20251026學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)上冊《第17章因式分解》單元綜合練習(xí)題(附答案)

一、單選題

1.下列各式中，從左到右的變形屬于因式分解的是()

A.x2+2x+2=(x4-I)2+1B.(x+212=x24-4x+4

C.——2%+1=%(%-2)+1D.2x4-2y=2(x+y)

2.分解因式/。-3)+d3-y)的正確結(jié)果是()

A.(y-3)(x2+x)B.x(y-3)(%+1)

C.(y-3)(x2—x)D.x(y—3)(%—1)

3.若2/+-4可因式分解為(2%+1)(%-4),則m的值為()

A.9B.8C.-7D.-6

4.若3x-2y=3,則9/一4y?一起丫的值為()

A.9B.6C.3D.-3

5.已知a-b=3,b-c=-5,則代數(shù)式ac-ab-be+爐的值為()

A.15B.-15C.2D.-2

6.如果多項式/+±加上一個單項式后，能夠直接用完全平方公式進行因式分解，那么在

64

下列單項式中，可以加上的是()

A.4%B.-xC.8xD.-x4

48

2

7.小明是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中有這樣一條信息：a-ltx-y,2,a+

1,%,Q+1分別對應(yīng)下列六個字：南，愛，我，數(shù)，學(xué)，河.現(xiàn)將2%52-1)一2、92一1)因

式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是()

A.我愛河南B.愛河南C.我愛學(xué)D.河南數(shù)學(xué)

二、填空題

8.代數(shù)式15aX2_15a與10/+20x+10的公因式是.

9.計算：80x3.52+160x3.5x1.5+80x1.52=.

10.己知實數(shù)小b,滿足Q+8=6,Qb=—右則Mb+a/的值為.

11.甲、乙兩個同學(xué)因式分解/+Q%+b時，甲看錯了力，分解結(jié)果為(％+4)(%—8),乙

看錯了a,分解結(jié)果為(x-2)(x+6).則Q+b=.

12.等腰△ABC的兩邊長為Q,b,且小+〃=6Q+I2b-45則A/IBC的周長為.

13.己知a=2025%+2025,b=2025%+2024,c=2025x+2026,則2a?+2b2+2c2-

'Zab—2bc—2ac=.

14.若取圖中的若干個(三種圖形都要取至U)拼成一個長方形，使其面積為4a2+ma》+5b2,

則m的值為

三、解答題

15.用提公因式法將下列各式分解因式.

(l)m(a-2)+n(2-a)；

(2)(a2—ah')+c(a-b)；

(3)x(x-y)(a-b)-y(y-x)(b-a).

16.因式分解：

⑴a3-25a：

(2)6xy2-9x2y-y3；

(3)a4-16；

(4)x2(a-b)+4(b-a)；

(5)(7n2+l)2-47n2.

17.如果一個正整數(shù)能表示成兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為"巧數(shù)〃，如：4=

22-02,12=42-22,20=62-42,因此4,12,20這三個數(shù)都是“巧數(shù)〃.

⑴400是"巧數(shù)〃嗎？為什么？

⑵設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2〃和2n-2(其中n取正整數(shù))，由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的“巧數(shù)”是4

的倍數(shù)嗎？為什么？

18.學(xué)習(xí)對復(fù)雜多項式進行因式分解時，老師示范了如下例題：

例：因式分解：(爐+6%+5)(/+6%-7)+36.

解：設(shè)/+6x=y,則原式=(y十5)(y—7)十36.第一步

=y2-2y4-1.第二步

=(y-l)2.第三步

=(x2+6x-I)2第四步

完成下列任務(wù)：

⑴例題中第二步到第三步運用了因式分解的.(填序號)

①提取公因式；②平方差公式：③兩數(shù)和的完全平方公式：④兩數(shù)差的完全平方公式.

⑵請你模仿以上例題分解因式：(小一4a+2)(。2一4a+6)+4.

19.常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，但有的多項式只用上述方法的其中一種

無法分解.如/-4y2-2x+4y,細心觀察這個式子，會發(fā)現(xiàn)前兩項符合平方差公式，后

兩項可提取公因式，前、后兩部分分別因式分解后又出現(xiàn)新的公因式，再次提取公因式就可

以完成整個式子的因式分解.具體過程如下：

x2-4y2-2x+4y=(x2-4y2)-(2x-4y)=(x+2y)(x-2y)-2(x-2y)=

(x-2y)(x+2y-2).

像這種將一個多項式適當(dāng)分組后，進行因式分解的方法叫作分組分解法.

