2025?2026學年上學期高二數(shù)學北師大期末必刷?？碱}之排列

問題

一.選擇題（共6小題）

1.2025年10月西寧市大通回族土族自治縣首次全面摸清野生動物資源“家底”，標志著生物多樣性保護

進入科學化、精細化新階段.某校野生動物興趣小組在野生動物宣傳周后合影留念，2名指導老師和5

名學生排成一排照相留念，若2位老師相鄰，則不同的排法共有（）

A.5040種B.1440種C.720種D.360種

2.某學校在讀書節(jié)活動中，甲，乙，丙3個班各有2名同學獲獎，現(xiàn)將這6人站成一排拍照，其中甲班

的2名同學相鄰，且乙班的2名同學不相鄰的站法種數(shù)共有（）

A.36種B.72種C.144種D.288種

3.甲、乙、丙、丁4人排成一列，且甲、乙均不在第一個位置，則不同的排法種數(shù)共有（）

A.6B.12C.24D.36

4.已知〃EN",若54；=3c泰t，貝IJ〃=（）

A.1B.2C.3D.1或3

5.某校新聞社團負責報道采訪本校田徑運動會，社團派出甲、乙、丙、丁四名成員到跳高、跳遠、短跑

三個比賽場地進行現(xiàn)場報道，且每個場地至少安排一人，則甲不在短跑場地的不同安排的方法數(shù)為（）

A.12B.18C.24D.32

6.公元五世紀,數(shù)學家祖沖之估計圓周率n的范圍是:3.14I5926<TT<3.1415927,為紀念祖沖之在圓周

率方面的成就，把3.1415926稱為“祖率”，這是中國數(shù)學的偉大成就.小明是個數(shù)學迷，他在設置手

機的數(shù)字密碼時，打算將圓周率的中間6位數(shù)字1,4,1,5,9,2進行某種排列得到密碼.如果排列

時要求數(shù)字9不在最后一位，那么小明可以設置的不同密碼有（）個.

A.180B.240C.300D.360

二.多選題（共3小題）

（多選）7.中國的五岳是指在中國境內(nèi)的五座名山，坐落于東西南北中五個方位，分別是東岳泰山、西

岳華山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山.小明與其父母共3人計劃在假期出游，每人選一個地方，則

（）

A.3人選擇的地點均不同的方法總數(shù)為6（）

B.恰有2人選一個地方的方法總數(shù)為15

C.恰有1人選泰山的概率是我

D.若小明已選擇去泰山，其父母至少有一人選擇去泰山的概率為商

（多選）8.3名學生，2名教師站成一排參加文藝匯演，則下列說法正確的是（）

A.任意站成一排，有120種排法

B.學生不相鄰，有24種排法

C.教師相鄰，有48種排法

D.教師不站在兩邊，有72種排法

（多選）9.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁4名同學參加A,B,C三項工作，且每個同學只能參加一項工作，則

下列說法正確的是（）

A.不同的安排方法共有34種

B.若恰有一項工作無人參加，則不同的安排方法共有6（24-1）種

C.若甲，乙兩人都不能去參加A項工作，且每項工作都有人去，則不同的安排方法共有14種

D.若每個同學只能參加一項工作且每項工作都有人去，則不同的安排方法共有36種

三.填空題（共4小題）

10.甲、乙、丙、丁4人排成一列.且甲、乙均不在第一個位置，則不同的排法共有種.

II.從2到7這6個數(shù)字中任意取出3個數(shù)，組成一個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，從百位到個位數(shù)字依次增

大，則滿足條件的三位數(shù)的個數(shù)是.

12.某學校在讀書節(jié)活動中，甲，乙，丙3個班各有2名同學獲獎，現(xiàn)將這6人站成一排拍照，其中甲班

的2名同學相鄰，且乙班的2名同學不相鄰的站法種數(shù)共有種.（用數(shù)字作答）

13.隨著杭州亞運會的舉辦，吉祥物“蹤琮”、“蓮蓮”、“嵐宸”火遍全國.現(xiàn)有甲、乙、丙3位運動員要

與“琮蹤”、“蓮蓮”、“宸宸”站成一排拍照留念，則這3個吉祥物相鄰的排隊方法數(shù)為.（用

數(shù)字作答）

四,解答題（共2小題）

14.甲、乙、丙、丁四名同學報名參加A,8,。三個智力競賽項目，每個人都要報名且只能參加一個項目.

