第1頁（共1頁）2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之集合（2025年12月）一．選擇題（共8小題）1．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知集合P＝{x|x2﹣2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，則（?RP）∩Q＝（）A．[0，1） B．（0，2] C．（1，2） D．[1，2]3．已知集合M＝{x|（x﹣1）2＜4，x∈R}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，則M∩N＝（）A．{0，1，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2，3} D．{0，1，2，3}4．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，則B∩（?UA）＝（）A．{1，6} B．{1，7} C．{6，7} D．{1，6，7}5．已知集合A＝{﹣2，0，2}，B＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，則A∩B＝（）A．? B．{2} C．{0} D．{﹣2}6．已知集合A＝{x|x＝3n+2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，則集合A∩B中元素的個(gè)數(shù)為（）A．5 B．4 C．3 D．27．設(shè)集合A＝{x|x2﹣5x+6＞0}，B＝{x|x﹣1＜0}，則A∩B＝（）A．（﹣∞，1） B．（﹣2，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，+∞）8．設(shè)集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|﹣1≤x≤5}，則（A∪B）∩C＝（）A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，5} D．{x∈R|﹣1≤x≤5}二．多選題（共4小題）（多選）9．已知全集U＝Z，集合A＝{x|2x+1≥0，x∈Z}，B＝{﹣1，0，1，2}，則（）A．A∩B＝{0，1，2} B．A∪B＝{x|x≥0} C．（?UA）∩B＝{﹣1} D．A∩B的真子集個(gè)數(shù)是7（多選）10．已知集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，2}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的值可能是（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2（多選）11．下列各組對象能構(gòu)成集合的是（）A．擁有手機(jī)的人 B．2020年高考數(shù)學(xué)難題 C．所有有理數(shù) D．小于π的正整數(shù)（多選）12．下列說法正確的有（）A．設(shè)M＝{m，2}，N＝{m+2，2m}，且M＝N，則實(shí)數(shù)m＝0 B．若?是集合{x|x2≤a，a∈R}的真子集，則實(shí)數(shù)a≥0 C．集合P＝{x|x2﹣3x+2＝0}，Q＝{x|mx﹣1＝0}，若P?Q，則實(shí)數(shù)m∈D．設(shè)集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0}至多有一個(gè)元素，則a三．填空題（共4小題）13．已知集合A＝{x||x﹣a|≤1}，B＝{x|x2﹣5x+4≥0}．若A∩B＝?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．14．已知集合M＝{1，2，3，4}，A?M，集合A中所有元素的乘積稱為集合A的“累積值”，且規(guī)定：當(dāng)集合A只有一個(gè)元素時(shí)，其累積值即為該元素的數(shù)值，空集的累積值為0．設(shè)集合A的累積值為n．（1）若n＝3，則這樣的集合A共有個(gè)；（2）若n為偶數(shù)，則這樣的集合A共有個(gè)．15．設(shè)全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，則（?UA）∩B＝．16．設(shè)A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的值構(gòu)成集合是．四．解答題（共4小題）17．設(shè)集合M＝{x|x2+2（1﹣a）x+3﹣a≤0，x∈R}，M?[0，3]，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．18．定義閉集合S：若a，b∈S，則a+b∈S，a﹣b∈S．（1）舉一例，真包含于R的無限閉集合；（2）求證：對任意兩個(gè)閉集合S1，S2，S1?R，S2?R，存在c∈R，但c?S1∪S2．19．已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5≥0}，集合B＝{x|2a≤x≤a+2}．（1）若a＝﹣1，求A∩B和A∪B；（2）若A∩B＝B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．20．已知集合X＝{x1，x2，…，x8}是集合S＝{2001，2002，2003，…，2016，2017}的一個(gè)含有8個(gè)元素的子集．（Ⅰ）當(dāng)X＝{2001，2002，2005，2007，2011，2013，2016，2017}時(shí)，設(shè)xi，xj∈X（1≤i，j≤8），（i）寫出方程xi﹣xj＝2的解（xi，xj）；（ii）若方程xi﹣xj＝k（k＞0）至少有三組不同的解，寫出k的所有可能取值．（Ⅱ）證明：對任意一個(gè)X，存在正整數(shù)k，使得方程xi﹣xj＝k（1≤i，j≤8）至少有三組不同的解．