利用分組分解法解決下面的問題：

(1)因式分解：9m2—4x2-4xy—y2：

(2)因式分解：4a2+4a-4a2b2—b2—4ab2+1；

⑶已知。2(匕+c)=/(Q-c)=2025,Flab,求abc的值.

20.數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微.數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學(xué)非常重要的思想方法之一，數(shù)

形結(jié)合可以使數(shù)與形之間相互轉(zhuǎn)化.如圖，現(xiàn)有4、8、C三種卡片若干.

⑴觀察圖1，請用面積的不同表示方法寫出一個代數(shù)恒等式；

⑵現(xiàn)用x張4卡片、y張B卡片、z張?？ㄆ闯鲆粋€長為3a+4匕，寬為2Q+b的長方形,

試求出x+y+z的值；

⑶觀察圖2,分解因式：3a2+Sab+2b2

參考答案

1.D

【分析】本題考查因式分解，把一個多項式分解成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式

進行因式分解，據(jù)此進行判斷即可.

【詳解】解：A、等式右邊不是整式的積的形式，不是因式分解，不符合題意；

B、是整式的乘法，不是囚式分解，不符合題意：

C、等式右邊不是整式的積的形式，不是因式分解，不符合題意；

D、是因式分解，符合題意；

故選：D.

2.D

【分析】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.將第二項中的3-y轉(zhuǎn)

化為一(y-3),然后提取公因式(y-3),再對(/-%)提取公因式即nJ.

【詳解】解：x2(y-3)+x(3-y)

=x2(y-3)-x(y-3)

=(y-3)(x2-x)

=(y-3)?%?(x-1)

=x(y-3)(x-1),

故選：D.

3.C

【分析】此題考查了因式分解和多項式的乘法互為逆運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)

鍵.

將給定的因式分解形式展開，與原多項式比較對應(yīng)項系數(shù)，即可求出m的值.

【詳解】(2x+l)(x-4)=2x2-8x+x-4=2x2-7x-4,

又2x2+mx-4可因式分解為(2%+l)(x-4),

???2x2+mx-4=2x2-7x-4.

???m=-7.

故選：C.

4.A

【分析】本題主要考查因式分解及代數(shù)式的值，熟練掌握因式分解是解題的關(guān)鍵；利用平方

差公式將9/一4y2分解為(3%-2y)(3%+2y),再結(jié)合已知條件3x-2y=3進行化簡求解

即可.

【詳解】解：03x-2y=3,R9x2-4y2-12y=(3x-2y)(3x+2y)-12y,

回原式=3(3x+2y)—12>=9%4-6y-12y=9x—6y=3(3%—2y)=3x3=9；

故選A.

5.A

【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用以及用因式分解解決求值問題；由題意利用分組分解的方

法把ac-Qb-加+/因式分解，再利用整體代入的方法計算.

【詳解】解：0ac-ab-be+bz=a(c-b)-b(c-b)=(a—b)(c—b),

又團Q—b=3,b—c=-5,

0c—b=—(b-c)=5?

團原式=(a—b)(c—b)=3x5=15,

故選：A.

6.B

【分析】本題考查了用完全平方公式，分解因式，把項看作是平方項或乘積二倍項兩種情況

討論.

多項式/+三需加上一個單項式后成為完全平方式，完全平方公式為a2+2ab+b2=

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(a+b)2,這里a=x,匕=：(因為②=4中間項立為±2ab=±選項B符合此

要求.

【詳解】解：0完全平方公式要求a2+2ab+b2=(a+b)2,

設(shè)a=x,b=-(b2=-),

864

0中間項為±2ab=±2?%￡=

選項中，B為,，加上后得/+,+/=1+：)，

0可以直接用完全平方公式因式分解，

其他選項均不滿足中間項要求.

故選：B.

7.A

【分析】先提取公因式，再根據(jù)平方差公式對多項式進行因式分解，得到因子后對應(yīng)密碼字,

并按順序排列形成密碼信息.

本題考查了因式分解，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǚ纸庖蚴绞墙忸}的關(guān)鍵.

【詳解】解:

02x(a2-1)—2y(a2-1)=2(a2—1)(%-y)?

又團a2-l=(a-l)(a+l),

02x(a2—1)—2y(a2—1)

=2(cz-l)(a+l)(x-y),

團對應(yīng)密碼字：2T我，a一丫)—愛，(。+1)1河，(Q—1)T南，

團密碼信息為“我愛河南〃，

故選：A.

8.5(x+1)

【分析】本撅主要考杳公因式的確定，解題的關(guān)鍵是先利用提公因式法和公式法分解閃式.

