山西省長(zhǎng)治市二中2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，，且，則實(shí)數(shù)等于（）A1 B.2C. D.2．設(shè)直線的傾斜角為，且，則滿足A. B.C. D.3．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則的最小值（）A.5 B.C. D.84．如圖是正方體的平面展開(kāi)圖，在這個(gè)正方體中①與平行；②與是異面直線；③與成60°角；④與是異面直線以上四個(gè)結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)是A.①②③ B.②④C.③④ D.②③④5．已知命題“”為真命題，“”為真命題，則（）A.為假命題，為真命題 B.為真命題，為真命題C.為真命題，為假命題 D.為假命題，為假命題6．在等差數(shù)列中，，則（）A.9 B.6C.3 D.17．傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子研究數(shù)，他們根據(jù)沙粒和石子所排列的形狀把數(shù)分成許多類，若：三角形數(shù)、、、、，正方形數(shù)、、、、等等.如圖所示為正五邊形數(shù)，將五邊形數(shù)按從小到大的順序排列成數(shù)列，則此數(shù)列的第4項(xiàng)為（）A. B.C. D.8．已知數(shù)列滿足，且，為其前n項(xiàng)的和，則（）A. B.C. D.9．已知命題：；：若，則，則下列判斷正確的是（）A.為真，為真，為假 B.為真，為假，為真C.為假，為假，為假 D.為真，為假，為假10．已知直線過(guò)點(diǎn)，當(dāng)直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，其斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.11．已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)于任意的，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（）A. B.C. D.12．年月日，很多人的微信圈都在轉(zhuǎn)發(fā)這樣一條微信：“，所遇皆為對(duì)，所做皆稱心””．形如“”的數(shù)字叫“回文數(shù)”，即從左到右讀和從右到左讀都一樣的正整數(shù)，則位的回文數(shù)共有（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知曲線與曲線有相同的切線，則________14．已知點(diǎn)，為拋物線：上不同于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，且，則的面積的最小值為_(kāi)_________.15．若雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為_(kāi)__________；若，則雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為_(kāi)_________.16．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)A、B在橢圓上，且滿足，若令且，則該橢圓離心率的取值范圍為_(kāi)__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值和最小值（1）求實(shí)數(shù)、的值；（2）設(shè)，若不等式，在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍18．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，直線與拋物線交于兩點(diǎn).（1）求此拋物線的方程；（2）若以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O，求實(shí)數(shù)k的值.19．（12分）已知函數(shù)．其中e為然對(duì)數(shù)的底數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)20．（12分）2017年國(guó)家提出鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略目標(biāo)：2020年取得重要進(jìn)展，制度框架和政策體系基本形成；2035年取得決定性進(jìn)展，農(nóng)業(yè)農(nóng)村現(xiàn)代化基本實(shí)現(xiàn)；2050年鄉(xiāng)村全面振興，農(nóng)業(yè)強(qiáng)、農(nóng)村美、農(nóng)民富全面實(shí)現(xiàn)．某地為實(shí)現(xiàn)鄉(xiāng)村振興，對(duì)某農(nóng)產(chǎn)品加工企業(yè)調(diào)研得到該企業(yè)2012年到2020年盈利情況：年份201220132014201520162017201820192020年份代碼x123456789盈利y（百萬(wàn)）6.06.16.26.06.46.96.87.17.0（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷年盈利y與年份代碼x是否具有線性相關(guān)性；（2）若年盈利y與年份代碼x具有線性相關(guān)性，求出線性回歸方程并根據(jù)所求方程預(yù)測(cè)該企業(yè)2021年年盈利（結(jié)果保留兩位小數(shù)）參考數(shù)據(jù)及公式：，，，，，統(tǒng)計(jì)中用相關(guān)系數(shù)r來(lái)衡量變量y，x之間的線性關(guān)系的強(qiáng)弱，當(dāng)時(shí)，變量y，x線性相關(guān)21．（12分）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為A（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（均與A，不重合），過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線分別交直線，于點(diǎn)，，證明：點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱22．