第二章實(shí)數(shù)

2平方根與立方根（第3課時(shí)）

一、學(xué)習(xí)任務(wù)分析

本節(jié)課是北師大版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)（上冊(cè)）第二章“實(shí)數(shù)”第二節(jié)的第3課時(shí)。立方根

是數(shù)與式中重要的知識(shí)點(diǎn)之一，立方根的計(jì)算有著廣泛的應(yīng)用，幾何體的計(jì)算經(jīng)常涉及開(kāi)立

方。學(xué)習(xí)立方根，學(xué)生可以更加深入地了解無(wú)理數(shù)，為后面學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)奠定基礎(chǔ)。

以求小立方塊的棱長(zhǎng)問(wèn)題為情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察其空間結(jié)構(gòu)，引出立方根的概念。通過(guò)

對(duì)立方根與平方根的類(lèi)比，探索兩者之間的聯(lián)系和區(qū)別。因此，除了具體的知識(shí)技能（如知

道一個(gè)數(shù)的立方根的意義，會(huì)用根號(hào)表示一個(gè)數(shù)的立方根，掌握立方根的運(yùn)算等）學(xué)習(xí)以外,

還要引導(dǎo)學(xué)生嘗試運(yùn)用類(lèi)比等數(shù)學(xué)方法，并在過(guò)程中不斷發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

二、學(xué)生起點(diǎn)分析

學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)：學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平方根，并較為熟練地掌握了平方根的概念和性

質(zhì)，了解了平方運(yùn)算與開(kāi)平方互為逆運(yùn)算，學(xué)會(huì)了求一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根和算術(shù)平方根的計(jì)

算方法。學(xué)生在七年級(jí)上冊(cè)已經(jīng)學(xué)過(guò)數(shù)的立方的計(jì)算，并通過(guò)類(lèi)比平方根的學(xué)習(xí)，能夠更好

地進(jìn)行立方根的探究。

學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：學(xué)牛.已經(jīng)經(jīng)歷了平方根知識(shí)的學(xué)習(xí)探索，體驗(yàn)了用根號(hào)表示非負(fù)

數(shù)的算術(shù)平方根和平方根，運(yùn)用類(lèi)比的思想，可以為立方根的探究提供一定的學(xué)習(xí)路徑。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.了解立方根的概念，能用根號(hào)表示一個(gè)數(shù)的立方根；能用立方運(yùn)算求某些數(shù)的立方根,

體會(huì)一個(gè)數(shù)的立方根的唯一-性；理解立方根與平方根的區(qū)別和聯(lián)系。

2.經(jīng)歷對(duì)立方根的探究過(guò)程，在探究中學(xué)會(huì)解決立方根問(wèn)題的一些基本方法和策略，培

養(yǎng)逆向思維能力和分類(lèi)討論的意識(shí)。

3.利用類(lèi)比思想，學(xué)習(xí)立方根。在開(kāi)立方與立方互為逆運(yùn)算的探究過(guò)程中，滲透從特殊

到一般的思想，并培養(yǎng)運(yùn)用逆向思維解決問(wèn)題的能力。

教學(xué)重點(diǎn)：了解立方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示一個(gè)數(shù)的立方根。

教學(xué)難點(diǎn)：能用立方運(yùn)算求某些數(shù)的立方根，了解開(kāi)立方和立方互為逆運(yùn)算。

四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

【第一環(huán)節(jié)】情境引入，提出問(wèn)題

1.活動(dòng)內(nèi)容.77彳

圖1是由大小相同的小立方塊搭成的幾何體。如果這個(gè)幾何體的體

積為216cm3,那么每個(gè)小立方塊的棱長(zhǎng)是多少？_______ZZH

提問(wèn)：這個(gè)幾何體是由幾個(gè)小立方塊搭成的？每個(gè)小立方塊的體積一一

是多少？怎樣求出小立方塊的棱長(zhǎng)呢？

讓我們通過(guò)解決這些問(wèn)題來(lái)學(xué)習(xí)新知識(shí)。

2.活動(dòng)目的

通過(guò)問(wèn)題情境引入，讓學(xué)生感受學(xué)習(xí)新知的必要性，激發(fā)學(xué)生的求知欲望。

3.注意事項(xiàng)

