,DEC的周長為7,可得AB+BE=19-7=12,【詳解】(1)解：QBD是線段AE的垂直平分線，,(1)若AB=AC=8,ADB的周長是18,求DC的長；(2)若BDC的周長為18,BC=8,AB=AC,求AE的長.(1)首先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到AD=BD,然后結(jié)合題意得到AB+AD+B(2)根據(jù)。BDC的周長為18,BC=8得到而求解即可.【詳解】(1)∵MN垂直平分AB【變式4-2】如圖，在VABC中，DM,EN分別垂直平分邊AC和邊BC,交邊AB于M、N兩點，DM與EN相交于點F.【分析】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用線段兩端點的距離相等是解題的關(guān)鍵.(1)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AM=CM,BN=CN,根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案；(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠MNF+∠NMF,進而求出∠A+∠B,結(jié)合圖形計算即可.【詳解】(1)解：DM、EN分別垂直平分AC和BC,∴AM=CM,BN=CN,∴CMN的周長=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB=3(cm),故CMN的周長為3cm;∵AM=CM,BN=CN,【變式4-3】如圖，在VABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于點D,BE平分∠ABC交AC于點E,交CD于點F,點G是線段AD上一點，且滿足∠A+∠AEG=90°,連接CG交BE于點0.【知識點】全等的性質(zhì)和HL綜合(HL)、線段垂直平分線的性質(zhì)、同位角相等兩直線平行、三角形內(nèi)角【分析】本題是四邊形的綜合題，考查了平行線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，線質(zhì)，三角形面積的計算，角平分線的性質(zhì)，正確地識別圖形是解題的關(guān)鍵.(1)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理∠AGE=180°-(∠A+∠AEG)=90°,得到EG⊥AB,根據(jù)平行線的判定定理(2)根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CE=EG,根據(jù)全等三角形的判定定理得到BC=BG;式即可得到結(jié)論.∴CD//EG;(3)解：由(2)知，CE=GE,BG=BC,即EB的長為10.【例5】在Rt△ABC中∠C=90°,AD是∠BAC的平分線，DE是線段AB的垂直平分線.【知識點】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)和判定、線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì).(1)由角平分線的意義，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，可得∠B=∠BAD=∠DAC,再由(2)由角平分線的性質(zhì)定理得DE=DC,在Rt△BDE中，由含30°角直角三角形的性質(zhì)即可證明.【詳解】(1)解：∵∠C=90°,(2)證明：在RtBDE中，∠B=30°,【變式5-1】已知：如圖，∠BAC角平分線與BC的垂直平分線DG交于點D,DE⊥AB,DFIAC,垂足分別為E、F.(2)若AB=8,AC=6,求BE的長.【分析】(1)連接CD,先由垂直平分線的性質(zhì)得出BD=CD,再由角平分線的性質(zhì)得出DE=DF,然后由HL證得Rt△BDE≌Rt△CD(2)由HL證得Rt△ADE≌RtADF,得出AE=AF,則AB-BE=AC+CF,推出BE+CF=AB-AC=2,即可得出結(jié)果.【詳解】(1)證明：連接CD,AD在Rt△BDE和Rt△CDF中，(2)若AB=6cm,AC=10cm,求AD的長.【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、全等的性質(zhì)和HL綜合(HL)(1)連接BP、CP,根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得BP=CP,根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DP=EP,然后利用“HL”證明RtBDP和RtCEP全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)的長度表示出AD、CE,然后解方程即可.【詳解】(1)證明：連接BP、CP,∵點P在BC的垂直平分線上，,DP=EP,(2)解：在RtADP和Rt△AEP中，解得AD=2cm.(3)作圖：在線段AD上求作一點P,使得PO+PE最小(保留作圖痕跡).