（10分）某保險(xiǎn)公司根據(jù)官方公布的歷年?duì)I業(yè)收入，制成表格如下：表1年份2011201220132014201520162017201820192020年份序號(hào)x12345678910營(yíng)業(yè)收入y（億元）0.529.3633.6132352571912120716822135由表1，得到下面的散點(diǎn)圖：根據(jù)已有的函數(shù)知識(shí)，某同學(xué)選用二次函數(shù)模型（b和a是待定參數(shù)）來(lái)擬合y和x的關(guān)系.這時(shí)，可以對(duì)年份序號(hào)做變換，即令，得，由表1可得變換后的數(shù)據(jù)見(jiàn)表2.表2T149162536496481100Y0.529.3633.6132352571912120716822135（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到個(gè)位數(shù)）；（2）根據(jù)（1）中得到的回歸方程估計(jì)2021年的營(yíng)業(yè)收入，以及營(yíng)業(yè)收入首次超過(guò)4000億元的年份.附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.參考數(shù)據(jù)：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算即可得解【詳解】因向量，，且，則，解得，所以實(shí)數(shù)等于.故選：C2、D【解析】因?yàn)?，所以，，，，故選D3、B【解析】做出，滿足約束條件的可行域，結(jié)合圖形可得答案.【詳解】做出，滿足約束條件可行域如圖，化為，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)有最小值，由得，所以的最小值為.故選：B.4、C【解析】根據(jù)平面展開(kāi)圖可得原正方體，根據(jù)各點(diǎn)的分布逐項(xiàng)判斷可得正確的選項(xiàng).【詳解】由平面展開(kāi)圖可得原正方體如圖所示：由圖可得：為異面直線，與不是異面直線，是異面直線，故①②錯(cuò)誤，④正確.連接，則為等邊三角形，而，故或其補(bǔ)角為與所成的角，因?yàn)椋逝c所成的角為，故③正確.綜上，正確命題的序號(hào)為：③④.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查正方體的平面展開(kāi)圖，注意展開(kāi)圖中的點(diǎn)與正方體中的頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，本題屬于容易題.5、A【解析】根據(jù)復(fù)合命題的真假表即可得出結(jié)果.【詳解】若“”為真命題，則為假命題，又“”為真命題，則至少有一個(gè)真命題，所以為真命題，即為假命題，為真命題.故選：A6、A【解析】直接由等差中項(xiàng)得到結(jié)果.詳解】由得.故選：A.7、D【解析】根據(jù)前三個(gè)五邊形數(shù)可推斷出第四個(gè)五邊形數(shù).【詳解】第一個(gè)五邊形數(shù)為，第二個(gè)五邊形數(shù)為，第三個(gè)五邊形數(shù)為，故第四個(gè)五邊形數(shù)為.故選：D.8、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】由題可知是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，則.故選：B.9、D【解析】先判斷出命題，的真假，即可判斷.【詳解】因?yàn)槌闪?，所以命題為真，由可得或，所以命題為假命題，所以為真，為假，為假.故選：D.10、A【解析】設(shè)直線方程，利用圓與直線的關(guān)系，確定圓心到直線的距離小于半徑，即可求得斜率范圍.【詳解】如下圖：設(shè)直線l的方程為即圓心為，半徑是1又直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)故選：A11、B【解析】由等差數(shù)列基本量法求出通項(xiàng)公式，用裂項(xiàng)相消法求得，求出的最大值，然后利用關(guān)于的不等式是一次不等式列出滿足的不等關(guān)系求得其范圍【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，則由已知得，解得，∴，，∴，易知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，∴若對(duì)于任意的，，不等式恒成立，即，又，∴，解得或故選：B【點(diǎn)睛】本題考查求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查不等式恒成立問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握不等式恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與化歸思想，不等式恒成立首先轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的單調(diào)性與最值，其次轉(zhuǎn)化為一次不等式恒成立12、C【解析】根據(jù)“回文數(shù)”的對(duì)稱性，只需計(jì)算前位數(shù)的排法種數(shù)即可，確定這四位數(shù)的選數(shù)的種數(shù)，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)“回文數(shù)”的對(duì)稱性，只需計(jì)算前位數(shù)的排法種數(shù)即可，首位數(shù)不能放零，首位數(shù)共有種選擇，第二位、第三位、第四位數(shù)均有種選擇，因此，位的回文數(shù)共有個(gè).故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0【解析】設(shè)切點(diǎn)分別為，．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，則．由，，計(jì)算可得，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo)代入方程即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)切點(diǎn)分別為，由題意可得，則，即因?yàn)?