【期末沖刺得分】：2020-2021學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊期末復(fù)習(xí)資料第十二章全等三角形知識構(gòu)建導(dǎo)圖專題歸納復(fù)習(xí)探究點一：全等形和全等三角形的概念及對應(yīng)元素【類型一】全等形的認(rèn)識2013年第十二屆全運會在遼寧舉行，下圖中的圖形是全運會的會徽，其中是全等形的是()A．(1)(2)B．(2)(3)C．(1)(3)D．(1)(4)解析：根據(jù)能夠完全重合的兩個圖形是全等形進(jìn)行判斷．由此可以判斷選項D是正確的．方法總結(jié)：判斷兩個圖形是不是全等形，可以通過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等方法，將兩個圖形疊合起來觀察，看其是否能完全重合，有時還可以借助網(wǎng)格背景來觀察比較．【類型二】全等三角形的對應(yīng)元素如圖，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出這兩個全等三角形的對應(yīng)邊；若△ADO≌△AEO，指出這兩個三角形的對應(yīng)角．解析：結(jié)合圖形進(jìn)行分析，分別寫出對應(yīng)邊與對應(yīng)角即可．解：△BOD與△COE的對應(yīng)邊為：BO與CO，OD與OE，BD與CE；△ADO與△AEO的對應(yīng)角為：∠DAO與∠EAO，∠ADO與∠AEO，∠AOD與∠AOE.方法總結(jié)：找全等三角形的對應(yīng)元素的關(guān)鍵是準(zhǔn)確分析圖形，另外記全等三角形時，對應(yīng)頂點要寫在對應(yīng)的位置上，這樣就可以比較容易地寫出對應(yīng)角和對應(yīng)邊了．探究點二：全等三角形的性質(zhì)【類型一】應(yīng)用全等三角形的性質(zhì)求三角形的角或邊如圖，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠DEF的度數(shù)和CF的長．解析：根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等求∠DEF的度數(shù)和CF的長．解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，∴∠DEF＝∠B＝50°，BC＝EF＝7，∴CF＝BC－BF＝7－4＝3.方法總結(jié)：本題主要是考查運用全等三角形的性質(zhì)求角的度數(shù)和線段的長，解決問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確識別圖形．【類型二】全等三角形的性質(zhì)與三角形內(nèi)角和的綜合運用如圖，△ABC≌△ADE，∠CAD＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠ACB的度數(shù)．解析：根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等可知∠EAB＝∠EAD＋∠CAD＋∠CAB＝2∠CAB＋10°＝120°，即∠CAB＝55°.然后在△ACB中利用三角形內(nèi)角和定理來求∠ACB的度數(shù)．解：∵△ABC≌△ADE，∴∠CAB＝∠EAD.∵∠EAB＝120°，∠CAD＝10°，∴∠EAB＝∠EAD＋∠CAD＋∠CAB＝2∠CAB＋10°＝120°，∴∠CAB＝55°.∵∠B＝∠D＝25°，∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠B＝180°－55°－25°＝100°，即∠ACB的度數(shù)是100°.方法總結(jié)：本題將三角形內(nèi)角和與全等三角形的性質(zhì)綜合考查，解答問題時要將所求的角與已知角通過全等及三角形內(nèi)角之間的關(guān)系聯(lián)系起來．探究點二：三角形全等的判定方法——“邊邊邊”【類型一】利用“SSS”判定兩個三角形全等如圖，AB＝DE，AC＝DF，點E、C在直線BF上，且BE＝CF.求證：△ABC≌△DEF.解析：已知△ABC與△DEF有兩邊對應(yīng)相等，通過BE＝CF可得BC＝EF，即可判定△ABC≌△DEF.證明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝EC＋CF，即BC＝EF.在△ABC和△DEF中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BC＝EF，,AB＝DE，,AC＝DF，))∴△ABC≌△DEF(SSS)．方法總結(jié)：判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．【類型二】“SSS”與全等三角形的性質(zhì)結(jié)合進(jìn)行證明或計算如圖所示，△ABC是一個風(fēng)箏架，AB＝AC，AD是連接點A與BC中點D的支架，求證：AD⊥BC.解析：要證AD⊥BC，根據(jù)垂直定義，需證∠1＝∠2，∠1＝∠2可由△ABD≌△ACD證得．證明：∵D是BC的中點，∴BD＝CD.在△ABD和△ACD中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,BD＝CD，,AD＝AD，))∴△ABD≌△ACD(SSS)，∴∠1＝∠2(全等三角形的對應(yīng)角相等)．∵∠1＋∠2＝180°，∴∠1＝∠2＝90°，∴AD⊥BC(垂直定義)．