【答案】(1)125;【答案】(1)125;(2)△AEC的面積10;(3)見解析圖.【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)、與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義得出∠BAO和∠ABO,進而利用三角形內(nèi)角和定理解答即可；(2)根據(jù)三角形外角性質(zhì)和等腰三角形的三線合一解答即可；此題考查了三角形的角平分線，三角形的高，等腰三角形的性質(zhì)和軸對稱性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點的的應(yīng)用.【詳解】(1)∵∠BAC=80°,∠C=70°,故答案為：125;(3)如圖，連接OC,交AD于點P,連接EP,F題型六利用等腰(等邊)三角形的性質(zhì)求解【答案】33【答案】33..,,【變式6-1】如圖，在VABC中，∠B=2∠C,點E為邊AC的中點，DEIAC,交BC于點D,若AB=5,【答案【答案】8【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、三角形的外角的定義及性質(zhì)根據(jù)DE垂直平分AC,得出AD=CD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠DAC=∠C,證明∠B=∠ADB,得出AB=AD=5,即可得到結(jié)論.AE∵點E為邊AC的中點，DE⊥AC,,【變式6-2】如圖，在四邊形ABCD中，?B90?,DE//AB交BC于點E,交AC于點F,和ASA(AAS)綜合(ASA或者AAS)【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練運用相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.首先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠CED=∠B=90°,再證明△ABC≌△CED,由全等三角形的性質(zhì)可得AC=DC,即ACD為等腰三角形，然后計算∠ADF的值即可.【變式6-3】如圖，VABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC至點E,使CE=CD.(2)過點D作DF垂直于BE,垂足為F,若CF=3,求VABC的周長.【知識點】等腰三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形【分析】(1)等邊三角形三線合一，得到∠DBC=30°,等邊對等角結(jié)合三角形的外角，推出(2)易得△FDC是含30度角的直角三角形，進而得到CD=2CF,中線得到AD=CD,求出AC的長，即可.【詳解】(1)證明：∵VABC是等邊三角形，BD是中線，(2)解：∵DF⊥BE,【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角，含30度角的直角三角形.熟練掌握三線合一，等邊對等角，等角對等邊，以及30度的角所對的直角邊是斜邊的一半，是解題形.熟練掌握三線合一，等邊對等角，等角對等邊，以及30度的角所對的直角邊是斜邊的一半，是解題的關(guān)鍵.題型七含30°的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用【例7】如圖，在Rt△ABC中∠C=90°,∠A=30°,線段AB的垂直平分線分別交AC、AB于點D、E、連接BD、若CD=2,則AD的長為【答案】4【答案】4【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)、含30度角的直角三角形、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)與直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得到AD=BD,進而得到∠CBD=30°,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得BD=2CD,從推出AD的長.【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,∵DE是AB的垂直平分線，故答案為：4.【變式7-1】如圖，在VABC中，∠ACB=90°,∠B=15°,DE垂直平分AB,交BC于點E,BE=6cm,則AC的值為cm.【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)、含30度角的直角三角形【分析】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得求出AC的值【詳解】解：∵DE垂直平分AB,故答案為3【答案【答案】2【知識點】等邊對等角、直角三角形的兩個銳角互余、含30度角的直角三角形、線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形求解，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.,故答案為：故答案為：2.