然后再確定公因式.分別對兩個多項式進行因式分解，然后找出它們的公因式，第一個多項

式提取公因式15a后應(yīng)用平方差公式，第二個多項式提取公因式10后應(yīng)用完全平方公式，最

后比較公因式即可解答.

【詳解】對于多項式15”2-15%提取公因式15a得15a再應(yīng)用平方差公式得

15a(%+l)(x—1),

對于多項式ION+20M+10,提取公因式10得10(N+2%+1),再應(yīng)用完仝平方公式得

10(x+I)2,

???代數(shù)式15ax2_15a與10/+20x+10的最大公因式為5a+1),

故答案為：5(%+1).

9.2000

【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

通過觀察，表達式符合完全平方公式的結(jié)構(gòu)，提取公因數(shù)后利用公式簡化計算即可.

2

【詳解】解：80x3.52+160x3.5x1.5+80x1.5

=80x(3.52+2x3.5x1.5+1.52)

=80x(3.5+1.5)2

=80x52

=80x25

=2000.

故答案為：2000.

10.-3

【分析】通過因式分解求解即可.

本題考查代數(shù)式的值，因式分解，熟練掌握因式分解是解題的關(guān)鍵。

【詳解】解：+。力2=Q6(Q+b),由a+/?=6,ab=

故a?匕+。匕2-+b)=—1x6=-3,

故答案為：-3.

11.-16

【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用，代數(shù)式求值，掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

甲看錯了〃，但。正確，從甲分解的結(jié)果可得〃的值；乙看錯了小但〃正確，從乙分解的

結(jié)果可得〃的值，再計算a+b即可.

【詳解】解：甲分解的結(jié)果為(x+4)(%-8),展開得/一4%-32,因甲看錯了仇但〃正

確，故Q=-4.

乙分解的結(jié)果為(％-2)(%+6),展開得/+4x-12,因乙看錯了a,但b正確，故b=-12.

則a+b=-4+(—12)=—16.

故答案為:—16.

12.15

【分析】本題考查了因式分解，三角形三邊關(guān)系，非負數(shù)性質(zhì)，求得a,b的值是解題的關(guān)鍵.根

據(jù)完全平方公式因式分解，根據(jù)平方的非負性，求得a,b的值，根據(jù)等腰A/WC的性質(zhì)，即

可求解.

【詳解】解：0a2+b2=6a+12b-45,

0a2+b2-6a-12b+45=0

Ela2-6a+9+b2-12b4-36=0,

0(a-3)24-(b-6)2=0,

回a—3=0,b—6=0,

解得a=3,b=6,

團等腰△ABC的三邊長為a、b、c,

當(dāng)c=3時，3+3=6,不能構(gòu)成三角形；

當(dāng)c=6時，△48C的周長為3+6+6=15：

綜上，△ABC的周長為15.

故答案為：15.

13.6

【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，先求出a-b,b-c,Q—C的值，再利用完全平

方公式分解因式可把原式變形為(a-力尸+(匕-c)2+(Q-c)2,據(jù)此代值計算即可.

【詳解】解：0a=2025x4-2025,b=2025x+2024,c=2025x4-2026,

加一匕=2025%4-2025-2025x-2024=1,

b-c=2025%+2024-2025%-2026=-2,

a-c=2025x+2025-2025%-2026=-1,

02a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac

=(a2-2ah+b2)+(b2-2bc+c2)4-(a2-2ac+c2)

=(a—h)2+(b—c)2+(a—c)2

=I2+(一2/+(-1)2

=6,

故答案為：6.

14.9或12或21

2

【分析】本題主要考查了因式分解，根據(jù)題意可得4a2+mab+Sb=(a+b)(4a+5b)或

4a2+jnab4-5b2=(a4-5b)(4a4-b)或4a2+mab+5b2=(2a+b)(2a+5b),據(jù)此可得答

案.

【詳解】解：05=1x5,4=1x4=2x2,

04a2+mab+5b2=(a+b)(4a+56)=4a2+9ab+5b2或

22

4Q2+mab+5b=(Q+5b)(4a+b)=4a+21ab+5b?或

4a2+mab+5b2=(2a+b)(2a+5b)=4a2+12ab+5b2,

團機的值可以是9或12或21,

故答案為：9或12或21.

15.(l)(a—2)(m—n)

(2)(Q-b)(a+c)

(3)(x-y)2(a-b)

【分析】本題考查了因式分解，掌握提取公因式法是解決本題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)提公因式法求解即可；

(2)根據(jù)提公因式法求解即可；

(3)根據(jù)提公因式法求解即可.

