7.3平行線的證明（第1課時）教學(xué)設(shè)計

一、內(nèi)容與內(nèi)容解析

（一）教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課是北師大版初中數(shù)學(xué)八年級（上冊）第七章“證明”的第3節(jié)。內(nèi)容包括：平行線的判定

方法，包括”同位角相等，兩直線平行“、”內(nèi)錯角相等，兩直線平行”和“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，

（二）教學(xué)內(nèi)容解析

本節(jié)課是平面幾何邏輯推理的入門課。它從“直觀感知“過渡到“邏輯論證”，要求學(xué)生不僅能識別

三線八角，還要能用已知公理或定理證明新的判定方法。這是培養(yǎng)學(xué)生推理能力和數(shù)學(xué)思維的關(guān)鍵

環(huán)節(jié)?；谝陨戏治觯_定本節(jié)課的教學(xué)重點為：

【教學(xué)重點】了解并掌握平行線的判定公理和定理。

二、目標(biāo)與目標(biāo)解析

（一）教學(xué)目標(biāo)

1.掌握平行線的三種判定方法，并能運用它們進(jìn)行簡單的推理和計算。能將文字語言、圖形

語言、符號語言進(jìn)行互譯。

2.通過觀察、操作、思考、推理等活動，經(jīng)歷平行線判定方法的探索和證明過程。初步體會”

轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，如將內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角問題轉(zhuǎn)化為同位角問題。

（二）教學(xué)目標(biāo)解析

1.初步了解證明的基本步驟和書寫格式.

2會根據(jù)基本事實“同位角相等，兩直線平行”來證明“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，

兩直線平行“，并能簡單應(yīng)用這些結(jié)論.

3.在證明過程中，培養(yǎng)初步的演繹推理能力.

三、學(xué)生學(xué)情分析

已有基礎(chǔ)：學(xué)生在七年級已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行線的定義、性質(zhì)，并通過觀察和動手操作知道了”同位

角相等，兩直線平行”。他們具備了一定的圖形識別能力和初步的歸納能力。

學(xué)習(xí)難點：從依賴直觀到依賴邏輯推理的轉(zhuǎn)變是最大難點。學(xué)生可能會混淆判定和性質(zhì)，在證

明過程中不知如何下手，或者推理步驟不完整、理由不充分。

認(rèn)知特點：八年級學(xué)生仍以具體形象思維為主，但抽象邏輯思維能力開始發(fā)展。他們渴望通過

自主探究和合作交流來獲取知識。

解："1二乙2（已知條件）,

、二乙3（對頂角相等）,

q=乙3（等量代換）.

??.a||b（同位角相等，兩直線平行）.

定理兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行.

簡述為：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

應(yīng)用格式:

vz.1=乙2（已知）,

??.a||b（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

試證明:

兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行.

如圖，和N2是直線a、b被直線c截出的同旁內(nèi)角，且N1與22互補(bǔ).求證：a||b.

證明:與42互補(bǔ)（已知）,

.?21+42=180。（互補(bǔ)的定義）.

??.4=180。-乙2（等式的性質(zhì)）.

又?23+42=180°（平角的定義）,

???比180?！?（等式的性質(zhì)）.

%1=/3（等量代換）.

??.a||b（同位角相等，兩直線平行）.

教師提醒：還有其他證法嗎？

定理兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行.

簡述為：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

應(yīng)用格式:

?21IZ.2=180。（已知）,

??.a||b（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）.

（鏈接針對練習(xí)）

2.畫平行線

（1）我們可以用如圖的方法作出平行線，你能說說其中的道理嗎?

一、放

二、靠

三、推

四、畫

內(nèi)錯角相等，兩直線平行

（2）在一張不規(guī)則的四邊形紙片上折出平行線，并予以證明，與同伴交流各自的折紙方法與證

明過程.

