2025?2026學(xué)年北京十五中九年級(jí)(上)期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題2分，共16分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.二次函數(shù)產(chǎn)2(x-3)2+1的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(2,3)B.(2,1)C.(3,-1)D.(3,I)

2.下面的圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是()

3.不透明的袋子中裝有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，除顏色外，這5個(gè)小球無其他差別.隨機(jī)從袋子中摸出3個(gè)

球，下列事件中是必然事件的是()

A.3個(gè)球都是白球B.至少有1個(gè)黑球C.3個(gè)球都是黑球D.有1個(gè)白球2個(gè)黑球

4.若將拋物線y=5『先向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到的新拋物線的表達(dá)式為()

A.y=5(x-2)24-1B.y=5(x+2)2+1

C.v=5(x—2)2—ID.y=5(x+2)2—1

5.北京2022年冬奧會(huì)以后，冰雪運(yùn)動(dòng)的熱度持續(xù).某地滑雪場(chǎng)第一周接待游客7000人，第三周接待游客

8470人.設(shè)該地滑雪場(chǎng)游客人數(shù)的周平均增長率為無根據(jù)題意，下面所列方程正確的是()

A.7000(1+x)2=8470B.7000^=8470

C.7000(1+Zv)=8470D.7000(1+x)3=8470

6.在平面直角坐標(biāo)系人Oy中，若點(diǎn)(4,巾)，(6,”)在拋物線產(chǎn)〃(x-3)(?>0)上，則下列結(jié)論

正確的是()

A.I<y\<yzB.IC.y2<y\<ID.y\Vy2V1

7.如圖，在等腰△ABC中，乙4=120°,將△ABC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0。<a<

90°)得到△CQE,當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。落在8C上時(shí)，連接則的度數(shù)

是()

E

A.30°

B.45°

C.55°

D.75°

8.如圖，拋物線產(chǎn)a/+云+c(aWO)經(jīng)過點(diǎn)(-1,0).下面有四個(gè)結(jié)論：①。

>0；②2a+》<0；③4ti+2〃+c>0；④關(guān)于x的不等式0￥2+的解集

為?1VXV0.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是()

A.①②B.②③C.③④D.②③④

二、填空題：本題共8小題，每小題2分，共16分。

9.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(3.-4)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為一.

10.若關(guān)于x的一元二次方程f+3"c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則c的值為_.

11.已知機(jī)是關(guān)于x的方程x2-2r-3=0的一個(gè)根，則2m2-4m+5=____.

12.已知二次函數(shù)產(chǎn)F+法，當(dāng)x>1時(shí)，y隨x的增大而增大.寫出一個(gè)滿足題意的〃的值為—.

13.如圖，在等邊△A8C中，A8=6,。是8C的中點(diǎn)，將△4&)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后得到△ACE,那么線段?！?/p>

的長度為______________.

14.如圖，以點(diǎn)。為中心的量角器與直角三角板A8c按如圖方式擺放，量角器的直徑與直角三角板的斜邊

重合，如果點(diǎn)。在量角器上對(duì)應(yīng)的刻度為110°,連接CD那么N8CQ=—.

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△人可以看作是將繞某個(gè)點(diǎn)旋

轉(zhuǎn)而得到，則這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是______.

16.如圖，A3是。。的直徑，C為。。上一點(diǎn)，且A氏LOGP為圓上一動(dòng)

點(diǎn)，M為人P的中點(diǎn)，連接CM.若。。的半徑為2,則CM長的最大值

是_.

三、解答題：本題共12小題，共68分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.（本小題5分）

解方程：『-641=（）.

18.（本小題5分）

已知：如圖，△A/3C為銳角三角形，AB=AC,CD\\AIk

求作：線段8P,使得點(diǎn)P在直線CO上，且乙48P=1KBAC.

作法：①以點(diǎn)4為圓心，AC長為半徑畫圓，交直線C。于C,P兩點(diǎn);

②連接BP.

