第二章實(shí)數(shù)

2平方根與立方根（第1課時(shí)）

一、學(xué)生任務(wù)分析

本節(jié)課是北師大版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)（上冊(cè)）第二章“實(shí)數(shù)”第二節(jié)的第1課時(shí)。學(xué)習(xí)平

方根和算術(shù)平方根的概念和性質(zhì)。在運(yùn)算方面，引入了開(kāi)方運(yùn)算，使學(xué)生掌握的代數(shù)運(yùn)算由

原來(lái)的加、減、乘、除、乘方五種擴(kuò)展到六種，建立起較完善的代數(shù)運(yùn)算休系。木節(jié)內(nèi)容既

是對(duì)前面所學(xué)知識(shí)的深化和發(fā)展，也是今后學(xué)習(xí)二次根式、實(shí)數(shù)的預(yù)備知識(shí)，還是用直接開(kāi)

平方法、公式法解一元二次方程的重要依據(jù)。因此，本節(jié)課處于非常重要的地位，起著承前

啟后的作用。本節(jié)課為第1課時(shí)，主要研究算術(shù)平方根。算術(shù)平方根的探究從直角邊長(zhǎng)為1

的等腰直角一:角形出發(fā)，以該三角形的斜邊為新三角形的直角邊，1為新三角形另一條直角

邊的長(zhǎng)作直角三角形，以此類(lèi)推，得到一系列直角三角形，引發(fā)學(xué)生思考這些直角三角形斜

邊長(zhǎng)的值能否表示出來(lái)，進(jìn)而引出算術(shù)平方根的概念。

二、學(xué)生起點(diǎn)分析

學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)；學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了勾股定理、無(wú)理數(shù)，并掌握了乘方運(yùn)算。本節(jié)課

將在這些基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究算術(shù)平方根。

學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：在前面的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生已經(jīng)積累了自主探究、合作學(xué)習(xí)的經(jīng)

驗(yàn)，具有一定的觀察、分折、歸納、概括能力，具備了一定的合作與交流能力。這節(jié)課的教

學(xué)，力求從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，以他們熟悉的問(wèn)題情境引入學(xué)習(xí)主題，在關(guān)注現(xiàn)實(shí)生活的同時(shí)，

更加關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部的挑戰(zhàn)性。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.了解算術(shù)平方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根；了解求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)

平方根與平方是互逆的運(yùn)算，會(huì)利用這個(gè)互逆運(yùn)算關(guān)系求非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根；了解算術(shù)平

方根的性質(zhì)。

2.經(jīng)歷動(dòng)手操作、觀察、猜想，培養(yǎng)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，發(fā)展表達(dá)和運(yùn)算能力。

3.通過(guò)積極參與獲取新知，從中滲透從特殊到一般及類(lèi)比的觀點(diǎn)，在小組活動(dòng)中發(fā)展獨(dú)

立思考能力和競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)。

4.在概念形成過(guò)程中，體會(huì)知識(shí)的來(lái)源與發(fā)展，提高思維能力；在合作交流等活動(dòng)中，

培養(yǎng)合作精神和創(chuàng)新意識(shí)。

教學(xué)重點(diǎn)：了解算術(shù)平方根的概念，知道求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根與平方是互逆的運(yùn)算。

教學(xué)難點(diǎn)：會(huì)用根號(hào)表示一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根。

四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

【第一環(huán)節(jié)】創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)思考

1.活動(dòng)內(nèi)容

（2）x,戶z,w中哪些是有理數(shù)？哪些是無(wú)理數(shù)？你能表示它們嗎？

2.活動(dòng)目的

帶著問(wèn)題進(jìn)入這節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受學(xué)習(xí)用算術(shù)平方根表示的必要性。

3.注意事項(xiàng)

在活動(dòng)中，學(xué)生能表示f=2,產(chǎn)=3,Z2=4,M=5,能求得z=2,但不能求得x,y,

卬的值，從而激發(fā)學(xué)生繼續(xù)往下學(xué)習(xí)的興趣，進(jìn)而引入新的運(yùn)算一一開(kāi)方。

【第二環(huán)節(jié)】理解概念

1.活動(dòng)內(nèi)容

引出新概念。

『=2,產(chǎn)=3,z?=4,M=5,己知哥和指數(shù)，你能求出底數(shù)嗎？

在上面思考的基礎(chǔ)上，明晰概念：

一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于即/=〃，那么這個(gè)正數(shù)x就叫作。的算術(shù)平