方法總結(jié)：將垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為證兩角相等，利用全等三角形證明兩角相等是全等三角形的間接應(yīng)用．【類型三】利用“邊邊邊”進(jìn)行尺規(guī)作圖已知：如圖，線段a、b、c.求作：△ABC，使得BC＝a，AC＝b，AB＝c.(保留作圖痕跡，不寫作法)解析：首先畫AB＝c，再以B為圓心，a為半徑畫弧，以A為圓心，b為半徑畫弧，兩弧交于一點C，連接BC，AC，即可得到△ABC.解：如圖所示，△ABC就是所求的三角形．方法總結(jié)：關(guān)鍵是掌握基本作圖的方法，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．【類型四】利用“SSS”解決探究性問題如圖，AD＝CB，E、F是AC上兩動點，且有DE＝BF.(1)若E、F運動至圖①所示的位置，且有AF＝CE，求證：△ADE≌△CBF.(2)若E、F運動至圖②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF還成立嗎？為什么？(3)若E、F不重合，AD和CB平行嗎？說明理由．解析：(1)因為AF＝CE，可推出AE＝CF，所以可利用SSS來證明三角形全等；(2)同樣利用三邊來證明三角形全等；(3)因為全等，所以對應(yīng)角相等，可推出AD∥CB.解：(1)∵AF＝CE，∴AF＋EF＝CE＋EF，∴AE＝CF.在△ADE和△CBF中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝CB，,DE＝BF，,AE＝CF，))∴△ADE≌△CBF.(2)成立．∵AF＝CE，∴AF－EF＝CE－EF，∴AE＝CF.在△ADE和△CBF中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝CB，,DE＝BF，,AE＝CF，))∴△ADE≌△CBF.(3)平行．∵△ADE≌△CBF，∴∠A＝∠C，∴AD∥BC.方法總結(jié)：解決本題要明確無論E、F如何運動，總有兩個三角形全等，這個在圖形中要分清．探究點三：應(yīng)用“邊角邊”判定兩三角形全等【類型一】利用“SAS”判定三角形全等如圖，A、D、F、B在同一直線上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC.求證：△AEF≌△BCD.解析：由AE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠A＝∠B，由AD＝BF可得AF＝BD，又AE＝BC，根據(jù)SAS，即可證得△AEF≌△BCD.證明：∵AE∥BC，∴∠A＝∠B.∵AD＝BF，∴AF＝BD.在△AEF和△BCD中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝BC，,∠A＝∠B，,AF＝BD，))∴△AEF≌△BCD(SAS)．方法總結(jié)：判定兩個三角形全等時，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．【類型二】“邊邊角”不能證明三角形全等下列條件中，不能證明△ABC≌△DEF的是()A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EFB．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DFC．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DFD．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF解析：要判斷能不能使△ABC≌△DEF，應(yīng)看所給出的條件是不是兩邊和這兩邊的夾角，只有選項C的條件不符合，故選C.方法總結(jié)：判斷三角形全等時，注意兩邊與其中一邊的對角相等的兩個三角形不一定全等．解題時要根據(jù)已知條件的位置來考慮，只具備SSA時是不能判定三角形全等的．探究點四：全等三角形判定與性質(zhì)的綜合運用【類型一】利用全等三角形進(jìn)行證明或計算已知：如圖，BC∥EF，BC＝BE，AB＝FB，∠1＝∠2，若∠1＝45°，求∠C的度數(shù)．解析：利用已知條件易證∠ABC＝∠FBE，再根據(jù)全等三角形的判定方法可證明△ABC≌△FBE，由全等三角形的性質(zhì)即可得到∠C＝∠BEF.再根據(jù)平行，可得出∠BEF的度數(shù)，從而可知∠C的度數(shù)．解：∵∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠FBE.在△ABC和△FBE中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BC＝BE，,∠ABC＝∠FBE，,AB＝FB，))∴△ABC≌△FBE(SAS)，∴∠C＝∠BEF.又∵BC∥EF，∴∠C＝∠BEF＝∠1＝45°.方法總結(jié)：全等三角形是證明線段和角相等的重要工具．【類型二】全等三角形與其他圖形的綜合如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG.求證：(1)AE＝CG；(2)AE⊥CG.解析：(1)因為已知條件中有兩個正方形，所以AD＝CD，DE＝DG，它們的夾角都是∠ADG加上直角，可得夾角相等，所以△ADE和△CDG全等；(2)再利用互余關(guān)系可以證明AE⊥CG.證明：(1)∵四邊形ABCD、DEFG都是正方形，∴AD＝CD，GD＝ED.