數(shù)學(xué)試卷評(píng)分細(xì)則

題號(hào)1234567891011

答案BDCBABACABCACABD

1．【答案】B

【詳解】因?yàn)锳={x|log3(x-2)<1}={x|2<x<5}，B={x|0<x≤3}，

所以AB={x|2<x≤3}，故選：B.

2．【答案】D

【詳解】因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2），所以z＝2+2i．則其共軛復(fù)數(shù)z=2-2i．那

么分子分母同時(shí)乘以2-2i進(jìn)行化簡(jiǎn)：1所以復(fù)數(shù)的虛部為-1，故選D．

3．【答案】C

【詳解】S8-S5>S5-S2a6+a7+a8>a3+a4+a53a7>3a4a7>a4a7-a4=3d>0，

所以“d>0”是“S8-S5>S5-S2”的充要條件．故選C

4．【答案】B

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y＝f（x）是偶函數(shù)，而y=sinx為奇函數(shù)，所以g=a為奇函數(shù).

所以g．即a所以2a

所以a=1，故選B．

5．【答案】A

【詳解】由asinB=·bcosA，根據(jù)正弦定理得，sinAsinB=·、sinBcosA，在ΔABC中，sinB>0，則

sinA=cosA，即tanA=，又A∈(0,π)，則A由余弦定理得

6．【答案】B

【詳解】由題可知，圓M的圓心坐標(biāo)為(4,0)，半徑為1，設(shè)橢圓C的上焦點(diǎn)為F(0,2)，下焦點(diǎn)為E(0,-2)，

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則|PF|-|PQ|=2a-|PE|-|PQ|=6-(|PE|+|PQ|)，

故要求PF-PQ的最大值，即求PQ+PE的最小值，

而|PQ|≥|PM|-1，故

|PE|+|PQ|≥|PE|+|PM|-1≥|ME|-1=2-1

所以|PF|-|PQ|≤6-(2·、i5-1)=7-2·、，故選：B.

7．【答案】A

【詳解】因?yàn)锳,F,D三點(diǎn)共線，所以設(shè)CF=λCA+(1-λ)CD=λCA+(1-λ)×CB

又B,F,E三點(diǎn)共線，所以CF=μCE+(1-μ)CB=CA+(1-μ)CB

故所以CF=CA+CB，

則在CB上的投影向量的模為

|CF.CB|1|(2CA+CB).CB|1(|6)16

××2×

==+|CB|≥·|CB|=

|CB|4|CB|4|(|CB|,4|CB|2

當(dāng)且僅當(dāng)|CB，即|CB|=時(shí)等號(hào)成立，故選：A.

8．【答案】C

【詳解】法一：如圖，因?yàn)锳BC-A1B1C1為正三棱柱，所以平面α與平面

ABC所成的銳二面角的平面角為上FDC=30O則,CF=，DF=2，

因?yàn)锽C=6，所以BF，設(shè)ΔBDF外接圓半徑為r，因?yàn)?/p>

上FDB=150O，所以由正弦定理得2r→r又易知

2

AD丄平面BDF，且AD=3，所以設(shè)三棱錐A-BDF外接球的半徑為R，則R=r

所以R故三棱錐A-BDF外接球的表面積為S=4兀R2=183兀，故選C.

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法二：以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD為x軸，DB為y軸，D點(diǎn)引平面ABD的垂線為z軸建立空間直角坐

標(biāo)系-設(shè)三棱錐-

，A(33,0,0),B(0,3,0),D(0,0,0),F(0,3,),ABDF

的外接球的球心為O(x,y,z),則OA=OB=OD=0F,得

x，所以設(shè)外接球半徑為R,則

R=OD,球的表面積為S=4兀R2=183兀，故選C.

9．【答案】ABC

【詳解】對(duì)于A，設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,2)，

若P(ξ<-1)=P(ξ>9)，則曲線關(guān)于x=4對(duì)稱，則μ=4，故A正確；

對(duì)于B，因?yàn)閄~B所以E所以E(2X+1)=2E(X)+1=5，故B正確；

對(duì)于C，從小到大排列為12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，由于10×0.7=7，

故第7和第8個(gè)數(shù)的平均數(shù)為第70百分位數(shù)，

即所以第70百分位數(shù)是23.5，故C正確；

對(duì)于D：甲、乙、丙、丁4個(gè)人到3個(gè)國(guó)家做學(xué)術(shù)交流，每人只去一個(gè)國(guó)家，每個(gè)國(guó)家都需要有人去，

23

則不同的安排方法有C4A3=6×6=36種，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：ABC.