方根，記作“癡”，讀作“根號(hào)。

特別地，我們規(guī)定：0的算術(shù)平方根是0,即加=0。

例1求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：

(1)900；(2)49；(3)121；(4)225：

(5)0.09；(6)0.64：(7)0.81；(8)2.25；

4981

儀

(9)?*(10)*(11)14；(12)15。

2.活動(dòng)目的

讓學(xué)生體驗(yàn)概念的形成過(guò)程，感受到概念引入的必要性，對(duì)算術(shù)平方根概念形成認(rèn)識(shí)，

并通過(guò)例題鞏固學(xué)生對(duì)算術(shù)平方根概念的認(rèn)識(shí)。體驗(yàn)求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根的過(guò)程，利用

平方運(yùn)算求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根的方法，讓學(xué)生明白有的正數(shù)的算術(shù)平方根可以開(kāi)出來(lái)，

有的正數(shù)的算術(shù)平方根只能用根號(hào)表示，如14的算術(shù)平方根是

3.注意事項(xiàng)

在探索的過(guò)程中，可以提出問(wèn)題“已知幕和指數(shù)，你能求出底數(shù)x嗎？”通過(guò)例題，讓

學(xué)生感受一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，。的算術(shù)平方根是0,負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根。

【第三環(huán)節(jié)】思考交流

1.活動(dòng)內(nèi)容

思考-交流

（1）在上面例1中，一些數(shù)的算術(shù)平方根的結(jié)果沒(méi)有“一”了，這些數(shù)有什么特點(diǎn)？

（2）在上面例1中，7900=30,也就是歷=30。一般地，當(dāng)。力0時(shí)，后。

成立嗎？

（3）（后丫成立嗎？這里的。是什么數(shù)？你是怎么理解的？與同伴進(jìn)行交流。

例2由靜止自由下落的物體下落的距離s（單位：口）與下落時(shí)間/（單位：s）之間的

關(guān)系為5=4.9汽有一個(gè)鐵球從19.6m高的建筑物上由靜止自由下落，到達(dá)地面需要多長(zhǎng)

時(shí)間？

2.活動(dòng)目的

（1）通過(guò)“思考?交流”，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解平方與開(kāi)方之間的關(guān)系，深入認(rèn)識(shí)算

式平方根的概念，進(jìn)而得到以下結(jié)論：

當(dāng)時(shí)，、小=7,當(dāng)。＜0時(shí)，y信二—4。

（2）設(shè)置例2,用算術(shù)平方根的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。

3.注意事項(xiàng)

對(duì)于當(dāng)。＜0時(shí)，"=一。的討論，可以通過(guò)舉例、歸納等方式進(jìn)行，從而明確算

術(shù)平方根的雙重非負(fù)性。

【第四環(huán)節(jié)】嘗試運(yùn)用，鞏固概念

1.活動(dòng)內(nèi)容

隨堂練習(xí)：

1.求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：

25

（1）36；（2）1川；（3）15；（4）0.64；（5）10%（6）以5。

2.下列說(shuō)法正確的是（）。

A.5是25的算術(shù)平方根B±4是16的算術(shù)平方根

C.-6是（-6》的算術(shù)平方根D.0.01是0.1的算術(shù)平方根

144

3.正數(shù)—的平方為萬(wàn)：（-5）2的算術(shù)平方根為。

4.若一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是V5,則這個(gè)數(shù)是。

5.在△力AC中，ZC=90°,8c=3,AC=5,求48的長(zhǎng)。

6.如圖，從帳篷支撐桿力8的頂部4向地面拉一根繩子4C固定帳篷。若繩子的K度為

8m,地面固定點(diǎn)C到帳篷支撐桿底部B的距離為6.4m,則帳篷支撐桿的高是多少？

2.活動(dòng)目的

旨在檢測(cè)學(xué)生對(duì)算術(shù)平方根的概念和性質(zhì)的掌握情況，以便根據(jù)學(xué)生情況調(diào)整教學(xué)進(jìn)

程，練習(xí)的梯度性由淺入深，一步步加深對(duì)算術(shù)平方根的概念以及性質(zhì)的認(rèn)識(shí)。同時(shí)對(duì)學(xué)生

的回答，教師要給予評(píng)價(jià)和點(diǎn)評(píng)。

【第五環(huán)節(jié)】課堂小結(jié)，布置作業(yè)

1.活動(dòng)內(nèi)容

圍繞以下內(nèi)容進(jìn)行課堂小結(jié)：

（1）算術(shù)平方根的概念。

（2）算術(shù)平方根的性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)正數(shù)；0的算術(shù)平方根是0：負(fù)

數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根。

（3）求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根的運(yùn)算與平方運(yùn)算是互逆的運(yùn)算，可以利用這個(gè)互逆運(yùn)

