第3節(jié)圓的方程[課程標準要求]1.理解確定圓的幾何要素,在平面直角坐標系中,掌握圓的標準方程與一般方程.2.能根據(jù)圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實際問題.積累·必備知識01回顧教材,夯實四基1.圓的方程(1)圓的定義:平面上到

的距離等于

的點的集合叫做圓,定點稱為圓心,定長稱為圓的半徑.(2)圓的標準方程:我們把方程(x-a)2+(y-b)2=r2稱為圓心為

,半徑為

的圓的標準方程.當a=b=0時,方程為x2+y2=r2,表示以原點O為圓心,r為半徑的圓.定點定長(a,b)r(3)圓的一般方程:對于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.①當D2+E2-4F>0時,該方程表示以

為圓心,

為半徑的圓,該方程叫做圓的一般方程;②當D2+E2-4F=0時,該方程表示點

;③當D2+E2-4F<0時,該方程不表示任何圖形.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓,則2.點與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系d與r的大小關(guān)系點P的坐標滿足條件點在圓外d>r

點在圓上

(x0-a)2+(y0-b)2=r2點在圓內(nèi)

(x0-a)2+(y0-b)2<r2(x0-a)2+(y0-b)2>r2d=rd<r1.圓的“直徑式”方程:以A(x1,y1),B(x2,y2)為直徑端點的圓的方程為(x-x1)·(x-x2)+(y-y1)·(y-y2)=0.2.圓心在過切點且與切線垂直的直線上.3.圓心在任一弦的垂直平分線上.1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”).(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.(

)(2)方程(x+a)2+(y+b)2=r2(r∈R)表示圓心為(-a,-b),半徑為r的圓.(

)(3)若點M(x0,y0)在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0外,則+Dx0+Ey0+F>0.(

)(4)方程x2+y2-4x-2y+5=0表示圓心為(2,1)的圓.(

)×√√×2.已知圓的標準方程是(x-3)2+(y+2)2=16,下列各點中在圓內(nèi)的是(

)A.(2,2) B.(1,3)C.(-1,-2) D.(0,-1)√解析:A中(2-3)2+(2+2)2=17>16,在圓外;B中(1-3)2+(3+2)2=29>16,在圓外;C中(-1-3)2+(-2+2)2=16,在圓上;D中(0-3)2+(-1+2)2=10<16,在圓內(nèi).故選D.3.圓x2+y2+2x-4y-6=0的圓心和半徑分別是(

)A.(-1,-2),11 B.(-1,2),11√解析:先化為標準方程可得(x+1)2+(y-2)2=11,故圓心為(-1,2),半徑為.故選D.4.與圓(x-1)2+y2=4同圓心且經(jīng)過點P(-2,4)的圓的標準方程為(

)A.(x-1)2+y2=17 B.(x+1)2+y2=25C.(x+1)2+y2=17 D.(x-1)2+y2=25√解析:由圓(x-1)2+y2=4的方程可知圓心為(1,0),設(shè)所求圓的標準方程為(x-1)2+y2=r2(r>0),點P(-2,4)代入得(-2-1)2+42=r2,解得r=5,所以圓的標準方程為(x-1)2+y2=25.故選D.5.圓心在y軸上,半徑長為1,且過點(1,2)的圓的一般方程是

.x2+y2-4y+3=0解析:設(shè)圓心坐標為(0,b),則(0-1)2+(b-2)2=12,解得b=2.所以圓心為(0,2),所以圓的方程為x2+(y-2)2=1.即x2+y2-4y+3=0.02提升·關(guān)鍵能力類分考點,落實四翼考點一圓的方程[例1](1)(2022·全國乙卷)過四點(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點的一個圓的方程為

.

(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或解析:(1)①若圓過(0,0),(4,0),(-1,1)三點,設(shè)過這三點的圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),分別將三點的坐標代入,易知D2+E2-4F>0,所以過這三點的圓的方程為x2+y2-4x-6y=0,即(x-2)2+(y-3)2=13.②若圓過(0,0),(4,0),(4,2)三點,法一設(shè)過這三點的圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),易得D2+E2-4F>0,所以過這三點的圓的方程為x2+y2-4x-2y=0,即(x-2)2+(y-1)2=5.法二在平面直角坐標系中作出這三個點(圖略),顯然由這三個點的連線組成的三角形為直角三角形,該直角三角形的外接圓的圓心為點(0,0)和點(4,2)所連線段的中點,即(2,1),直徑2R等于點(0,0)和③若圓過(0,0),(-1,1),(4,2)三點,設(shè)過這三點的圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),分別將三點的坐標代入,④若圓過(4,0),(-1,1),(4,2)三點,設(shè)過這三點的圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),分別將三點的坐標代入,(2)(2022·全國甲卷)設(shè)點M在直線2x+y-1=0上,點(3,0)和(0,1)均在☉M上,則☉M的方程為

