上海市寶山區(qū)同濟中學2026屆高二上數(shù)學期末綜合測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列說法或運算正確的是（）A.B.用反證法證明“一個三角形至少有兩個銳角”時需設“一個三角形沒有銳角”C.“，”的否定形式為“，”D.直線不可能與圓相切2．古希臘數(shù)學家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，已知橢圓的面積為，、分別是的兩個焦點，過的直線交于、兩點，若的周長為，則的離心率為（）A. B.C. D.3．的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則一定是（）A.等邊三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形4．一部影片在4個單位輪流放映，每個單位放映一場，不同的放映次序有（）A.種 B.4種C.種 D.種5．已知，，，若，，共面，則λ等于（）A. B.3C. D.96．過拋物線焦點的直線與拋物線交于兩點，，拋物線的準線與軸交于點，則的面積為（）A. B.C. D.7．《周髀算經》是中國最古老的天文學和數(shù)學著作，書中提到:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列.若冬至、大寒、雨水的日影子長的和是尺，芒種的日影子長為尺，則冬至的日影子長為（）A.尺 B.尺C.尺 D.尺8．長方體中，，，，為側面內（含邊界）的動點，且滿足，則四棱錐體積的最小值為（）A. B.C. D.9．曲線與曲線的A.長軸長相等 B.短軸長相等C.離心率相等 D.焦距相等10．已知拋物線，，點在拋物線上，記點到直線的距離為，則的最小值是（）A.5 B.6C.7 D.811．已知復數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的共軛復數(shù)為（）A. B.C. D.12．若，則（）A.22 B.19C.－20 D.－19二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知曲線在點處的切線方程是，則的值為______14．設直線的方向向量分別為，若，則實數(shù)m等于___________.15．已知圓被軸截得的弦長為4，被軸分成兩部分的弧長之比為1∶2，則圓心的軌跡方程為______，若點，，則周長的最小值為______16．復數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）的共軛復數(shù)______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設數(shù)列的前項和為，，且，，（1）若（i）求；（ii）求證數(shù)列成等差數(shù)列（2）若數(shù)列為遞增數(shù)列，且，試求滿足條件的所有正整數(shù)的值18．（12分）寫出下列命題的逆命題、否命題以及逆否命題：（1）若，則；（2）已知為實數(shù)，若，則19．（12分）如圖，正方體的棱長為2，點，分別在棱，上運動，且.（1）求證：；（2）求三棱錐的體積的最大值：（3）當，分別是棱，的中點時，求平面與平面的夾角的正弦值.20．（12分）已知拋物線的頂點為原點，焦點F在x軸的正半軸，F(xiàn)到直線的距離為.點為此拋物線上的一點，.直線l與拋物線交于異于N的兩點A，B，且.（1）求拋物線方程和N點坐標；（2）求證：直線AB過定點，并求該定點坐標.21．（12分）某廠接受了一項加工業(yè)務，加工出來的產品(單位：件)按標準分為A，B，C，D四個等級.加工業(yè)務約定：對于A級品、B級品、C級品，廠家每件分別收取加工費90元，50元，20元；對于D級品，廠家每件要賠償原料損失費50元.該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業(yè)務.甲分廠加工成本費為25元/件，乙分廠加工成本費為20元/件.