算關(guān)系求非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根。

布置作業(yè)

①習(xí)題2.2第1題、第3題（1）~（8）、第16~18題。

②查找算術(shù)平方根的相關(guān)資料，與同伴分享交流。

2.活動(dòng)目的

依照本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)本節(jié)課的知識(shí)要點(diǎn)，強(qiáng)化算術(shù)平方根的概念和

性質(zhì)。通過(guò)作業(yè)讓學(xué)生進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)本課知識(shí)的理解和掌握。

五、教學(xué)設(shè)計(jì)反思

1.細(xì)講概念、強(qiáng)化訓(xùn)練

要想讓學(xué)生掌握算術(shù)平方根的概念，需要讓學(xué)生經(jīng)歷由淺入深、不斷深化的過(guò)程。概念

是由具體到抽象、由特殊到一般，經(jīng)過(guò)分析、綜合去掉非本質(zhì)特征，保持本質(zhì)屬性而形成的。

概念的形成過(guò)程也是思維過(guò)程，加強(qiáng)概念形成過(guò)程的教學(xué)，有利于提高學(xué)生的思維水平。概

念教學(xué)過(guò)程中要做到：講清概念，加強(qiáng)訓(xùn)練，逐步深化。

“講清概念”就是通過(guò)具體實(shí)例揭露算術(shù)平方根的石質(zhì)特征。算術(shù)平方根的本質(zhì)特征就

是定義中指出的“如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于。，即那么這個(gè)正數(shù)x就叫作。的算

術(shù)平方根”的“正數(shù)『'，即被開(kāi)方數(shù)是正的，由平方的意義可知。也是正數(shù)，因此算術(shù)平

方根也必須足正的。當(dāng)然零的算術(shù)平方根是零。

“加強(qiáng)訓(xùn)練”不但指要加強(qiáng)求算術(shù)平方根的基本訓(xùn)練，使練習(xí)題達(dá)到一定的質(zhì)和量，也

包括書(shū)寫(xiě)格式的訓(xùn)練，如在求正數(shù)的算術(shù)平方根時(shí)，不是直接寫(xiě)出算術(shù)平方根，而是通過(guò)平

方運(yùn)算來(lái)求算術(shù)平方根，非平方數(shù)的算術(shù)平方根只能用根號(hào)來(lái)表示。

“逐步深化”是指將運(yùn)用算術(shù)平方根的概念和性質(zhì)的題目按不同的“梯度”組成題組，

在教學(xué)的不同階段按由淺入深的原則加以使用，幫助學(xué)生逐步深化概念的理解和運(yùn)用。

2.發(fā)展思維、適度拓展

在教學(xué)中，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，在學(xué)有余力的情況下，可以對(duì)。的雙重非負(fù)性的知識(shí)

進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣埂?/p>

第二章實(shí)數(shù)

2平方根與立方根（第2課時(shí)）

一、學(xué)習(xí)任務(wù)分析

本節(jié)課是北師大版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)（上冊(cè)）第二章“實(shí)數(shù)”第二節(jié)的第2課時(shí)。平方根

是對(duì)算術(shù)平方根的深化與拓展。學(xué)生已經(jīng)掌握算術(shù)平方根的概念，并且具有強(qiáng)烈的好奇心和

學(xué)習(xí)熱情。但抽象意識(shí)不足，缺乏對(duì)現(xiàn)有知識(shí)的遷移應(yīng)用意識(shí)，還缺乏對(duì)知識(shí)體系進(jìn)行整合

和建構(gòu)的意識(shí)。因此，本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)在對(duì)教學(xué)內(nèi)容的深入理解和對(duì)學(xué)情的精準(zhǔn)把握的基

礎(chǔ)上，從學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)類(lèi)比學(xué)習(xí)新知，根據(jù)教學(xué)目標(biāo)精心設(shè)計(jì)合理且有效的教學(xué)活動(dòng)，

使學(xué)生經(jīng)歷層次清晰的、完整的抽象過(guò)程，在學(xué)習(xí)活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)知識(shí)、形成技能、發(fā)展核心素

養(yǎng)。

二、學(xué)生起點(diǎn)分析

學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ):了解數(shù)的算術(shù)平方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示?個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根。

能在具體的例子中抽象出概念，發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力。學(xué)生還具備了乘方運(yùn)算的基礎(chǔ)，

并能熟練計(jì)算任何一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根。

學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：在前面的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生已經(jīng)積累了自主探究、合作學(xué)習(xí)的經(jīng)

驗(yàn)，具有一定的觀察、分析、歸納、概括能力，具備了一定的合作與交流能力。這節(jié)課的教

學(xué)，力求從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，以他們熟悉的問(wèn)題情境引入學(xué)習(xí)主題，在關(guān)注現(xiàn)實(shí)生活的同時(shí)，

更加關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部的挑戰(zhàn)性.

