20252026學(xué)年上學(xué)期初中數(shù)學(xué)華東師大版八年級(jí)期末必刷?？?/p>

題之直角三角形的判定

一.選擇題（共6小題）

1.（2025秋?順德區(qū)期中）下列三邊能夠組成直角三角形的是（）

111

、-一，-，-B.1,2,V5C.3,5,8D.32,42,52

345

2.（2025秋?南山區(qū)期中）意大利著名畫家達(dá)?芬奇用一張紙片剪拼出不一樣的空洞，而兩個(gè)空洞的面積是

相等的，如圖所示，證明了勾投定理，若設(shè)圖1中空白部分的面積為5,圖2中空白部分的面積為S2,

則下列對(duì)9,52所列等式不正確的是（）

3.（2025春?海淀區(qū)期末）在勾股定理的證明中，小云用與全等的三角形拼出了如圖所示的弦圖,

若正方形GM/K的面枳為16,正方形CDEF的面積為4,則線段的長(zhǎng)為（）

4.（2024秋?新城區(qū)校級(jí)期末）已知△4BC中，。、b、c分別是乙4、NB、NC的對(duì)邊，下列條件能判斷

△4BC是直角三角形的有（）①NA：NB：ZC=I：2：3；②/=（b+c）（b-c）.③/A=2NB

=3NC；?a：b：e=3：4：5；⑤NA=NC-N8.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

5.（2025秋?廣東期中）如圖是一個(gè)電線桿的示意圖，在電線桿中間增加了很多斜條，它所運(yùn)用的幾何原

理是（）

A.三角形兩邊之和大于第三邊

B.三角形具有稔定性

C.兩點(diǎn)之間線段最短

D.直角三角形的性質(zhì)

6.（2025秋?長(zhǎng)興縣期中）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時(shí)創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙

爽弦圖”，它是由4個(gè)全等的直角三角形和1個(gè)小正方形組成.如圖，直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為

b,斜邊長(zhǎng)為c.若b?a=4,c=16,則每個(gè)直角三角形的面積為（）

二,填空題（共6小題）

7.（2025秋?安定區(qū)期中）在RtzXABC中，ZC=90°,NA=33°,則N8=°.

8.（2025秋?南山區(qū)期中）如圖是“趙爽弦圖”經(jīng)修飾后的圖形，四邊形A3CO與四邊形EFG”均為正方

形，〃是。石的中點(diǎn).若人。的長(zhǎng)為5,則陰影部分的面積為

9.（2025秋?東莞市期中）在如圖所示的3X3正方形網(wǎng)格中，Zl+Z2+Z3=度.

10.（2025秋?丹東校級(jí)期中）在△4AC中，NA,NB,NC的對(duì)邊分別是a,b,c,若三邊關(guān)系為J+c?

2

=bf則是直角.

II.（2025秋?船營(yíng)區(qū)校級(jí)期中）如圖，NA8C=90°,BDLAC,垂足為點(diǎn)D,若NA8O=40。，則NC

12.（2025春?荷塘區(qū)期末）如圖，在四邊形A3CO中，A8=3,8C=13,CD=\2,AO=4,且乙4=90°,

則四邊形A8C。的面積是.

三.解答題（共3小題）

13.（2025秋?陜西期中）如圖，在△4改?中，點(diǎn)。是3C邊的中點(diǎn)，DE工8c交AB于點(diǎn)E,連接CE,且

BE1-EA2=AC1.

（I）試說(shuō)明：NA=90°；

（2）若AC=10,8。=13,求AE的長(zhǎng)度.

DB

14.（2025秋?垣曲縣期中）如圖，在四邊形48C。中，ABLBC,AB=1,BC=2,CD=炳,AD=VlO.

（1）求AC的長(zhǎng).

（2）求四邊形ABC。的面枳.