廠家為決定由哪個分廠承接加工業(yè)務，在兩個分廠各試加工了100件這種產品，并統(tǒng)計了這些產品的等級，整理如下：甲分廠產品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)40202020乙分廠產品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)28173421（1）分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產品為A級品的概率；（2）分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產品的平均利潤，以平均利潤為依據，廠家應選哪個分廠承接加工業(yè)務?22．（10分）已知數(shù)列滿足，數(shù)列為等差數(shù)列，，前4項和.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求和：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】對于A：可以解決；對于B:“一個三角形至少由兩個銳角”的反面是“只有一個銳角或沒有銳角”；對于C：全稱否定必須是全部否定；對于D：需要觀察出所給直線是過定點的.【詳解】A：，故錯誤；B：“一個三角形至少由兩個銳角”的反面是“只有一個銳角或沒有銳角”，所以用反證法時應假設只有一個銳角和沒有銳角兩種情況，故錯誤；C：的否定形式是，故錯誤；D：直線是過定點（-1，0），而圓，圓心為（2，0），半徑為4，定點（-1，0）到圓心的距離為2-（-1）=3＜4，故定點在圓內，故正確；故選：D.2、A【解析】本題首先可根據題意得出，然后根據的周長為得出，最后根據求出的值，即可求出的離心率.【詳解】因為橢圓的面積為，所以長半軸長與短半軸長的乘積，因為的周長為，所以根據橢圓的定義易知，，，，則的離心率，故選：A.3、B【解析】利用余弦定理化角為邊，從而可得出答案.【詳解】解：因為，所以，則，所以，所以是等腰三角形.故選：B.4、C【解析】根據題意得到一部影片在4個單位輪流放映，相當于四個單位進行全排列，即可得到答案.【詳解】一部影片在4個單位輪流放映，相當于四個單位進行全排列，所以不同的放映次序有種，故選：C5、C【解析】由，，共面，設，列方程組能求出λ的值【詳解】∵，，共面，∴設(實數(shù)m、n)，即，∴，解得故選：C6、B【解析】畫出圖形，利用已知條件結合拋物線的定義求解邊長CF，BK，然后求解三角形的面積即可【詳解】如圖，設拋物線的準線為，過作于，過作于，過作于，設，則根據拋物線的定義可得，，，的面積為，故選：.7、D【解析】根據題意轉化為等差數(shù)列，求首項.【詳解】設冬至的日影長為，雨水的日影長為，根據等差數(shù)列的性質可知，芒種的日影長為，，解得：，，所以冬至的日影長為尺.故選：D8、D【解析】取的中點，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，分析可知點的軌跡是以點、為焦點的橢圓，求出橢圓的方程，可知當點為橢圓與棱或的交點時，點到平面的距離取最小值，由此可求得四棱錐體積的最小值.【詳解】取的中點，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，設點，其中，，則、，因為平面，平面，則，所以，，同理可得，所以，，所以點的軌跡是以點、為焦點，且長軸長為的橢圓的一部分，則，，，所以，點的軌跡方程為，點到平面的距離為，當點為曲線與棱或棱的交點時，點到平面的距離取最小值，將代入方程得，因此，四棱錐體積的最小值為.故選：D.9、D【解析】分別求出兩橢圓的長軸長、短軸長、離心率、焦距，即可判斷【詳解】解：曲線表示焦點在軸上，長軸長10，短軸長為6，離心率為，焦距為8曲線表示焦點在軸上，長軸長為，短軸長為，離心率為，焦距為8對照選項，則正確故選：【點睛】本題考查橢圓的方程和性質，考查運算能力，屬于基礎題10、D【解析】先求出拋物線的焦點和準線，利用拋物線的定義將轉化為的距離，即可求解.【詳解】由已知得拋物線的焦點為，準線方程為，設點到準線的距離為，則，則由拋物線的定義可知∵，當點、、三點共線時等號成立，∴，故選：.11、D【解析】由復數(shù)除法求得后可得其共軛復數(shù)【詳解】由題意，∴故選：D12、C【解析】將所求進行變形可得，根據二項式定理展開式，即可求得答案.【詳解】由題意得所以.