（1）共有多少種不同的報名方法？

（2）若甲、乙報同一項目，丙不報A項目，則有多少種不同的報名方法？

15.現(xiàn)有8名師生站成一排照相，其中老師2人，男學生4人，女學生2人，在下列情況下，各有多少種

不同的站法？

（1）老師站在最中間，2名女學生分別在老師的兩邊且相鄰，4名男學生兩邊各2人；

（2）4名男學生互不相鄰，男學生甲不能在兩端：

(3)2名老師之間必要有男女學生各1人.

2025?2026學年上學期高二數(shù)學北師大版（2019）期末必刷?？碱}之排列

問題

參考答案與試題解析

一,選擇題（共6小題）

題號123456

答案BCBCCC

二.多選題（共3小題）

題號789

答案ACACACD

一.選擇題（共6小題）

1.2025年10月西寧市大通回族土族自治縣首次全面摸清野生動物資源“家底”，標志著生物多樣性保護

進入科學化、精細化新階段.某校野生動物興趣小組在野生動物宣傳周后合影留念，2名指導老師和5

名學生排成一排照相留念，若2位老師相鄰，則不同的排法共有（）

A.5040種B.1440種C.720種D.360種

【考點】部分元素相鄰的排列問題.

【專題】對應思想；綜合法；排列組合；運算求解.

【答案】B

【分析】利用捆綁法即可求解.

【解答】解：先將2位老師看作一個整體與5名學生全排，有維=720種，

2位老師排列有心=2種情況，

所以2位老師相鄰時不同的排法共有720X2=1440種.

故選:B.

【點評】本題考查排列組合的應用，相鄰問題采用捆綁法，屬于基礎題.

2.某學校在讀書節(jié)活動中，甲，乙，丙3個班各有2名同學獲獎，現(xiàn)將這6人站成一排拍照，其中甲班

的2名同學相鄰，旦乙班的2名同學不相鄰的站法種數(shù)共有（）

A.36種B.72種C.144種D.288種

【考點】部分元素不相鄰的排列問題.

【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運算求解.

【答案】C

【分析】甲班的2名同學相鄰，用“捆綁法”，乙班的2名同學不相鄰，用“插空法”，再根據(jù)分步乘法

計數(shù)原理即可求解.

【解答】解：將6人站成一排拍照，其中甲班的2名同學相鄰，且乙班的2名同學不相鄰，

可以分兩步完成：

第一步，將甲班的2人捆綁，連同丙班的2人作全排列，有用掰=12種站法；

第二步，將乙班的2人插入前后4個空檔，有用=12種站法.

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的站法共有12X12=144和

故選：C.

【點評】本題考查了排列組合及簡單計數(shù)問題，重點考查了捆綁法及插空法，屬基礎題.

3.甲、乙、丙、丁4人排成一列，且甲、乙均不在第一個位置，則不同的排法種數(shù)共有（）

A.6B.12C.24D.36

［考點】部分位置的元素有限制的排列問題.

【專題】對應思想；定義法；排列組合；運算求解.

【答案】B

【分析】根據(jù)位置優(yōu)先，先安排第一個位置，再排其他位置，利用分步乘法計數(shù)原理即可求解.

【解答】解：已知甲、乙、丙、丁4人排成一列，且甲、乙均不在第一個位置，

先安排第一個位置有2種排法，再排后面的3個位置有房種排法，

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理共有：2房=12種排法.

故選：B.

【點評】本題考查排列組合相關知識，屬于中檔題.

4.已如〃WN*,若5人3=3或八一1，貝I〃=（）

A.IB.2C.3D.1或3

【考點】排列及排列數(shù)公式.

【專題】方程思想；轉化法；排列組合；運算求解.

【答案】C

【分析】根據(jù)排列組合公式列方程求參數(shù)

【解答】解：依題意可知，”的值不小于2,

所以5九（>-1）=3XQ九TJ2n-2）,由此解得〃=3.

故選：C.

【點評】本題主要考查排列數(shù)和組合數(shù)的計算，屬于基礎題.

5.某校新聞社團負責報道采訪本校田徑運動會，社團派出甲、乙、丙、丁四名成員到跳高、跳遠、短跑

三個比賽場地進行現(xiàn)場報道，且每個場地至少安排一人，則甲不在短跑場地的不同安排的方法數(shù)為（）

A.12B.18C.24D.32

【考點】部分位置的元素有限制的排列問題.

【專題】運動思想；定義法；排列組合；運算求解.

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可計算所有的安排情況，再減去甲?個人在短跑場或甲和另?人在短跑場兩種情況即

可.