2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之集合（2025年12月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案BCACBDAB二．多選題（共4小題）題號9101112答案ACDABCACDABD一．選擇題（共8小題）1．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；集合思想；定義法；集合．【答案】B【分析】利用交集定義先求出A∩B，由此能求出A∩B中元素的個(gè)數(shù)．【解答】解：∵集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，∴A∩B＝{2，4}，∴A∩B中元素的個(gè)數(shù)為2．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查交集中元素個(gè)數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意交集定義的合理運(yùn)用．2．已知集合P＝{x|x2﹣2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，則（?RP）∩Q＝（）A．[0，1） B．（0，2] C．（1，2） D．[1，2]【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【專題】集合．【答案】C【分析】求出P中不等式的解集確定出P，求出P補(bǔ)集與Q的交集即可．【解答】解：由P中不等式變形得：x（x﹣2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P＝（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴?RP＝（0，2），∵Q＝（1，2]，∴（?RP）∩Q＝（1，2），故選：C．【點(diǎn)評】此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．3．已知集合M＝{x|（x﹣1）2＜4，x∈R}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，則M∩N＝（）A．{0，1，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2，3} D．{0，1，2，3}【考點(diǎn)】求集合的交集．【專題】計(jì)算題．【答案】A【分析】求出集合M中不等式的解集，確定出M，找出M與N的公共元素，即可確定出兩集合的交集．【解答】解：由（x﹣1）2＜4，解得：﹣1＜x＜3，即M＝{x|﹣1＜x＜3}，∵N＝{﹣1，0，1，2，3}，∴M∩N＝{0，1，2}．故選：A．【點(diǎn)評】此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．4．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，則B∩（?UA）＝（）A．{1，6} B．{1，7} C．{6，7} D．{1，6，7}【考點(diǎn)】集合的交并補(bǔ)混合運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】先根據(jù)補(bǔ)集定義求出?UA，然后再根據(jù)交集定義求B∩（?UA）即可．【解答】解：∵U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，∴?UA＝{1，6，7}，則B∩（?UA）＝{6，7}故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查集合的交集與補(bǔ)集的求解，屬于基礎(chǔ)試題．5．已知集合A＝{﹣2，0，2}，B＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，則A∩B＝（）A．? B．{2} C．{0} D．{﹣2}【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【專題】集合．【答案】B【分析】先解出集合B，再求兩集合的交集即可得出正確選項(xiàng)．【解答】解：∵A＝{﹣2，0，2}，B＝{x|x2﹣x﹣2＝0}＝{﹣1，2}，∴A∩B＝{2}．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查交的運(yùn)算，理解好交的定義是解答的關(guān)鍵．6．已知集合A＝{x|x＝3n+2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，則集合A∩B中元素的個(gè)數(shù)為（）A．5 B．4 C．3 D．2【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【專題】集合．【答案】D【分析】根據(jù)集合的基本運(yùn)算進(jìn)行求解．【解答】解：A＝{x|x＝3n+2，n∈N}＝{2，5，8，11，14，17，…}，則A∩B＝{8，14}，故集合A∩B中元素的個(gè)數(shù)為2個(gè)，故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，比較基礎(chǔ)．7．設(shè)集合A＝{x|x2﹣5x+6＞0}，B＝{x|x﹣1＜0}，則A∩B＝（）A．（﹣∞，1） B．（﹣2，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，+∞）【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；集合．【答案】A【分析】根據(jù)題意，求出集合A、B，由交集的定義計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，A＝{x|x2﹣5x+6＞0}＝{x|x＞3或x＜2}，B＝{x|x﹣1＜0}＝{x|x＜1}，則A∩B＝{x|x＜1}＝（﹣∞，1）；故選：A．【點(diǎn)評】本題考查交集的計(jì)算，關(guān)鍵是掌握交集的定義，屬于基礎(chǔ)題．8．設(shè)集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|﹣1≤x≤5}，則（A∪B）∩C＝（）A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，5} D．{x∈R|﹣1≤x≤5}【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；集合思想；集合．【答案】B【分析】由并集概念求得A∪B，再由交集概念得答案．【解答】解：∵A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，∴A∪B＝{1，2，4，6}，又C＝{x∈R|﹣1≤x≤5}，∴（A∪B）∩C＝{1，2，4}．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．二．多選題（共4小題）（多選）9．已知全集U＝Z，集合A＝{x|2x+1≥0，x∈Z}，B＝{﹣1，0，1，2}，則（）A．A∩B＝{0，1，2} B．A∪B＝{x|x≥0} C．（?UA）∩B＝{﹣1} D．A∩B的真子集個(gè)數(shù)是7【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算；子集的個(gè)數(shù)；并集及其運(yùn)算；交集及其運(yùn)算．