1.1三角形中的線段和角（第1課時三角形的邊和角）教學(xué)設(shè)計

教學(xué)分析

教學(xué)內(nèi)容與解析

1.教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)選自蘇科版2024八年級數(shù)學(xué)上冊第一章“三角形”，聚焦“1.1三角形中的線段和角”的第一課時核心知

識包括；三角形三邊關(guān)系（任意兩邊之和大于第三邊、任意兩邊之差小于第三邊）以及邊角關(guān)系（“大邊對大

角、大角對大邊“）。

2.內(nèi)容解析

本節(jié)從建筑中三角形的穩(wěn)定性引入，結(jié)合操作與觀察，讓學(xué)生體驗三角形的線段和角的基本性質(zhì)，主要內(nèi)容：

（1）三邊關(guān)系：a+b>c,;\a-b\<c：

（2）邊角關(guān)系：邊的長度和所對角度呈對應(yīng)大小關(guān)系；

（3）應(yīng)用三角形性質(zhì)，解決有關(guān)線段和角度的推理或計算問題。

通過折紙、畫圖和類比等活動，引導(dǎo)學(xué)生在直觀操作與推理論證之間建立聯(lián)系。

教學(xué)目標與解析

1.教學(xué)目標

（1）探索并證明“三角形的任意兩為之和大于第三邊”。

（2）探索并證明“在同一個三角形中，較大的邊所對的角也比較大，較大的角所對的邊也比較大?！?/p>

（3）運用三角形的邊角關(guān)系，解決與線段或角度相關(guān)的推理與計算問題，提高推理能力。

2.目標解析

（1）強調(diào)親身實踐和演示，理解尹掌握三邊關(guān)系的不等式形式。

（2）通過折紙等操作活動，內(nèi)化“大邊對大角、大角對大邊”的道理。

（3）綜合運用所學(xué)幾何性質(zhì)與不等式，培養(yǎng)學(xué)生分析問題與邏輯推理的能力。

學(xué)情分析

學(xué)生已具備初步的不等式與幾何圖形認知。對基本作圖、簡單度量與一元一次方程求解較熟練，但對三角形性

質(zhì)的系統(tǒng)認識不足；在證題時易忽視幾何要點。需在動手操作和直觀感知基礎(chǔ)上，逐步引導(dǎo)他們走向嚴謀推理

與綜合應(yīng)用。

教學(xué)過程設(shè)計

新謀存入

創(chuàng)設(shè)情景，引入新課

1.復(fù)習(xí)回顧：教師提問學(xué)生回憶多邊形的概念，并舉例說明何為三角形，引導(dǎo)學(xué)生說出三角形是最簡單的多邊

形。

2.現(xiàn)實情境：出示圖片或描述——“為什么有很多建筑物的結(jié)構(gòu)用三角形？三角形具備哪些獨特性質(zhì)呢？”

。學(xué)生思考：在日常生活和建筑中，三角形往往是承重和穩(wěn)定的重要結(jié)構(gòu)，激發(fā)學(xué)生好奇心。

【設(shè)計意圖】

通過生活化的實例（如房屋、鐵架等三角形支撐結(jié)構(gòu)），引起學(xué)生對三角形穩(wěn)定性和特殊性質(zhì)的興趣。同時，

復(fù)習(xí)三角形相關(guān)舊知，為后續(xù)探究三角形的邊與角關(guān)系做好鋪墊。

新知探究

基于本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標，我們分兩個探究點進行學(xué)習(xí)和討論：

探究點&三角形的三邊關(guān)系（任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊）

探究點2：三角形邊角關(guān)系（在同?個三角形中，較大的邊所對的角也比較大，較大的角所對的邊也比較大）.