【解答】解：已知甲、乙、丙、丁四名成員到跳高、跳遠、短跑三個比賽場地進行現(xiàn)場報道，且每個場

地至少安排一人,

則將四人分為1,1,2三組，有=6組，再分到三個場地，共有6房=36種方法,

若甲一個人在短跑場，則有六屬=6種情況,

若甲和另一人在短跑場，則有弓房=6種情況,

則甲不在短跑場地的不同安排的方法數(shù)為36-6-6=24種.

故選：C.

【點評】本題考查排列組合相關知識，屬于中檔題.

6.公元五世紀，數(shù)學家祖沖之估計圓周率n的范圍是：3.1415926<n<3.1415927,為紀念祖沖之在圓周

率方面的成就，把3.1415926稱為“祖率”，這是中國數(shù)學的偉大成就.小明是個數(shù)學迷，他在設置手

機的數(shù)字密碼時，打算將圓周率的中間6位數(shù)字1,4,I,5,9,2進行某種排列得到密碼.如果排列

時要求數(shù)字9不在最后一位，那么小明可以設置的不同密碼有（）個.

A.180B.240C.300D.360

【考點】部分位置的元素有限制的排列問題.

【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運算求解.

【答案】C

【分析】利用特殊位置優(yōu)先處理及相同元素定位計算得到答案.

【解答】解：先排數(shù)字9得出有心乂廢=600種，

因為有兩個1,

600

所以總數(shù)有300種.

A2

故選：C.

【點評】本題考查了排列、組合及簡單計數(shù)原理，屬基礎題.

二,多選題（共3小題）

（多選）7.中國的五岳是指在中國境內(nèi)的五座名山，坐落于東西南北中五個方位，分別是東岳泰山、西

岳華山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山.小明與其父母共3人計劃在假期出游，每人選一個地方，則

（）

A.3人選擇的地點均不同的方法總數(shù)為60

B.恰有2人選一個地方的方法總數(shù)為15

C.恰有1人選泰山的概率是攝

D.若小明已選擇去泰山，其父母至少有一人選擇去泰山的概率為II

【考點】部分位置的元素有限制的排列問題；古典概型及其概率計算公式.

【專題】整體思想；綜合法：概率與統(tǒng)計；排列組合；運算求解.

【答案】AC

【分析】由排列及排列數(shù)的計算即可判斷4由分步計數(shù)乘法原理及組合即可判斷由古典概型概率

公式即可判斷C；由對立事件的概率即可判斷D.

【解答】解：小明與其父母共3人計劃在假期出游，每人在東岳泰山、西岳華山、南岳衡山、北岳恒山、

中岳嵩山中選一個地方，

對于A,3人選擇的地點均不同的方法總數(shù)為膽=60,

故A正確；

府于從恰有2人選一個地方的方法總數(shù)為廢xAj=60,

故〃錯誤；

對于C,恰有I人選泰山的方法總數(shù)為6X42=48,

又所有的方法數(shù)為5?=125,

48

所以恰有1人選泰山的概率是二二，

125

故C正確；

._,4416

對于￡）,父母都不選擇去泰山的概率為二x-=—,

5525

所以小明己選擇去泰山的情況下，其父母至少有一人選擇去泰山的概率二w，

故。錯誤.

故選：AC.

【點評】本題考查了排列、組合及簡單計數(shù)問題，重點考杳了古典概型概率公式，屬中檔題.

（多選）8.3名學生，2名教師站成一排參加文藝匯演，則下列說法正確的是（）

A.任意站成?排,有120種排法

B.學生不相鄰,有24種排法

C.教師相鄰,有48種排法

D.教師不站在兩邊，有72種排法

【考點】部分元素不相鄰的排列問題.

【專題】整體思想；定義法；排列組合；運算求解.

【答案】AC

【分析】根據(jù)全排列可求得人，根據(jù)不相鄰問題用插空法可求得A，根據(jù)相鄰問題用捆綁法可求得C,

根據(jù)特殊位置優(yōu)先排可求得D.

【解答】解：任意站成一排，有貓=120種排法，A正確；

先排老師，然后插空，即彩心=12種排法，8錯誤；

教師相鄰用捆綁，即掰掰=48種排法，C正確；

教師不站兩邊，先將兩邊排上學生，剩卜.的人全排列，即題咫=36種排法，。錯誤.

故選：AC.

【點評】本題考查排列的應用，屬于基礎題.