∵∠CDG＝90°＋∠ADG，∠ADE＝90°＋∠ADG，∴∠CDG＝∠ADE.在△ADE和△CDG中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝CD，,∠ADE＝∠CDG，,DE＝GD，))∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG；(2)設(shè)AE與DG相交于M，AE與CG相交于N，在△GMN和△DME中，由(1)得∠CGD＝∠AED，又∵∠GMN＝∠DME，∠DEM＋∠DME＝90°，∴∠CGD＋∠GMN＝90°，∴∠GNM＝90°，∴AE⊥CG.探究點五：應(yīng)用“角邊角”、“角角邊”判定三角形全等【類型一】應(yīng)用“ASA”判定兩個三角形全等如圖，AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，求證：△ADF≌△CBE.解析：根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠A＝∠C，∠DFE＝∠BEC，再根據(jù)等式的性質(zhì)可得AF＝CE，然后利用ASA可證明△ADF≌△CBE.證明：∵AD∥BC，BE∥DF，∴∠A＝∠C，∠DFE＝∠BEC.∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.在△ADF和△CBE中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠C，,AF＝CE，,∠DFA＝∠BEC，))∴△ADF≌△CBE(ASA)．方法總結(jié)：在“ASA”中，包含“邊”和“角”兩種元素，是兩角夾一邊而不是兩角及一角的對邊對應(yīng)相等，應(yīng)用時要注意區(qū)分；在“ASA”中，“邊”必須是“兩角的夾邊”．【類型二】應(yīng)用“AAS”判定兩個三角形全等如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，BE⊥AC于E.AD與BE交于F，若BF＝AC，求證：△ADC≌△BDF.解析：先證明∠ADC＝∠BDF，∠DAC＝∠DBF，再由BF＝AC，根據(jù)AAS即可得出兩三角形全等．證明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠BDF＝∠BEA＝90°.∵∠AFE＝∠BFD，∠DAC＋∠AEF＋∠AFE＝180°，∠BDF＋∠BFD＋∠DBF＝180°，∴∠DAC＝∠DBF.在△ADC和△BDF中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DAC＝∠DBF，,∠ADC＝∠BDF，,AC＝BF，))∴△ADC≌△BDF(AAS)．方法總結(jié)：在“AAS”中，“邊”是“其中一個角的對邊”．【類型三】靈活選用不同的方法證明三角形全等如圖，已知AB＝AE，∠BAD＝∠CAE，要使△ABC≌△AED，還需添加一個條件，這個條件可以是______________．解析：由∠BAD＝∠CAE得到∠BAC＝∠EAD，加上AB＝AE，所以當(dāng)添加∠C＝∠D時，根據(jù)“AAS”可判斷△ABC≌△AED；當(dāng)添加∠B＝∠E時，根據(jù)“ASA”可判斷△ABC≌△AED；當(dāng)添加AC＝AD時，根據(jù)“SAS”可判斷△ABC≌△AED.方法總結(jié)：判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS.注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．探究點六：運用全等三角形解決有關(guān)問題已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E.求證：(1)△BDA≌△AEC；(2)DE＝BD＋CE.解析：(1)由垂直的關(guān)系可以得到一對直角相等，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由AB＝AC，利用AAS即可得證；(2)由△BDA≌△AEC，可得BD＝AE，AD＝EC，根據(jù)DE＝DA＋AE等量代換即可得證．證明：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.∵AB⊥AC，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE.在△BDA和△AEC中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADB＝∠CEA＝90°，,∠ABD＝∠CAE，,AB＝AC，))∴△BDA≌△AEC(AAS)；(2)∵△BDA≌△AEC，∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.方法總結(jié)：利用全等三角形可以解決線段之間的關(guān)系，比如線段的相等關(guān)系、和差關(guān)系等，解決問題的關(guān)鍵是運用全等三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行線段之間的轉(zhuǎn)化．探究點七：應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定三角形全等如圖，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在線段BC上，DE與AF交于點O，且AB＝CD，BE＝CF.