15.（2025春?汾陽(yáng)市期末）不少家長(zhǎng)在選擇嬰兒車時(shí)，不僅關(guān)注其舒適性、便捷性，更關(guān)注嬰兒車的安全

性.如圖1是某平臺(tái)出售的一種品牌嬰兒車，圖2為其結(jié)構(gòu)示意圖，經(jīng)過測(cè)量得到A3=CD=6d/〃，BC

=3dm,AD=9dm,其中A3與6。之間由一個(gè)固定為90°的零件連接（即NA4Q=90°）.根據(jù)安全標(biāo)

準(zhǔn)需滿足4CJ_CQ,請(qǐng)判斷該嬰兒車是否符合安全標(biāo)準(zhǔn)，并說(shuō)明理由.

圖1圖2

20252026學(xué)年上學(xué)期初中數(shù)學(xué)華東師大版（2024）八年級(jí)期末必刷?？?/p>

題之直角三角形的判定

參考答案與試題解析

一,選擇題（共6小題）

題號(hào)123456

答案BACDBB

一.選擇題（共6小題）

1.（2025秋?順德區(qū)期中）下列三邊能夠組成直角三角形的是（）

111

B.1,2,V5C.3,5,8D.32,42,52

345

【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可.

【解答】解：人???（32+（32/（1）2,

543

111

工以大二，二為邊不能組成直角三角形，故選項(xiàng)不符合題意；

345

B、V12+22=（V5）2,

???以1,2,再為邊能組成直角三角形，故選項(xiàng)符合題意；

C、V32+52^82,

???以3,5,8為邊不能組成直角三角形，故選項(xiàng)不符合題意；

D、,??（32）2+（42）2K（52）2,

???以32,42,52為邊不能組成直角三角形，故選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的勾股定理的逆定理，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那

么a1+b2=c1.

2.（2025秋?南山區(qū)期中）意大利著名畫家達(dá)?芬奇用一張紙片剪拼出不一樣的空洞，而兩個(gè)空洞的面積是

相等的，如圖所示，證明了勾設(shè)定理，若設(shè)圖1中空白部分的面積為Si,圖2中空白部分的面積為S2,

則下列對(duì)Si,貨所列等式不正確的是（）

即圖2

7?

A.Sx—a?+b+2abB.S2—c+ab

22

C.Sr=a+b+abD.Si=S2

【考點(diǎn)】勾股定理的證明.

【專題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力.

【答案】A

【分析】根據(jù)勾股定理、直角三角形以及正方形的面積公式計(jì)算，即可解決問題.

【解答】解：由勾股定理可得/+6=。2,

22222

由題意，可得Si=S2=a+b+2x^ab=a+b+ab=c+ab,

故選項(xiàng)A符合題意，選項(xiàng)&C、。不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明，證明勾股定理時(shí)，用幾個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)規(guī)則的圖形,

然后利用大圖形的面積等于幾個(gè)小圖形的面積和化簡(jiǎn)整理得到勾股定理.

3.（2025春?海淀區(qū)期末）在勾股定理的證明中，小云用與Rt^ABC全等的三角形拼出了如圖所示的弦圖,

若正方形G"/K的面枳為16,正方形CQE尸的面積為4,則線段A8的長(zhǎng)為（）

C.>/10D.2A/3

【考點(diǎn)】勾股定理的證明.

【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】C

【分析】設(shè)AC=b,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到CO=2.GK=4,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：設(shè)8C=a,AC=b,

???正方形GM7K的面積為16,正方形CQEr的面積為4,

；?CD=2,GK=4,

.fa+b=4

.%-Q=2,

.fa=1

.%=3,

：.AB=V32+I2=710,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明，正方形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

4.(2024秋?新城區(qū)校級(jí)期末)已知△ABC中，a、b、c分別是NA、NB、NC的對(duì)邊，下列條件能判斷

△44C是直角三角形的有()①/A：ZB：ZC=1：2：3；②/=(h+c)(/>-c)；③NA=2N4

=3ZC；④a：b：c=3：4：5；⑤NA=NC-N8.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理；三角形內(nèi)角和定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】。

【分析】利用勾股定理逆定理和三角形內(nèi)角和定理逐個(gè)判斷卻可得出答案.

