第4節(jié)空間直線、平面的垂直[課程標準要求]1.從定義和基本事實出發(fā),借助長方體,通過直觀感知,了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的關系,歸納出有關垂直的性質(zhì)定理和判定定理,并加以證明.2.能用已獲得的結(jié)論證明空間基本圖形位置關系的簡單命題.積累·必備知識01回顧教材,夯實四基1.直線與平面垂直(1)定義一般地,如果直線l與平面α內(nèi)的

直線都垂直,則直線l與平面α互相垂直,記作l⊥α,直線l叫做平面α的垂線,平面α叫做直線l的垂面.任意一條定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條

直線垂直,那么該直線與此平面垂直?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線

.?a∥b相交(2)判定定理與性質(zhì)定理平行2.直線和平面所成的角(1)定義平面的一條斜線和

所成的角,叫做這條直線和這個平面所成的角.若一條直線垂直于平面,它們所成的角是

,若一條直線和平面平行,或在平面內(nèi),它們所成的角是

的角.(2)范圍:[0,].它在平面上的射影直角0°3.平面與平面垂直(1)二面角的有關概念①二面角:從一條直線出發(fā)的

所組成的圖形叫做二面角;②二面角的平面角:在二面角的棱上任取一點,以該點為垂足,在兩個半平面內(nèi)分別作

的兩條射線,這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角.兩個半平面垂直于棱二面角的平面角的大小與頂點在棱上的位置無關.一般地,兩個平面相交,如果它們所成的二面角是

,就說這兩個平面互相垂直.(3)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理直二面角定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面過另一個平面的

,那么這兩個平面垂直?α⊥β性質(zhì)定理兩個平面垂直,如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線,那么這條直線與另一個平面垂直?l⊥α(2)平面和平面垂直的定義垂線1.三種垂直關系的轉(zhuǎn)化線線垂直

線面垂直

面面垂直2.直線與平面垂直的常用結(jié)論(1)若一條直線垂直于一個平面,則這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任意直線.(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面,則另一條也垂直于這個平面.(3)一條直線垂直于兩平行平面中的一個,則這條直線與另一個平面也垂直.(4)兩個相交平面同時垂直于第三個平面,它們的交線也垂直于第三個平面.3.三棱錐P-ABC中,PA=PB=PC?P在底面ABC上的射影為△ABC的外心O,PA⊥BC,PB⊥AC?P在底面ABC上的射影為△ABC的垂心H,P到棱AB,BC,CA的距離相等?P在底面ABC上的射影為△ABC的內(nèi)心I.1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”).(1)直線l與平面α內(nèi)的兩條直線都垂直,則l⊥α.(

)(2)若一條直線與一個平面內(nèi)的某條直線不垂直,那么這條直線一定不與這個平面垂直.(

)(3)直線與平面所成角為α,則0°<α≤90°.(

)(4)若α⊥β,a⊥β,則a∥α.(

)×√××2.若三條直線OA,OB,OC兩兩垂直,則直線OA垂直于(

)A.平面OAB B.平面OAC C.平面OBC D.平面ABC解析:因為OA⊥OB,OA⊥OC,OB∩OC=O,OB,OC?平面OBC,所以OA⊥平面OBC.故選C.√3.下列命題中錯誤的是(

)A.如果平面α⊥平面β,那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β,那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β√解析:對于D,若平面α⊥平面β,則平面α內(nèi)的直線可能不垂直于平面β,即與平面β的關系還可以是斜交、平行或在平面β內(nèi),其他選項均是正確的.故選D.4.如圖,PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面,C為圓上異于A,B的任意一點,則下列關系不正確的是(