【專題】集合思想；定義法；集合；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】求出集合A，然后利用集合交集的定義判斷A；由集合并集的定義判斷B；由補(bǔ)集以及交集的定義判斷C；由集合真子集個(gè)數(shù)的計(jì)算公式判斷D．【解答】解：集合A＝{x|2x+1≥0，x∈Z}＝{x|x≥-12，x∈Z}，B＝{﹣1，0，1所以A∩B＝{0，1，2}，故選項(xiàng)A正確；A∪B＝{x|x≥﹣1，x∈Z}，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；?UA＝{x|x＜-12，x∈Z}，所以（?UA）∩B＝{﹣1}，故選項(xiàng)由A∩B＝{0，1，2}，則A∩B的真子集個(gè)數(shù)為23﹣1＝7，故選項(xiàng)D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評】本題考查了集合的基本運(yùn)算以及真子集個(gè)數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．已知集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，2}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的值可能是（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【專題】整體思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解．【答案】ABC【分析】通過集合的包含關(guān)系，判斷元素的關(guān)系，通過選項(xiàng)的代入判斷是否成立．【解答】解：因?yàn)榧螦＝{x|ax≤2}，B＝{2，2}，B?A，若a＝﹣1，A＝[﹣2，+∞），符合題意，A對；若a＝1，A＝（﹣∞，2]，符合題意，B對；若a＝﹣2，A＝[﹣1，+∞），符合題意，C對；若a＝2，A＝（﹣∞，1]，不符合題意，D錯(cuò)；故選：ABC．【點(diǎn)評】本題考查集合的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．下列各組對象能構(gòu)成集合的是（）A．擁有手機(jī)的人 B．2020年高考數(shù)學(xué)難題 C．所有有理數(shù) D．小于π的正整數(shù)【考點(diǎn)】集合的表示法．【專題】整體思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】根據(jù)集合元素的確定性對四個(gè)選項(xiàng)依次判斷即可．【解答】解：擁有手機(jī)的人具有確定性，能構(gòu)成集合，故A正確；數(shù)學(xué)難題定義不明確，不符合集合的定義，故B不正確；有理數(shù)具有確定性，能構(gòu)成集合，故C正確；小于π的正整數(shù)具有確定性，能構(gòu)成集合，故D正確；故選：ACD．【點(diǎn)評】本題考查了集合的判斷與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．（多選）12．下列說法正確的有（）A．設(shè)M＝{m，2}，N＝{m+2，2m}，且M＝N，則實(shí)數(shù)m＝0 B．若?是集合{x|x2≤a，a∈R}的真子集，則實(shí)數(shù)a≥0 C．集合P＝{x|x2﹣3x+2＝0}，Q＝{x|mx﹣1＝0}，若P?Q，則實(shí)數(shù)m∈D．設(shè)集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0}至多有一個(gè)元素，則a【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷；集合的相等；集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用；子集與真子集；命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】集合思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解．【答案】ABD【分析】利用集合相等的定義可判斷A，對于B，由題意可知{x|x2≤a，a∈R}≠?，進(jìn)而求出a的取值范圍，對于C，分Q＝?和Q≠?兩種情況討論，分別求出m的值，即可判斷，對于D，分a＝0和a≠0兩種情況討論，結(jié)合Δ即可判斷．【解答】解：對于A，∵M(jìn)＝N，∴m+2＝2或2m＝2，解得m＝0或1，當(dāng)m＝0時(shí)，M＝{0，2}，N＝{2，0}，符合題意，當(dāng)m＝1時(shí)，M＝{1，2}，N＝{3，2}，不符合題意，綜上，m＝0，故A正確；對于B，若?是集合{x|x2≤a，a∈R}的真子集，則{x|x2≤a，a∈R}≠?，∴a≥0，故B正確；對于C，集合P＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，Q＝{x|mx﹣1＝0}，若P?Q，當(dāng)Q＝?時(shí)，m＝0，符合題意，當(dāng)Q≠?時(shí)，則m≠0，∴Q＝{1m}∴1m=1或1解得m＝1或m=1綜上，m∈{0，1，12}，故C對于D，集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0}至多有一個(gè)元素，當(dāng)a＝0時(shí)，集合A＝{x|﹣3x+2＝0}＝{23}當(dāng)a≠0時(shí)，則Δ＝（﹣3）2﹣8a≤0，解得a≥9綜上，a的取值范圍為{0}∪{a|a≥98}，故故選：ABD．【點(diǎn)評】本題主要考查了集合相等的定義，考查了元素與集合的關(guān)系，以及集合間的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題）13．已知集合A＝{x||x﹣a|≤1}，B＝{x|x2﹣5x+4≥0}．若A∩B＝?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2，3）．【考點(diǎn)】集合交并補(bǔ)混合關(guān)系的應(yīng)用；集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用；空集及空集的性質(zhì)．【專題】集合．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】化簡A與B兩個(gè)集合，A∩B＝?