7.3.1離散型隨機變量的均值知識點1

離散型隨機變量的均值一般地,若離散型隨機變量X的分布列如下表所示,Xx1x2…xnPp1p2…pn則稱E(X)=

=

為隨機變量X的均值或數學期望,數學期望簡稱期望.

x1p1+x2p2+…+xnpn均值E(X)刻畫的是X取值的“中心位置”,這是隨機變量X的一個重要特征,它反映或刻畫的是隨機變量取值的平均水平.思考辨析離散型隨機變量的均值與樣本平均值之間的關系如何?提示

(1)區(qū)別:隨機變量的均值是一個常數,它不依賴于樣本的抽取,而樣本平均值是一個隨機變量,它隨樣本抽取的不同而變化.(2)聯(lián)系:對于簡單的隨機樣本,隨著樣本容量的增加,樣本平均值越來越接近于總體的均值.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)隨機變量X的均值E(X)是個變量,其隨X的變化而變化.(

)(2)隨機變量的均值相同,則兩個分布也一定相同.(

)××2.已知X的分布列為

則X的均值為(

)D3.(2025上海高三月考)甲、乙兩臺自動車床生產同種標準件,X表示甲車床生產1000件產品中的次品數,Y表示乙車床生產1000件產品中的次品數.經過一段時間考察,X,Y的分布列分別如表所示.X0123P0.60.250.050.1Y0123P0.50.250.250據此判定(

)A.甲比乙質量好

B.乙比甲質量好C.甲與乙質量相同

D.無法判定A解析

因為E(X)=0×0.6+1×0.25+2×0.05+3×0.1=0.65,E(Y)=0×0.5+1×0.25+2×0.25+3×0=0.75,所以E(X)<E(Y),所以甲比乙質量好.故選A.知識點2

兩點分布的均值一般地,如果隨機變量X服從兩點分布,那么E(X)=

=

.

思考辨析已知離散型隨機變量X的取值為-1和1,且P(X=1)=p,則該隨機變量服從兩點分布嗎?該隨機變量的均值是多少?0×(1-p)+1×pP提示

不服從,因為兩點分布的隨機變量X只取0和1,否則不是兩點分布.問題中的均值可以根據均值的定義得p-(1-p)=2p-1.自主診斷1.設隨機變量X服從兩點分布,若P(X=1)-P(X=0)=0.4,則E(X)=(

)

A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7D解析

由題意得P(X=1)+P(X=0)=1,且P(X=1)-P(X=0)=0.4,所以P(X=1)=0.7,P(X=0)=0.3,則E(X)=1×0.7+0×0.3=0.7.故選D.知識點3

離散型隨機變量均值的性質一般地,下面的結論成立:E(aX+b)=

.

aE(X)+b自主診斷1.設X的分布列為則E(2X+5)=(

)D2.已知隨機變量X的分布列如下.則E(X)=

,E(2X-1)=

.

探究點一求離散型隨機變量的均值【例1】

(北師大版教材例題)一個袋子里裝有除顏色外完全相同的3個紅球和2個黃球,從中同時取出2個,則取出的紅球個數的均值是多少?規(guī)律方法

求離散型隨機變量均值的步驟(1)確定離散型隨機變量X的取值.(2)寫出分布列,并檢查分布列的正確與否.(3)根據公式求出均值.變式訓練1(2025江西高三階段測試)某網站對前500名國貨消費品牌進行統(tǒng)計分析,統(tǒng)計榜單前20名品牌所在行業(yè),得到如下頻數表.行業(yè)汽車出行3C數碼家用電器食品飲料生鮮水果珠寶文玩頻數744311(1)從表中家用電器、生鮮水果、珠寶文玩行業(yè)的6個品牌中隨機抽3個,求抽取的3個品牌恰好來自2個不同行業(yè)的概率;(2)從來自汽車出行、3C數碼及家用電器的15個品牌中抽取4個品牌,且來自3C數碼及家用電器的品牌抽取的數目相同,記該數目為X,求X的分布列與期望.

X012P

探究點二離散型隨機變量的均值的性質

規(guī)律方法

離散型隨機變量均值的性質有關問題的解題思路若給出的隨機變量Y與X的關系為Y=aX+b,a,b為常數,一般思路是先求出E(X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E(Y).也可以利用X的分布列得到Y的分布列,關鍵是由X的取值計算Y的取值,對應的概率相等,再由定義法求得E(Y).變式訓練2(1)已知隨機變量ξ和η,其中η=12ξ+7,且E(η)=34,若ξ的分布列如下表,則m的值為(

)A解析

因為η=12ξ+7,所以E(η)=12E(ξ)+7,(2)節(jié)日期間,某種鮮花的進價是每束2.5元,售價是每束5元,節(jié)后對沒有賣出的鮮花以每束1.6元進行處理.根據前四年的銷售情況預測,節(jié)日期間這種鮮花的需求量ξ(單位:束)的概率分布如下表所示,若進這種鮮花500束,則利潤的均值是(

)ξ200300400500P0.200.350.300.15A.706元 B.690元C.754元 D.720元A解析

設節(jié)日期間這種鮮花需求量為X,則X的均值為E(X)=200×0.20+300×0.35+400×0.30+500×0.15=340.設利潤為Y,則Y=5X+1.6×(500-X)-500×2.5=3.4X-450,所以E(Y)=3.4E(X)-450=3.4×340-450=706.故選A.探究點三均值的簡單應用【例3】

某學校組織“消防”知識競賽,有A,B兩類題目.每位參加比賽的同學先在兩類題目中選擇一類并從中隨機抽取一道題回答,若回答錯誤則該同學比賽結束;若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答,無論回答正確與否,該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得40分,否則得0分;B類問題中的每個問題回答正確得60分,否則得0分;已知小明能正確回答A類問題的概率為0.7,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.5,且能正確回答問題的概率與回答次序無關.(1)若小明先回答A類問題,記X為小明的累計得分,求X的分布列;(2)為使累計得分的期望最大,小明應選擇先回答哪類問題?并說明理由.解

(1)根據題意可知X=0,40,100,又P(X=0)=1-0.7=0.3;P(X=40)=0.7×(1-0.5)=0.35;P(X=100)=0.7×0.5=0.35.∴X的分布列為X040100P0.30.350.35(2)由(1)可知,若小明先回答A類問題,則E(X)=0×0.3+40×0.35+100×0.35=49;若小明先回答B(yǎng)類問題,記Y為小明的累計得分,則Y=0,60,100,又P(Y=0)=1-0.5=0.5,P(Y=60)=0.5×(1-0.7)=0.15,P(Y=100)=0.5×0.7=0.35,則E(Y)=0×0.5+60×0.15+100×0.35=44.∵E(X)>E(Y),∴為使累計得分的期望最大,小明應選擇先回答A類問題.規(guī)律方法

解答應用