18.5分式方程（第1課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了分式的概念、基本性質(zhì)和運(yùn)算的基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)分式的應(yīng)用一一分式方程及其解

法。

2.內(nèi)容分析

分式方程是分母中含有未知數(shù)的方程，它是整式方程的延伸和發(fā)展，是人們對(duì)方程認(rèn)識(shí)的一次提升。

解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，其關(guān)鍵步驟是去分母。去分母時(shí)可能引起方程同解性

的變化。因此，檢驗(yàn)分式方程的根是解分式方程過(guò)程中必不可少的重要環(huán)節(jié)。利用去分母的方法將分式方

程化為整式方程，并把整式方程逐步化為最簡(jiǎn)的形式，然后對(duì)分式方程的根進(jìn)行檢驗(yàn)，這?過(guò)程蘊(yùn)含著化

歸思想和程序化思想。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：會(huì)解可化為一元一次方程的簡(jiǎn)單的分式方程。

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

（1）了解分式方程的概念。

（2）會(huì)用去分母的方法解可化為一元一次方程的簡(jiǎn)單的分式方程，體會(huì)化歸思想和程序化思想。

（3）了解解分式方程根需要進(jìn)行檢驗(yàn)的原因。

2.目標(biāo)解析

（1）學(xué)生需要能清晰地說(shuō)出分式方程的定義，并能準(zhǔn)確判斷一個(gè)方程是不是分式方程。通過(guò)與整式方

程的對(duì)比，強(qiáng)化”分母中含未知數(shù),這一關(guān)鍵特征。

（2）學(xué)生需要掌握解分式方程的完整步驟（去分母、解整式方程、檢驗(yàn)、寫解）。理解“去分母”的

目的是將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。體會(huì)解分式方程需要遵循一定的步驟，每一步都有明確目的。

（3）學(xué)生需要明白，檢驗(yàn)不是可有可無(wú)的步驟，而是必須的。因?yàn)樵谌シ帜笗r(shí)，方程兩邊同乘了含有

未知數(shù)的整式，如果這個(gè)整式的值為零，就可能產(chǎn)生使原方程分母為零的“增根”，檢驗(yàn)的目的就是剔除

增根，確保解的有效性。

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

問(wèn)題I：去分母時(shí)，漏乘不含分母的項(xiàng)。

應(yīng)對(duì)策略：強(qiáng)調(diào)“每一項(xiàng)都要乘”，包括不含分母的項(xiàng)；用不同顏色的粉筆標(biāo)出每一項(xiàng)要乘的公分母，

進(jìn)行視覺強(qiáng)化；示范時(shí)，把每一步都寫清楚，不跳步。

問(wèn)題2：忘記檢驗(yàn)或檢驗(yàn)方法不正確。

應(yīng)對(duì)策略：引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，體會(huì)檢驗(yàn)的必要性：強(qiáng)調(diào)檢驗(yàn)方法：代入原方程或最簡(jiǎn)公分母，

檢查分母是否為零：把檢驗(yàn)作為解題的必要步驟進(jìn)行要求和評(píng)分。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：了解解分式方程根需要進(jìn)行檢驗(yàn)的原因。

四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

(一)復(fù)習(xí)引入

問(wèn)題為解決章引言中提出的問(wèn)題，我們通過(guò)設(shè)未知數(shù)，用分式表示問(wèn)題中的量，根據(jù)問(wèn)題中的等量關(guān)

系得到了方程息=善-①.

30+v30-v

追問(wèn)它與我們以前學(xué)習(xí)的方程有何不同？

答方程①的分母中含有未知數(shù).

概念像這樣分母中含未知數(shù)的方程叫作分式方程.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)回顧拿引言中問(wèn)題產(chǎn)生的方程，通過(guò)“追問(wèn)”引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比該方程與之前學(xué)習(xí)的方程

的不同，從而自然引出“分式方程”的概念。

(二)合作探究

思考1如何解分式方程①呢？

追問(wèn)1解整式方程的步驟有哪些？

答去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1.

追問(wèn)2能否將分式方程化為型式方程呢？

答通過(guò)“去分母”將分式方程化為整式方程.

追問(wèn)3在方程兩邊乘以什么樣的式子才能把每一個(gè)分母都約去呢？

答兩邊同時(shí)乘以(30+v)(30r，)

追問(wèn)4這樣做的依據(jù)是什么？

答等式的性質(zhì)2.