)A.PA⊥BC B.BC⊥平面PACC.AC⊥PB D.PC⊥BC解析:因為PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面ABC,BC?平面ABC,所以PA⊥BC,故A正確;因為C為圓上異于A,B的任意一點,所以BC⊥AC,因為PA⊥BC,PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,故B正確;√因為AC⊥BC,若AC⊥PB,又BC∩PB=B,則AC⊥平面PBC,則AC⊥PC,與AC⊥PA矛盾,故AC與PB不垂直,故C錯誤;因為BC⊥平面PAC,PC?平面PAC,所以PC⊥BC,故D正確.故選C.02提升·關鍵能力類分考點,落實四翼考點一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)[例1](2024·四川綿陽模擬)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,PD=AD,E是PB的中點,F是DC上的點,且DF=AB,PH為△PAD中邊AD上的高.求證:(1)PH⊥平面ABCD;證明:(1)因為AB⊥平面PAD,PH?平面PAD,所以PH⊥AB.因為PH為△PAD中邊AD上的高,所以PH⊥AD.因為AB∩AD=A,AB?平面ABCD,AD?平面ABCD,所以PH⊥平面ABCD.(2)EF⊥平面PAB.證明:(2)如圖,取PA的中點M,連接MD,ME.因為E是PB的中點,所以ME=AB,ME∥AB.又因為DF=AB,DF∥AB,所以ME=DF,ME∥DF,所以四邊形MEFD是平行四邊形,所以EF∥MD.因為PD=AD,M是PA的中點,所以MD⊥PA.因為AB⊥平面PAD,DM?平面PAD,所以MD⊥AB.因為PA∩AB=A,PA?平面PAB,AB?平面PAB,所以MD⊥平面PAB,所以EF⊥平面PAB.(1)證明線面垂直的常用方法及關鍵①證明直線和平面垂直的常用方法:a.判定定理;b.垂直于平面的傳遞性(a∥b,a⊥α?b⊥α);c.面面平行的性質(zhì)(a⊥α,α∥β?a⊥β);d.面面垂直的性質(zhì)(α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l?a⊥β)②證明線面垂直的關鍵是證線線垂直,而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).(2)線面垂直性質(zhì)的應用①垂直面內(nèi)的所有線(證線線垂直);②過垂線作垂面(證明面面垂直).[針對訓練](2021·全國甲卷)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1B1B為正方形,AB=BC=2,E,F分別為AC和CC1的中點,BF⊥A1B1.(1)求三棱錐F-EBC的體積;(1)解:如圖,取BC的中點為M,連接EM,由已知可得EM∥AB,AB=BC=2,CF=1,EM=AB=1,AB∥A1B1,由BF⊥A1B1得EM⊥BF,又EM⊥CF,BF∩CF=F,所以EM⊥平面BCF,(2)已知D為棱A1B1上的點,證明:BF⊥DE.(2)證明:連接A1E,B1M,由(1)知EM∥A1B1,所以ED在平面EMB1A1內(nèi).在正方形CC1B1B中,由于F,M分別是CC1,BC的中點,所以由平面幾何知識可得BF⊥B1M,又BF⊥A1B1,B1M∩A1B1=B1,所以BF⊥平面EMB1A1,又DE?平面EMB1A1,所以BF⊥DE.[例2]如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,底面ABCD為菱形,PA=AB=a,PB=a,E為CD的中點,F為PC的中點.(1)求證:PA⊥平面ABCD;考點二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)證明:(1)因為PA=AB=a,PB=a,所以PA2+AB2=PB2,所以PA⊥AB.因為平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,所以PA⊥平面ABCD.(2)若∠ABC=60°,求證:平面PAB⊥平面PAE;證明:(2)因為底面ABCD是菱形且∠ABC=60°,所以△ACD為正三角形,又E為CD的中點,所以AE⊥CD,因為AB∥CD,所以AE⊥AB.因為PA⊥平面ABCD,AE?