，本題不用分類，由形式可以看出，A不是空集，由此，比較兩個(gè)端點(diǎn)的大小就可以求出參數(shù)的范圍了【解答】解：集合A＝{x||x﹣a|≤1}＝{x|a﹣1≤x≤a+1}，B＝{x|x2﹣5x+4≥0}＝{x|x≥4或x≤1}．又A∩B＝?，∴a+1＜解得2＜a＜3，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2，3）．故應(yīng)填（2，3）．【點(diǎn)評】考查集合之間的關(guān)系，通過數(shù)軸進(jìn)行集合包含關(guān)系的運(yùn)算，要注意端點(diǎn)的“開閉”．14．已知集合M＝{1，2，3，4}，A?M，集合A中所有元素的乘積稱為集合A的“累積值”，且規(guī)定：當(dāng)集合A只有一個(gè)元素時(shí)，其累積值即為該元素的數(shù)值，空集的累積值為0．設(shè)集合A的累積值為n．（1）若n＝3，則這樣的集合A共有2個(gè)；（2）若n為偶數(shù)，則這樣的集合A共有13個(gè)．【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷．【專題】壓軸題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】對重新定義問題，要讀懂題意，用列舉法來解，先看出集合A是集合M的子集，則可能的情況有24種，再分情況討論．【解答】解：若n＝3，據(jù)“累積值”的定義，得A＝{3}或A＝{1，3}，這樣的集合A共有2個(gè)．因?yàn)榧螹的子集共有24＝16個(gè)，其中“累積值”為奇數(shù)的子集為{1}，{3}，{1，3}共3個(gè)，所以“累積值”為偶數(shù)的集合共有13個(gè)．故答案為2，13．【點(diǎn)評】這是考查學(xué)生理解能力和對知識掌握的靈活程度的問題，重在理解題意．本題是開放型的問題，要認(rèn)真分析條件，探求結(jié)論，對分析問題解決問題的能力要求較高．15．設(shè)全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，則（?UA）∩B＝{7，9}．【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【專題】集合．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由條件利用補(bǔ)集的定義求得?UA，再根據(jù)兩個(gè)集合的交集的定義求得（?UA）∩B．【解答】解：∵全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，∴（?UA）＝{4，6，7，9}，∴（?UA）∩B＝{7，9}，故答案為：{7，9}．【點(diǎn)評】本題主要考查集合的表示方法、集合的補(bǔ)集，兩個(gè)集合的交集的定義和求法，屬于基礎(chǔ)題．16．設(shè)A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的值構(gòu)成集合是{0，13【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【專題】集合．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】本題的關(guān)鍵是由A＝{x|x2﹣8x+15＝0}求出A的元素，再由B＝{x|ax﹣1＝0}，若B?A，求出a值，注意空集的情況【解答】解：∵A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，∴A＝{3，5}又∵B＝{x|ax﹣1＝0}，∴①B＝?時(shí)，a＝0，顯然B?A②B≠?時(shí)，B＝{1a}，由于B?∴1∴a=故答案為：{0，【點(diǎn)評】本題主要考查集合的包含關(guān)系、判斷及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．要正確判斷兩個(gè)集合間的關(guān)系，必須對集合的相關(guān)概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，認(rèn)清集合的特征．四．解答題（共4小題）17．設(shè)集合M＝{x|x2+2（1﹣a）x+3﹣a≤0，x∈R}，M?[0，3]，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【專題】集合．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】當(dāng)M?[0，3]，通過f（0）≥0，且f（3）≥0，以及對應(yīng)的二次函數(shù)的對稱軸的范圍，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：設(shè)y＝x2+2（1﹣a）x+3﹣a，其開口向上，那么滿足y＝x2+2（1﹣a）x+3﹣a≤0的x的取值，即為使二次函數(shù)的圖象在x軸下方的x的取值范圍，也就是二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)之間的部分，當(dāng)M包含于[0，3]時(shí)，二次函數(shù)與x軸兩交點(diǎn)之間的部分，或M為空集，應(yīng)包含于區(qū)間[0，3]之間，即兩交點(diǎn)都在[0，3]之間，可知f（0）≥0，f（3）≥0，且0≤a﹣1≤3f（0）＝3﹣a≥0，a≤3f（3）＝9+6（1﹣a）+（3﹣a）＝18﹣7a≥0，a≤180≤a﹣1≤3?1≤a≤4，當(dāng)判別式Δ＜0，即4（1﹣a）2﹣4（3﹣a）＜0，解得﹣1＜a＜2時(shí)，M為空集．綜上﹣1＜a≤18【點(diǎn)評】本題是中檔題，考查集合的運(yùn)算，構(gòu)造法與函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的知識，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想．18．定義閉集合S：若a，b∈S，則a+b∈S，a﹣b∈S．（1）舉一例，真包含于R的無限閉集合；（2）求證：對任意兩個(gè)閉集合S1，S2，S1?R，S2?R，存在c∈R，但c?S1∪S2．【考點(diǎn)】集合的含義；元素與集合關(guān)系的判斷；集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【專題】新定義；定義法；集合；邏輯思維．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)閉集合S的定義進(jìn)行舉例即可；（2）根據(jù)閉集合S的定義進(jìn)行證明．【解答】解：（1）根據(jù)閉集合S的定義可知：整數(shù)集滿足條件．（2）證明：若?c∈R，均由c∈S1∪S2．