（多選）9.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁4名同學參加A,B,。三項工作，且每個同學只能參加一項工作，則

下列說法正確的是（）

A.不同的安排方法共有34種

B.若恰有一項工作無人參加，則不同的安排方法共有它（24-1）種

C.若甲，乙兩人都不能去參加A項工作，且每項工作都有人去，則不同的安排方法共有！4種

D.若每個同學只能參加一項工作且每項工作都有人去，則不同的安排方法共有36種

【考點】部分位置的元素有限制的排列問題.

【專題】對應思想；定義法；排列組合；運算求解.

【答案】ACD

【分析】對A,利用分步乘法京理判斷；對B,首先從3項工作中選1項無人參加，再將4人安排到兩

項工作，計算可判斷；對C,分組只有（1、1、2）這種情況，分甲乙同組與甲乙不同組兩種情況，即

可判斷；對。，先分組只有（1、1、2）這種情況，再分配計算判斷.

【解答】解：現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁4名同學參加4,從。三項工作，且每個同學只能參加一項工作，

對于A,安排4人參加3項工作，每人有3種安排方法，則有34種安排方法，故A正確；

對于8,恰有一項工作無人去參加，則首先從3項工作中選1項無人參加有心,

再將4人安排到兩項工作有（24-2）種，故一共有6（24-2）種安排方法，故8錯誤；

對于C,每項工作都有人去，則人員分組只有（1、1、2）這種情況，

若甲、乙同組，則有屐?膨=4種，

若甲、乙不同組，則廢-1=5種分組方法，又甲乙不能去參加A項工作，

則安排不含甲乙的一組參加工作4剩下的兩組安排參加夙C兩項工作，則5屬=10種，

綜上，一共有4+10=14種安排方法，故C正確；

對于。，每項工作都有人去，則人員分組只有（1、1、2）這種情況，先分組，再分配，

則不同的安排方法有服?它?用=36種,故。正確.

故選：ACD.

【點評】本題考查排列組合相關知識，屬于中檔題.

三.填空題（共4小題）

10.甲、乙、丙、丁4人排成一列.且甲、乙均不在第一個位置，則不同的排法共有12種.

【考點】部分位置的元素有限制的排列問題.

【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運算求解.

【答案】12.

【分析】結合分步乘法計數(shù)原理求解即可.

【解答】解：甲、乙、丙、丁4人排成一列.且甲、乙均不在第一個位置，

則不同的排法共有6=12種.

故答案為：12.

【點評】本題考查了分步乘法計數(shù)原理，屬基礎題.

II.從2到7這6個數(shù)字中任意取出3個數(shù)，組成一個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，從百位到個位數(shù)字依次增

大,則滿足條件的三位數(shù)的個數(shù)是20.

【考點】部分位置的元素有限制的排列問題.

【專題】對應思想：綜合法；排列組合；運算求解.

【答案】20.

【分析】根據(jù)題意利用組合數(shù)求解即可.

【解答】解：從2到7這6個數(shù)字中任取3個不同的數(shù)，由于要求三位數(shù)的百位到個位數(shù)字依次增大,

因此，每一組取出的3個數(shù)，按從小到大排列只有1種排列方式.

因此，滿足條件的三位數(shù)的個數(shù)等價于從6個數(shù)字中選3個的組合數(shù)，

故答案為：20.

【點評】本題考查組合的應用，屬于基礎題.

12.某學校在讀書節(jié)活動中，甲，乙，丙3個班各有2名同學獲獎，現(xiàn)將這6人站成一排拍照，其中甲班

的2名同學相鄰，且乙班的2名同學不相鄰的站法種數(shù)共有144種.（用數(shù)字作答）

【考點】部分元素不相鄰的排列問題.

【專題】對應思想；定義法；排列組合；運算求解.

【答案】144.

【分析】根據(jù)排列組合相關知識可解.

【解答】解：若甲班的2名同學相鄰，且乙班的2名同學不相鄰，

則將甲班2位同學看作整體，有掰=2種排法，

再與丙班2位同學進行全排列有“=6種排法，

最后將乙班2位同學插入4個空中，有照=12種排法，

貝IJ共有2X6X12=144種排法.

故答案為：144.

【點評】本題考查排列組合相關知識，屬于中檔題.

13.隨著杭州亞運會的舉辦，吉祥物“蹤琮”、“蓮蓮”、“宸宸”火遍全國.現(xiàn)有甲、乙、丙3位運動員要

與“琮蹤”、“蓮蓮”、“宸宸”站成一排拍照留念，則這3個吉祥物相鄰的排隊方法數(shù)為144.（用

數(shù)字作答）

【考點】部分位置的元素有限制的排列問題.