設(shè)置上述兒個(gè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考：這個(gè)幾何體的邊長(zhǎng)川能是多少？引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)猜想

得到幾何體棱長(zhǎng)為6cm,進(jìn)而得到小立方塊棱長(zhǎng)為2cm。另外也可以發(fā)現(xiàn)幾何體由27個(gè)小

立方塊組成，每個(gè)小立方塊的體積是8cm3,從而得到小立方塊棱長(zhǎng)是2cm。

【第二環(huán)節(jié)】理解概念，汲取新知

1.活動(dòng)內(nèi)容

提問(wèn)：什么數(shù)的立方等于8?

追問(wèn)：你能類(lèi)比平方根的定義給出立方根的定義嗎？

概念歸納：

一般地，如果一個(gè)數(shù)x的立方等于/即/="，那么這個(gè)數(shù)x就叫作。的立方根(也叫

作三次方根)。如2是8的立方根，_2是-焉的立方根，。是。的立方根。

327

2.活動(dòng)目的

通過(guò)情境問(wèn)題的解決，引出立方根的概念，為后面研究立方根的性質(zhì)做好鋪墊。

【第三環(huán)節(jié)】初步探究

1.活動(dòng)內(nèi)容

嘗試-思考

怎樣求下列括號(hào)內(nèi)的數(shù)？各題中已知什么數(shù)？求什么數(shù)？

3

(1)(尸二8：(2)()3=0：(3)()=-270

(2)一個(gè)數(shù)的平方根可能有兩個(gè)，一個(gè)數(shù)的立方根可能有幾個(gè)呢？

(3)正數(shù)有幾個(gè)立方根？。有幾個(gè)立方根？負(fù)數(shù)呢？

2.活動(dòng)目的

通過(guò)具體的計(jì)算練習(xí)，讓學(xué)生進(jìn)一步了解求一個(gè)數(shù)的立方與求一個(gè)數(shù)的立方根互為逆運(yùn)

算，感受一個(gè)數(shù)的立方根的唯一性，算式中對(duì)。的取值分別選為正數(shù)、負(fù)數(shù)、0。這樣的設(shè)

計(jì)可以幫助學(xué)生滲透分類(lèi)討論的思想方法。

設(shè)計(jì)問(wèn)題串是為了方便平方根與立方根的對(duì)比，幫助學(xué)生弄清兩者的區(qū)別和聯(lián)系。

3.注意事項(xiàng)

在上面的基礎(chǔ)上明晰下列內(nèi)容，對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行梳理。

(1)每個(gè)數(shù)。都有一個(gè)立方根，記作“監(jiān)”，讀作“三次根號(hào)。例如：當(dāng)^=7

時(shí)，x是7的立方根，記作％=折。與數(shù)的平方根的表示比較，數(shù)的立方根中根號(hào)前沒(méi)有“土”

符號(hào)，但根指數(shù)3不能省略。

(2)正數(shù)的立方根是正數(shù)，0的立方根是0,負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)。

(3)求一個(gè)數(shù)a的立方根的運(yùn)算叫作開(kāi)立方，。叫作被開(kāi)方數(shù)。開(kāi)立方與立方互為逆

運(yùn)算。

【第四環(huán)節(jié)】嘗試反饋，鞏固練習(xí)

1.活動(dòng)內(nèi)容

例1求下列各數(shù)的立方根：

8

(1)-27；(2)—：(3)0.216；(4)-5。

解：(1)因?yàn)?-3)3=-27,所以-27的立方根是-3,即亞方=-3；

(2)因?yàn)?2丫=3，所以展的立方根是自，即俱=］；

⑸1255"255

(3)因?yàn)?0.6)3=0.216,所以0.216的立方根是0.6,即疝丞=0.6;