.(x-1)2+(y+1)2=5解析:(2)法一設(shè)☉M的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,所以☉M的方程為(x-1)2+(y+1)2=5.易得D2+E2-4F>0,所以☉M的方程為x2+y2-2x+2y-3=0,即(x-1)2+(y+1)2=5.求圓的方程的兩種方法(1)幾何法:根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心坐標和半徑,進而寫出方程.(2)待定系數(shù)法:①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān),則設(shè)圓的標準方程,求出a,b,r的值.②若已知條件中涉及圓上的點的坐標,常選擇圓的一般方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于D,E,F的方程組,進而求出D,E,F的值.[針對訓(xùn)練](1)經(jīng)過坐標原點,且圓心坐標為(-1,1)的圓的一般方程是(

)A.x2+y2-2x-2y=0B.x2+y2-2x+2y=0C.x2+y2+2x-2y=0D.x2+y2+2x+2y=0√解析:(1)設(shè)圓的方程為(x+1)2+(y-1)2=R2,經(jīng)過坐標原點(0,0),則R2=2.所以(x+1)2+(y-1)2=2,即x2+y2+2x-2y=0.故選C.(2)(2024·湖南常德模擬)以點A(1,-2),B(3,4)為直徑端點的圓的方程是(

)A.(x-2)2+(y+1)2=10B.(x-2)2+(y-1)2=C.(x-2)2+(y+1)2=D.(x-2)2+(y-1)2=10√解析:(2)A,B的中點坐標為(2,1),即圓心為(2,1),所以圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=10.故選D.考點二與圓有關(guān)的軌跡問題[例2]已知Rt△ABC的斜邊為AB,且A(-1,0),B(3,0).求:(1)直角頂點C的軌跡方程;解:(1)法一設(shè)C(x,y),因為A,B,C三點不共線,所以y≠0.因為AC⊥BC,且BC,AC斜率均存在,化簡得x2+y2-2x-3=0.因此,直角頂點C的軌跡方程為x2+y2-2x-3=0(y≠0).法二設(shè)AB的中點為D,由中點坐標公式得D(1,0),由直角三角形的性質(zhì)知

.由圓的定義知,動點C的軌跡是以D(1,0)為圓心,2為半徑的圓(由于A,B,C三點不共線,所以應(yīng)除去與x軸的交點).所以直角頂點C的軌跡方程為(x-1)2+y2=4(y≠0).(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程.解:(2)設(shè)M(x,y),C(x0,y0),因為B(3,0),且M是線段BC的中點,所以由中點坐標公式得所以x0=2x-3,y0=2y.由(1)知,點C的軌跡方程為(x-1)2+y2=4(y≠0),將x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1(y≠0).因此動點M的軌跡方程為(x-2)2+y2=1(y≠0).求與圓有關(guān)的軌跡問題的常用方法(1)直接法:直接根據(jù)題目提供的條件列出方程.(2)定義法:根據(jù)圓、直線等定義列方程.(3)相關(guān)點代入法:找到要求點與已知點的關(guān)系,代入已知點滿足的關(guān)系式.注意是否有“特殊點”需要“摳除”.[針對訓(xùn)練](1)已知等腰三角形ABC的一個頂點為A(4,2),底邊的一個端點為B(3,5),則底邊的另一個端點C的軌跡為

.以A(4,2)為圓心,半徑的圓,但除去(3,5)和(5,-1)兩點解析:(1)如圖,由題意得等腰三角形ABC的底邊的端點C在以A(4,2)為圓心,經(jīng)過點B(3,5)的圓上,且除去點B以及點B關(guān)于點A對稱的點.設(shè)點B(3,5)(2)若長為10的線段的兩個端點A,B分別在x軸和y軸上滑動,則線段AB的中點M的軌跡方程為

.x2+y2=25[例3]已知點(x,y)在圓(x-2)2+(y+3)2=1上.(1)求的最大值和最小值;考點三與圓有關(guān)的最值問題解:(1)可視為點(x,y)與原點連線的斜率,的最大值和最小值就是與該圓有公共點且過原點的直線斜率的最大值和最小值,即直線與圓相切時的斜率.設(shè)過原點的直線的方程為y=kx,由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑,即,(2)求x+y的最大值和最小值;解:(2)設(shè)t=x+y,則y=-x+t,t可視為直線y=-x+t在y軸上的截距,所以x+y的最大值和最小值就是直線與圓有公共點時直線縱截距的最大值和最小值,即直線與圓相切時在y軸上的截距.由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑,即求它的最值可視為求點(x,y)到定點(-1,2)的距離的最值,可轉(zhuǎn)化為求圓心(2,-3)到定點(-1,2)的距離與半徑的和或差.與圓有關(guān)的最值問題的三種幾何轉(zhuǎn)化法(1)形如的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題.(2)形如m=ax+by的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題.(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值問題,可轉(zhuǎn)化為兩點間距離的平方的最值問題.[針對訓(xùn)練](1)已知實數(shù)x,y滿足(x-2)2