則R?S1∪S2．因此S1∪S2＝R，∵S1?R，S2?R，則一定有a∈R，使得a∈S1，a?S2．一定有存在b∈R，b∈S2．而b?S1．∴a+b∈R，a+b∈S1∪S2，①若a+b∈S1，a∈S1，則必有（a+b）﹣a＝b∈S1，矛盾．②若a+b∈S2，b∈S2，則必有（a+b）﹣b＝a∈S2，矛盾．因此假設(shè)不成立，∴存在c∈R，但c?S1∪S2．【點(diǎn)評】本題主要考查與集合有關(guān)的新定義，正確理解定義的含義是解決本題的關(guān)鍵．19．已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5≥0}，集合B＝{x|2a≤x≤a+2}．（1）若a＝﹣1，求A∩B和A∪B；（2）若A∩B＝B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【考點(diǎn)】求集合的并集；求集合的交集；集合交集關(guān)系的應(yīng)用．【專題】分類討論；定義法；集合．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）化簡集合A、B，根據(jù)集合的定義運(yùn)算即可；（2）利用集合關(guān)系列出不等式組，求參數(shù)即可．【解答】解：（1）集合A＝{x|x2﹣4x﹣5≥0}＝{x|x≤﹣1或x≥5}，a＝﹣1時(shí)，B＝{x|﹣2≤x≤1}；∴A∩B＝{x|﹣2≤x≤﹣1}，A∪B＝{x|x≤1或x≥5}；（2）∵A∩B＝B，∴B?A；①若B＝?，則2a＞a+2，解得a＞2；②若B≠?，則a≤2a+2≤-1解得a≤﹣3或a∈?；綜上，a的取值范圍是a＞2或a≤﹣3．【點(diǎn)評】本題考查了集合運(yùn)算以及利用集合之間的關(guān)系求參數(shù)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．20．已知集合X＝{x1，x2，…，x8}是集合S＝{2001，2002，2003，…，2016，2017}的一個(gè)含有8個(gè)元素的子集．（Ⅰ）當(dāng)X＝{2001，2002，2005，2007，2011，2013，2016，2017}時(shí)，設(shè)xi，xj∈X（1≤i，j≤8），（i）寫出方程xi﹣xj＝2的解（xi，xj）；（ii）若方程xi﹣xj＝k（k＞0）至少有三組不同的解，寫出k的所有可能取值．（Ⅱ）證明：對任意一個(gè)X，存在正整數(shù)k，使得方程xi﹣xj＝k（1≤i，j≤8）至少有三組不同的解．【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷．【專題】新定義；集合思想；綜合法；集合．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（Ⅰ）（i）根據(jù)兩數(shù)之差為2進(jìn)行解答即可；（ii）以下規(guī)定兩數(shù)的差均為正，利用列舉法解答；（Ⅱ）利用反證法行證明．【解答】解：（Ⅰ）（i）方程xi﹣xj＝2的解有：（xi，xj）＝（2007，2005），（2013，2011）（ii）以下規(guī)定兩數(shù)的差均為正，則：列出集合X的從小到大8個(gè)數(shù)中相鄰兩數(shù)的差：1，3，2，4，2，3，1；中間隔一數(shù)的兩數(shù)差（即上一列差數(shù)中相鄰兩數(shù)和）：4，5，6，6，5，4；中間相隔二數(shù)的兩數(shù)差：6，9，8，9，6；中間相隔三數(shù)的兩數(shù)差：10，11，11，10；中間相隔四數(shù)的兩數(shù)差：12，14，12；中間相隔五數(shù)的兩數(shù)差：15，15；中間相隔六數(shù)的兩數(shù)差：16．這28個(gè)差數(shù)中，只有4出現(xiàn)3次，6出現(xiàn)4次，其余都不超過2次，所以k的可能取值有4，6（Ⅱ）證明：不妨設(shè)2001≤x1＜x2＜…＜x8≤2017記ai＝xi+1﹣xi（i＝1，2，…，7），bi＝xi+2﹣xi（i＝1，2，…，6），共13個(gè)差數(shù)．假設(shè)不存在滿足條件的k，則這13個(gè)數(shù)中至多兩個(gè)1、兩個(gè)2、兩個(gè)3、兩個(gè)4、兩個(gè)5、兩個(gè)6，從而（a1+a2+…+a7）+（b1+b2+…+b6）≥2（1+2+…+6）+7＝49①又(這與①矛盾，所以結(jié)論成立．【點(diǎn)評】本題考查集合的理解與應(yīng)用，反證法證明命題的方法，考查邏輯推理以及計(jì)算能力，難度較大．

考點(diǎn)卡片1．集合的含義【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、集合的含義：集合是一定范圍的，確定的，可以區(qū)別的事物，當(dāng)作一個(gè)整體來看待，就叫做集合，簡稱集，其中各事物叫做集合的元素或簡稱元，是具有某種特定性質(zhì)的事物的總體．2、集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法．（1）列舉法就是把集合中的每一個(gè)元素全部寫出來；描述法指的就是用詞匯或者用數(shù)學(xué)語言描述出集合中的元素；區(qū)間表示法就是用區(qū)間的形式來表示集合中的元素；圖示法（數(shù)軸表示法，韋恩圖法）用圖的形式來描述表示出集合的每一個(gè)元素．（2）有限集常用列舉法表示，而無限集常用描述法或區(qū)間表示法表示，抽象集常用圖示法表示．（有限集就是集合中的元素個(gè)數(shù)是能夠確定的．無限集是集合的元素個(gè)數(shù)無法精確．抽象集合就是只給出集合元素滿足的性質(zhì)，探討集合中的元素屬性，要求有較高的抽象思維和邏輯推理能力．）用描述法表示集合時(shí)，集合中元素的意義取決于它的“代表”元素的特征．【典型例題分析】題型一：判斷能否構(gòu)成集合典例1：下列研究對象能否構(gòu)成一個(gè)集合？如果能，采用適當(dāng)?shù)姆绞奖硎舅?）小于5的自然數(shù)；（2）某班所有個(gè)子高的同學(xué)；（3）不等式2x+1＞7的整數(shù)解．分析：根據(jù)集合元素的確定性，互異性進(jìn)行判斷即可．解答：（1）小于5的自然數(shù)為0，1，2，3，4，元素確定，所以能構(gòu)成集合．為{0，1，2，3，4}．（2）個(gè)子高的標(biāo)準(zhǔn)不確定，所以集合元素?zé)o法確定，所以不能構(gòu)成集合．（3）由2x+1＞7得x＞3，因?yàn)閤為整數(shù)，集合元素確定，但集合元素個(gè)數(shù)為無限個(gè)，所以用描述法表示為{x|x＞3，且x∈Z}．點(diǎn)評：本題主要考查集合的含義和表示，利用元素的確定性，互異性是判斷元素能否構(gòu)成集合的條件，比較基礎(chǔ)．