平面ABCD,所以AE⊥PA.因為PA∩AB=A,所以AE⊥平面PAB,又AE?平面PAE,所以平面PAB⊥平面PAE.(3)證明:平面BFD⊥平面ABCD.證明:(3)設AC∩BD=O,連接FO(圖略),因為F為PC的中點,則FO∥PA.因為PA⊥平面ABCD,所以FO⊥平面ABCD,又FO?平面BFD,故平面BFD⊥平面ABCD.(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定義:一般地,兩個平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直.②面面垂直的判定定理(l⊥α,l?β?α⊥β)(2)面面垂直性質(zhì)的應用①面面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù),運用時要注意“平面內(nèi)的直線”.②若兩個相交平面同時垂直于第三個平面,則它們的交線也垂直于第三個平面.[針對訓練]在矩形ABCD中,AB=2AD=4,E是AB的中點,沿DE將△ADE折起,得到如圖所示的四棱錐P-BCDE.(1)若平面PDE⊥平面BCDE,求四棱錐P-BCDE的體積;(1)解:如圖所示,取DE的中點M,連接PM,由題意知,PD=PE,所以PM⊥DE.又平面PDE⊥平面BCDE,平面PDE∩平面BCDE=DE,PM?平面PDE,所以PM⊥平面BCDE,即PM為四棱錐P-BCDE的高.(2)若PB=PC,求證:平面PDE⊥平面BCDE.(2)證明:取BC的中點N,連接PN,MN,則BC⊥MN,因為PB=PC,所以BC⊥PN,因為MN∩PN=N,MN,PN?平面PMN,所以BC⊥平面PMN,因為PM?平面PMN,所以BC⊥PM,由(1)知,PM⊥DE,又BC,DE?平面BCDE,且BC與DE是相交的,所以PM⊥平面BCDE,因為PM?平面PDE,所以平面PDE⊥平面BCDE.[例3](2024·河北石家莊模擬)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,M為棱AC的中點,AB=BC,AC=2,AA1=.(1)求證:B1C∥平面A1BM;考點三平行、垂直關系的綜合應用(1)證明:連接AB1與A1B交于點O,連接OM,在△B1AC中,M,O分別為AC,AB1的中點,所以OM∥B1C,又OM?平面A1BM,B1C?平面A1BM,所以B1C∥平面A1BM.(2)求證:AC1⊥平面A1BM;(2)證明:因為AA1⊥底面ABC,BM?平面ABC,所以AA1⊥BM.又M為棱AC的中點,AB=BC,所以BM⊥AC.因為AA1∩AC=A,AA1,AC?平面ACC1A1,所以BM⊥平面ACC1A1,又AC1?平面ACC1A1,所以BM⊥AC1.因為AC=2,所以AM=1.又AA1=,在Rt△ACC1和Rt△A1AM中,tan∠AC1C=tan∠A1MA=,所以∠AC1C=∠A1MA,即∠AC1C+∠C1AC=∠A1MA+∠C1AC=90°,所以A1M⊥AC1,又BM∩A1M=M,BM,A1M?平面A1BM,所以AC1⊥平面A1BM.(3)在棱BB1上是否存在點N,使得平面AC1N⊥平面ACC1A1?如果存在,求此時的值;如果不存在,請說明理由.平面AC1N⊥平面AA1C1C.證明如下:設AC1的中點為D,連接DM,DN,因為D,M分別為AC1,AC的中點,又N為BB1的中點,所以DM∥BN且DM=BN,所以四邊形BNDM為平行四邊形,故BM∥DN,由(2)知BM⊥平面ACC1A1,所以DN⊥平面ACC1A1,又DN?平面AC1N,所以平面AC1N⊥平面ACC1A1.(1)三種垂直的綜合問題,一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.(2)對于線面關系中的存在性問題,首先假設存在,然后在該假設條件下,利用線面關系的相關定理、性質(zhì)進行推理論證.[針對訓練](2024·黑龍江哈爾濱期末)如圖1,在平行四邊形ABCD中,AC⊥BC,AC=BC=1,現(xiàn)將△ADC沿AC折起,得到三棱錐D′-ABC(如圖2),且平面AD′C⊥平面ABC,點E為棱D′C的中點.(1)求證:AE⊥平面D′BC;(1)證明:在?ABCD中,可得AD=BC=AC,則AD′=AC,因為E為側(cè)棱D′C的中點,所以AE⊥CD′,因為AC⊥BC,平面AD′C⊥平面ABC,平面AD′C∩平面ABC=AC,BC?平面ABC,所以BC⊥平面AD′C,因為AE?