總結(jié)

(1)分母中含有未知數(shù)的方程，通過(guò)去分母就化為整式方程了.

(2)利用等式的性質(zhì)2,在方程兩邊都乘以各分母的最簡(jiǎn)公分母.

解方程兩邊乘(30+v)(30-i，)，得

90(30-v)=60(30+u)

解得y=6.

檢驗(yàn)：將v=6代入①中，左邊言，右邊言，這時(shí)左、右兩邊的值相等，所以，原分式方程的解為v=6.

由此可知，江水的流速為6km/h.

探究運(yùn)用上述“去分母化為整式方程''的方法解分式方程々=②，你發(fā)現(xiàn)了什么問(wèn)題？

?-5X2-25

解方程兩邊乘a+5)a-5),得

x+5=10

解得x=5.

檢驗(yàn)：當(dāng)戶5時(shí)，尸5=(),犬-25=(),相應(yīng)的分式無(wú)意義.

所以，原分式方程無(wú)解.

注意雖然是整式方程x+5=10的解，但不是分式方程②的解.尸5是分式方程②的增根.

思考2比較解分式方程①和②的過(guò)程，為什么分式方程①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而

分式方程②去分母后所得整式方程的解卻不是②的解呢？

9060110

-----=------①=2

30+~30-〃X-5X-252

兩邊同時(shí)■乘以(30+v)(30-")兩邊同時(shí)乘以("+5)(尸5)

當(dāng)】=6時(shí)，(30+r)(30-r)#0當(dāng).v=5時(shí)，(.v+5)(.v-5)=0

去分母時(shí)，①兩邊乘了同一個(gè)不為。的式子，因此所得整式方程的解與①的解相同.

去分母時(shí)，②兩邊乘了同一個(gè)等于。的式子，這時(shí)所得整式方程的解使②分母為0,因此這樣的解不是

②的解.

歸納解分式方程

一般地，解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母為。，因此應(yīng)做如下檢驗(yàn):

將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為0,則整式方程的解是原分式方程的解；否則，

這個(gè)解不是原分式方程的解.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)分式方程解法的探究、增根概念的理解，完善學(xué)生的“方程”知識(shí)體系，讓學(xué)生清

晰區(qū)分分式方程與整式方程的解法差異，掌握分式方程特有的檢驗(yàn)”要求，形成完整的方程求解認(rèn)知結(jié)

構(gòu)。

(三)典例分析

例1解方程2=3.

X-JX

解方程兩邊乘M.v-3),得

2n.

解得

A-=9.

檢驗(yàn)：當(dāng)下9時(shí)，x(x-3)#0.

所以，原分式方程的解為49.

x3

例2解方程丁1=

(x-l)(x+2)*

解方程兩邊乘(xT)(x+2),得

.r(x+2)-fx-l)(.r+2)=3.

解得

^=1.

檢驗(yàn)：當(dāng)x=l時(shí)，(xT)(x+2)=0,因此x=l不是原分式方程的解.

所以，原分式方程無(wú)解.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題鞏固解法步驟，尤其是“檢臉”環(huán)節(jié)。通過(guò)對(duì)比“有解”與“無(wú)解”兩種情況,

深化學(xué)生對(duì)增根概念和檢驗(yàn)必要性的理解。

(四)鞏固練習(xí)

1.下列關(guān)于x的方程中，不是分式方程的是(B)

B.*

A.x+-=3cD.

3x5-

2.解下列方程:

12

⑴三=」-⑵京=六(3)—=---;

xx-22xX+3

(5)1

⑷?=懸+1;六二高;(6)次5一』=_6A

解(1)方程兩邊乘x(xT),得

5(x-2)=7x.

解得

x=-5.

檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，

所以，原分式方程的解為m

(2)方程兩邊乘(x+3)(xT),得

2QT)=x+3.

解得

x=5.

檢驗(yàn)：當(dāng)x=5時(shí)，(x+3)QT)W0.

所以，原分式方程的解為戶5.

(3)方程兩邊乘2Mx+3),得

x+3=4x.

解得

A-1.

檢驗(yàn)：當(dāng)戶1時(shí),2X(J+3)^0.

所以，原分式方程的解為ml.

(4)方程兩邊乘3(x+l),得

3x=2x+3(x+l).

解得

3

檢驗(yàn)：當(dāng)后一號(hào)時(shí)，3("1)WO.

所以，原分式方程的解為4-去

(5)方程兩邊乘(x+l)QT),得

2(x4-1)=4.