【例1】如圖，直線小分別與直線/交于點4,B,把一塊含30。角的三角尺按如圖所示的位

置擺室放，42=105。.當(dāng)41：的度數(shù)是________時，/1II/2.

【解析】如圖.?.24=30。,42=105。,

.?.Z3=18O0-Z2-Z.4=18O°-105°-30°=45°,

???當(dāng)41=23=45。時,/|||/2.

【解】45°

【例2】已知：如圖，在AA8C中，COL48于點D,E是4C上一點且41+△2=90。.求證：DEII8C.

【解析】依據(jù)同角的余角相等，即可得到乙上OC=42,即可得出。月|8c

【解】如圖.,??COL4B（已知），

?Z1+43=90°（垂直的定義）.

?.21+42=90°（已知）,

.?.z3=z2（同角的余角相等）,

.??OEIIBC（內(nèi)錯角相等,兩直線平行）.

【例3】如圖所示，已知乙。S=130。，OF平分乙EOD,乙/0。=25。.求證：ABWCD.

【解析】根據(jù)角平分線的定義先求出土￡。。的度數(shù)，再利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行即可證

明ABWCD.

【解】???0/平分NEO。，LFOD=25°（已知），

：.^EOD=50°（角平分線的定義）.

?2OEB=130。（已知），

?ZEOO+^O仍=180°,

.'.ABWCD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）.

7TTT>

【例4】如圖所示，已知乙2是直角，再測量出N1或43的度數(shù)就可以知道兩條鐵軌是否平行.

（1）若量得乙3=90。，結(jié)合乙2情況，說明理由.

（2）若量得"=90。，結(jié)合42情況，說明理由.

【解析】在兩條鐵軌與左邊的枕木構(gòu)成的“三線八角”中，ZI和42是同位角，42和N3是同旁內(nèi)

角，結(jié)合平行線的判定定理進(jìn)行說明即可.

【解】（1）?.?量得乙3=90。，而N2=90。，

.-.Z24-Z3=I8O0.

根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，得兩條鐵軌平行.

（2）???量得乙1=90。，而乙2=90。，.Z1=，2.

根據(jù)同位角相等，得兩條鐵軌平行.

（3）（三）課堂總結(jié)

1、本節(jié)課研究了什么問題？

2、本節(jié)課經(jīng)歷/怎樣的研究過程？用到了哪些數(shù)學(xué)思想？

3、對今后數(shù)學(xué)研究的啟發(fā)？你還有哪些疑惑呢？

【設(shè)計意圖】梳理知識脈絡(luò)，提煉核心方法，幫助學(xué)生形成系統(tǒng)的認(rèn)知，同時加深對代數(shù)式價值的

理解。

（四）布置作業(yè)、鞏固提高

1.如圖，點E在AB的延長線上，下列條件中能判斷ADIIBC的是（

A.Z.1=Z3B.Z.2=Z4

C.zC=zCBED.ZC+ZABC=180。

2.如圖，下列條件中，能判斷ABIICD的是(

A.Z.FEC=Z.EFB

B.ZBFC+ZC=I8O°

C.4BEFzEFC

D.zC=zBFD

CFI)

3.如圖，能判定a||b的條件是（）

A.Z1=Z5B.42+乙4=180°

C.Z3=Z4D.z2+zl=180°

4.如圖，直線a,b被直線c所截，下列條件能使allb的是（）

A.z.l=z6B.z2=z6

C.z.1=z.3D.z.5=z.7

5.如圖所示，推理填空：

（1）VZI=（已知），

ACHED（同位角相等.兩直線平行）.

（2）???42=（已知），

ABIIFD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

（3）vZ2+=180°（已知），

???ACIIED（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）.