，，所以，即，解得，所以，則，解得故答案為：014、【解析】設(shè)，，利用可得即可求得，利用兩點(diǎn)間距離公式求出、，面積，利用基本不等式即可求最值.【詳解】設(shè)，，由可得，解得：，，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的面積的最小值為，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是設(shè)，坐標(biāo)，采用設(shè)而不求的方法，將轉(zhuǎn)化為，求出參數(shù)之間的關(guān)系，再利用基本不等式求的最值.15、①.②.3【解析】由漸近線方程知，結(jié)合雙曲線參數(shù)關(guān)系及離心率的定義求雙曲線的離心率，由已知可得右焦點(diǎn)為，應(yīng)用點(diǎn)線距離公式求距離.【詳解】由題設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，則雙曲線為，故右焦點(diǎn)為，所以右焦點(diǎn)到漸近線的距離為.故答案為：，3.16、【解析】由得為矩形，則，故，結(jié)合正弦函數(shù)即可求得范圍【詳解】由已知可得，且四邊形為矩形所以，又因?yàn)椋缘秒x心率因?yàn)?，所以，可得，從而故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】（1）分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)、的方程組，即可解得實(shí)數(shù)、的值；（2）由（1）可得，利用參變量分離法可得出，利用單調(diào)性求出函數(shù)在上的最小值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】解：的對(duì)稱軸是，又，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取最小值，當(dāng)時(shí)，取最大值，即，解得.【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知：，所以，，又，，令，則在上是增函數(shù)．所以，，要使在上恒成立，只需，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍為18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，可得到，可得結(jié)果.（2）假設(shè)的坐標(biāo)，得到，然后聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用韋達(dá)定理，根據(jù)，可得結(jié)果.【詳解】（1）由題知：拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，∴拋物線的方程為（2）設(shè)聯(lián)立，得，則，，，∵以為直徑圓過(guò)原點(diǎn)O，∴，∴，即，解得或（舍），∴【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋物線的幾何關(guān)系的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.19、（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；（2）當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).【解析】(1)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于零求增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于零求減區(qū)間；(2)求導(dǎo)數(shù)，分、、a＞2討論函數(shù)f(x)單調(diào)性和零點(diǎn)即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，易知定義域?yàn)镽，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，x正0負(fù)0正單增極大值單減極小值單增當(dāng)時(shí)，恒成立，∴；當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，，∴無(wú)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，∴有1個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，∴有2個(gè)零點(diǎn)；綜上所述：當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用20、（1）年盈利y與年份代碼x具有線性相關(guān)性（2），7.25百萬(wàn)元【解析】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)和提供的公式計(jì)算即可；（2）先求線性回歸方程，再代入計(jì)算即可【小問(wèn)1詳解】由表中的數(shù)據(jù)得，，，，因?yàn)椋阅暧鹹與年份代碼x具有線性相關(guān)性【小問(wèn)2詳解】，，，當(dāng)時(shí)，，該企業(yè)2021年年盈利約為7.25百萬(wàn)元21、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）先求出直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓，求出A點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，用韋達(dá)定理得到兩根之和，兩根之積，求出兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，證明出，即可證明關(guān)于軸對(duì)稱.【小問(wèn)1詳解】由題意得，，所以直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立得解得或，當(dāng)時(shí)，，所以【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，的方程為，聯(lián)立消去得，