第7節(jié)拋物線[課程標(biāo)準(zhǔn)要求]1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率).2.了解拋物線的實際背景及拋物線的簡單應(yīng)用.積累·必備知識01回顧教材,夯實四基1.拋物線的概念平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離

的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的

,直線l叫做拋物線的

.相等焦點準(zhǔn)線若點F在直線l上,則點的軌跡是過點F且與直線l垂直的直線.2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)p的幾何意義:焦點F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點坐標(biāo)O(0,0)對稱軸x軸y軸焦點坐標(biāo)離心率e=1準(zhǔn)線方程范圍x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R開口方向向右向左向上向下1.通徑:過焦點且垂直于對稱軸的弦,長度等于2p,通徑是過焦點最短的弦.2.拋物線焦點弦的性質(zhì)直線l過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F,交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則有:(2)焦點弦長:(α為直線l的傾斜角);(3)坐標(biāo)關(guān)系:x1x2=,y1y2=-p2;(4)3個相切:以焦點弦為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切,以AF或BF為直徑的圓與y軸相切.1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”).(1)方程y=ax2(a≠0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線,且其焦點坐標(biāo)是,準(zhǔn)線方程是.(

)(2)拋物線既是中心對稱圖形,又是軸對稱圖形.(

)(3)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象就是拋物線.(

)(4)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程雖然各不相同,但是其離心率都相同.(

)×√×√2.拋物線C:y2=2px(p>0)上一點M(1,y0)到焦點F的距離為3,則p的值為(

)A.1B.2C.3D.4√解析:由拋物線的定義可知,所以p=4.故選D.3.過拋物線y2=4x的焦點的直線l交拋物線于P(x1,y1),Q(x2,y2)兩點,如果x1+x2=6,則|PQ|等于(

)A.9B.8C.7D.6√解析:拋物線y2=4x的焦點為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1.根據(jù)題意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.故選B.4.頂點在原點,且過點P(-1,2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是

.解析:設(shè)拋物線的方程是y2=kx或x2=my,代入點P(-1,2),02提升·關(guān)鍵能力類分考點,落實四翼考點一拋物線的定義及應(yīng)用[例1](1)(2022·全國乙卷)設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點,點A在C上,點B(3,0),若|AF|=|BF|,則|AB|等于(

)A.2 C.3 √法二由題意可知F(1,0),|BF|=2,所以|AF|=2,拋物線通徑為4,所以|AF|=2為通徑的一半,所以AF⊥x軸,√(2)已知拋物線C:y2=8x的焦點為F,M為C上的動點,N為圓A:x2+y2+2x+8y+16=0上的動點,設(shè)點M到y(tǒng)軸的距離為d,則|MN|+d的最小值為(

)A.1B.C.D.2解析:(2)根據(jù)已知得到F(2,0),圓A:(x+1)2+(y+4)2=1,所以A(-1,-4),圓A的半徑為1,拋物線C的準(zhǔn)線為l:x=-2,過點M作ME⊥l,垂足為點E,由拋物線的定義可得d+2=|ME|=|MF|,所以|MN|+d=|MN|+|MF|-2≥|AM|+|MF|-1-2≥|AF|-1-2=當(dāng)且僅當(dāng)N,M為線段AF分別與圓A、拋物線C的交點時,兩個等號成立,因此,|MN|+d的最小值為2.故選D.(1)兩個距離的轉(zhuǎn)化:“到焦點的距離”和“到準(zhǔn)線的距離”可以互相轉(zhuǎn)化,解題時要做到“看到準(zhǔn)線想到焦點,看到焦點想到準(zhǔn)線”.(2)與拋物線的焦點或準(zhǔn)線有關(guān)線段之和、差最值問題,一般利用幾何法求解,主要用到以下性質(zhì):“兩點之間,線段最短”“垂線段最短”.[針對訓(xùn)練](1)已知拋物線y=mx2(m>0)上的點(x0,2)到該拋物線焦點F的距離為,則m等于(

)A.4B.3√解析:(1)由題意知,拋物線y=mx2(m>0)的準(zhǔn)線方程為根據(jù)拋物線的定義,可得點(x0,2)到焦點F的距離等于到準(zhǔn)線的距離,(2)(2024·福建寧德模擬)已知拋物線C:x2=4y的焦點為F,P為拋物線上一個動點,A(-1,3),則|PA|+|PF|的最小值為(