【答案】6【分析】本題主要考查了軸對稱中的光線反射問題(最短路線問題),直角三角形的兩個銳角互余，含30度角的直角三角形，軸對稱的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三的關(guān)鍵.作A關(guān)于BC的對稱點A',連接A'B,A'P,A'D,由∠ACB根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得A'C=AC,BC是AA'的垂直平分線，進而可得A三角形，則AA'=A'B,由三線合一可得A'D⊥AB,進而利用三角形的面積公式可得A'D=BC=6,由垂直平分線的性質(zhì)可得AP=A'P,于是可得AP+DP=A'P+DP,根據(jù)垂線段最短可知A'P+DP≥A'D=6,于是可得答案.【詳解】解：如圖，作A關(guān)于BC的對稱點A',連接A'B,A'P,A'D,ADA',,D為AB的中點，∵垂線段最短，∴AP+DP的最小值是6,故答案為：6.【例8】如圖，在四邊形ABEC中，對角線AE與BC交于點D,已知∠ABC=∠AEC,∠ADC+∠ACE=180°,BD=CE.【答案】(1)見解析【答案】(1)見解析【知識點】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、全等的性質(zhì)和ASA(AAS)綜合(ASA或者AAS)、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識.(2)由△ADB≌ACE得到AE=AB=10,AD=AC=6,即可得到答案；根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠則,即可得到∠BEC的度數(shù).【詳解】(1)證明：∵∠ADC+∠ACE=180°,∠ADC+∠ADB=180°,∴ACD是等腰三角形；【變式8-1】如圖，在等腰VABC中，AB=AC=3,∠B=40°,點D在線段BC上運動(D不與B、C重合),連接AD,作∠ADE=40°,DE交線段AC于點E.(2)當DC等于多少時，△ABD≌△DCE,請說明理由；(3)在點D的運動過程中，VADE的形狀也在改變，判斷當∠BDA等于多少度時，VADE是等腰三角形.【答案】(1)35°;小(2)DC=3【知識點】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、用ASA(AAS)證明三角形全等(ASA或者AAS)、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】本題考查了等腰三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理；(1)由三角形內(nèi)角和定理得∠BAD=180°-∠B-∠BDA,∠BDA=180°-40°-∠BAD,由點D從點B向點(2)當DC=3時，由AAS可判定△ABD≌△DCE,即可求解；(3)分類討論：①當DA=DE時，②當AD=AE時，③當EA=ED時，即可求解；掌握等腰三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定，能由等腰三角形的腰不同進行分類討論是解題的關(guān)鍵.=110°;【變式8-2】(1)閱讀理解：為了進一步探究三角形中線的作用，數(shù)學興趣小組合作交流時，小曲在組內(nèi)做了如下嘗試：如圖1,AD是VABC的中線，延長AD至點E,使DE=AD,連接BE.利用全等將邊AC轉(zhuǎn)化到BE.在這個過程中小曲同學證三角形全等，用到的全等判定方法是_,另外他還得到了AC和BE的位置關(guān)系是_;(2)問題解決：如圖2,AD是VABC的中線，∠BAC=∠ACB,點Q在BC的延長線上，QC=AB,求(3)問題拓展：如圖3,VABC中，AB=AC,∠BAC=90°,點D在線段CB上，連接AD,EA⊥AD,∠ACE=∠ABD.若點F為CD中點，AF交BE于點G,求BE和AF的數(shù)量關(guān)系.圖2圖3圖1【答案】(1)SAS;AC//BE;(2)見解析；(3)BE=2AF(2)延長AD至點E,使DE=AD,同(1)可得△ACD≌△EBD,AC//BE,證明∠ABE=∠ACQ,(3)延長AF至點H,使FH=AF,由(1)可得△ADF≌△HCF,AD//CH,證明△ABD≌△ACE(AAS),【詳解】解：(1)∵AD是VABC的中線，(2)證明：如圖所示，延長AD至點E,使DE=AD,圖2同(1)可得△ACD≌△EBDABDECPB∠(2)如圖②,若點P在線段BC上，點Q在線段AB上，AC=8,求BP+BQ的值.(2)由等邊三角形的性質(zhì)易得AD=CD=4,過點D作DE//BC交AB于點E,進而得到VADE是等邊,,D是AC的中點，如圖3,過點D作DE//BC交AB于點E.,,\BP+BQ=BC-PC+AB-AQ=AB+BC-(A(1)如圖①,求證：AB=AC;(3)如圖③,在(2)的條件下，連接CD交AE于點F,若AF=2,BE=3,求DE的長.