典例2：下列集合中表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}N＝{3，2}B．M＝{（x，y）|x+y＝1}N＝{y|x+y＝1}C．M＝{（4，5）}N＝{（5，4）}D．M＝{2，1}N＝{1，2}分析：利用集合的三個(gè)性質(zhì)及其定義，對A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行一一判斷．解答：A、M＝{（3，2）}，M集合的元素表示點(diǎn)的集合，N＝{3，2}，N表示數(shù)集，故不是同一集合，故A錯(cuò)誤；B、M＝{（x，y）|x+y＝1}，M集合的元素表示點(diǎn)的集合，N＝{y|x+y＝1}，N表示直線x+y＝1的縱坐標(biāo)，是數(shù)集，故不是同一集合，故B錯(cuò)誤；C、M＝{（4，5）}集合M的元素是點(diǎn)（4，5），N＝{（5，4）}，集合N的元素是點(diǎn)（5，4），故C錯(cuò)誤；D、M＝{2，1}，N＝{1，2}根據(jù)集合的無序性，集合M，N表示同一集合，故D正確；故選D．點(diǎn)評：此題主要考查集合的定義及其判斷，注意集合的三個(gè)性質(zhì)：確定性，互異性，無序性，此題是一道基礎(chǔ)題．題型二：集合表示的含義典例3：下面三個(gè)集合：A＝{x|y＝x2+1}，B＝{y|y＝x2+1}，C＝{（x，y）|y＝x2+1}，請說說它們各自代表的含義．分析：根據(jù)集合的代表元素，確定集合元素的性質(zhì)，A為數(shù)集，B為數(shù)集，C為點(diǎn)集．解答：A是數(shù)集，是以函數(shù)的定義域構(gòu)成集合，且A＝R；B是數(shù)集，是由函數(shù)的值域構(gòu)成，且B＝{y|y≥1}；C為點(diǎn)集，是由拋物線y＝x2+1上的點(diǎn)構(gòu)成．點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)用描正確理解用描述法表示集合的含義，要通過代表元素的特點(diǎn)正確理解集合元素的構(gòu)成．【解題方法點(diǎn)撥】研究一個(gè)集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制條件，當(dāng)集合用描述法表示時(shí)，注意弄清楚其元素表示的意義是什么．2．集合的表示法【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．列舉法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)，這種表示集合的方法叫做列舉法．{1，2，3，…}，注意元素之間用逗號分開．2．描述法：常用于表示無限集合，把集合中元素的公共屬性用文字，符號或式子等描述出來，寫在大括號內(nèi)，這種表示集合的方法叫做描述法．即：{x|P}（x為該集合的元素的一般形式，P為這個(gè)集合的元素的共同屬性）如：小于π的正實(shí)數(shù)組成的集合表示為：{x|0＜x＜π}3．圖示法（Venn圖）：為了形象表示集合，我們常常畫一條封閉的曲線（或者說圓圈），用它的內(nèi)部表示一個(gè)集合．4．自然語言（不常用）．【解題方法點(diǎn)撥】在掌握基本知識的基礎(chǔ)上，（例如方程的解，不等式的解法等等），初步利用數(shù)形結(jié)合思想解答問題，例如數(shù)軸的應(yīng)用，Venn圖的應(yīng)用，通過轉(zhuǎn)化思想解答．注意解題過程中注意元素的屬性的不同，例如：{x|2x﹣1＞0}，表示實(shí)數(shù)x的范圍；{（x，y）|y﹣2x＝0}表示方程的解或點(diǎn)的坐標(biāo)．【命題方向】本考點(diǎn)是考試命題常考內(nèi)容，多在選擇題，填空題值出現(xiàn)，可以與集合的基本關(guān)系，不等式，簡易邏輯，立體幾何，線性規(guī)劃，概率等知識相結(jié)合．3．元素與集合關(guān)系的判斷【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、元素與集合的關(guān)系：一般地，我們把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡稱集．元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號表示如：a∈A或a?A．2、集合中元素的特征：（1）確定性：作為一個(gè)集合中的元素，必須是確定的．即一個(gè)集合一旦確定，某一個(gè)元素屬于還是不屬于這集合是確定的．要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一，這個(gè)特性通常被用來判斷涉及的總體是否能構(gòu)成集合．（2）互異性：集合中的元素必須是互異的．對于一個(gè)給定的集合，他的任何兩個(gè)元素都是不同的．這個(gè)特性通常被用來判斷集合的表示是否正確，或用來求集合中的未知元素．（3）無序性：集合于其中元素的排列順序無關(guān)．這個(gè)特性通常被用來判斷兩個(gè)集合的關(guān)系．【命題方向】題型一：驗(yàn)證元素是否是集合的元素典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求證：（1）3∈A；（2）偶數(shù)4k﹣2（k∈Z）不屬于A．分析：（1）根據(jù)集合中元素的特性，判斷3是否滿足即可；（2）用反證法，假設(shè)屬于A，再根據(jù)兩偶數(shù)的積為4的倍數(shù)；兩奇數(shù)的積仍為奇數(shù)得出矛盾，從而證明要證的結(jié)論．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）設(shè)4k﹣2∈A，則存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、當(dāng)m，n同奇或同偶時(shí)，m﹣n，m+n均為偶數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為4的倍數(shù)，與4k﹣2不是4的倍數(shù)矛盾．2、當(dāng)m，n一奇，一偶時(shí)，m﹣n，m+n均為奇數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為奇數(shù)，與4k﹣2是偶數(shù)矛盾．綜上4k﹣2?A．點(diǎn)評：本題考查元素與集合關(guān)系的判斷．分類討論的思想．題型二：知元素是集合的元素，根據(jù)集合的屬性求出相關(guān)的參數(shù)．典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求實(shí)數(shù)a的值．