三、教學(xué)目標(biāo)

1.了解數(shù)的平方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示一個(gè)數(shù)的平方根；會(huì)求一個(gè)正數(shù)的平方根；了

解平方根的性質(zhì)。

2.經(jīng)歷動(dòng)手操作、觀察、猜想，培養(yǎng)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，發(fā)展表達(dá)和運(yùn)算能力。

3.通過(guò)積極參與獲取新知，從中滲透從特殊到一般及類(lèi)比的觀點(diǎn)，在小組活動(dòng)中發(fā)展獨(dú)

立思考的能力。

4.通過(guò)主動(dòng)參與，勇于面對(duì)困難并能夠解決困難，發(fā)展合作交流意識(shí)。

教學(xué)重點(diǎn)：了解數(shù)的平方根的概念，會(huì)求一個(gè)正數(shù)的平方根，了解平方根的性質(zhì)。

教學(xué)難點(diǎn)：會(huì)求一個(gè)正數(shù)的平方根。

四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

【第一環(huán)節(jié)】復(fù)習(xí)舊知，引入新知

1.活動(dòng)內(nèi)容

（1）3的平方是9,還有其他數(shù)的平方也是9嗎？

4

（2）平方等于石的數(shù)有幾個(gè)？平方等于0.64的數(shù)呢？

一般地，如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a,即那么這個(gè)數(shù)x就叫作a的平方根（也

叫作二次方根）。

2.活動(dòng)目的

讓學(xué)生形成“平方根”的概念。在列舉一些具體數(shù)據(jù)的感性認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上，由平方運(yùn)算反

推出平方根的概念和定義，并讓學(xué)生熟練地進(jìn)行平方運(yùn)算和平方根運(yùn)算之間的互化，并明白

它們之間的互逆關(guān)系。

3.注意事項(xiàng)

這里也可以借助上一課時(shí)中的例子、拋開(kāi)實(shí)際情境，問(wèn)/=4,除了2以外，還有其他數(shù)

的平方也是4嗎？

【第二環(huán)節(jié)】形成概念，辨析概念

1.活動(dòng)內(nèi)容

嘗試-思考

（1）平方根和算術(shù)平方根有哪些相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

（2）一個(gè)正數(shù)有幾個(gè)平方根？。有幾個(gè)平方根？負(fù)數(shù)呢？

一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根；0只有一個(gè)平方根，它是0本身；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。

相同點(diǎn)：

1.只有非負(fù)數(shù)才有平方根和算術(shù)平方根。

2.0的平方根是0,算術(shù)平方根也是0。

不同點(diǎn)：個(gè)數(shù)不同。一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，但只有一個(gè)算術(shù)平方根。

明晰概念

正數(shù)。有兩個(gè)平方根，一個(gè)是。的算術(shù)平方根右,另一個(gè)是-右,他們互為相反數(shù)。

這兩個(gè)平方根合起來(lái)可以記作土右，讀作“正、負(fù)根號(hào)。

求一個(gè)數(shù)。的平方根為運(yùn)算，叫作開(kāi)平方，。叫作被開(kāi)方數(shù)。

2.活動(dòng)目的

“嘗試?思考”辨析“平方根”與“算術(shù)平方根”概念的區(qū)別與聯(lián)系，使之與上一課時(shí)

緊密聯(lián)系，同時(shí)也為明晰概念奠定了基礎(chǔ)。

3.注意事項(xiàng)

這里從具體問(wèn)題入手，遵循了從具體到抽象的過(guò)程，并和原有的概念進(jìn)行了比較與辨析,

幫助學(xué)生厘清算術(shù)平方根和平方根之間的關(guān)系。

【第三環(huán)節(jié)】嘗試運(yùn)用，鞏固概念

1.活動(dòng)內(nèi)容

例題示范

例1求下列各數(shù)的平方根：

49/、2

(1)64；(2)—：(3)0.0004；(4)(-25)'；(5)11。

解：(I)因?yàn)?±8)2=64,所以64的平方根是±8,即土扃=±8；

<7Y49497497

（2）因?yàn)橥?=—,所以一■的平方根是土一，即±』——=±—；

（11；12112111V12111

（3）因?yàn)椋ā?.02）2=0.0004,所以00004的平方根是±0.02,UP±5/0.0004=±0.02；

2

(4)因?yàn)?±25>=(—25>,所以(一25)2的平方根是±25,gp±^(_25)=±25；

(5)11的平方根是土JTT。

例2求下列各式的值：

（1）A/225；（2）一；（3）J（-8y。

解:（I）V225=7157=15：

⑵-降-匿智

(3)7(-s)2=8o

隨堂練習(xí)