【答案】(1)見解析【知識點】含30度角的直角三角形、三線合一、等邊三角形的判定和性質(zhì)、多邊形內(nèi)角和問題【分析】(1)已知條件結(jié)合三角形內(nèi)角和定理證明∠B=∠C即可；(2)先說明VABC為等邊三角形，即∠BAC=∠ABC=∠C=60°,設(shè)∠ABD=x,則∠然后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和用x表示出∠CAD,進而表示出∠EAD,最后根據(jù)三角形內(nèi)角和即可解答；(3)如圖：作AM⊥BD,根據(jù)題意說明MD=MB,進而說明AE⊥CD,根據(jù)∠AED=60°,得到∠EDF=30°,∠EAM=30°,利用直角三角形30°的特征，設(shè)ME=y,則MD=y+3,然后根據(jù)線段的和差列方程解答即可.【詳解】(1)證明：在VABC中有∠A+∠B+∠C=180°,∴VABC是等邊三角形，在四邊形ACBD中有：∠C+∠DBC+∠D+∠DAC=360°,∵∠CAD的平分線交BD于點E,(3)如圖，作AM⊥BD,由(2)得∠AED=60°,∴MD=MB=y+3,AE=2y,DE=2EF=MD+ME=2y+3,【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和、四邊形內(nèi)角和、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，【變式9-2】如圖，在VABC中，AB=AC,D為直線BC上一動點(不與點B,C重合),在AD的右側(cè)備用圖(2)請判斷點D在何處時，AC⊥DE,并說明理由.(2)當點D在BC中點時，AC⊥DE,理由見詳解.【知識點】三角形的外角的定義及性質(zhì)、全【分析】(1)根據(jù)SAS即可證明；(2)D運動到BC中點時，AC⊥DE;利用等腰三角形的三線合一即可證明；(3)分D在線段BC上、當點D在CB的延長線上、點D在BC的延長線上，畫出四種圖形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計算即可.在△ABD和△ACE中，(2)解：若AC⊥DE,,,(3)解：由(1)可知△BAD≌△CAE,①如圖1:D在線段BC上時，若∠BAD=25°,圖1②如圖2,點D在BC的延長線上，∠ADB=25°,③如圖3,點D在CB的延長線上，此時∠BAD=25°,∠ADB=60°-25°=35°.④如圖4,∠ADB=25°.E圖4分層階梯訓練分層階梯訓練·提能力基礎(chǔ)鞏固通關(guān)測1.在平面直角坐標系中，點(-2,4)關(guān)于x軸對稱點的坐標是()A.(-2,4)B.(2,-4)C.(-2,-4)2.下列圖案為軸對稱圖形的是()A.B.D.3.如圖，在VABC中，AD為角平分線，若∠B=∠C=60°,AB=4,則CD的長度為()A.1B.√3C.2D.4【答案】C【答案】C【分析】本題考查了等邊三角形的判定及三線合一，熟練掌握該知識點是關(guān)鍵.根據(jù)等邊三角形的判定解答即可.∵AD為角平分線，AB=AC,4.如圖，在VABC中，分別以點A和點C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M,N,作A.5A.5B.11C.16D.17【答案】D【分析】本題考查尺規(guī)作垂線、線段垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)作圖痕跡可得MN垂直平分AC,進而求解三角形的周長即可.【詳解】解：由作圖得MN垂直平分AC,∴△ABD的周長為AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+5.如圖，VABC與△A'B'C'關(guān)于直線MN對稱，BB'交MN于點0,則下列結(jié)論不一定正確的是()A.AC=ACB.BO=B'OC.AA'⊥MND.AB//B'C'【答案】【答案】D【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對稱的性質(zhì)：成軸對稱的兩相等，對應(yīng)角相等，對稱軸垂直平分對應(yīng)點連接的線段.根據(jù)軸對稱的性質(zhì)逐項判斷即可得.【詳解】解：∵VABC與△A'BC′關(guān)于直線MN對稱，BB'交MN于點O,A.AC=AC,則此項正確，不符合題意；6.已知，點P(3,-1)與點Q(a+b,1-b)關(guān)于y軸對稱，則a的值為.【答案】25根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點的橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相等求出b=2,a=-5,再根據(jù)有理數(shù)的乘方運算法則計算即可.【詳解】解：∵點P(3,-1)與點Q(a+故答案為：25.7.如圖，在△ABE中，AD垂直平分BC,CF垂直平分AE,若AB=4,BD=2,則BE【答案】8【答案】8【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得CD=BD=2,AC=AB=4,CE=AC=4,由此計算即可得解，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.【詳解】解：∵AD垂直平分BC,CF垂直平分AE,AB=4,BD=2,故答案為：8.8.