求證：Rt△ABF≌Rt△DCE.解析：由題意可得△ABF與△DCE都為直角三角形，由BE＝CF可得BF＝CE，然后運用“HL”即可判定Rt△ABF與Rt△DCE全等．證明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF與△DCE都為直角三角形．在Rt△ABF和Rt△DCE中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BF＝CE，,AB＝CD，))∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)．方法總結(jié)：利用“HL”判定三角形全等，首先要判定這兩個三角形是直角三角形，然后找出對應(yīng)的斜邊和直角邊相等即可．探究點八：“斜邊、直角邊”判定三角形全等的運用【類型一】利用“HL”判定線段相等如圖，已知AD，AF分別是兩個鈍角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求證：BC＝BE.解析：根據(jù)“HL”證Rt△ADC≌Rt△AFE，得CD＝EF，再根據(jù)“HL”證Rt△ABD≌Rt△ABF，得BD＝BF，最后證明BC＝BE.證明：∵AD，AF分別是兩個鈍角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.方法總結(jié)：證明線段相等可通過證明三角形全等解決，作為“HL”公理就是直角三角形獨有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時應(yīng)該抓住“直角”這個隱含的已知條件．【類型二】利用“HL”判定角相等或線段平行如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求證：∠1＝∠2.解析：要證角相等，可先證明全等．即證Rt△ABC≌Rt△ADC，進(jìn)而得出角相等．證明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B＝∠D＝90°，∴△ABC與△ACD為直角三角形．在Rt△ABC和Rt△ADC中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,AC＝AC，))∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，∴∠1＝∠2.方法總結(jié)：證明角相等可通過證明三角形全等解決．【類型三】利用“HL”解決動點問題如圖，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一條線段PQ＝AB，P、Q兩點分別在AC上和過A點且垂直于AC的射線AQ上運動，問P點運動到AC上什么位置時△ABC才能和△APQ全等？解析：本題要分情況討論：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此時AP＝BC＝5cm，可據(jù)此求出P點的位置．(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此時AP＝AC，P、C重合．解：根據(jù)三角形全等的判定方法HL可知：(1)當(dāng)P運動到AP＝BC時，∵∠C＝∠QAP＝90°.在Rt△ABC與Rt△QPA中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AP＝BC，,PQ＝AB，))∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，∴AP＝BC＝5cm；(2)當(dāng)P運動到與C點重合時，AP＝AC.在Rt△ABC與Rt△QPA中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AP＝AC，,PQ＝AB，))∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，∴AP＝AC＝10cm，∴當(dāng)AP＝5cm或10cm時，△ABC才能和△APQ全等．方法總結(jié)：判定三角形全等的關(guān)鍵是找對應(yīng)邊和對應(yīng)角，由于本題沒有說明全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角，因此要分類討論，以免漏解．【類型四】綜合運用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等如圖，CD⊥AB于D點，BE⊥AC于E點，BE，CD交于O點，且AO平分∠BAC.求證：OB＝OC.解析：已知BE⊥AC，CD⊥AB可推出∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°，由AO平分∠BAC可知∠1＝∠2，然后根據(jù)AAS證得△AOD≌△AOE，根據(jù)ASA證得△BOD≌△COE，即可證得OB＝OC.證明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°.∵AO平分∠BAC，∴∠1＝∠2.在△AOD和△AOE中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADC＝∠AEB，,∠1＝∠2，,OA＝OA，))∴△AOD≌△AOE(AAS)．∴OD＝OE.