(4)-5的立方根是行。

2.活動(dòng)目的

本例讓學(xué)生根據(jù)定義求立方根，鞏固對(duì)立方根概念的理解。通過(guò)按照立方根的定義表述

解題過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生理解立方根的概念。

3.注意事項(xiàng)

教師可以先行示范，規(guī)范書(shū)寫(xiě)要求，學(xué)生在熟練以后可以簡(jiǎn)化寫(xiě)法。

【第五環(huán)節(jié)】思考交流，深入探究

1.活動(dòng)內(nèi)容

思考-交流

(1)在例1中，一些數(shù)的立方根的結(jié)果沒(méi)有“了，這些數(shù)有什么特點(diǎn)？

(2)在例1中，產(chǎn)藥=-3,也就是一(一3)3=—3。一般地，〃成立嗎？

(3)(yz)3=。成立嗎？與同伴進(jìn)行交流。

例2求下列各式的值：

(1)口;⑵V0.064;(3)；(4)眄丫。

解：⑴V-8=V(-2)3=-2；(2)V0.064=\/0.43=0.4;

⑶-倡=-符=V⑷(@=9。

鞏固練習(xí)

(1)求下列各式的值：

V0.008；^^64：一?。慌f(啊;

(2)一個(gè)正方體，它的體積是棱長(zhǎng)為3cm的正方體體積的8倍，這個(gè)正方體的

棱長(zhǎng)是多少？

2.活動(dòng)目的

“思考?交流”環(huán)節(jié)進(jìn)一步討論如何對(duì)各式進(jìn)行化簡(jiǎn)，求立方根。例2則根據(jù)“思考?交

流”的所學(xué)內(nèi)容求立方根，進(jìn)一步鞏固立方根的求法。

3.注意事項(xiàng)

學(xué)生通過(guò)練習(xí)掌握立方根的概念和計(jì)算方法，并通過(guò)對(duì)計(jì)算結(jié)果的分析得出立方根的性

質(zhì)，若學(xué)生不能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，教師可以再給出幾個(gè)例子，引導(dǎo)學(xué)生觀察被開(kāi)方數(shù)、根指數(shù)及運(yùn)

算結(jié)果之間的關(guān)系，從而得出立方根的性質(zhì)；也可以安排學(xué)生分小組討論，通過(guò)交流，展示

學(xué)生發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，若學(xué)生的討論不夠深入，可由教師補(bǔ)充得出結(jié)論。

【第六環(huán)節(jié)】課堂小結(jié)，反思?xì)w納

1.活動(dòng)內(nèi)容

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)你學(xué)到了哪些內(nèi)容？

歸納、總結(jié)學(xué)生的回答，得出下列內(nèi)容：

(1)了解立方根的概念，會(huì)用三次根號(hào)表示一個(gè)數(shù)的立方根，能用立方運(yùn)算求一個(gè)數(shù)

的立方根；

(2)在學(xué)習(xí)中應(yīng)注意以下5點(diǎn)：

①符號(hào)右中根指數(shù)“3”不能省略：

②對(duì)于立方根，被開(kāi)方數(shù)沒(méi)有限制，正數(shù)、零、次數(shù)都有一個(gè)立方根，即一個(gè)數(shù)的立

方根是唯一的；

③平方根和立方根的區(qū)別：正數(shù)有兩個(gè)平方根，但只有一個(gè)立方根；

負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，但卻有一個(gè)立方根；

④靈活運(yùn)用公式：(后)3:4,折=4,V-6Z=~\[a;

⑤立方與開(kāi)立方互為逆運(yùn)算。可以用立方運(yùn)算求一個(gè)數(shù)的立方根，或檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是不

是另一個(gè)數(shù)的立方根。

2.活動(dòng)目的

引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)本節(jié)課的知識(shí)要點(diǎn)及數(shù)學(xué)方法，使知識(shí)系統(tǒng)化。