【解答】解：①:/4：NB：ZC=1：2：3,

,設(shè)NA=x、NB=2x、NC=3x,

VZA+ZB+ZC=180°,

.*.x+2r+3x=180°,解得x=30°,

???NC=90°,

???△ABC是直角三角形，故①能判斷△AAC是直角三角形；

@\*a2=(b+c)(/?-c)=Z?2-c2,

/./>2=d2+c2,

/.ZB=90°,

AAABC是直角三角形，故②能判斷AABC是直角三角形；

③：N4=2N4=3/C,

???設(shè)NC=x,則NA=3x,/8=鼠，

/ZA+ZB+ZC=180",

：,3x+^x+x=180°,解得/?二(譽(yù))。,

,W80540360

：,^ArNB=/C=

ITIT

???ZXABC不是直角三角形，故③不能判斷△ABC是直角三角形;

④???〃：b：c=3：4：5；

，設(shè)a=3x,b=4x,c=5x,

：,cr+b2=(3x)2+(4x)2=25X2=C2,

AZC=90°,

???△A/3C是直角三角形，故④能判斷△ABC是直角三角形;

⑤???/A=NC-NB,

???NC=N4+N8,

VZA+ZB+ZC=180°,

AZC=90°,

???△A4C是直角三角形，故⑤能判斷△A3。是直角三角形；

???能判斷△A8C是直角三角形有①@@⑤，共4個(gè)，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理逆定理，以及三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理判斷

一個(gè)三角形是不是直角三角形.

5.（2025秋?廣東期中）如圖是一個(gè)電線桿的示意圖，在電線桿中間增加了很多斜條，它所運(yùn)用的幾何原

理是（）

A.三角形兩邊之和大于第三邊

B.三角形具有穩(wěn)定性

C.兩點(diǎn)之間線段最短

D.直角三角形的性質(zhì)

【考點(diǎn)】直角三角形的性質(zhì)；線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短；三角形的穩(wěn)定性.

【專題】三角形：應(yīng)用意識(shí).

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性解答.

【解答】解：在電線桿中間增加了很多斜條，它所運(yùn)用的幾何原理是三角形具有穩(wěn)定性，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的性質(zhì)，熟記三角形具有穩(wěn)定性是解題的關(guān)鍵.

6.（2025秋?長(zhǎng)興縣期中）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時(shí)創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙

爽弦圖”，它是由4個(gè)全等的直角三角形和1個(gè)小正方形組成.如圖，直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為

mb,斜邊長(zhǎng)為c.若…=4,c=16,則每個(gè)直角三角形的面積為（）

A.64B.60C.120D.128

【考點(diǎn)】勾股定理的證明.

【專題】等腰三角形與直角三角形；應(yīng)用意識(shí).

【答案】B

【分析】根據(jù)勾股定理可知/+〃2=/,再根據(jù)=4,。=16,即可得到〃、〃的值，然后即可計(jì)算出

每個(gè)直角三角形的面積.

【解答】解:由圖可得,/+從=上

...￡+/：162,且八》均大于0,

3—a=4

解得岫=120,

???每個(gè)直角三角形的面積為:油二Ix120=60,

24

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的證明、解直角三角形，解答本題的關(guān)犍是明確題意，求出而的值.

二,填空題（共6小題）

7.（2025秋?安定區(qū)期中）在RtzXABC中，ZC=90°,NA=33°,則N2=57°.

【考點(diǎn)】直角三角形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與宜角三角形；推理能力.

【答案】57.

【分析】利用直角三角形的性質(zhì)即可得出答案.

【解答】解：???在RtZXABC中，ZC=90°,NA=33°,

???根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得，NB=90°-ZA=90°-33°=57°,則NB的度數(shù)為57°,

故答案為：57.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

8.（2025秋?南山區(qū)期中）如圖是“趙爽弦圖”經(jīng)修飾后的圖形，四邊形ABC力與四邊形均為正方

形，，是。石的中點(diǎn).若AO的長(zhǎng)為5,則陰影部分的面積為15.

:s:

【考點(diǎn)】勾股定理的證明.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)題意設(shè)E”=x，則O〃=AE=x,根據(jù)勾股定理列式/+（2x）2=52,繼而得到“=若，

即可得到本題答案.

【解答】解：由“趙爽弦圖”可知

設(shè)貝i」O”=AE=x,

;人。的長(zhǎng)為5,AE2+ED2=AD2,

（2x）2=5，

.*.%=y/5,

???陰影部分的面積：S=1x（正/x4+（V5）2=15,

故答案為：15.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，求陰影部分面積等.熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

9.（2025秋?東莞市期中）在如圖所示的3X3正方形網(wǎng)格中，/1+/2+/3=90度.