1.求下列各數(shù)的平方.根：

1.44,0,8,—,441,196,ICT4。

49

2.25的平方根是,1的平方根是,病的平方根是

3.7^57=___，網(wǎng)、，(-@=。

鞏固練習(xí)

1.下列說(shuō)法正確的是。

①一3是庖的平方根

②25的平方根是5

③一36的平方根是一6

④平方根等于0的數(shù)是0

⑤6的算術(shù)平方根是8

2.下列說(shuō)法不正確的是。

A.0的平方根是0

B.-22的平方根是2

C.非負(fù)數(shù)的平方根互為相反數(shù)

D.一個(gè)正整數(shù)的算術(shù)平方根一定大于這個(gè)數(shù)的相反數(shù)

3.已知一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是J則該自然數(shù)的下一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是

（）O

A.a1B.Va+1

C.洛1D.yJa2+\

2.活動(dòng)目的課本上的例題，要求學(xué)生能正確掌握平方根的文字說(shuō)理及符號(hào)化的表達(dá)。

能熟練地求出一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根，然后由題中的數(shù)探索出正數(shù)、0、負(fù)數(shù)的平方根的個(gè)數(shù)。

圍繞本節(jié)課的重點(diǎn)知識(shí)（平方根）做適當(dāng)?shù)木毩?xí)，在不同的變式練習(xí)中加深對(duì)平方根意義的

理解。

3.注意事項(xiàng)

通過(guò)對(duì)例題的詳解.，希望學(xué)生能準(zhǔn)確地書(shū)寫(xiě)表達(dá)，規(guī)范平方根的書(shū)寫(xiě)格式，掌握正確的

符號(hào)化語(yǔ)言。

【第四環(huán)節(jié)】課堂小結(jié)，布置作業(yè)

1.活動(dòng)內(nèi)容

課堂小結(jié)

引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本課時(shí)的知識(shí)、方法。

布置作業(yè)

習(xí)題2.2知識(shí)技能：第2,4,5題。問(wèn)題解決：第19,20,21,22題。

2.活動(dòng)目的

讓學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行梳理，使之思路清晰。既鞏固了有關(guān)知識(shí)，又培養(yǎng)了學(xué)生良好

的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。

五、教學(xué)設(shè)計(jì)反思

1.情境教學(xué)，經(jīng)歷知識(shí)形成的過(guò)程

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，教學(xué)活動(dòng)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)情境中發(fā)

現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，利用觀察、猜測(cè)等方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題。本課時(shí)設(shè)計(jì)了一個(gè)課前熱

身環(huán)節(jié)，是在學(xué)生已有的乘方運(yùn)算的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生感受到新運(yùn)算和平方運(yùn)算是互逆運(yùn)算。

同時(shí)尊重教材，在求直角三角形斜邊長(zhǎng)的問(wèn)題基礎(chǔ)上，增加了兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題.在解決實(shí)際問(wèn)

題中，創(chuàng)設(shè)信息化的學(xué)習(xí)環(huán)境，提升學(xué)生的探究熱情，激發(fā)學(xué)生的想象力。本節(jié)課，我們要

教的不僅僅是開(kāi)平方運(yùn)算，更要讓學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的過(guò)程，感悟數(shù)學(xué)思想方

法，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，這有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

2.樹(shù)立整體觀念，明魂知識(shí)的來(lái)龍去脈

章建躍博士認(rèn)為，數(shù)學(xué)是一個(gè)整體，思維是一個(gè)系統(tǒng)。課堂教學(xué)應(yīng)注重整體性設(shè)計(jì)，提

升學(xué)生的系統(tǒng)思維水平。"看似簡(jiǎn)單”的課，絕不是獨(dú)立的，它一定是后續(xù)深入學(xué)習(xí)的起點(diǎn)。

在本節(jié)課的概念建構(gòu)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生為平方根的命名進(jìn)行解讀，引發(fā)學(xué)生思考，為后續(xù)學(xué)習(xí)立

方根的命名作鋪墊。小結(jié)環(huán)節(jié)采用類(lèi)比學(xué)習(xí)，為后續(xù)概念課的學(xué)習(xí)提供范式，整體性的學(xué)習(xí)，

有助于為學(xué)生建立前后一致、邏輯連貫的數(shù)學(xué)認(rèn)知建構(gòu).