如圖所示，在VABC中，BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,MN//BC,MN過點0,若AB=12,AC=18,則AMN的周長是_CC【答案】30【答案】30【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用角平分線和平行線的性質(zhì)得出等腰三角形，進而將三角形的周長進行轉(zhuǎn)化.因為BO平分∠ABC,所以∠ABO=∠OBC;又因為MN//BC,所以∠MOB=∠OBC,從而可得=AM+MO+AN+NO=AM+MB+AN+NC=AB+AC,代入數(shù)值即可求解.【詳解】解：∵BO平分∠ABC,【分析】本題考查了角平分線、含30°角直角三角形的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握含30°角直角三角形的再根據(jù)含30°角直角三角形的性質(zhì)計算，即【詳解】如圖，過點E作ED⊥OA,交OA于點DC0FBEAD【答案】67【答案】67.5°或72°,【分析】由OC=AC=BC結(jié)合折疊的性質(zhì)可得∠COA=∠COA'=∠BAO,設(shè)∠COA=∠COA'=∠BAO=x°,然后利用三角形外角和等腰三角形的性質(zhì)表示出∠BCO=2x°,∠A'OB=90°-2x°,∠OBD=90°-x°,∠BDO=3x°,從而利用分類討論思想解題.本題考查等腰三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握相關(guān)性質(zhì)并關(guān)鍵.解得：x°=18°,三、解答題延長線于點F.(3)若四邊形ABCD的面積為32,AB=8,求點E到BC邊的距離.【分析】本題主要考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，三角形全等.(2)結(jié)合全等三角形的性質(zhì)可知BE是線段AF的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可證得AB=BF,(3)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)，可得S△ADE=S△FCE,AB=BF=8,SABE=SBEF,【詳解】(1)證明：∵AD||BC,又∵點E為CD的中點，∵BE是線段AF的垂直平分線，即SBEF=16,設(shè)點E到BC邊的距離為h,解得h=4,即點E到BC邊的距離為4.12.已知，在如圖所示的網(wǎng)格中建立平面直角坐標系后，VABC三個頂點的坐標分別為A(-2,4)、B(-5,2)、C(-3,1).(1)畫出(1)畫出VABC關(guān)于x軸的對稱圖形△A?B?C?;若點G(m,n)是線段AB上的一點，則點G在線段A?B?上的對應(yīng)點的坐標為_;(2)借助圖中網(wǎng)格，請只用直尺(不含刻度)在y軸上找一點P,使得PAC的周長最短.【分析】本題考查坐標與圖形變換——軸對稱，利用軸對稱求線段的最值，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性(1)先根據(jù)軸對稱的性質(zhì)找到對應(yīng)點位置，再順次連接，根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點的坐標特點可得其對稱點(2)根據(jù)軸對稱找最短路徑，在網(wǎng)格中找到A點關(guān)于y軸的對稱點Q,再連接CQ,與y軸交于P,此時AP+CP最小，則AP+CP+AC最小，即PAC的周長最小.【詳解】(1)解：如圖，△A?B?C?即為所求作的三角形；∵點∵點G(m,n)是線段AB上的一點，∴點G在線段A?B?上的對應(yīng)點的坐標為(m,-n).(2)解：如圖，點P即為所求；4BB13.【問題背景】【問題探究】(1)試說明：AE=DF;①試判斷VCDF的形狀，并說明理由；②若∠B=30°,求∠DFB的度數(shù).(2)①VCDF是等腰三角形，見解析；②105°【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和(1)求出BE=CF,證明△ABE≌△DCF(SAS)即可得出結(jié)論；(2)①等量代換求出CD=CF,可得VCDF是等腰三角形；②先求出∠C=∠B=30°,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠CFD,然后根據(jù)平角的概念計算即可.【詳解】(1)解：∵AB//CD,(2)①VCDF是等腰三角形.14.如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°,D為BC的中點，DEIAB,垂足為E,過點B作BF//AC交DE的延長線于點F,連接CF,交AD于點G.(3)連接AF,試判斷△ACF的形狀，并說明理由.【分析】(1)先證明∠CBF=90°,∠ABC=45°,進一步證明∠BDE=∠BFD,再結(jié)合等腰三角形的性(3)先證明AD=AF,結(jié)合△ACD≌△CBF,可得AD=CF,可得AF=CF,從而可得結(jié)論.【詳解】(1)證明：∵∠ACB=90°,BF//AC,(2)證明：由(1)可得∠CBF=90°,BD=BF.,,(3)解：△ACF為等腰三角形.