解得

x=l.

檢驗(yàn)：當(dāng)x=l時(shí)，(x+l)QT)=O,因此x=l不是原分式方程的解.

所以，原分式方程無(wú)解.

(6)方程兩邊乘Nx+l)(xT),得

5(xd)-(x+l)=0.

解得

3

檢驗(yàn)：當(dāng)二時(shí)，Hr+l)(xT)#O.

所以，原分式方程的解為葉.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)完新知識(shí)后及時(shí)進(jìn)行課堂鞏固練習(xí)，不僅可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)新知的記憶，加深學(xué)生對(duì)新知

的理解，還可以及時(shí)反饋學(xué)習(xí)情近，幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺，幫助教師及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略。

（五）歸納總結(jié)

分式方程

定義分母中含未知數(shù)的方程叫作分式方程.

解分式方程的關(guān)鍵是將分式方程化為整式方程,具體做法是“去分母”,即方

程兩邊龍最前公分母.得到整式方嘏的解后，灰對(duì)其進(jìn)行檢哈.

解

分

式

方

程

（六）感受中考

1.（2025?湖南）將分式方程二二7去分母后得到的整式方程為（A）

xx+\

A.x+\=2xB.x+2=lC.l=2xD.x=2（x+\）

2.（2024?山東濟(jì)寧）解分式方程1-1=2時(shí)，去分母變形正確的是（A）

73xT-l2-av

A.2-6.r+2=-5B.6.r-2-2=-5

C.2-6*1=5D.6x-2+l=5

3.（2024?四川遂寧）分式方程。=1-￡的解為正數(shù)，則〃?的取值范圍（B）

X-l.V-1

A./心-3B."?>-3且〃?，-2

C.w<3D.”<3且〃?#-2

4.（2025?四川遂寧）若關(guān)于x的分式方程看=5-1無(wú)解，貝物的值為（D）

2-xx-2

A.2B.3C.0或2D.-1或3

5.（2025?浙江）解分式方程：々-乙力.

方程兩邊同時(shí)乘以（x-1）（x+1）得：3（X-1）-（x+1）=0,

解得：尸2,

檢驗(yàn)：當(dāng)x=2時(shí)，（x-l）（x+l）和，

???x=2是原方程的解.

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)習(xí)完新知識(shí)后加入中考真題練習(xí)，不僅可以幫助學(xué)生明確考試方向，熟悉考試題型,

檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成果，提升應(yīng)考能力，還可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力。

（七）小結(jié)梳理

分式有意義的條件

分式的概念

分式值為0的條件

實(shí)

0

際分式的本性使分式的約分與通分

分?

問(wèn)

式

題

分式的混合運(yùn)算

分式方程

設(shè)計(jì)意圖：用思維導(dǎo)圖幫助學(xué)生梳理知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，讓學(xué)生直觀感知分式單元的學(xué)習(xí)脈絡(luò)，構(gòu)建

清晰、完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，強(qiáng)化對(duì)分式學(xué)習(xí)的整體認(rèn)知。

（八）布置作業(yè)

1.必做題：習(xí)題18.5第I題.

2.探究性作業(yè)：習(xí)題18.5第2題.

五、教學(xué)反思

18.5分式方程（第2課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了分式方程及其解法的基礎(chǔ)上，列分式方程解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

2.內(nèi)容分析

本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了分式方程的概念并能夠解簡(jiǎn)單的分式方程的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步鞏固可化為一

元一次方程的分式方程的解法，探索在實(shí)際問(wèn)題中，如何將等量關(guān)系用分式方.程表示，從而利用分式方程

解決實(shí)際問(wèn)題。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：列分式方程解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

（1）能夠列分式方程解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

（2）通過(guò)學(xué)習(xí)分式方程的解法，體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

2.目標(biāo)解析

（1）學(xué)生需要能夠讀懂題意，找出題目中的已知量、未知量以及它們之間的等量關(guān)系；能夠設(shè)出未知

數(shù)，根據(jù)等量關(guān)系列出正確的分式方程，并解出方程，最后檢驗(yàn)并寫出答案。

（2）學(xué)生需要再次體會(huì)"轉(zhuǎn)化”思想。在解分式方程時(shí)，洛分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；在解決實(shí)際問(wèn)