分析：通過3是集合A的元素，直接利用a+2與2a2+a＝3，求出a的值，驗(yàn)證集合A中元素不重復(fù)即可．解答：解：因?yàn)?∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）當(dāng)a+2＝3時(shí)，a＝1，…（5分）此時(shí)A＝{3，3}，不合條件舍去，…（7分）當(dāng)2a2+a＝3時(shí)，a＝1（舍去）或a=-32由a=-32，得A={故a=-32點(diǎn)評：本題考查集合與元素之間的關(guān)系，考查集合中元素的特性，考查計(jì)算能力．【解題方法點(diǎn)撥】集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時(shí)要特別注意．分類討論的思想方法常用于解決集合問題．4．集合的相等【知識點(diǎn)的認(rèn)識】（1）若集合A與集合B的元素相同，則稱集合A等于集合B．（2）對集合A和集合B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，記作A＝B．就是如果A?B，同時(shí)B?A，那么就說這兩個(gè)集合相等，記作A＝B．（3）對于兩個(gè)有限數(shù)集A＝B，則這兩個(gè)有限數(shù)集A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性質(zhì)：①兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相等；②兩個(gè)集合的元素之和相等；③兩個(gè)集合的元素之積相等．由此知，以上敘述實(shí)質(zhì)是一致的，只是表達(dá)方式不同而已．上述概念是判斷或證明兩個(gè)集合相等的依據(jù)．【解題方法點(diǎn)撥】集合A與集合B相等，是指A的每一個(gè)元素都在B中，而且B中的每一個(gè)元素都在A中．解題時(shí)往往只解答一個(gè)問題，忽視另一個(gè)問題；解題后注意集合滿足元素的互異性．【命題方向】通常是判斷兩個(gè)集合是不是同一個(gè)集合；利用相等集合求出變量的值；與集合的運(yùn)算相聯(lián)系，也可能與函數(shù)的定義域、值域聯(lián)系命題，多以小題選擇題與填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)出現(xiàn)在大題的一小問．5．集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用【知識點(diǎn)的認(rèn)識】概念：1．如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個(gè)元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A?B；2．如果集合A的每一個(gè)元素都是集合B的元素，反過來，集合B的每一個(gè)元素也都是集合A的元素，那么我們就說集合A等于集合B，即A＝B．【解題方法點(diǎn)撥】1．按照子集包含元素個(gè)數(shù)從少到多排列．2．注意觀察兩個(gè)集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性質(zhì)來判斷兩個(gè)集合之間的關(guān)系．4．有時(shí)借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法．【命題方向】通常命題的方式是小題，直接求解或判斷兩個(gè)或兩個(gè)以上的集合的關(guān)系，可以與函數(shù)的定義域，三角函數(shù)的解集，子集的個(gè)數(shù)，簡易邏輯等知識相結(jié)合命題．6．子集與真子集【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、子集定義：一般地，對于兩個(gè)集合A，B，如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集（subset）．記作：A?B（或B?A）．2、真子集是對于子集來說的．真子集定義：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且元素x不屬于集合A，我們稱集合A是集合B的真子集．也就是說如果集合A的所有元素同時(shí)都是集合B的元素，則稱A是B的子集，若B中有一個(gè)元素，而A中沒有，且A是B的子集，則稱A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集例如：所有亞洲國家的集合是地球上所有國家的集合的真子集．所有的自然數(shù)的集合是所有整數(shù)的集合的真子集．{1，3}?{1，2，3，4}{1，2，3，4}?{1，2，3，4}3、真子集和子集的區(qū)別子集就是一個(gè)集合中的全部元素是另一個(gè)集合中的元素，有可能與另一個(gè)集合相等；真子集就是一個(gè)集合中的元素全部是另一個(gè)集合中的元素，但不存在相等；注意集合的元素是要用大括號括起來的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般來說，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以對于含有n個(gè)（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n個(gè)；真子集就有2n﹣1．但空集屬特殊情況，它只有一個(gè)子集，沒有真子集．【解題方法點(diǎn)撥】注意真子集和子集的區(qū)別，不可混為一談，A?B，并且B?A時(shí)，有A＝B，但是A?B，并且B?A，是不能同時(shí)成立的；子集個(gè)數(shù)的求法，空集與自身是不可忽視的．【命題方向】本考點(diǎn)要求理解，高考會考中多以選擇題、填空題為主，曾經(jīng)考查子集個(gè)數(shù)問題，常常與集合的運(yùn)算，概率，函數(shù)的基本性質(zhì)結(jié)合命題．7．空集及空集的性質(zhì)【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、空集的定義：不含任何元素的集合稱為空集．記作?．空集的性質(zhì)：空集是一切集合的子集．2、注意：空集不是沒有；它是內(nèi)部沒有元素的集合，而集合是存在的．這通常是初學(xué)者的一個(gè)難理解點(diǎn)．將集合想象成一個(gè)裝有其元素的袋子的想法或許會有幫助；袋子可能是空的，但袋子本身確實(shí)是存在的．例如：{x|x2+1＝0，x∈R}＝?．雖然有x的表達(dá)式，但方程中根本就沒有這樣的實(shí)數(shù)x使得方程成立，所以方程的解集是空集．3、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．