7.3平行線的證明（第2課時）教學(xué)設(shè)計

一、內(nèi)容與內(nèi)容解析

（一）教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課是北師大版初中數(shù)學(xué)八年級（上冊）第七章“證明”的第3節(jié)。內(nèi)容包括：兩直線平行,

同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

（二）教學(xué)內(nèi)容解析

地位與作用：本節(jié)是在學(xué)生學(xué)習(xí)了"命題、定理與證明”以及“平行線的判定”的基礎(chǔ)上，對平行線

性質(zhì)的進(jìn)一步研究。它是平面幾何的基礎(chǔ)知識，也是后續(xù)學(xué)習(xí)三角形、四邊形等知識的重要工具。

核心素養(yǎng)：通過對平行線性質(zhì)的探索和證明，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力、幾何直觀能力和數(shù)學(xué)

語言表達(dá)能力?；谝陨戏治觯_定本節(jié)課的教學(xué)重點為：

【教學(xué)重點】平行線的三個性質(zhì)定理及其應(yīng)用。

二、目標(biāo)與目標(biāo)解析

（一）教學(xué)目標(biāo)

1.能說出平行線的三條性質(zhì)，并會用符號語言表示。

2.能運用平行線的性質(zhì)法行簡單的推理和計算。

3.經(jīng)歷觀察、操作、猜想、推理、交流等活動，探索平行線的性質(zhì)。

4.通過對比，理解平行線的性質(zhì)與判定的區(qū)別和聯(lián)系。

5.在探索和合作交流的過程中，體驗學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，培養(yǎng)主動探究的精神。

（二）教學(xué)目標(biāo)解析

達(dá)成目標(biāo)1的標(biāo)志是：學(xué)生能獨立復(fù)述性質(zhì)內(nèi)容，并在具體圖形中正確寫出對應(yīng)的角的關(guān)系。

達(dá)成目標(biāo)2的標(biāo)志是：學(xué)生能利用平行線的性質(zhì)，結(jié)合對頂角、鄰補(bǔ)角等知識，解決求角的度

數(shù)或證明角相等的問題。

達(dá)成目標(biāo)3的標(biāo)志是：學(xué)生能通過測量、剪拼等方式提出猜想，并嘗試用“反證法“或利用”判定

定理”進(jìn)行證明。

達(dá)成目標(biāo)4的標(biāo)志是：學(xué)生能在具體問題中，明確何時用性質(zhì)（由平行推角相等/互補(bǔ)），何時

用判定（由角相等/互補(bǔ)推平行）.

三、學(xué)生學(xué)情分析

已有基礎(chǔ)

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行線的定義、畫法以及三種判定方法。

學(xué)生初步具備了一定的觀察、操作和詢單推理能力。

學(xué)生對“三線八角”的識別有了一定的基礎(chǔ)。

可能困難

容易混淆平行線的性質(zhì)和判定，特別是在復(fù)雜圖形中。

從“判定”的正向思維轉(zhuǎn)向"性質(zhì)”的逆向思維存在障礙。

用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言進(jìn)行推理和證明，對學(xué)生來說仍是難點。

輔助線的添加是后續(xù)學(xué)習(xí)的難*,本節(jié)課雖不直接要求，但需為其鋪墊。

基于以上分析，確定教學(xué)難點如下：

【教學(xué)難點】平行線的性質(zhì)與判定的區(qū)別，以及綜合運用它們進(jìn)行邏輯推理。

四、教學(xué)策略分析

I.教學(xué)方法

啟發(fā)探究式：通過設(shè)置問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生自主探索、合作交流。

對比教學(xué)法：將性質(zhì)和判定進(jìn)行對比，幫助學(xué)生辨析，加深理解。

講練結(jié)合法：教師精講點撥，學(xué)生多練鞏固，及時反饋。

2.教學(xué)手段

利用多媒體課件展示圖形、動畫，增強(qiáng)直觀性。

引導(dǎo)學(xué)生使用量角器、直尺等工具進(jìn)行動手操作。

3.學(xué)法指導(dǎo)

鼓勵學(xué)生動手實踐、自主探索、合作交流。

指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對比學(xué)習(xí)，梳理知識結(jié)構(gòu)。