【詳解】(1)解：m(a-2)+n(2-a)

=m(a—2)—n(a—2)

=(a—2)(TH—n)；

(2)解：(a2—ab)+c(a—b)

=a(a—b)+C(Q—b)

=(a-b)(a+c)；

(3)解：x(x-y)(a-b)-y(y-x)(b-a)

=x(x—y)(a—b)—y(x-y)(a—b)

=(x-y)-(a-b)(x-y)

=(x—y)2(a—b).

16.(l)a(a+5)(Q—5)

(2)-y(3x-y)2

(3)(a2+4)(a+2)(a-2)

(4)(Q-b)(x+2)(x-2)

(5)(m+l)2(m-l)2

【分析】本題主要考查了為式分解，熟練掌握因式分解的方法，是解題的關(guān)鍵.

(1)先提公因式，然后用平方差公式進行分解因式即可；

(2)先提公因式，然后用完全平方公式進行分解因式即可；

(3)用平方差公式分解因式即可；

(4)先提公因式，然后用平方差公式進行分解因式即可；

(5)先用平方差公式分解因式，然后用完全平方公式分解因式即可.

【詳解】＜1)解:a3-25a

=Q(Q2—25)

=a(a+S')(a-5)；

(2)解：6xy2-9x2y-y3

=-y(y2-6xy+9x2)

=-y(3x-y)2；

(3)解：a4-16

=(a2+4)(a2-4)

=(a2+4)(a+2)(a-2)：

(4)解:x2[a—b)+4(b—d)

=x2(a—b)—4(a—b)

=(a—b)(x2—4)

=(a-=(%+2)(無-2)；

(5)解：(病+1)2-47n2

=(zn2+1+2mXm2+1-2m)

=(m+l)2(m-I)2.

17.(1)不是，理由見解析

⑵是，理由見解析

【分析】本題考杏了因式分解在新定義習(xí)題中的應(yīng)用，能根據(jù)“巧數(shù)”的定義講行計算,是解

題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)“巧數(shù)〃的定義進行判斷即可；

(2)列出這兩數(shù)的平方差，運用平方差公式進行計算，對結(jié)果進行分析即可.

【詳解】(1)解：400不是“巧數(shù)”，原因如下：

因為400=10尸一992,故400不是“巧數(shù)”;

(2)解：(271)2-3-2)2

=(2n+2n-2)(2〃—2n+2)

=2(4n-2)

=4(2n-l)

???n為正整數(shù)

???2八一1一定為正整數(shù)

.??4(2〃-1)一定能被4整除

由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的巧數(shù)是4的倍數(shù).

18.⑴④

(2)3—2)4

【分析】本題主要考查了因式分解、完全平方公式等知識點，熟練運用完全平方公式進行因

式分解是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)兩數(shù)差的完全平方公式進行判斷即可；

(2)根據(jù)題干中的解題過程進行求解即可.

【詳解】(1)解團由題意知，第二步到第三步運用了因式分解的兩數(shù)差的完全平方公式，

故答案為：④.

(2)解：設(shè)小-4。=力，則

(a2—4a+2)(a2-4Q+6)+4

=(b+2)(b+6)+4

=〃+8b+16

=(b+4)2

=(a2—4a+4)2

=[(?-2溝2

=3-2)4.

19.(l)(3m+2x+y)(377i—2%—y)

(2)(2a+1+2ab+Z?)(2a+1-2ab—b)

(3)-2025

【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意的分組分解法，合理分組.

(1)根據(jù)題意的分組分解法直接分組，再提取公因式或利用公式法因式分解即可得到答案；

(2)先分組，然后完全平方公式與平方差公式因式分解，即可求解；

(3)對+c)—b2(a+c)進行因式分解，可得ab+ac+be=0,貝1J可得a(b+c)=—be,

兩邊同時乘以Q即可解答.

【詳解】(1)解：9m2-4x2-4xy-y2

=9m2-(4x2+4xy+y2)

=97n2-(2x+y)2

=(3m+2x4-y)(3m—2x—y)；

(2)解：4a2+4u—4a2b2—b2—4ab2+1

=(4a2+4a+1)—(4a2fe2+b2+4ab2)

=(2a+I)2—(2ab+b)2

=(2Q+1+2ab+b)(2a+1—2ub-b)；

(3)解：va2(b+c)=b2(a+c)=2025

???a2(b+c)-b2(a+c)=0

a2b+a2c—abz—cb2=0

a2b-ab2+a2c-cb2=0

ab(a-b)+c(a2—b2)=0

ab(