線段BP就是所求作的線段.

(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形(保留作圖痕跡)；

(2)完成下面的證明.

證明：???CQII4B,

:.￡ABP=.

?.AB=AC,

.?.點(diǎn)8在《4上.

又???點(diǎn)C,尸都在。A上，

.?.乙8PC」/BAC(______)(填推理的依據(jù)).

1

:.LABP=Z.BAC.

19.(本小題5分)

如圖，是一個(gè)隧道的橫截面，它的形狀是以點(diǎn)0為圓心的圓的一部分，如果M是。。中弦CO的中點(diǎn),

EM經(jīng)過圓心0交圓弧于點(diǎn)E,并且?！?gt;=4/兒用/=6〃?,求。0的半徑.

20.(本小題5分)

己知：在平面直角坐標(biāo)系中，△44C的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(5,4),B(0,3),C(2,1).

(1)畫出△ABC和△八BC關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的AAIiG，并寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)；

(2)畫出將△ABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°所得的&42&Q.

21.（本小題5分）

如圖，。是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段人。繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段AE,連接CQ,BE.

(I)求證：△AEBgAAOC；

（2）連接。E,若乙4。。=96°,求Z8ED的度數(shù).

22.（本小題5分）

已知二次函數(shù)y=f-2x-3.

（1）將y=x1-2x-3化成產(chǎn)a（x-/?）2+k的形式;

（2）在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出此函數(shù)的圖象：

（3）當(dāng)-lVx<2時(shí)，結(jié)合圖象，直接寫出函數(shù)值y的取值范圍.

23.（本小題6分）

二十四節(jié)氣是中華民族農(nóng)耕文明的智慧結(jié)晶，是專屬中國人的獨(dú)特時(shí)間美學(xué)，被國際氣象界譽(yù)為“中國第

五大發(fā)明”.如圖，小文購買了四張形狀、大小、質(zhì)地均相同的“二十四節(jié)氣”主題郵票，正面分別印有

“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四種不同的圖案，背面完全相同，他將四張郵票洗勻后正面朝下放在

桌面上.

（I）小文從中隨機(jī)抽取一張，抽出的郵票恰好是“大暑”的概率是一

（2）若印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四種不同圖案的郵票分別用A,B,C,。表示，小文從

中隨機(jī)抽取一張（不放回），再從中隨機(jī)抽取一張，請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法求小文抽到的兩張郵票恰

好是“立春”和“立夏”的概率.

24.（本小題6分）

已知關(guān)于x的方程（/n+4）A+2/H+4=0.

（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）若方程的一個(gè)根比另一個(gè)根大3,求機(jī)的值.

25.（本小題6分）

小明發(fā)現(xiàn)某乒乓球發(fā)球器有“直發(fā)式”與“間發(fā)式”兩種模式，在“直發(fā)式”模式下，球從發(fā)球器出口到

第一次接觸臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)軌跡近似為一條拋物線；在“間發(fā)式”模式下，球從發(fā)球器出口到第一次接觸臺(tái)面

的運(yùn)動(dòng)軌跡近似為?條直線，球第?次接觸臺(tái)面到第二次接觸臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)軌跡近似為?條拋物線.如圖1和

圖2分別建立平面直角坐標(biāo)系xOy.

（1）表格中〃?=

（2）求“直發(fā)式”模式下，球第一次接觸臺(tái)面前的運(yùn)動(dòng)軌跡的解析式；

（3）若“直發(fā)式”模式下球第一次接觸臺(tái)面時(shí)距離出球點(diǎn)的水平距離為4，“間發(fā)式”模式下球第二次

接觸臺(tái)面時(shí)距離出球點(diǎn)的水平距離為必，則4d2（填"二”或“V"）.

26.（本小題6分）

在平面直角坐標(biāo)系，中，點(diǎn)A,B是拋物線產(chǎn)加（〃W0）上的兩個(gè)不同點(diǎn).