培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范的解題步驟和書寫格式。

五、教學(xué)過程分析

（一）復(fù)習(xí)引入

問題I:如何判斷兩條直線平行？（引導(dǎo)學(xué)生回顧判定定理）

問題2：反過來，如果知道兩條直線平行，那么同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角之間有什么關(guān)系呢？

分析：通過復(fù)習(xí)判定，創(chuàng)設(shè)“逆向思考”的情境，自然引入本節(jié)課主題，激發(fā)學(xué)生的探究欲望。

設(shè)計意圖：通過復(fù)習(xí)舊知，激活學(xué)生已有的知識儲備，降低新知識的學(xué)習(xí)難度。

（二）主動參與、感悟新知

我們已經(jīng)探索過平行線的性質(zhì)，下面證明它們。

定理兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等。

簡述為：兩直線平行，同位角相等。

已知：如圖，直線AB//CD/1和42是宣線AB,CD被直線EF截出的同位角。

求證:z.l=z2o

*證明：假設(shè)乙1￥匕2,那么我們可以過點M作直線GH,使乙EMH=42,如圖7-10所

7J\o

根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”，可知GH//CD.

又因為AB〃CD,這樣經(jīng)過點M存在兩條直線AB和GH都與直線CD平行。

這與基本事實“過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行”相

矛盾。

這說明4的假設(shè)不成立，所以4二乙2。如果N1wN2,

AB與CD的位置

利用上面的定理，我們可以證明：

關(guān)系會怎樣呢？

定理兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等。

簡述為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等。

已知：如圖7-11,直線h川2/I和乙2是直線h,12被直線1截出的內(nèi)錯角。

求證：z.l=z2o

分析：由條件h//12可以得到哪些角的等量關(guān)系，這些等量關(guān)系中的角與

有什么聯(lián)系?2

3

證明：勺1/2（已知）,

.Z1=A（兩直線平行，同位角相等）。

又：乙2二乙3（對頂角相等），

??"=42（等量代換）。

類似地，還可以證明：

定理兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

簡述為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

例已知：如圖7-12,b//a,c//a,z.1,Z.2,Z3是直線a,b,c被直線d截出的同位

角。

分析：由條件b//a,c//a可以得到哪些等量關(guān)系?為了證明b//c需要怎樣的

等量關(guān)系？

.??42=21（兩直線平行，同位角相等）。

:c//a（已知）,

./3=/1（兩直線平行，同位角相等）。

.??/2=/3（等量代換）。

:b〃c（同位角相等，兩直線平行）。

一般地，我們有如下定理：

定理平行于同一條直線的兩條直線平行。

回顧?反思

（1）回顧前面的證明過程，你認(rèn)為完成一個命題的證明，需要哪些主要環(huán)節(jié)?

（2）對于證明思路的分析，你積累了哪些經(jīng)驗？

【例I】如圖①所示的是大眾汽車的圖標(biāo)，圖②反映其中直線間的關(guān)系，并且

與乙B相等嗎？請證明.

圖①

【解析】首先判斷兩個角是否相等，再根據(jù)平行線的性質(zhì)說明理由即可.

【解】乙4與乙3相等.

證明：???ACII8。，AEIIB-（巳知），

二么=乙。0"，乙DOE=cB（兩直線平行，同位角相等），

乙4=28（等量代換），

即乙4與乙B相等.

【例2】如圖，ABHCD,乙B=〃>.求證:ADWBC.

【解析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出48+40=180。，求出/。+，。=180。，根據(jù)平行線的判定推出

即可.

【解】如圖，連接BD（狗造一組內(nèi)錯角）.

-ABWCD（已次。），

.?21=24（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

???48=乙。（已次口），

二4B一4I=4D一44（等式的性質(zhì)），

即乙2=乙3,

??.AQII8C（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

〃

【例3】如圖，直線ABIICDAE平分4cA8交CZ）于點E.若乙。=50。,貝U乙4EQ的度數(shù)