3.立意深遠(yuǎn)，關(guān)注學(xué)生的發(fā)展

本課的核心目標(biāo)是育人。從情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)歷情境數(shù)學(xué)化的過(guò)程；從

情境中建立方程模型，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)模型的魅力；從探究概念的過(guò)程中，挖掘出背后隱藏

的“生長(zhǎng)點(diǎn)”和“延伸點(diǎn)”，提升了學(xué)生的思維力。本節(jié)課基于情境，始終圍繞著發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、

提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程展開(kāi)，不僅培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，還提高了學(xué)生的

綜合應(yīng)用能力。

從平方根的概念、性質(zhì)到應(yīng)用可以看出，教材編寫(xiě)遵循“三會(huì)”的過(guò)程。學(xué)生建構(gòu)新知

的過(guò)程也遵循“三會(huì)”的過(guò)程，學(xué)生解決問(wèn)題的過(guò)程也遵循“三會(huì)”的過(guò)程。因此，教師在

教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)依據(jù)“觀察一思考一表達(dá)”的基本流程和主要環(huán)節(jié)，為學(xué)生設(shè)計(jì)活動(dòng)，注重

培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)。將尚單的課上出滿滿的數(shù)學(xué)味道，有效實(shí)現(xiàn)過(guò)程與結(jié)果的有機(jī)統(tǒng)一。

第二章實(shí)數(shù)

2平方根與立方根（第3課時(shí)）

一、學(xué)習(xí)任務(wù)分析

本節(jié)課是北師大版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)（上冊(cè)）第二章“實(shí)數(shù)”第二節(jié)的第3課時(shí)。立方根

是數(shù)與式中重要的知識(shí)點(diǎn)之一，立方根的計(jì)算有著廣泛的應(yīng)用，幾何體的計(jì)算經(jīng)常涉及開(kāi)立

方。學(xué)習(xí)立方根，學(xué)生可以更加深入地了解無(wú)理數(shù)，為后面學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)奠定基礎(chǔ)。

以求小立方塊的棱長(zhǎng)問(wèn)題為情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察其空間結(jié)構(gòu)，引出立方根的概念。通過(guò)

對(duì)立方根與平方根的類(lèi)比，探索兩者之間的聯(lián)系和區(qū)別。因此，除了具體的知識(shí)技能（如知

道一個(gè)數(shù)的立方根的意義，會(huì)用根號(hào)表示一個(gè)數(shù)的立方根，掌握立方根的運(yùn)算等）學(xué)習(xí)以外,

還要引導(dǎo)學(xué)生嘗試運(yùn)用類(lèi)比等數(shù)學(xué)方法，并在過(guò)程中不斷發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

二、學(xué)生起點(diǎn)分析

學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)：學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平方根，并較為熟練地掌握了平方根的概念和性

質(zhì)，了解了平方運(yùn)算與開(kāi)平方互為逆運(yùn)算，學(xué)會(huì)了求一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根和算術(shù)平方根的計(jì)

算方法。學(xué)生在七年級(jí)上冊(cè)己經(jīng)學(xué)過(guò)數(shù)的立方的計(jì)算，并通過(guò)類(lèi)比平方根的學(xué)習(xí)，能夠更好

地進(jìn)行立方根的探究。

學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了平方根知識(shí)的學(xué)習(xí)探索，體驗(yàn)了用根號(hào)表示非負(fù)

數(shù)的算術(shù)平方根和平方根，運(yùn)用類(lèi)比的思想，可以為立方根的探究提供一定的學(xué)習(xí)路徑。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.了解立方根的概念，能用根號(hào)表示一個(gè)數(shù)的立方根；能用立方運(yùn)算求某些數(shù)的立方根,

體會(huì)一個(gè)數(shù)的立方根的唯一性；理解立方根與平方根的區(qū)別和聯(lián)系。

2.經(jīng)歷對(duì)立方根的探究過(guò)程，在探究中學(xué)會(huì)解決立方根問(wèn)題的?些基本方法和策略，培

養(yǎng)逆向思維能力和分類(lèi)討論的意識(shí)。

3.利用類(lèi)比思想，學(xué)習(xí)立方根。在開(kāi)立方與立方互為逆運(yùn)算的探究過(guò)程中，滲透從特殊

到一般的思想，并培養(yǎng)運(yùn)用逆向思維解決問(wèn)題的能力。

教學(xué)重點(diǎn)：了解立方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示一個(gè)數(shù)的立方根。