題時(shí)，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題（分式方程）。

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

問(wèn)題I：學(xué)生缺乏分析問(wèn)題和處理信息的能力，找不到等量關(guān)系，無(wú)法列出方程。

應(yīng)對(duì)策略：教給學(xué)生“抓關(guān)鍵詞”的方法，通過(guò)關(guān)鍵詞尋找等量關(guān)系；引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫圖或列表的方

式來(lái)分析數(shù)號(hào)關(guān)系。

問(wèn)題2：解完方程后，忘記檢驗(yàn)或者檢驗(yàn)不完整。如：只檢驗(yàn)了方程的解是否使分母不為零，而忽略了

檢驗(yàn)這個(gè)解是否符合實(shí)際問(wèn)題的意義。

應(yīng)對(duì)策略：明確告訴學(xué)生，利用分式方程解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)需要雙重檢驗(yàn)：既要檢驗(yàn)是否為原方程的根

（分母不為零），又要檢驗(yàn)是否符合實(shí)際意義；每次講解例題時(shí)，都完整地展示這兩步檢驗(yàn)過(guò)程，并強(qiáng)調(diào)

其必要性。

基于以上分析，確定木節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：用分式方程表示實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系。

四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）復(fù)習(xí)引入

問(wèn)題回憶上節(jié)課的內(nèi)容并填表：

解

分

式

方

程

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)表格和思維導(dǎo)圖回顧分式方程的定義和解法流程，幫助學(xué)生梳理上節(jié)課的核心知識(shí),

構(gòu)建清晰的知識(shí)體系，為后續(xù)進(jìn)一步學(xué)習(xí)分式方程的應(yīng)用做好鋪墊。

（二）合作探究

例3兩個(gè)工程隊(duì)共同參與一項(xiàng)筑路工程，甲隊(duì)單獨(dú)施工1個(gè)月完成總工程的/這時(shí)增加了乙隊(duì)，兩隊(duì)

又共同工作了半個(gè)月，總工程全部完成.哪個(gè)隊(duì)的施工速度快？

分析甲隊(duì)1個(gè)月完成總工程的g設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)施工1個(gè)月能完成總工程的L那么甲隊(duì)一個(gè)半月的施工

3x

量與乙隊(duì)半個(gè)月的施工量的和等于總工程量.由此列方程，進(jìn)而求出X,就可以比較甲、乙兩隊(duì)的施工速度.

解設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)施工I個(gè)月能完成總工程的L記總工程量為I,根據(jù)工程的實(shí)際進(jìn)度，得

X

111

-+-+—=1.

362%

方程兩邊乘6x,得：2x+x+3=6/.

解得：x=\.

檢驗(yàn)：當(dāng)x=l時(shí)，6/0.

所以，原分式方程的解為x=l.

由上可知，若乙隊(duì)單獨(dú)施工1個(gè)月可以完成全部任務(wù)，對(duì)比甲隊(duì)1個(gè)月完成任務(wù)的%可知乙隊(duì)的施工

速度快.

例4某次列車平均提速vkm/h.在相同的時(shí)間內(nèi)，列車提速前行駛skm,提速后比提速前多行駛50km,

提速前列車的平均速度為多少？

分析這里的字母v,s表示已知數(shù)據(jù)，設(shè)提速前列車的平均速度為xkm/h,那么提速前列車行駛skm

所用時(shí)間等于提速后列車運(yùn)行(s+50)km所用時(shí)間.由此列方程，進(jìn)而求出工

解設(shè)提速前這次列車的平均速度為xkm/h,則提速前它行駛skm所用時(shí)間為三h；提速后列車的平均

X

速度為(x+箕)km/h,提速后它行駛［s+50)km所用時(shí)間為h.

根據(jù)行駛時(shí)間的相等關(guān)系，得：:篝.①

方程兩邊乘x(x+n),得：s(x+v)=x(s+50).

解得：人=春

檢驗(yàn)：因?yàn)閥,s都是正數(shù)，所以當(dāng)人=粉時(shí)，x(x+v)#0.

所以，原分式方程的解為人喘.

答：提速前列車的平均速度為，km/h.

設(shè)計(jì)意圖：兩個(gè)例題從不同實(shí)際場(chǎng)景(工程、行程)出發(fā)，旨在讓學(xué)生熟練運(yùn)用分式方程解決實(shí)際問(wèn)

題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，同時(shí)深化對(duì)分式方程解法和應(yīng)用價(jià)值的理解。

（三）典例分析

1.八年級(jí)學(xué)生去距學(xué)校30km的中國(guó)人民抗日戰(zhàn)爭(zhēng)紀(jì)念館參觀，一部分學(xué)生乘大巴先出發(fā)，過(guò)了5min,

其余學(xué)生乘中巴出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá).已知中巴的平均速度是大巴平均速度的1.2倍，求大巴的平均速

度.