在△BOD和△COE中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BDC＝∠CEB，,OD＝OE，,∠BOD＝∠COE，))∴△BOD≌△COE(ASA)．∴OB＝OC.方法總結(jié)：判定直角三角形全等的方法除“HL”外，還有：SSS、SAS、ASA、AAS.探究點九：角平分線的作法如圖，AB∥CD，以點A為圓心，小于AC長為半徑作圓弧，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點，再分別以E、F為圓心，大于eq\f(1,2)EF的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP，交CD于點M.若∠ACD＝120°，求∠MAB的度數(shù)．解析：根據(jù)AB∥CD，∠ACD＝120°，得出∠CAB＝60°，再根據(jù)AM是∠CAB的平分線，即可得出∠MAB的度數(shù)．解：∵AB∥CD，∴∠ACD＋∠CAB＝180°，又∵∠ACD＝120°，∴∠CAB＝60°，由作法知，AM是∠CAB的平分線，∴∠MAB＝eq\f(1,2)∠CAB＝30°.方法總結(jié)：通過本題要掌握角平分線的作圖步驟，根據(jù)作圖明確AM是∠BAC的角平分線是解題的關(guān)鍵．探究點十：角平分線的性質(zhì)【類型一】利用角平分線的性質(zhì)證明線段相等如圖：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD＝DF.求證：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.解析：(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得點D到AB的距離等于點D到AC的距離，即CD＝DE.再根據(jù)Rt△CDF≌Rt△EDB，得CF＝EB；(2)利用角平分線的性質(zhì)證明△ADC和△ADE全等得到AC＝AE，然后通過線段之間的相互轉(zhuǎn)化進(jìn)行證明．證明：(1)∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DF＝BD，,DC＝DE，))∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)．∴CF＝EB；(2)∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE.在△ADC與△ADE中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CD＝DE，,AD＝AD，))∴△ADC≌△ADE(HL)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.方法總結(jié)：角平分線的性質(zhì)是判定線段相等的一個重要依據(jù)，在運用時一定要注意是兩條“垂線段”相等．【類型二】角平分線的性質(zhì)與三角形面積的綜合運用如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC的長是()A．6B．5C．4D．3解析：過點D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×4×2＋eq\f(1,2)AC×2＝7，解得AC＝3.故選D.方法總結(jié)：利用角平分線的性質(zhì)作輔助線構(gòu)造三角形的高，再利用三角形面積公式求出線段的長度是常用的方法．【類型三】角平分線的性質(zhì)與全等三角形綜合如圖所示，D是△ABC外角∠ACG的平分線上的一點．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分別為E，F(xiàn).求證：CE＝CF.解析：由角平分線的性質(zhì)可得DE＝DF，再利用“HL”證明Rt△CDE和Rt△CDF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可．證明：∵CD是∠ACG的平分線，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CD＝CD，,DE＝DF，))∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF.方法總結(jié)：全等三角形的判定離不開邊，而角平分線的性質(zhì)是判定線段相等的主要依據(jù)，可作為判定三角形全等的條件．探究點十一：角平分線的判定定理【類型一】角平分線的判定如圖，BE＝CF，DE⊥AB的延長線于點E，DF⊥AC于點F，且DB＝DC，求證：AD是∠BAC的平分線．解析：先判定Rt△BDE和Rt△CDF全等，得出DE＝DF，再由角平分線的判定可知AD是∠BAC的平分線．證明：∵DE⊥AB的延長線于點E，DF⊥AC于點F，∴∠BED＝∠CFD，∴△BDE與△CDF是直角三角形．在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BE＝CF，,BD＝CD，))∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE＝DF，∴AD是∠BAC的平分線．方法總結(jié)：證明一條射線是角平分線的方法有兩種：一是利用三角形全等證明兩角相等；二是角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角平分線上．