平面AD′C,所以AE⊥BC,因為BC∩CD′=C,BC,CD′?平面D′BC,所以AE⊥平面D′BC.(2)在∠ACB的角平分線上是否存在點F,使得D′F∥平面ABE?若存在,求D′F的長;若不存在,請說明理由.(2)解:取AB的中點O,連接CO并延長至點F,使CO=OF,連接AF,D′F,BF,OE,因為BC=AC,所以射線CO是∠ACB的角平分線.又因為點E是CD′的中點,所以OE∥D′F,因為OE?平面ABE,D′F?平面ABE,所以D′F∥平面ABE,因為AB,FC互相平分,故四邊形ACBF為平行四邊形,則BC∥AF,因為BC⊥平面AD′C,AD′?平面AD′C,所以AD′⊥BC,所以AF⊥AD′,又因為AF=BC=1,AD′=AD=BC=1,故D′F=.利用幾何法求空間線線角、線面角、二面角時要注意“作角、證明、計算”是一個完整的過程,缺一不可.1.幾何法求線面角線面角是斜線與平面所成的角,首先作出面的垂線,得出斜線在面內(nèi)的射影,從而得出斜線與平面所成的角,轉(zhuǎn)化為直角三角形求解.微點提能9幾何法求線面角與二面角2.幾何法求二面角作二面角的平面角的常用方法有:(1)定義法:根據(jù)平面角的概念直接作,如二面角的棱是兩個等腰三角形的公共底邊,就可以取棱的中點;(2)垂面法:過二面角棱上一點作棱的垂面,則垂面與二面角的兩個半平面的交線所成的角就是二面角的平面角或其補角;(3)垂線法:過二面角的一個半平面內(nèi)一點A作另一個半平面所在平面的垂線,得到垂足B,再從垂足B向二面角的棱作垂線,垂足為C,這樣二面角的棱就垂直于這兩個垂線所確定的平面ABC,連接AC,則AC也與二面角的棱垂直,∠ACB就是二面角的平面角或其補角,這樣就把問題歸結(jié)為解一個直角三角形,這是求解二面角最基本、最重要的方法.[典例1]如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,△PCD為等邊三角形,平面PAC⊥平面PCD,PA⊥CD,CD=2,AD=3.(1)求證:PA⊥平面PCD;(1)證明:取棱PC的中點N,連接DN,由題意可知,DN⊥PC,又因為平面PAC⊥平面PCD,平面PAC∩平面PCD=PC,所以DN⊥平面PAC,又PA?平面PAC,故DN⊥PA,又PA⊥CD,CD∩DN=D,CD,DN?平面PCD,則PA⊥平面PCD.類型一直線與平面所成的角(2)求直線AD與平面PAC所成角的正弦值.(2)解:連接AN,由(1)可知,DN⊥平面PAC,則∠DAN為直線AD與平面PAC所成的角,因為△PCD為等邊三角形,CD=2且N為PC的中點,求直線與平面所成的角的一般步驟(1)尋找過斜線上一點與平面垂直的直線.(2)連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影,斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角.(3)把該角歸結(jié)在某個三角形中,通過解三角形,求出該角.[拓展演練]如圖所示,在直角梯形BCEF中,∠CBF=∠BCE=90°,A,D分別是BF,CE上的點,且AD∥BC,AB=ED=2BC=2AF=2,將四邊形ADEF沿AD折起,連接BE,BF,CE,AC.(1)證明:AC∥平面BEF;(1)證明:取ED的中點H,連接HA,HC,HF,如圖.由題意可知AH∥EF,且四邊形BCHF為平行四邊形,則HC∥FB,可得AH∥平面EFB,HC∥平面EFB,又AH∩HC=H,所以平面EFB∥平面AHC,又AC?平面AHC,所以AC∥平面EFB.(2)若EC=,求直線BF與平面EBC所成角的正弦值.(2)解:在平面DEC內(nèi)作HM⊥EC于M,如圖.由(1)得BF∥HC.又因為在翻折過程中,始終有AD⊥ED,AD⊥DC,又ED∩DC=D,所以AD⊥平面EDC,又HM?平面EDC,所以AD⊥HM,又AD∥BC,所以BC⊥HM,又EC∩BC=C,所以HM⊥平面EBC,從而HC在平面EBC內(nèi)的射影為MC,因此∠ECH為HC與平面EBC所成的角,[典例2]在四棱錐P-ABCD中,∠ABC=90°,∠BCA=∠CDA=30°,AB=1,AD=4,PA⊥平面ABCD,E,F分別為PD,PC的中點.(1)求證:平面PAC⊥平面AEF;(1)證明:因為∠ABC=90°,∠BCA=∠CDA=30°,AB=1,AD=4,所以AC=2,在△ACD中,由余弦定理可得DC=,所以AC2+DC2=AD2,所以CD⊥