教學(xué)難點(diǎn)：能用立方運(yùn)算求某些數(shù)的立方根，了解開(kāi)立方和立方互為逆運(yùn)算。

四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

【第一環(huán)節(jié)】情境引入，提出問(wèn)題

1.活動(dòng)內(nèi)容

圖1是由大小相同的小立方塊搭成的幾何體。如果這個(gè)幾何體的體

積為216cm3,那么每個(gè)小立方塊的棱長(zhǎng)是多少？

提問(wèn)：這個(gè)幾何體是由幾個(gè)小立方塊搭成的？每個(gè)小立方塊的體積

是多少？怎樣求出小立方塊的棱長(zhǎng)呢？

讓我們通過(guò)解決這些問(wèn)題來(lái)學(xué)習(xí)新知識(shí)。

2.活動(dòng)目的

通過(guò)問(wèn)題情境引入，讓學(xué)生感受學(xué)習(xí)新知的必要性，激發(fā)學(xué)生的求知欲望。

3.注意事項(xiàng)

設(shè)置上述幾個(gè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考：這個(gè)幾何體的邊長(zhǎng)可能是多少？引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)猜想

得到幾何體棱長(zhǎng)為6cm,進(jìn)而得到小立方塊棱長(zhǎng)為2cm。另外也可以發(fā)現(xiàn)幾何體由27個(gè)小

立方塊組成，每個(gè)小立方塊的體積是8cm31從而得到小立方塊棱長(zhǎng)是2cm。

【第二環(huán)節(jié)】理解概念，汲取新知

1.活動(dòng)內(nèi)容

提問(wèn)：什么數(shù)的立方等于8?

追問(wèn)：你能類(lèi)比平方根的定義給由立方根的定義嗎？

概念歸納：

一般地，如果一個(gè)數(shù)X的立方等于。，即那么這個(gè)數(shù)X就叫作。的立方根(也叫

O

作三次方根)。如2是8的立方根，_2是-徜的立方根，0是0的立方根。

327

2.活動(dòng)目的

通過(guò)情境問(wèn)題的解決，引出立方根的概念，為后面研究立方根的性質(zhì)做好鋪墊。

【第三環(huán)節(jié)】初步探究

1.活動(dòng)內(nèi)容

嘗試-思考

怎樣求下列括號(hào)內(nèi)的數(shù)？各題中已知什么數(shù)？求什么數(shù)？

(1)()3=8；(2)()3=0；(3)()3=-27O

(2)一個(gè)數(shù)的平方根nJ能有兩個(gè)，一個(gè)數(shù)的立方根口」能有兒個(gè)呢？

(3)正數(shù)有幾個(gè)立方根？0有幾個(gè)立方根？負(fù)數(shù)呢？

2.活動(dòng)目的

通過(guò)具體的計(jì)算練習(xí)，讓學(xué)生進(jìn)一步了解求一個(gè)數(shù)的立方與求一個(gè)數(shù)的立方根互為逆運(yùn)

算，感受一個(gè)數(shù)的立方根的唯一性，算式中對(duì)a的取值分別選為正數(shù)、負(fù)數(shù)、0。這樣的設(shè)

計(jì)可以幫助學(xué)生滲透分類(lèi)討論的思想方法。

設(shè)計(jì)問(wèn)題申是為了方便平方根與立方根的對(duì)比，幫助學(xué)生弄清兩者的區(qū)別和聯(lián)系。

3.注意事項(xiàng)

在上面的基礎(chǔ)上明晰卜列內(nèi)容，對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行梳理。

(1)每個(gè)數(shù)a都有一個(gè)立方根，記作“痣”，讀作“三次根號(hào)。例如：當(dāng)r=7

時(shí)，x是7的立方根，記作產(chǎn)陰。與數(shù)的平方根的表示比較，數(shù)的立方根中根號(hào)前沒(méi)有“土”

符號(hào)，但根指數(shù)3不能省略。

(2)正數(shù)的立方根是正數(shù)，0的立方根是0,負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)。

(3)求一個(gè)數(shù)“的立方根的運(yùn)算叫作開(kāi)立方，a叫作被開(kāi)方數(shù)。開(kāi)立方與立方互為逆

運(yùn)算。

【第四環(huán)節(jié)】嘗試反饋，鞏固練習(xí)

1.活動(dòng)內(nèi)容

例1求下列各數(shù)的立方根：

Q

（1）-27；（2）—；（3）0.216；（4）-5。

解：（1）因?yàn)椋?3>=-27,所以-27的立方根是-3,即正方=-3；

（2）因?yàn)?=工所以展的立方根是巳即償W；

[5）125°5'1255

（3）因?yàn)椋?.6尸=0.216,所以0.216的立方根是0.6,即瘋而=0.6;