【專題】對應思想；定義法；排列組合；運算求解.

【答案】144.

【分析】先將甲、乙、丙3位運動員排序，然后將“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”三個吉祥物插入3位運動

員形成的一個空位中，結合排列數(shù)的計算公式，即可求解.

【解答】解：先將甲、乙、丙3位運動員排序，然后將“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”三個吉祥物插入3

位運動員形成的一個空位中，

所以不同的排隊方法種數(shù)為膽x屐x“二144（種）.

故答案為：144.

【點評】本題考查排列組合相關知識，屬于中檔題.

四,解答題（共2小題）

14.甲、乙、丙、丁四名同學報名參加A,8,C三個智力競賽項目，每個人都要報名且只能參加一個項目.

（1）共有多少種不同的報名方法？

（2）若甲、乙報同一項目，丙不報人項目，則有多少種不同的報名方法？

【考點】部分位置的元素有限制的排列問題.

【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運算求解.

【答案】（1）81：

（2）18.

【分析】（1）結合分步乘法計數(shù)原理求解即可；

（2）結合分步乘法計數(shù)原理求解即可.；

【解答】解：（1）已知甲、乙、丙、丁四名同學報名參加48,C三個智力競賽項目，每個人都要報

名旦只能參加一個項目，

貝I」共有3X3X3X3=81種不同的報名方法；

（2）甲、乙報同一項目，丙大報A項目，

則有2X3X3=18種不同的報名方法.

【點評】本題考查了排列、組合及簡單計數(shù)問題，重點考杳了分步乘法計數(shù)原理，屬基礎題.

15.現(xiàn)有8名師生站成一排照相，其中老師2人，男學生4人，女學生2人，在下列情況下，各有多少種

不同的站法？

（1）老師站在最中間，2名女學生分別在老師的兩邊且相鄰，4名男學生兩邊各2人；

（2）4名男學生互不相鄰，男學生甲不能在兩端；

（3）2名老師之間必要有男女學生各1人.

【考點】部分元素不相鄰的排列問題.

【專題】轉化思想；綜合法；排列組合；運算求解.

【答案】（1）96；（2）1728；（3）3840.

【分析】（1）按照特殊元素先排的原則即可；（2）互不相鄰問題，利用插空法；（3）利用捆綁法即可.

【解答】解：（1）由題意可得共兆掰題=2x2x24=96種不同的站法.

（2）先排老師和女學生共有另種站法，再排男學生甲有?種站法，

最后排剩余的3名男學生有屬種站法，所以共有所然盾=24x3x24=1728種不同的站法.

（3）先任選一男學生一女學生站兩位老師中間，有?口鹿種站法，兩老師的站法有心種，

再將一男學生一女學生兩位老師進行捆綁與剩余的4個人進行全排列有星種，

所以共有的心掰盛福=2x4x2x2x120=3840種不同的站法.

【點評】本題考查排列組合的應用，屬于中檔題.

考點卡片

1.古典概型及其概率計算公式

【知識點的認識】

1.定義：如果一個試驗具有下列特征：

（I）有限性：每次試驗可能出現(xiàn)的結果（即基本事件）只有有限個；

<2）等可能性：每次試驗中，各基本事件的發(fā)生都是等可能的.

則稱這種隨機試驗的概率模型為古典概型.

*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個重要特征，所以求事件的概率就

可以不通過大量的重復試驗，而只要通過對一次試驗中可能出現(xiàn)的結果進行分析和計算即可.

2.古典概率的計算公式

如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結果有〃個，而且所有結果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率

都是一；

n

1

如果某個事件4包含的結果有6個，那么事件人的概率為P（4）=三=八中防，叫片歲數(shù).

n基本事件總數(shù)

【解題方法點撥】

1.注意要點：解決占典概型的問題的關鍵是：分清基本事件個數(shù)〃與事件A中所包含的基本事件數(shù).

因比要注意清楚以下三個方面：

（I）本試驗是否具有等可能性：

（2）本試驗的基本事件有多少個；

（3）事件4是什么.

2.解題實現(xiàn)步驟：

（1）仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料?，加深理解題意；

（2）判斷本試驗的結果是否為等可能事件，設出所求事件4

<3）分別求出基本事件的個數(shù)〃與所求事件人中所包含的基本事件個數(shù)〃1；

（4）利用公式P（人）=與求出事件4的概率.

3.解題