【類型二】角平分線性質(zhì)和判定的綜合如圖所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，下面給出四個結(jié)論，①AD平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的點到B、C兩點的距離相等；④到AE、AF距離相等的點，到DE、DF的距離也相等．其中正確的結(jié)論有()A．1個B．2個C．3個D．4個解析：由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC可得DE＝DF，由此易得△ADE≌△ADF，故∠ADE＝∠ADF，即①AD平分∠EDF正確；②AE＝AF正確；角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，故③正確；∴④到AE、AF距離相等的點，到DE、DF的距離也相等正確；①②③④都正確．故選D.方法總結(jié)：運用角平分線的性質(zhì)或判定時，可以省去證明三角形全等的過程，可以直接得到線段或角相等．【類型三】添加輔助線解決角平分線的問題如圖，已知：△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分線交于點D.求證：AD是∠BAC的平分線．解析：分別過點D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分別為E、F、G，然后利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等可知DE＝DG，再利用到角兩邊距離相等的點在角平分線上證明．證明：分別過D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分別為E、F、G，∵BD平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，∴DE＝DF.同理DG＝DF，∴DE＝DG，∴點D在∠EAG的平分線上，∴AD是∠BAC的平分線．方法總結(jié)：在遇到角平分線的問題時，往往過角平分線上的一點作角兩邊的垂線段，利用角平分線的判定或性質(zhì)解決問題．探究點十二：三角形的內(nèi)角平分線【類型一】利用角平分線的判定求角的度數(shù)在△ABC中，點O是△ABC內(nèi)一點，且點O到△ABC三邊的距離相等．若∠A＝40°，則∠BOC的度數(shù)為()A．110°B．120°C．130°D．140°解析：由已知，O到三角形三邊的距離相等，所以O(shè)是內(nèi)心，即三條角平分線的交點，AO，BO，CO都是角平分線，所以有∠CBO＝∠ABO＝eq\f(1,2)∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝eq\f(1,2)∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∠OBC＋∠OCB＝70°，∠BOC＝180°－70°＝110°，故選A.方法總結(jié)：由已知，O到三角形三邊的距離相等，得O是內(nèi)心，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求出∠BOC的度數(shù)．【類型二】三角形內(nèi)角平分線的應(yīng)用已知：如圖，直線l1，l2，l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個塔臺，若要求它到三條公路的距離都相等，試問：(1)可選擇的地點有幾處？(2)你能畫出塔臺的位置嗎？解析：(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出符合條件的點有4處．(2)作出相交組成的角的平分線，平分線的交點就是所求的點．解：(1)可選擇的地點有4處，如圖：P1、P2、P3、P4，共4處．(2)能，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)的作三條直線相交的角的平分線，平分線的交點就是所求的點．方法總結(jié)：三角形內(nèi)角平分線的交點到三角形三邊的距離相等，反過來，到三角形三邊距離相等的點，即為三角形內(nèi)角平分線的交點，這一結(jié)論在以后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到．中考聚焦訓(xùn)練1.(2018·廣西梧州中考)如圖,已知BG是∠ABC的平分線,DE⊥AB于點E,DF⊥BC于點F,DE=6,則DF的長度是()A.2 B.3 C.4 D.6∵BG是∠ABC的平分線,DE⊥AB,DF⊥BC,∴DE=DF=6.故選D.2.(2018·四川成都中考)如圖,已知∠ABC=∠DCB,添加以下條件,不能判定△ABC≌△DCB的是()A.∠A=∠D B.∠ACB=∠DBC已知∠ABC=∠DCB,BC=CB,根據(jù)全等三角形的判定,可知添加夾這組對應(yīng)角的另一邊對應(yīng)相等或添加另一組角對應(yīng)相等均可判定△ABC≌△DCB.添加A,B,D中條件,均能判定△ABC≌△DCB.添加C中條件,不能判定△ABC≌△DCB.故選C.3.(2017·山東棗莊中考)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以頂點A為圓心,適當(dāng)長為半徑畫弧,分別交AC,AB于點M,N,再分別以點M,N為圓心,大于MN的長為半徑畫弧,兩弧交于點P,作射線AP交邊BC于點D,若CD=4,AB=15,則△ABD的面積是().A.15 B.30 C.45 D.60由題意得AP是∠BAC