10．【答案】AC

【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)閒（b）＝f（b+3），且f（x）在（b，b+3）上有最小值無(wú)最大值，所以函數(shù)f（x）

的圖象關(guān)于直線x＝b+對(duì)稱，A正確．

〔

f(b)=cos(wb+φ)=

3)

選項(xiàng)B：由已知可得，且|(bb+在同一個(gè)減區(qū)間內(nèi)所以

，k∈Z，兩式相減得→w所以f(x)的最小正周期為

k兀

第3頁(yè)共12頁(yè)

選項(xiàng)C：當(dāng)b＝0時(shí)，由B知k∈Z，

所以f=coscos由2kZ，

「97

解得k-≤x≤k+,k∈Z，所以f(x)的單調(diào)減區(qū)間為|k-,k+|,k∈Z，

L2」

而所以C正確．

選項(xiàng)D：f=cos在一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，2026=450×+1，所

以f(x)在[1，2026)內(nèi)有450×2=900個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)R，

所以f(x)在(0，1)上有0個(gè)或1個(gè)零點(diǎn)，f(x)在(0，2026)上有900個(gè)或901個(gè)零點(diǎn).D錯(cuò)誤．

11．【答案】ABD

【詳解】因?yàn)閚，易知當(dāng)，且時(shí)mnn+1

an=2,n∈Nm<nm,n∈N2+2<2.

而rst．

ar+as+at=2+2+2(0≤r<s<t)

對(duì)于選項(xiàng)：依次列舉較小的的值，012，013，

Aar+as+atb1=2+2+2=7b2=2+2+2=11

023，123，所以，正確．

b3=2+2+2=13b4=2+2+2=14b4=14A

對(duì)于選項(xiàng)：把進(jìn)行組合分析，從中選個(gè)指數(shù)，共有

Bar+as+at(0≤r<s<t){0,1,2,,n-1}3

種選法，當(dāng)時(shí)3，所以019，故正確；

Cn=9C9=84b85=2+2+2=515B

對(duì)于選項(xiàng)：67，從rst中找落在，內(nèi)的項(xiàng)

Ca6=2=64,a7=2=1282+2+2(0≤r<s<t)(64128).

當(dāng)r=0,t=6時(shí)，s=1,2,3,4,5共5種情況；

當(dāng)r=1,t=6時(shí)，s=2,3,4,5共4種情況；

當(dāng)r=2,t=6時(shí)，s=3,4,5共3種情況；

當(dāng)r=3,t=6時(shí)，s=4,5共2種情況；

當(dāng)r=4,t=6時(shí)，s=5共1種情況；

所以種情況，故錯(cuò)誤；

c6=5+4+3+2+1=15C

第4頁(yè)共12頁(yè)

crstnn+1

對(duì)于D選項(xiàng)：n表示從2+2+2(0≤r<s<t)中找落在(2,2)內(nèi)的項(xiàng)數(shù).

當(dāng)r=0,t=n時(shí)，s=1,2,3,，n-1共n-1種情況；

當(dāng)r=1,t=n時(shí)，s=2,3,，n-1共n-2種情況；

……

當(dāng)r=n-2,t=n時(shí)，s=n-1共1種情況；

所以cn=1+2++n≥2，故

111「(1)(11)(11)7(1)2

所以S=+++=21-+-+-=21-=2-，故D正確.

n|L(|(|(|||(

c2c3cn2,23,n-1n,」n,n

12．【答案】

【詳解】因?yàn)镻(A)=2P(A)，而P(A)+P(A)=1，所以P(A)=，又A、B相互獨(dú)立，所以

P(AB)=P(A)P(B)，即=×P(B)→P(B)=

13．【答案】J2

【詳解】因?yàn)锳B=AF1，

所以BF2=AB-AF2=AF1-AF2=2a，

由雙曲線的定義可得BF1-BF2=BF1-2a=2a，

所以BF1=4a=2BF2，

ΔBF1F2中，余弦定理得

222222

|BF|+|BF|-|FF|4a+16a-4c322

2112，解得，所以、i

cos上F2BF1===c=2ae=2

2|BF2||BF1|2×2a×4a4

())

14．【答案】(-∞,0),+∞；g(x)=ex1-x，x∈(-∞,0)(1,+∞)（第一空2分，第二空3分，

|(,,

表達(dá)式正確，未寫(xiě)明定義域也給分）

【詳解】由已知'存在先負(fù)后正的變號(hào)零點(diǎn)，由x2求導(dǎo)得：'x，

fm(x)fm(x)=e-mxfm(x)=e-x

下面在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=ex與y=x的圖象，

顯然m≠0，當(dāng)時(shí)m<0，如右圖所示，

第5頁(yè)共12頁(yè)

x

函數(shù)y=e與yx的圖象有一個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)可設(shè)x0，

當(dāng)時(shí)，x，則x2在單調(diào)遞減，

x<x0f=ex<0fm=emx(—∞,x0)

當(dāng)時(shí)，x，則x2在單調(diào)遞增，

x>x0f=ex>0fm=emx(x0,+∞)

x2

此時(shí)函數(shù)fm(x)=e—mx在x0處取到極小值，且x0<0；

當(dāng)m>0時(shí)，設(shè)函數(shù)y=ex在點(diǎn)x=t處的切線y—et=et(x—t)過(guò)原點(diǎn)得：—et=et(—t)→t=1，

即過(guò)原點(diǎn)的直線y=ex與曲線y=ex相切，且切點(diǎn)為(1,e).