【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理；勾股定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形：推理能力.

【答案】90.

【分析】證明△A8C0△DCG@得出N2+N1=45°,根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)可知/3=45°,

即可求解.

【解答】解：如圖，

在△48C與AOE廣中，

(AC=DF

\LACB=乙DFE,

(BC=EF

：.AABC@BDEF(SAS),

???N1=N4,

*：FD//CG,

???N2="OC,

同理可得△QCG絲△CEB,

：?EC=ED,N2=/BEC,

?:NBEC+NECB=90",

???N2+/E8C=90°,

AZECD=90°,

???△EC。是等腰直角三角形，

???NCOE=45°,

BPZ4+ZFDC=Z1+Z2=45°,

根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)可知/3=45°,

???N1+N2+N3=9O0,

故答案為：90.

A

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)求得/1+/2=45°

是解題的關(guān)鍵.

10.（2025秋?丹東校級(jí)期中）在△44C中，NA,NB,NC的對(duì)邊分別是小b,c,若三邊關(guān)系為J+c2

=b2,則/B是直角.

【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】勾股定埋的逆定理：如果二角形的二邊長(zhǎng)4,b,C滿足。2+d=房，那么這個(gè)二角形就是直角

三角形.

【解答】解：???在△4BC中,NA,NB,NC的對(duì)邊分別是a,b,c,三邊關(guān)系為用2+/=從,

???N8是直角.

故答案為：/B.

【點(diǎn)評(píng)】考查了勾股定理的逆定理，運(yùn)用勾股定理的逆定理解決問題的實(shí)質(zhì)就是判斷?個(gè)角是不是直

角.然后進(jìn)一步結(jié)合其他已知條件來(lái)解決問題.

II.（2025秋?船營(yíng)區(qū)校級(jí)期中）如圖，NA8C=90°,4Q_LAC,垂足為點(diǎn)D,若N/WO=40°,則NC

=40°.

【考點(diǎn)】直角三角形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)BDLAC,乙48。=40°,可得乙4=50°,再根據(jù)NABC=90°得到N4+/C=90°,

由此即可求解.

【解答】解：由條件可知NADB=90"，

/.ZA+ZABD=90,

，N4=50°,

???NABC=90°,

???NA+/C=90°,

AZC=40°,

故答案為：40°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形兩銳角互余，掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.（2025春?荷塘區(qū)期末）如圖，在四邊形46。。中，AB=3,8C=13,CD=12,40=4,且乙4=90°,

則四邊形ABC。的面積是36.

【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理；勾股定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】連接B。，知四邊形的面積是和△BCO的面積和，由已知得其符合勾股定理的逆定理從

而得到△BC。是一個(gè)直角三角形.則四邊形面積可求.

【解答】解：連接8。，則有8D=VAD?+/="+42=5,

222222

V5+12=13,BPBD+CD=BCt

,△BCD為直角三角形,

，四邊形的面積=5y。3+5/^。。

11

二＞3乂4+如5乂12

=36.

答：四邊形48C。的面積為36.

故答案為：36.

【點(diǎn)評(píng)】本題利用了勾股定理和它的逆定理及直角三角形的面積公式求解.熟練掌握勾股定理的逆定理

足本題的關(guān)鍵.

三.解答題（共3小題）

13.（2025秋?陜西期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)。是BC邊的中點(diǎn)，DELBC交AB于點(diǎn)E,連接CE,且

BE2-EA2=AC2.

（1）試說(shuō)明：NA=90°；

（2）若AC=10,8。=13,求力￡的長(zhǎng)度.

【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理.；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理.

【專題】線段、角、相交線與平行線；三角形.

【答案】（1）因?yàn)椤Ｊ?c的中點(diǎn)，DELBC,

所以CE=BE,

因?yàn)?5?￡42=心

所以源-江=2,

221

所以EA+AC=CEt

所以△ACE是直角三角形，即NA=90°.