解設(shè)大巴的平均速度為xknVmin,中巴的平均速度為I2ikm/min,

由題意得：--^=5.

x1.2x

解得：X=l.

經(jīng)檢驗(yàn)：X=\是原分式方程的解，且符合題意.

答：大巴的平均速度為1knVmin.

2.甲、乙兩人做某種機(jī)械零件.已知甲每小時(shí)比乙多做6個(gè)，甲做90個(gè)所用的時(shí)間與乙做60個(gè)所用

的時(shí)間相等.求甲、乙每小時(shí)各做零件多少個(gè).

解設(shè)甲每小時(shí)做零件工個(gè)，乙每小時(shí)做零件86）個(gè)，由題意得：

_9_0__6_0__

xx—6,

解得：尸18.

經(jīng)檢驗(yàn)：.118是原分式方程的解，且符合題意.

答：甲每小時(shí)做零件18個(gè)，乙每小時(shí)做零件12個(gè).

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題規(guī)范學(xué)生利用分式方程解決實(shí)際問(wèn)題的步驟，確保解題的嚴(yán)謹(jǐn)性和完整性。培養(yǎng)

學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，搬煉學(xué)生的分析與推理能力，提升解決實(shí)際問(wèn)題的思維水平。

（四）鞏固練習(xí)

LA,B兩種機(jī)器都被用來(lái)搬運(yùn)化工原料，A型機(jī)器比B型機(jī)器每小時(shí)多搬運(yùn)30kg,A型機(jī)器搬運(yùn)900

kg所用時(shí)間與B型機(jī)器搬運(yùn)600kg所用時(shí)間相等，兩種機(jī)器每小時(shí)分別搬運(yùn)多少化工原料？

解設(shè)A種機(jī)器每小時(shí)搬運(yùn)xkg化工原料，B種機(jī)器每小時(shí)搬運(yùn)（六3。）kg化工原料，由題意得：

900_600

xx-30'

解得：x=90.

經(jīng)檢驗(yàn)：工二90是原分式方程的解，且符合題意.

答：A種機(jī)器每小時(shí)搬運(yùn)90kg化工原料，B種機(jī)器每小時(shí)搬運(yùn)60kg化工原料.

2.王芳3h清點(diǎn)完一批圖書的一半，劉偉加入清點(diǎn)另一半圖書的工作，兩人合作1.2h清點(diǎn)完另一半圖

書.劉偉單獨(dú)清點(diǎn)這批圖書需要幾小時(shí)？

解設(shè)劉偉單獨(dú)清點(diǎn)這批圖書需X小時(shí)，由題意得：

111

（一+工〉］.2=彳.

x62

解得：x=4.

經(jīng)檢驗(yàn)：m4是原分式方程的解，且符合題意.

答：劉偉單獨(dú)清點(diǎn)這批圖書帚4小時(shí).

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)完新知識(shí)后及時(shí)進(jìn)行課堂鞏固練習(xí)，不僅可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)新知的記憶，加深學(xué)生對(duì)新知

的理解，還可以及時(shí)反饋學(xué)習(xí)情以，幫助學(xué)生查漏補(bǔ)扶，幫助教師及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略。

（五）歸納總結(jié)

（六）感受中考

1.（2025?黑龍江綏化）用八，8兩種貨車運(yùn)輸化工原料，人貨車比8貨車每小時(shí)多運(yùn)輸15噸，人貨車

運(yùn)輸450噸所用時(shí)間與8貨車運(yùn)輸300噸所用時(shí)間相等.若設(shè)3貨車每小時(shí)運(yùn)輸化工原料x噸，則可列方程為

（C）

.300450_?300450廠450300n450300

A.-----=-B.=-C.------=-D.=一

xx15+xx15-xx

2.（2025?廣東深圳）某社區(qū)植樹60棵，實(shí)際種植人數(shù)是原計(jì)劃人數(shù)的2倍，實(shí)際平均每人種植棵數(shù)

比原計(jì)劃少了3棵.若設(shè)原計(jì)劃人數(shù)為x人，則下列方程正確的是（A）

.606060606060、60c60

A.---=3B.----=3C.—=2x—D.-=2x—

x2x2xxxx+3x.v-3

3.