⑴當(dāng)in=-l時(shí)，有yi=>2，求a的值；

（2）若〃>0,當(dāng)〃（n+1）。時(shí)，都有求〃的取值范圍.

27.（本小題7分）

在△ABC中，AQ18C于點(diǎn)。，「1。?CD\BC,將線段A3繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE,連

接。E.

（1）如圖1,當(dāng)4Q=OC=1時(shí)，補(bǔ)全圖形，并求的長：

（2）如圖2,取人E的中點(diǎn)尸，連接。尸，用等式表示線段。口與人C的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖1圖2

28.（本小題7分）

在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于△OA8和點(diǎn)尸（不與點(diǎn)O重合）給出如下定義：若邊04,08上分別存在

點(diǎn)M,點(diǎn)N,使得點(diǎn)。與點(diǎn)P關(guān)于直線對(duì)稱，則稱點(diǎn)P為△048的“翻折點(diǎn)”.

（1）已知4（3,0）,B（0,3/3）.

①若點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，點(diǎn)N與點(diǎn)B重合，直接寫出△OAB的“翻折點(diǎn)”的坐標(biāo)；

②P是線段4B上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P是△0A8的“翻折點(diǎn)”時(shí)，求AP長的取值范圍：

（2）直線y?M&A））與無軸，），軸分別交于4〃兩點(diǎn)，若存在以直線A4為對(duì)稱釉，且斜邊長為

2的等腰直角三角形，使得該三角形邊上任意一點(diǎn)都為△0A8的“翻折點(diǎn)”，直接寫出。的取值范圍.

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】A

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】93,4)

q

10.【答案】-

11.【答案】11

12.【答案】-2(答案小唯一)

13.【答案】3V3

14.【答案】55。

15.【答案】(2,2)

16.【答案】JS+1

17.【答案】解：??/6-1=0,

移項(xiàng)得r-6八=I,

配方得r-6工+9=1。，

即(x-3)2=10,

開方得工-3=±yHI,

則工戶3+、1(),^2=3-vHI.

18.【答案】解：(1)如圖,即為補(bǔ)全的圖形;

(2)乙BPC：同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半.

19.【答案】解：連接C。,

是弦。。的中點(diǎn)，且EM經(jīng)過圓心0,

D11

.-.EAY1CD,且CM=-CD=-X4=2w

在R/ZXOCM中，令。。的半徑為「〃?，

?.0。=。M+。卬，

整理得，12-40,

切幻10

解得后，

即。。的半徑為“〃?.

*>

20.【答案】解：(1)由題意得，根據(jù)坐標(biāo)4(5,4),4(0,3),C(2,1)找到A、B、C三點(diǎn)連接

八&BC、AC,即可得到△人8c圖象如圖所示，根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)：對(duì)稱中心是對(duì)稱點(diǎn)連線的中點(diǎn)，找

到4、3、Ci,連接AiB、BC、AiCi,即可得到△4B1G的圖象如圖所示,

由圖象可得C(-2,-I)；

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)圖形形狀大小不變知識(shí)位置發(fā)生改變，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)9()。找出人2、&、C2,連

接上&、82c2、A2c2如圖所示,

>?

X

21.【答案】(1)證明：???△ABC是等邊三角形,

：.AB=AC,ZBAC=6O0,

由旋轉(zhuǎn)得AE=4。，z￡AQ=60°,

^BAE=z.CAD=60°-Z.BAD,

在AAEB和△AZ)C中，

AB-AC

<ZB.1EACAD,

AO

.?.△AEBdAOC(SAS).

(2)解:.AE=A￡>,z.EAD=60°.

.，.△AEO是等邊三角形，

."￡7)=60°,

vAAEfi^AADC,

.-.^AEB=AADC=960,

=960-60°=36°,

."BE。的度數(shù)是36°.