3.注意事項(xiàng)

通過(guò)小結(jié)，對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行了梳理，學(xué)生進(jìn)一步鞏固了立方根的概念和求解方法，加深

了類(lèi)比等學(xué)習(xí)方法，有助于學(xué)生理解、掌握數(shù)學(xué)的基本知識(shí)和基本技能，形成數(shù)學(xué)基本思想,

積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

如有時(shí)間，學(xué)生學(xué)有余力，還可以安排學(xué)生探究下列問(wèn)題：

求下列各式中的X。

(1).r3-64=o；(2)底+27=0。

【第七環(huán)節(jié)】布置作業(yè)

1.活動(dòng)內(nèi)容

基礎(chǔ)作業(yè)：

1.求下列各數(shù)的立方根：

18

0.001,-1，飛，8000,而，-5⑵

2.求卜歹恪式的值：

(1)](-3)3；(2)(V125)3;(3)-V27o

3.一個(gè)人每天平均要飲用大約0.001511?的各種液體，按70歲計(jì)算，他所飲用的液體總

量大約為40m3。如果用一圓柱形的容器（底面直徑等于高）來(lái)裝這些液體，這個(gè)容器大約

有多高（兀取3.14,結(jié)果精確到1m）?

4.一個(gè)正方體的體積變?yōu)樵瓉?lái)的8倍,它的棱長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的多少倍？體枳變?yōu)樵瓉?lái)的27

倍，它的梭長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的多少倍？體積變?yōu)樵瓉?lái)的1000倍呢？體積變?yōu)樵瓉?lái)的〃倍呢？

拓展作業(yè)：

1.求下列各式中的X：

（1）9+125=0；（2）64（尸2尸-216=0。

2.已知：V374?7.205,收4。3.344,則V-0.00）374%。

3.若5x+9的立方根是4,求2計(jì)3的平方根。

2.活動(dòng)目的

通過(guò)對(duì)作業(yè)進(jìn)行分層安排，讓不同層次的學(xué)生根據(jù)自己的水平進(jìn)行選擇，使每個(gè)學(xué)生

都能得到不同的提升。

五、教學(xué)設(shè)計(jì)反思

1.關(guān)注類(lèi)比思想的滲透以及學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)

類(lèi)比是在兩類(lèi)不同的事物之間進(jìn)行的對(duì)比，在找出若干相同或相似點(diǎn)之后，推測(cè)在這兩

類(lèi)事物的其他方面也可能存在相同或相似之處的一種思維方式.當(dāng)然，類(lèi)比的結(jié)果是猜測(cè)的，

不一定可靠，但它作為一種思考問(wèn)題的方法，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論，溝通數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)而解決

生活中的一些實(shí)際問(wèn)題，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。因此，學(xué)習(xí)過(guò)程中要注意類(lèi)比思想的

滲透。實(shí)際上，類(lèi)比學(xué)習(xí)法可以讓學(xué)生省時(shí)省力，在學(xué)習(xí)新知的同時(shí)鞏固I學(xué)的知識(shí)，通過(guò)

新舊對(duì)比更好地掌握知識(shí)，為此，本節(jié)課通過(guò)類(lèi)比的方法讓學(xué)生自然、順暢地建構(gòu)立方根的

概念、性質(zhì)與運(yùn)算。

2.關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差弁，構(gòu)建學(xué)生探究過(guò)程

根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的評(píng)價(jià)理念，教師在課堂教學(xué)中應(yīng)尊重

學(xué)生的個(gè)體差異，滿(mǎn)足多樣化的學(xué)習(xí)需要，鼓勵(lì)探索方式、表述方式和解題方法多樣化。在

教學(xué)活動(dòng)中，教師關(guān)注的是學(xué)生的參與程度和表現(xiàn)出來(lái)的思維水平，關(guān)注的是