（4）-5的立方根是行。

2.活動(dòng)目的

本例讓學(xué)生根據(jù)定義求立方根，鞏固對(duì)立方根概念的理解。通過(guò)按照立方根的定義表述

解題過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生理解立方根的概念。

3.注意事項(xiàng)

教師可以先行示范，規(guī)范書(shū)寫(xiě)要求，學(xué)生在熟練以后可以簡(jiǎn)化寫(xiě)法。

【第五環(huán)節(jié)】思考交流，深入探究

1.活動(dòng)內(nèi)容

思考-交流

（1）在例1中，一些數(shù)的立方根的結(jié)果沒(méi)有“曠”了，這些數(shù)有什么特點(diǎn)？

（2）在例1中，產(chǎn)萬(wàn)二一3,也就是#（-3>=—3。一般地，行=〃成立嗎？

（3）（必）3=。成立嗎？與同伴進(jìn)行交流。

例2求下列各式的值：

（1）O；（2）V0.064;（3）（4）（向。

解：（1）V^_\（_2）3__2；（2）Vo.064-^0^=0.4；

鞏固練習(xí)

（1）求下列各式的值：

▼0.008：^^64：-陀：廊（幅

（2）一個(gè)正方體，它的體積是棱長(zhǎng)為3cm的正方體體積的8倍，這個(gè)正方體的

棱長(zhǎng)是多少？

2.活動(dòng)目的

“思考?交流”環(huán)節(jié)進(jìn)一步討論如何對(duì)各式進(jìn)行化簡(jiǎn)，求立方根。例2則根據(jù)“思考?交

流”的所學(xué)內(nèi)容求立方根，進(jìn)一步鞏固立方根的求法。

3.注意事項(xiàng)

學(xué)生通過(guò)練習(xí)掌握立方根的概念和計(jì)算方法，并通過(guò)對(duì)計(jì)算結(jié)果的分析得出立方根的性

質(zhì)，若學(xué)生不能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，教師可以再給出幾個(gè)例子，引導(dǎo)學(xué)生觀察被開(kāi)方數(shù)、根指數(shù)及運(yùn)

算結(jié)果之間的關(guān)系，從而得出立方根的性質(zhì)；也可以安排學(xué)生分小組討論，通過(guò)交流，展示

學(xué)生發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，若學(xué)生的討論不夠深入，可由教師補(bǔ)充得出結(jié)論。

【第六環(huán)節(jié)】課堂小結(jié)，反思?xì)w納

1.活動(dòng)內(nèi)容

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)你學(xué)到了哪些內(nèi)容？

歸納、總結(jié)學(xué)生的【可答，得出下列內(nèi)容：

（1）了解立方根的概念，會(huì)用三次根號(hào)表示一個(gè)數(shù)的立方根，能用立方運(yùn)算求一個(gè)數(shù)

的立方根；

（2）在學(xué)習(xí)中應(yīng)注意以下5點(diǎn)：

①符號(hào)布中根指數(shù)“3”不能省略；

②對(duì)于立方根，被開(kāi)方數(shù)沒(méi)有限制，正數(shù)、零、攸數(shù)都有一個(gè)立方根，即一個(gè)數(shù)的立

方根是唯一的；

③平方根和立方根的區(qū)別：正數(shù)有兩個(gè)平方根，但只有一個(gè)立方根；

負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，但卻有一個(gè)立方根；

④靈活運(yùn)用公式：（0）3二小?勿之々，：

⑤立方與開(kāi)立方互為逆運(yùn)算?？梢杂昧⒎竭\(yùn)算求一個(gè)數(shù)的立方根，或檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是不

是另一個(gè)數(shù)的立方根。

2.活動(dòng)目的

引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)本節(jié)課的知識(shí)要點(diǎn)及數(shù)學(xué)方法，使知識(shí)系統(tǒng)化。

3.注意事項(xiàng)

通過(guò)小結(jié)，對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行了梳理，學(xué)生進(jìn)一步鞏固了立方根的概念和求解方法，加深

了類(lèi)比等學(xué)習(xí)方法，有助于學(xué)生理解、掌握數(shù)學(xué)的基本知識(shí)和基本技能，形成數(shù)學(xué)基本思想,

積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

如有時(shí)間，學(xué)生學(xué)有余力，還可以安排學(xué)生探究下列問(wèn)題：

求下列各式中的X。

(1)x3-64=o；(2)底+27=0。

【第七環(huán)節(jié)】布置作業(yè)

1.活動(dòng)內(nèi)容

基礎(chǔ)作業(yè)：

1.求下列各數(shù)的立方根：

18

0.001,-1,一),8000,亍-5⑵

2.求下列各式的值：

(1)](-3)3；(2)(V125)3;(3)一匹。

3.