)A.3B.4C.5D.6√解析:(2)由題意可知拋物線x2=4y的焦點坐標(biāo)為F(0,1),準(zhǔn)線l的方程為y=-1,過P作PQ⊥l于點Q,由拋物線定義可知|PF|=|PQ|,所以|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|,則當(dāng)A,P,Q三點共線時,|PQ|+|PA|取得最小值,所以|PF|+|PA|最小值為3-(-1)=4.故選B.考點二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程[例2](1)如圖,過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,則拋物線的方程為(

)B.y2=9xD.y2=3x√解析:(1)如圖,設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點為G,分別過點A,B作準(zhǔn)線的垂線,交準(zhǔn)線于點E,D,設(shè)|BF|=a,則|BC|=2a,由拋物線的定義得|BD|=a,故∠BCD=30°,所以在Rt△ACE中,2|AE|=|AC|,因為|AE|=|AF|=3,|AC|=3+3a,因此拋物線的方程為y2=3x.故選D.(2)動點M(x,y)到y(tǒng)軸的距離比它到定點(2,0)的距離小2,則動點M(x,y)的軌跡方程為

.y=0(x<0)或y2=8x(x≥0)解析:(2)當(dāng)x<0時,因為x軸上點(0,0)左側(cè)的點到y(tǒng)軸的距離比它到點(2,0)的距離小2,所以點M的軌跡方程為y=0(x<0).當(dāng)x≥0時,因為動點M到y(tǒng)軸的距離比它到定點(2,0)的距離小2,所以動點M到定點(2,0)的距離與它到定直線x=-2的距離相等,所以動點M的軌跡是以(2,0)為焦點,x=-2為準(zhǔn)線的拋物線,且p=4,所以拋物線的方程為y2=8x.綜上,得動點M的軌跡方程為y=0(x<0)或y2=8x(x≥0).求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法:先根據(jù)拋物線的定義判斷點的軌跡是否為拋物線(注意定點是否在定直線上),要注意等價轉(zhuǎn)化,通常一些不等問題要轉(zhuǎn)化為相等關(guān)系,求出焦點到準(zhǔn)線的距離,確定是哪種標(biāo)準(zhǔn)形式,直接寫出方程.(2)待定系數(shù)法:求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法,其關(guān)鍵是判斷焦點位置、開口方向,在方程的類型已經(jīng)確定的前提下,設(shè)出對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程,由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個參數(shù)p,只需一個條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.[針對訓(xùn)練](1)設(shè)圓C與圓x2+(y-3)2=1外切,與直線y=0相切,則圓心C的軌跡為(

)A.拋物線 B.雙曲線C.橢圓 D.圓√解析:(1)由題意知,圓C的圓心到點(0,3)的距離比到直線y=0的距離大1,即圓C的圓心到點(0,3)的距離與到直線y=-1的距離相等,根據(jù)拋物線的定義可知,所求軌跡是一條拋物線.故選A.(2)焦點在直線x+3y+15=0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.解析:(2)令x=0得y=-5;令y=0得x=-15,所以拋物線的焦點為(0,-5)或(-15,0),所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-20y或y2=-60x.x2=-20y或y2=-60x考點三拋物線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用角度一焦半徑和焦點弦[例3]已知過拋物線的焦點F,且傾斜角為的直線l交拋物線C于A,B兩點,則|AB|等于(

)A.32B.C.D.8√解析:因為拋物線C:x2=8y,所以F(0,2),p=4,(1)與拋物線的焦半徑和焦點弦有關(guān)的問題,可直接應(yīng)用公式求解.解題時,需依據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,確定弦長公式是由交點橫坐標(biāo)還是由交點縱坐標(biāo)確定,同時還要注意坐標(biāo)與距離關(guān)系.(2)求解與拋物線有關(guān)的問題,要充分利用平面幾何的性質(zhì).角度二拋物線性質(zhì)的綜合應(yīng)用[例4](2024·陜西商洛模擬)已知F為拋物線y2=16x的焦點,P為該拋物線上的動點,點A(-1,0),則的最大值為(

)√涉及拋物線上的點的坐標(biāo)有關(guān)的最值問題,可借助于拋物線的有關(guān)知識轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值或者利用不等式求解,但要注意拋物線上的點的坐標(biāo)的取值范圍.[針對訓(xùn)練](1)(角度二)(2024·江蘇南京模擬)已知圓C經(jīng)過點P(1,0),且與直線x=-1相切,則其圓心到直線x-y+3=0距離的最小值為(

)A.3B.2 √解析:(1)依題意,設(shè)圓C的圓心C(x,y),動點C到點P的距離等于到直線x=-1的距離,根據(jù)拋物線的定義可得圓心C的軌跡方程為y2=4x,設(shè)圓心C到直線x-y+3=0距離為d,(2)(角度一)已