第3節(jié)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式[課程標(biāo)準(zhǔn)要求]1.經(jīng)歷推導(dǎo)兩角差的余弦公式的過程,知道兩角差的余弦公式的意義.2.能由兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.3.掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,并會簡單應(yīng)用.積累·必備知識01回顧教材,夯實四基1.兩角和與差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α-β):

;

(2)公式C(α+β):

;

(3)公式S(α-β):

;

(4)公式S(α+β):

;

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ(5)公式T(α-β):tan(α-β)=

;(6)公式T(α+β):tan(α+β)=

.2.輔助角公式1.兩角和與差的公式的常用變形(1)sinαsinβ+cos(α+β)=cosαcosβ.(2)cosαsinβ+sin(α-β)=sinαcosβ.(3)tanα±tanβ=tan(α±β)(1?tanαtanβ).2.輔助角公式的常用變形1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”).(1)對于任意實數(shù)α,β,cos(α-β)=cosα-cosβ都不成立.(

)(2)對任意α,β∈R,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ都成立.(

)×√×(4)存在α,β∈R,使tan(α+β)=tanα+tanβ成立.(

)√(5)公式asinx+bcosx=sin(x+)中

的取值與a,b的值無關(guān).(

)×2.(必修第一冊P220練習(xí)T3改編)sin24°cos36°+cos24°sin36°的值為(

)√解析:sin24°cos36°+cos24°sin36°=sin(24°+36°)=sin60°=.故選C.3.已知-sinx+cosx=Asin(x-β),其中A>0,β∈(0,2π),則β等于(

)√4.若tanα=,tan(α+β)=,則tanβ=

.

02提升·關(guān)鍵能力類分考點,落實四翼考點一三角函數(shù)公式的直接應(yīng)用√(2)(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α+β)+cos(α+β)=2cos(α+)sinβ,則(

)A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1√解析:(2)由題意得sinαcosβ+sinβcosα+cosαcosβ-sinαsinβ=(cosα-sinα)·sinβ,整理,得sinαcosβ-sinβcosα+cosαcosβ+sinαsinβ=0,即sin(α-β)+cos(α-β)=0,所以tan(α-β)=-1.故選C.直接利用兩角和與差公式化簡求值的策略(1)首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征和符號變化規(guī)律.例如兩角和與差的余弦公式可簡記為:“同名相乘,符號反”.(2)注意與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用.(3)注意配方法、因式分解、整體代換思想的應(yīng)用.[針對訓(xùn)練](1)cos(70°+α)sin(170°-α)-sin(70°+α)·cos(10°+α)等于(

)√解析:(1)原式=cos(70°+α)sin(170°-α)+sin(70°+α)·cos(170°-α)=sin(170°-α+70°+α)=sin240°=-sin60°=-.故選B.(2)(2024·海南?？谀M)若tanαtanβ=2,則的值為(

)√考點二三角函數(shù)公式的逆用和變形角度一公式活用√解析:(1)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=,①cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=,②①-②可得2sinαsinβ=-,即sinαsinβ=-.故選D.(2)若α+β=,則tanαtanβ-tanα-tanβ的值為

.

三角函數(shù)公式活用技巧(1)熟記和差倍角公式的結(jié)構(gòu)特征及符號規(guī)律,分析所求值式子與公式的異同,必要時對其進行轉(zhuǎn)化、變形、常數(shù)替換等,創(chuàng)造條件逆用公式.(2)tanαtanβ,tanα+tanβ(或tanα-tanβ),tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一.角度二輔助角公式√[針對訓(xùn)練]√(1)(角度一)(2024·廣西梧州模擬)等于(

)√考點三角的變換問題√√(1)三角函數(shù)求值中變角的原則①當(dāng)“已知角”有兩個時,“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式.②當(dāng)“已知角”有一個時,此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系,再應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”.(2)常用的拆角、配角技巧[針對訓(xùn)練]√(2)(2024·山東青島質(zhì)檢)已知tan(α+β)=,tan(α-β)=,則tan(π-2α)等于(

)