【解題方法點(diǎn)撥】解答與空集有關(guān)的問題，例如集合A∩B＝B?B?A，實(shí)際上包含3種情況：①B＝?；②B?A且B≠?；③B＝A；往往遺漏B是?的情形，所以老師們在講解這一部分內(nèi)容或題目時(shí)，總是說“空集優(yōu)先的原則”，就是首先考慮空集．【命題方向】一般情況下，多與集合的基本運(yùn)算聯(lián)合命題，是學(xué)生容易疏忽、出錯(cuò)的地方，考查分析問題解決問題的細(xì)心程度，難度不大，可以在選擇題、填空題、簡答題中出現(xiàn)．8．子集的個(gè)數(shù)【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、子集真子集定義：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且元素x不屬于集合A，我們稱集合A是集合B的真子集．也就是說如果集合A的所有元素同時(shí)都是集合B的元素，則稱A是B的子集，若B中有一個(gè)元素，而A中沒有，且A是B的子集，則稱A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集2、一般來說，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以對于含有n個(gè)（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n個(gè)；真子集就有2n﹣1．但空集屬特殊情況，它只有一個(gè)子集，沒有真子集．【解題方法點(diǎn)撥】公式計(jì)算：若一個(gè)集合有n個(gè)元素，則它的子集個(gè)數(shù)為2^n．理解冪集：冪集是一個(gè)集合的所有子集組成的集合．【命題方向】已知集合A＝{x|﹣1≤x+1≤6}，當(dāng)x∈Z時(shí)，求A的非空真子集的個(gè)數(shù)．解：當(dāng)x∈Z時(shí)，A＝{x|﹣2≤x≤5}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，共8個(gè)元素，∴A的非空真子集的個(gè)數(shù)為28﹣2＝254個(gè)；9．并集及其運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素的組成的集合叫做A與B的并集，記作A∪B．符號語言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．圖形語言：．A∪B實(shí)際理解為：①x僅是A中元素；②x僅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．運(yùn)算性質(zhì)：①A∪B＝B∪A．②A∪?＝A．③A∪A＝A．④A∪B?A，A∪B?B．⑤A∪B＝B?A?B．⑥A∪B＝?，兩個(gè)集合都是空集．⑦A∪（?UA）＝U．⑧?U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）．【解題方法點(diǎn)撥】解答并集問題，需要注意并集中：“或”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；注意并集中元素的互異性．不能重復(fù)．【命題方向】掌握并集的表示法，會求兩個(gè)集合的并集，命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域聯(lián)合命題．10．求集合的并集【知識點(diǎn)的認(rèn)識】由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素的組成的集合叫做A與B的并集，記作A∪B．符號語言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．A∪B實(shí)際理解為：①x僅是A中元素；②x僅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．運(yùn)算性質(zhì)：①A∪B＝B∪A．②A∪?＝A．③A∪A＝A．④A∪B?A，A∪B?B．【解題方法點(diǎn)撥】定義并集：集合A和集合B的并集是所有屬于A或?qū)儆贐的元素組成的集合，記為A∪B．元素合并：將A和B的所有元素合并，去重，得到并集．【命題方向】已知集合A={x∈N|-12≤x＜52}，B＝{x∈Z解：依題意，A={x∈N|-所以A∪B＝{﹣1，0，1，2}．11．交集及其運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實(shí)際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當(dāng)兩個(gè)集合沒有公共元素時(shí)，兩個(gè)集合的交集是空集，而不能說兩個(gè)集合沒有交集．運(yùn)算性質(zhì)：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．⑤A∩B＝A?A?B．⑥A∩B＝?，兩個(gè)集合沒有相同元素．⑦A∩（?UA）＝?．⑧?U（A∩B）＝（?UA）∪（?UB）．【解題方法點(diǎn)撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖．【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個(gè)集合的交集．命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域，函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性等聯(lián)合命題．12．求集合的交集【知識點(diǎn)的認(rèn)識】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實(shí)際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當(dāng)兩個(gè)集合沒有公共元素時(shí)，兩個(gè)集合的交集是空集，而不能說兩個(gè)集合沒有交集．運(yùn)算性質(zhì)：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．【解題方法點(diǎn)撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖．【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個(gè)集合的交集．已知集合A＝{x∈Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}