探究點1：三角形的三邊關(guān)系

I.操作觀察：

?！霸诜礁窦堉挟嫵隹梢院徒o定三角形重合的三角形。如何確定三角形的形狀和大??？”

0”能否畫出以下列長度的線段為邊的三角形：（1）4,4,4；（2）3,5,7；（3）3,4,5?為什么？”

學(xué)生動手畫一畫，并嘗試判斷理由，引出“三角形的任意兩邊之和大于第三邊'’的必要性。

2.教師講解并證明：如何證明三角形任意兩邊之和大于第三邊呢？

>證明：證明：???84+八。是連接A,C兩點的折線長度，

是連接8,。兩點的線段長度，

BA+AORC

（兩點之間的所有連線中，線段最短）.

同理，AC+C8AA&AB-\-BC>AC.

A

進一步討論：三角形的任意兩邊之差與第三邊的關(guān)系——三角形任意兩邊之差小于第三邊

在AABC中，AC+BOAB,

由不等式的基本性質(zhì)，得ACBC-AC>AB-AC=>BC>AB-AC.

即三角形任意兩邊之差小于第三邊，

【師生活動】

教師組織學(xué)生觀察、比較和操作；

學(xué)生小組討論：如何用生活實例（如三根小棒）驗證這個結(jié)論；

教師引導(dǎo)：對無法組成三角形的三段長度進行分類評判，歸納判斷三角形成立的必要條件。

【設(shè)計意圖】

通過動手畫圖和實際操作，使學(xué)生在形象直觀的基礎(chǔ)上掌握“三角形任意兩邊之和大于第三邊、任意兩邊之差

小于第三邊”的核心內(nèi)容，培養(yǎng)嚴謹?shù)倪壿嬐评砟芰Α?/p>

探究點2：三角形的邊角關(guān)系

1.引導(dǎo)嘗試：

在同一個三角形中，如果4那么48和4C哪個更大？”

。通過折紙或翻折的方法：把AC沿匕A的平分線翻折，觀察點C落在48上的位置，從而比較NB和/C的大小。

2.推廣結(jié)論：

。在同一個三角形中，較大的邊所對的角也比較大，較大的角所對的邊也比較大。

3.證明交流：

>已知：△ABC,RAB>AC,求證：乙BV乙C.

證明：我們可以通過折紙的方式比較N8和NC的大小.

把AC沿NA的平分線翻折，如圖,

A

VAB>AC,所以點C落在邊A5上的點C處.

，/4C7)=/C

???/ACD=/B+NBDC,

：.NAC'D>NB,

???/C＞NA

＞教師演示：若力8＞AC,翻折后發(fā)現(xiàn)點C落在/IB的點O處，符合乙C＞乙B.

＞反證同理：若乙C＞則71B＞AC.

【師生活動】

教師示范：演示折紙方法比較角大小；

學(xué)生小組合作：動手折卷或利用量角器測量，提出猜想并運用反證法、直接法等方法進行證

明；

教師總結(jié)：概括“二角形中大邊對大角，大角對大邊”的綜合結(jié)論。

【設(shè)計意圖】

讓學(xué)生通過動手實驗、討論匯報等方式，領(lǐng)悟三角形邊角關(guān)系的形成與證明思路，彌補單純文字推理的抽象

性，提高學(xué)習(xí)興趣與探究能力。

例題鞏固

例1

＞如圖，在中，點。在邊BC上，求證：AC+CB＞AD+DB.

>證明思路：

>在440)中，AC+CD>AD；

>整理得到AC+CD+DB>AD+DB；

>即AC+CB>AD+DB.

例2

>如圖，在△ABC中，AB<AC.

>（1）比較ZB與NC的大小，并說明理由：

>2（）若4H1BC,比較484"與乙&4H的大小，并說明理由。

解析要點：

1.由得到，（三角形中，大邊對大角）；

2.在力〃18C的直角三角形內(nèi)，通過ZAH8與同為90°,結(jié)合乙8與乙C大小關(guān)系，得乙BAHVxCAH.

例3（思維提升）

如圖，P是△4BC內(nèi)的一點，連接P4PB。求證：AP+BP<AC+BC.