【分析】（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)可求得CE=BE,再結(jié)合BEP-EA2=AC2可求得EA2+AC2=CE2,

可證得結(jié)論：

（2）先求出A4=24,在RtZSAEC中，根據(jù)勾股定理列出方程解答即可.

【解答】解：（1）因?yàn)?。?C的中點(diǎn)，DE上BC,

所以CE=BE,

因?yàn)?/p>

所以金-江=4。2,

所以E42+AC2=CE2,

所以△ACE是直角三角形，即N4=9()°.

(2),??。是BC的中點(diǎn),80=13,

所以BC=2BD=26,

因?yàn)镹A=90°,AC=10,

所以48=y/BC2-AC2=V262-102=24,

22

在RtZ\4EC中，EA+AC=C^t

因?yàn)镃E=BE,

所以102+AE2=(24-AE)2,

解得；AE=

所以AE的長(zhǎng)為——.

12

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考杳了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握勾股定理及其逆定

理是解題的關(guān)鍵，注意方程思想在這類問題中的應(yīng)用.

14.(2025秋?垣曲縣期中)如圖，在四邊形/18CO中，AB1.BC,AB=\,8c=2,CD=瓜AD=VlO.

(1)求AC的長(zhǎng).

(2)求四邊形ABC。的面積.

【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理；勾股定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】(1)V5；

一

(2)四邊形A8C。的面積為:

【分析】(1)利用勾股定理求解即可；

(2)利用勾股定理的逆定理證明△ACO是直角三角形，則四邊形ABCD的面積等于RtAABC與RtA

AC￡＞面積之和.

【解答】解:(1)'：ABVBC,18=1,BC=2,

：.AC=7AB2+8c2=,12+22=V5；

(2)VCD=V5,AD=>/10,AC=V5,

22222

：.CD+AC=(V5)+(V5)=10=ADf

???△ACO是直角三角形，

[[7

**.S四邊版=^AH*HC+^AC*CD=]xlX2+/遮x正=).

7

J四邊形ABCD的面積為了

【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理及其逆定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

15.（2025春?汾陽(yáng)市期末）不少家長(zhǎng)在選擇嬰兒車時(shí)，不僅關(guān)注其舒適性、便捷性，更關(guān)注嬰兒車的安全

性.如圖1是某平臺(tái)出售的一種品牌嬰兒車，圖2為其結(jié)構(gòu)示意圖，經(jīng)過測(cè)量得到AB=CD=64〃，BC

=3dm,AD=9dm,其中AB與8。之間由一個(gè)固定為90°的零件連接（即NABD=90°）.根據(jù)安全標(biāo)

準(zhǔn)需滿足8C_LCZ）,請(qǐng)判斷該嬰兒車是否符合安全標(biāo)準(zhǔn)，并說(shuō)明理由.

圖1圖2

【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理；勾股定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推埋能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)勾股定理求出用〉，根據(jù)勾股定理的逆定理得到BC_LC。，證明結(jié)論.

【解答】解：該嬰兒車符合安全標(biāo)準(zhǔn)，

理由：在△A3。中，NA8D=90",AB=6dm,AD=9dm,

由勾股定理得：BD2=AD1-AB2=92-62=45,

在△8C。中，BC2+CD2=32+61=45,

:.BC2+CD2=BD2,

???△8CO是直角三角形，且N8CO=90°,

J.BCLCD,

???該嬰兒車符合安全標(biāo)準(zhǔn).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理的逆定理、勾股定理，如果三角形的三邊長(zhǎng)。，b,C滿足。2+扇=02,

那么這個(gè)三角形就是宜角三角形.

考點(diǎn)卡片

1.線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短

線段公理

兩點(diǎn)的所有連線中，可以有無(wú)數(shù)種連法，如折線、曲線、線段等，這些所有的線中，線段最短.

簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩點(diǎn)之間，線段最短.

2.三角形的穩(wěn)定性

當(dāng)三角形三邊的長(zhǎng)度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來(lái)，故三角形具有穩(wěn)定性.這一特性主

要應(yīng)用在實(shí)際生活中.

3.三角形內(nèi)角和定理

（I）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角.每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大

于0°且小于180°.

（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180".

（3）三角形內(nèi)角和定理的證明