22.【答案】尸(x-1)2-4；

-4<y<0

23.【答案】；

24.【答案】見解答;

±3

25.【答案】解：(1)3.84,2.52；

(2)由已知表1中的數(shù)據(jù)及拋物線的對(duì)稱性可知：

“直發(fā)式"模式下，拋物線的頂點(diǎn)為(4,4),

，設(shè)此拋物線的解析式為yaCx-4)2以(々VO),

把(0,3.84)代入，得3.84=a(0-4)2+4,

解得：a=-O.OI,

???"直發(fā)式”模式下，球第一次接觸臺(tái)面前的運(yùn)動(dòng)軌跡的解析式為產(chǎn)-0.01(x-4)2+4；

(3)=.

26.【答案】解：(I)?.?拋物線的解析式為尸*-2A+c(g0),

拋物線的對(duì)稱軸為直線石？廠

2(i

???點(diǎn)A(-a,yi),B(〃?,戶)是拋物線產(chǎn)ar2-2a2%+c(aWO)上的兩個(gè)不同點(diǎn),且當(dāng)〃尸-1時(shí)，有yi=”,

—a—1

???=a,

解得：，

”的值為-I;

?5

(2)???〃>(),

二拋物線的開口向上，

???拋物線上離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)的點(diǎn)，函數(shù)值越大.

又,?,當(dāng)〃(〃+1)q時(shí)，都有yiV”，

:.若〃>0,則〃a2-a+2[a-(-a)].

解得:心3；

若//VO,則(/?+!)aW-a,

解得：后-2.

??.〃的取值范圍為〃<-2或〃23.

27.【答案】解：(I)如圖所示，

取BC的中點(diǎn)M,連接AM、CE、BE,

(1)*li(,,AD=DC=\,

一

.-.BC=2,

：.BMCM1BC2,

2

：.DM=CM-CD=2-\=\,

:AD=DM,

-AD1BC,AD=DC=\,

：.ZAMC=<LACM=Z.CAD=45°,

.?.4M=AC,NM4C=90°,4EAC+乙DAE=45

."4C+/MAE=90°,

由旋轉(zhuǎn)得：48AE=90°,AB=AE,

.?.48AM+乙MAE=9(T,

：.z.BAM=z.EAC,

.,.Zj\I3M=Z.DAE,

在Z\84M和△EAC中，

(A\f-AC

<ZB.iAZ-ZE.IC,

IAB^AE

.?.△84Mg△E4C(SAS),

：.BM=EC=2,zABM二以EC,

.,.Z.AEC=Z-DAEt

'.ADWCE,

：.CELBC,

-DEXCD-CEV1-2-'\5;

(2)DI：」「，理由如下：

取BC的中點(diǎn)M,連接AM、BE,延長QC至N,使DN=DM,連接EN,延長DF交EN于P,

1

.?.JWm(1)BCt

■*>

'.'AD+CD=?BC,

2

:.AD=DM,

：.AD=DN,BM=AD+CDt

：AD1.BC,

.?.UMN=〃NM=45°,AM=AN,

.?ZMAN=9O0,

?:EN1BC,

；zDNP=乙ADC=90°,ADHEN,

:.乙DAF=^PEF,

由（I）同理可證：BM=EN,

:.BM=EP+PN,

:.AIHCD=EP+PN,

是AE的中點(diǎn)，

:AF=EF,

在△A。/和△￡戶尸中，

{AF-EF，

IZD.4F-ZPFF

?./\ADF^/\EPF（ASA）,

:AD=EP,DF=PF,

:.CD=PN,DF=:DP,

在小人。。和中，

（AD-DN

I￡ADC一O.VQ,

（CD-PS

:.△ADC94DNP（SAS）,

：.AC=DP,

:.DF1AC.

9

28.【答案】解：（1）①“（3,0）,B（0,3，S）,

.?.0.4=3,08=3、'3,貝ijAB=6,

CMJ

.,.tanz.08A二

OB3V3

???4。必=30°