當(dāng)e時(shí)，可知f=exx≥0，此時(shí)函數(shù)

x2

fm=emx單調(diào)遞增，無(wú)極小值點(diǎn)；

則當(dāng)>e→m>時(shí)，函數(shù)y=ex與y=x的圖象有兩個(gè)

交點(diǎn)橫坐標(biāo)可設(shè)x1，x0，且x1<x0，如右圖所示

當(dāng)時(shí)，x，則x2在單調(diào)遞增，

x<x1f=ex>0fm=emx(—∞,x1)

當(dāng)時(shí)，x，則x2在單調(diào)遞減，

x1<x<x0f=ex<0fm=emx(x1,x0)

當(dāng)時(shí)，x，則x2在單調(diào)遞增，

x>x0f=ex>0fm=emx(x0,+∞)

x2

此時(shí)fm=emx函數(shù)在x0處取到極小值，且x0>1，

綜上時(shí)，函數(shù)簇Ω中的每一個(gè)函數(shù)都存在極小值點(diǎn)x0，且為充要條件，

此時(shí)xx

f=ex0=0→e

由所有的點(diǎn)構(gòu)成的曲線滿足：x

(x0,fm(x0))y=g(x)g=fm=emx

xx02()x0

又ex0→m可得g(x0)=e—.x0=1—x0e，且x0<0或x0>1，

|(,

)

所以函數(shù)g(x)的表達(dá)式為g(x)=ex(|1—x，x∈(—∞,0)(1,+∞).

(,

故答案為=ex(1,+∞)

（第一空3分，第二空2分）

15．【詳解】（1）零假設(shè)H0：“奧數(shù)迷”與性別無(wú)關(guān).………………1分

第6頁(yè)共12頁(yè)

根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算得分

Xx0.1………………3

2

根據(jù)小概率α=0.1的X獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分的證據(jù)推斷H0不成立，因此可以認(rèn)為H0成立，即認(rèn)

為“奧數(shù)迷”與性別無(wú)關(guān).

故沒(méi)有99%的把握認(rèn)為是否為“奧數(shù)迷”與性別有關(guān).………………6分

（2）根據(jù)分層抽樣，抽取的男生人數(shù)為2人，女生人數(shù)為1人，………………7分

記“恰有兩人闖關(guān)成功”為事件A，“沒(méi)有女生闖關(guān)成功”為事件B，

則P(A………9分

P(AB………………11分

由條件概率的公式得P

故在恰有兩人闖關(guān)成功的條件下，沒(méi)有女生闖關(guān)成功的概率為.………………13分

kk

16．【詳解】（1）由題意得，(x-3k)(x-2)=0→x1=3k,x2=2，由a2k-1≤a2k(k=1,2,3,)，…2分

則當(dāng)k=1時(shí)，x1=3,x2=2→a1=2；當(dāng)k=2時(shí)，x1=6,x2=4→a3=4；

當(dāng)k=3時(shí)，x1=9,x2=8→a5=8；當(dāng)k=4時(shí)，x1=12,x2=16→a7=12；………………4分

nn

當(dāng)k=n(n≥4)時(shí)，x1=3n,x2=2，令f(n)=x2-x1=2-3n，

設(shè)g(x)=2x-3x，由g,(x)=2xln2-3≥g,(4)=16ln2-3>0，故g(x)單調(diào)遞增，

故f(n)=g(n)≥g(4)=3>0，則x2>x1，∴a2n-1=3n(n≥4)；………………6分

（2）由（1）知c1=[lg2]=0,c2=[lg4]=0,c3=[lg8]=0，n≥4時(shí)，cn=[lg(3n)]

當(dāng)12≤3n<100時(shí)，即4≤n≤33時(shí)，cn=1，共有30項(xiàng)；

當(dāng)100<3n<1000時(shí)，即34≤n≤333時(shí)，cn=2，共有300項(xiàng)；

當(dāng)1000<3n<10000時(shí)，即334≤n≤3333時(shí)，cn=3，共有3000項(xiàng)；……………10分

因?yàn)?025=3+30+300+1692，

所以T2025=0×3+1×30+2×300+3×1692=5706.………………15分

第7頁(yè)共12頁(yè)

17．【詳解】（1）證明：∵ΔACD為正三角形，M為棱CD的中點(diǎn)，∴AM丄CD，又AB丄CD，AB,AMC

面ABM，且ABAM=A，故CD丄面ABM，又BMC面ABM，所以DC丄BM.……4分

（2）由（1）知上AMB為二面角B-DC-A的的平面角

∵AB丄BC，AB丄CD，BC,CDC面BCD，且BCCD=C，∴AB丄面BCD，又BMC面

BCD，故AB丄BM，又∵DC=2AB=2，ΔACD為正三角形，∴AB=1,AM=

所以

sin上AMB………………8分

（）方法：因?yàn)槊?，所以為直線與平面所成角，即

31AB丄BCD上ATBATBCDθ1=上ATB.

