第8節(jié)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系[課程標準要求]1.了解直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷方法.2.掌握直線被圓錐曲線所截的弦長公式.3.能利用方程及數(shù)形結(jié)合思想解決焦點弦、中點弦問題.積累·必備知識01回顧教材,夯實四基1.直線與圓錐曲線的位置判斷將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立,消去y(或x),得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程,則直線與圓錐曲線相交?Δ

0;直線與圓錐曲線相切?Δ

0;直線與圓錐曲線相離?Δ

0.>=<(1)與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線相交,有且只有一個交點.(2)與拋物線的對稱軸平行的直線與拋物線相交,有且只有一個交點.2.弦長公式已知A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的斜率為k(k≠0),1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”).(1)過點的直線一定與橢圓相交.(

)(2)“直線l與橢圓C相切”的充要條件是“直線l與橢圓C有且只有一個公共點”.(

)(3)“直線l與雙曲線C相切”的充要條件是“直線l與雙曲線C有且只有一個公共點”.(

)(4)“直線l與拋物線C相切”的充要條件是“直線l與拋物線C有且只有一個公共點”.(

)×√√×2.過點(0,1)作與雙曲線

僅有一個公共點的直線,這樣的直線有(

)A.1條

B.2條

C.3條

D.4條√解析:結(jié)合圖形分析可知,滿足題意的直線共有4條,即過點(0,1)且平行于漸近線的兩條直線以及過點(0,1)且與雙曲線相切的兩條直線.故選D.3.(選擇性必修第一冊P136T3改編)已知直線l:y=x-1與拋物線y2=4x交于A,B兩點,則線段AB的長是(

)A.2B.4C.8D.16√消去y并整理得x2-6x+1=0,Δ>0,設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=6,注意到直線l恰好過拋物線的焦點,所以|AB|=x1+x2+2=8.故選C.4.已知點A,B是雙曲線上的兩點,線段AB的中點是M(3,2),則直線AB的斜率為(

)√02提升·關(guān)鍵能力類分考點,落實四翼考點一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系[例1](1)(多選題)(2024·江蘇模擬)在平面直角坐標系xOy中,已知直線l:kx-y-k=0,橢圓(a>b>0),則下列說法正確的是(

)A.l恒過點(1,0)B.若l恒過C的焦點,則a2+b2=1C.對任意實數(shù)k,l與C總有兩個公共點,則a≥1D.若a<1,則一定存在實數(shù)k,使得l與C有且只有一個公共點√√√解析:(1)方程kx-y-k=0可化為y=k(x-1),所以直線l恒過點(1,0),A正確;設橢圓的半焦距為c(c>0),則焦點的坐標可能為(c,0)或(-c,0),若直線恒過橢圓的焦點,則c=1,所以a2-b2=1,B錯誤;當a>1時,(1,0)在橢圓內(nèi)部,直線與橢圓相交;當a=1時,(1,0)在橢圓上,且恰好是橢圓的一個頂點,而直線斜率存在,故直線與橢圓相交;當0<a<1時,(1,0)在橢圓外部,直線與橢圓可以相切、相交或相離,根據(jù)以上分析,C,D正確.故選ACD.√(2)拋物線C:y2=4x的準線為l,l與x軸交于點A,過點A作拋物線的一條切線,切點為B,則△OAB的面積為(

)A.1B.2C.4D.8解析:(2)因為拋物線C:y2=4x的準線為l,所以l的方程為x=-1,A(-1,0),設過點A的拋物線的一條切線為x=my-1,m>0,消x得y2-4my+4=0,所以Δ=(-4m)2-4×4=0,解得m=1,所以y2-4y+4=0,解得y=2,即yB=2,同理當m<0時,|yB|=2,所以△OAB的面積為判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的方法(1)代數(shù)法:直線與圓錐曲線方程聯(lián)立,利用判別式求解;(2)幾何法:直線過定點時,若定點在圓錐曲線內(nèi)部,則直線一定與圓錐曲線相交;若定點在圓錐曲線上,則直線與圓錐曲線相交或相切;若定點在圓錐曲線外部,則直線與圓錐曲線相交、相切或相離.[針對訓練]直線y=kx(k>0)與雙曲線

沒有交點,則k的取值范圍為(

)√考點二弦長問題[例2](2024·湖北校聯(lián)考)已知圓動圓M與圓E相外切,與圓F相內(nèi)切.(1)求動圓M的圓心的軌跡方程;(2)過點F的兩直線l1,l2分別交動圓M圓心的軌跡于點A,C和B,D,|FA|·|FC|=|FB|·|FD|=.求四邊形ABCD的面積.解:(2)由題意,直線l1,l2的斜率均不為0.設AC:x=ty+2(t為0時不符合題意),A(x1,y1),C(x2,y2),聯(lián)立AC與橢圓的方程消x得(t2+2)y2+4ty-4=0,(1)弦長公式不僅適用于圓錐曲線,任何兩點的弦長都可以用弦長公式求.(2)設直線方程時應注意討論是否存在斜率.(3)一般地,經(jīng)過y軸上點(0,y0)的直線設為y=kx+y0比較簡單,經(jīng)過x軸上點(x0,0)的直線可以設為x=ty+x0比較簡單,注意這個設法下,當t≠0時,直線斜率為[針對訓練]已知橢圓(a>b>0)的離心率為,AB為過橢圓右焦點的一條弦,且AB長度的最小值為2.(1)求橢圓M的方程;(2)若斜率為1的直線l與橢圓M交于C,D兩點,點P(2,0),直線PC的斜率為,求線段CD的長度.考點三中點弦問題[例3]設P1和P2是雙曲線上的兩點,線段P1P2的中點為M,直線P1P2不經(jīng)過坐標原點O.(1)若直線P1P2和直線OM的斜率都存在且分別為k1和k2,求證:(2)若雙曲線的焦點分別為,點P1的坐標為(2,1),直線OM的斜率為,求由四點P1,F1,P2,F2所圍成四邊形P1F1P2F2的面積.解決圓錐曲線“中點弦”問題的思路(1)根與系數(shù)的關(guān)系法:聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程得到方程組,消元得到一元二次方程后,由根與系數(shù)的關(guān)系及中點坐標公式求解.(2)點差法:設直線與圓錐曲線的交點(弦的端點)坐標為A(x1,y1),B(x2,y2),將這兩點坐標分別代入圓錐曲線的方程,并對所得兩式作差,得到一個與弦AB的中點和直線AB斜率有關(guān)的式子,可以大大減少計算量.但是,使用點差法的前提是直線與圓錐曲線相交,注意檢驗.(3)中點弦的常用結(jié)論已知A(x1,y1),B(x2,y2)為圓錐曲線E上的兩點,AB的中點為C(x0,y0),[針對訓練](2024·河北衡水模擬)已知橢圓(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,離心率為,短軸頂點分別為M,N,四邊形MF1NF2的面積為32.(1)求橢圓C的標準方程;(2)直線l交橢圓C于A,B兩點,若AB的中點坐標為(-2,1),求直線l的方程.考點四垂直平分弦問題[例4]已知直線l與橢圓交于不同的兩點M,N,且線段MN恰被直線平分,設弦MN的垂直平分線的方程為y=kx+m,試求m的取值范圍.圓錐曲線的弦的垂直平分線問題的一般解法是:結(jié)合題意設出弦的方程,與圓錐曲線的方程聯(lián)立,消元后利用判別式Δ>0及弦中點既在弦上,又在垂直平分線上的特征求得相應參數(shù)的關(guān)系式.[針對訓練]若雙曲線上存在兩個點關(guān)于直線對稱,則實數(shù)t的取值范圍為