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、11【解析】根據給定條件結合導數(shù)的幾何意義直接計算作答.【詳解】因曲線在點處的切線方程是，則，，所以.故答案為：1114、2【解析】根據向量垂直與數(shù)量積的等價關系，，計算即可.【詳解】因為，則其方向向量，，解得.故答案為：2.15、①.②.【解析】設，圓半徑為，進而根據題意得，，進而得其軌跡方程為雙曲線，再根據雙曲線的定義，將周長轉化為求的最小值，進而求解.【詳解】解：如圖1，因為圓被軸截得的弦長為4，被軸分成兩部分的弧長之比為1∶2，所以，，所以中點，則，，所以，故設，圓半徑為，則，，，所以，即所以圓心的軌跡方程為，表示雙曲線，焦點為，，如圖2，連接，由雙曲線的定義得，即，所以周長為，因為，所以周長的最小值為故答案為：；.16、##【解析】根據共軛復數(shù)的概念，即可得答案.【詳解】由題意可知：復數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）的共軛復數(shù)，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；詳見解析；（2）5.【解析】（1）由題可得，由條件可依次求各項，即得；猜想，用數(shù)學歸納法證明即得；（2）設，由題可得，進而可得，結合條件即求.【小問1詳解】（i）∵，且，，，∴，，，∴，，，又，，，∴，∴，解得，，解得，，解得，，解得，∴；（ii）由，，，，猜想數(shù)列是首項，公差為的等差數(shù)列，，用數(shù)學歸納法證明：當時，，成立；假設時，等式成立，即，則時，，∴，∴當時，等式也成立，∴，∴數(shù)列是首項，公差為的等差數(shù)列.【小問2詳解】設，由，，即，∴，又，，，∴，，，，，，∴，，，∴，又數(shù)列為遞增數(shù)列，∴，解得，由，∴，解得.【點睛】關鍵點點睛：第一問的關鍵是由條件猜想，然后數(shù)學歸納法證明，第二問求出，，即得.18、（1）答案見解析（2）答案見解析【解析】（1）（2）根據逆命題、否命題以及逆否命題的定義作答即可；【小問1詳解】解：逆命題：若，則；否命題：若，則；逆否命題：若，則【小問2詳解】解：逆命題：已知為實數(shù)，若，則；否命題：已知為實數(shù)，若或，則；逆否命題：已知實數(shù)，若，則或19、（1）證明見解析（2）（3）【解析】(1)向量垂直的充要條件是內積為零，建立空間直角坐標系，計算向量內積；(2)利用一元二次函數(shù)，求解體積的最大值；(3)利用平面的法向量求二面角的正弦值.【小問1詳解】如下圖所示，以原點，，，所在直線分別軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，設，則，，，，則，，因為，所以，即.【小問2詳解】因為，所以故的最大值為【小問3詳解】設平面的一個法向量，因為此時，，所以由得取，得，，又可取平面的一個法向量，所以故平面與平面的夾角的正弦值.20、（1），（2）證明見解析，定點【解析】（1）設拋物線的標準方程為，利用點到直線距離公式可求出，再利用焦半徑公式可求出N點坐標；（2）設直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，利用韋達定理計算，可得關系，然后代入直線方程可得定點.【小問1詳解】設拋物線的標準方程為，，其焦點為則，∴所以拋物線的方程為.，所以，所以.因為，所以，所以.【小問2詳解】由題意知，直線的斜率不為0，設直線的方程為（），聯(lián)立方程得設兩個交點，（，）.所以所以，即整理得，此時恒成立，此時直線l的方程為，可化為，從而直線過定點.21、（1）甲分廠加工出來的級品的概率為，乙分廠加工出來的級品的概率為；（2）選甲分廠，理由見解析.【解析】（1）根據兩個頻數(shù)分布表即可求出；（2）根據題意分別求出甲乙兩廠加工件產品的總利潤，即可求出平均利潤，由此作出選擇【詳解】（1）由表可知，甲廠加工出來的一件產品為級品的概率為，乙廠加工出來的一件產品為級品的概率為；（2）甲分廠加工件產品的總利潤為元，所以甲分廠加工件產品的平均利潤為元每件；乙分廠加工件產品的總利潤為元，所以乙分廠加工件產品的平均利潤為元每件故廠家選擇甲分廠承接