延長/IP交8C于點。。

在△4CD中，AC+CD>AD,

AAC+CD+BD>AD+BD,即AC+BC>AD+BD。

在△BOP中，BD+DP>BP。

:.BD+DP+AP>BP+AP,即BD+AD>BP+APO

AC+BC>AP+BP.

即4P+BP<4C+BC。

【設(shè)計意圖】

1.通過典型題目的直接引用與詳細解析，幫助學(xué)生進一步理解和鞏固所學(xué)的三邊關(guān)系、邊角關(guān)系：

2.例題既包含對三角形基本性質(zhì)的直接應(yīng)用，也蘊含了幾何準理思維訓(xùn)練，能夠引導(dǎo)學(xué)生舉一反三。

以上即為本課時“新課導(dǎo)入''與“新知探究”環(huán)節(jié)的設(shè)計與實施思路。后續(xù)可結(jié)合更多應(yīng)用題或幾何作圖活動，讓

學(xué)生在解決真實情境和綜合問題中深化對三角形性質(zhì)的理解與掌握。

3.本環(huán)節(jié)通過''思維提升”類真題，為學(xué)生提供更高層次的挑戰(zhàn)，讓其在綜合運用三角形邊角關(guān)系的同

時，培養(yǎng)邏輯推理與解題思維的深度。

鞏固練習(xí)

設(shè)計意圖

本環(huán)節(jié)通過基礎(chǔ)練習(xí)鞏固新知，幫助學(xué)生進一步理解“三角形的三邊關(guān)系”與“邊角關(guān)系”，并能靈活運用于簡單

的干算或證明。

>新知應(yīng)用

1.下列長度的三條線段能否組成三角形？為什么？

（1）1,4,7；（2）3,5,8：（3）5,6,9。

解：

（1）因為1+4=5V7,所以不能構(gòu)成三角形；

（2）因為3+5=8,所以不能構(gòu)成三角形；

（3）因為5+6=11>9,所以能構(gòu)成三角形。

2.若三角形的兩邊長分別是2和7,第三邊長為奇數(shù)，求第三邊的長。

解：

設(shè)第三邊的長為X,根據(jù)兩邊之和大于第三邊，得2+7>無且2+x>7,

解得5cxV9。

因為它是奇數(shù)，所以“只能取7。

三角形第三邊的取值范圍是：

兩邊之差V第三邊〈兩邊之和。

>新知鞏固

1.如圖，在中，ZC=9O°,比較48和BC的大小，并說明理由。

證明:

v△ABC中，ZC=90°

???Z.C>z.A

AAB>BC（在同一三角形中，較大的角所對的邊也比較大）。

2.如圖，在△ABC中，48=90°,點。在8C上，比較力C和力。的大小，并說明理由。

VZ-ADC是Rt△ABD的一個夕卜角，

:.^ADC>90°。

???匕。是Rt△ABC的一個內(nèi)角，

二“<90°o

AZ.4DC>zCo

AC>AD（在同一三角形中，較大的角所對的邊也比較大）。

課堂小結(jié)

本節(jié)課圍繞三角形的邊與角展開學(xué)習(xí)與探究，重點掌握以下核心內(nèi)容：

1.三角形三邊關(guān)系：三角形的任意兩邊之和大于第三邊、任意兩邊之差小于第三邊，并能判斷給定三條線段是

否能組成三角形。

2.三角形邊角關(guān)系：在同一個三角形中，較大的邊所對的角也較大，較大的角所對的邊也較大，并能運用相關(guān)

性質(zhì)進行計算或推理。

3.應(yīng)用能力：通過對典型例題的分析及思維拓展，初步學(xué)會運用三邊關(guān)系與邊角關(guān)系解決與線段及角度相關(guān)的

計算或證明問題，培養(yǎng)幾何推理與分析能力。

板書設(shè)計

1.三角形三邊關(guān)系：（I）任意兩邊之和〉笫三邊BA+AOBC,AC+CB>AB,AB+BOAC

（2）任意兩邊之差〈第三邊

（3）判斷能否成三角形的方法：

2.三角形邊角關(guān)系

①找最大邊的長度大邊