理由：如圖，連接AF,【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判平分線的性質(zhì)，掌握以上基礎(chǔ)知識是解本題的關(guān)鍵.15.如圖，在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且AE=BD,連接CE,DE.圖1圖2(1)如圖1,若E為AB的中點，求證：CE=DE.(2)如圖2,若E不是AB的中點，過點E作EF//BC,交AC于點F.②判斷CE與DE是否相等，并說明理由.【分析】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)及全等構(gòu)造全等三角形，通過全等關(guān)系推導邊或角的等量關(guān)系.(1)利用等邊三角形ABC的性質(zhì)，得到CA=CB,∠ABC=∠ACB=60°.由E為AB中點，結(jié)合等邊三∠BDE=∠BED=30°.通過∠BDE=∠BCE,利用等角對等邊證明CE=DE.(2)①依據(jù)EF//BC和VABC是等邊三角形，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,再結(jié)合∠A=60°,根據(jù)等邊三角形判定，證得△AEF是等邊三角形.②先由VABC和△AEF是等邊三角形，得到邊和角的等量關(guān)系，推出∠DBE=∠CFE=120°,BE=CF.結(jié)合AE=BD及△AEF是等邊三角形得EF=BD.利用SAS證明△DBE≌△EFC,由全等三角形對應(yīng)邊相等，得出結(jié)論.【詳解】(1)證明：∵ABC是等邊三角形，,,,,能力提升進階練A.半坡B.北客站龍首原D.延興門【分析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念進行判斷即可.練掌握對稱點與對稱軸垂直等距是解題的關(guān)鍵.【詳解】解：選項A:原圖不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；選項C:原圖不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；選項D:原圖是軸對稱圖形，故本選項符合題意.A.-1B.0C.1D.2024【分析】本題主要考查了關(guān)于y軸對稱的點的坐標特征，熟練掌握關(guān)于y軸對稱的點的坐標特征是解題的關(guān)鍵.根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù)，求出a、b的值，再代入計算(a+b)2?24的值.【詳解】解：∵點A(a,-3)與點B(-2,b)關(guān)于y軸對稱，3.如圖，在VABC中，∠C=90°,∠A=15°,∠DBC=60°,AD=6,則BC的長為()A.1B.2C.3【分析】先根據(jù)直角三角形兩銳角互余得到∠BDC=3最后由含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可求解.故選：C.【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角定理，等腰三角形的判定等知識點，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.A.4B.3A.4B.3C.5D.√5【答案】B【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和及角平分線性質(zhì)，求出相關(guān)角的度數(shù)，再推導角之間的關(guān)系，判斷三角形的形狀，進而得出PC的長度.本題主要考查三角形內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握這些知識并靈活運用是解題的關(guān)鍵.【詳解】解：∵在△ABC中，∠ABC=48,∠ACB=84,故選：B.為BC上一點且BE=EF,連接DF,HG垂直平分DE,下列四個結(jié)論：①△DHE是等腰A.1B.2C.3D.4∴△DEB≌DEF(ASA),綜上可知正確的結(jié)論為①②③,共3個.6.如圖，在VABC,∠C=90°,∠B=30°,DE垂直平分AB,分別交BC,AB于點D,E,【答案】3【答案】3【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，本題先證明DA=DB=2,∠DAE=∠B=30°,求解∠CAD=30°,可得CD=1,從而可得答案.【詳解】解：∵DE垂直平分AB,AD=2,故答案為：3.【答案】2【答案】2【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.先證明BCD≌ECD(ASA),得到BC=CE,由等角對等邊判定AE=BE,則易求,即可解答.【詳解】解：如圖，故答案是：2.一角.如圖②,這個“三等分角儀”由兩根有槽的棒OA,OB組成，兩根棒在0點相連并可繞0轉(zhuǎn)動，點C∠EDB=∠AOB+∠DEC,從而可得x+2x=81°,最后進行計算即可解答.9.已知VABC是等腰三角形，AB=AC,點D在腰AC上，如果BD將VABC分割成兩個等腰三角形，那么∠BAC