因?yàn)锳BC面ABC，所以面ABC丄面BCD，且面ABC面BCD=BC，故作TE丄BC于E，

連接，則面，所以為直線與平面所成角，即

AETE丄ABC上TAEATABCθ2=上TAE.

[]

設(shè)上TAB=α,其中tanα==BT∈0,，且α為銳角，

則ATBT=tanα,故sinθ1=cosα

在ΔBCD中，易知BC=BD=,CD=2，所以

所以TEtanα,故sinsinα

所以sinθ1+sinθ2=cossinsin

故當(dāng)時(shí)，sinθ1+sinθ2取得最大值………………15分

方法2：過(guò)B作BM垂線，建立如圖空間直角坐標(biāo)系

則A(0,0,1)，B(0,0,0)，C(1,,0)，設(shè)T(0,t,0)(0≤t≤)

所以()

BA=(0,0,1)，BC=(1,·、,0)，AT=0,t,-1

設(shè)面ABC的法向量為n=(x,y,z)，

第8頁(yè)共12頁(yè)

由，令y=—1，則

y=0

n=(,—1,0)………………10分

所以sinθ2=|cos

取面BCD的法向量m=(0,0,1)，則sinθ1=|cos

所以sinθ1+sin………………12分

[]

令s=t+,s∈+，則

所以當(dāng)，即時(shí)，的最大值為分

s=t=sinθ1+sinθ2.………………15

18．【詳解】易知直線l的斜率存在，設(shè)l:y=kx+4，A(x1,y1),B(x2,y2)

（1）當(dāng)直線l的斜率為1時(shí)，l:y=x+4

聯(lián)立消去y得x2—2px—8p=0，Δ>0恒成立，

x+x=2p,xx=—8p

1212………………1分

所以|AB|=v1+1|x—x|=·、i2.·(x+x)2—4xx=2.4p2+32p=4v10

121212…………3分

化簡(jiǎn)得p2+8p—20=0，所以p=2或p=—10（舍）

所以求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2

Γx=4y………………4分

（）()由已知，，所以

2ⅰF(0,1)D(—2,—4)FA=(x1,y1—1),FB=(x2,y2—1),DF=(2,5)

FA.DFFB.DF2x+5(y—1)2x+5(y—1)

因?yàn)橹本€FD經(jīng)過(guò)△FAB的內(nèi)心，所以=，即11=22

|FA||DF||FB||DF|y1+1y2+1

2x+5(y+1)—102x+5(y+1)—102x—102x—10

→11=22，所以1=2………………7分

y1+1y2+1y1+1y2+1

第9頁(yè)共12頁(yè)

又y1=kx1+4,y2=kx2+4代入上式得去分母整理得(x1—x2)(k+1)=0，

而x1≠x2，所以k=—1，即直線l的方程為y=—x+4.（用其他方法求出兩條直線未舍去一條扣2

分）………………9分

(ⅱ)假設(shè)存在D(x0,—4)滿足FD經(jīng)過(guò)△FAB的內(nèi)心，則x0,5)

所以

又y1=kx1+4,y2=kx2+4代入上式得

而x1≠x2，所以x0=2k，所以D(2k,—4).………………13分

聯(lián)立2，所以

→x—4kx—16=0x1+x2=4k,x1x2=—16

2

拋物線Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為x=4y，所以y點(diǎn)A處的切線為l1:y—y

2

而x1=4y1，故l1:x1x=2(y1+y)，同理點(diǎn)B處的切線為l2:x2x=2(y2+y)

'

設(shè)l1與l2交點(diǎn)為D，由即D'(2k,—4).

所以D,D'重合，即存在滿足條件的D對(duì)任意直線l都成立.………………17分

（其他方法酌情給分）

19．【詳解】（1）設(shè)直線l與曲線y=f(x)相切于點(diǎn)(t,f(t))

因?yàn)閒'l:y=c，所以f'(t)==0→t=0或t=2，

而f=0,f所以切線方程為y=0或y=

所以c=0或………………3分

（2）證明：f'由f'(x)>0得0<x<2；由f'(x)<0得x<0或x>2，

所以f(x)在(—∞,0),(2,+∞)單調(diào)遞減，在(0，2)單調(diào)遞增.

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當(dāng)時(shí)，f(x當(dāng)x