專題01靜電力作用下物體的平衡模型【模型1共線庫侖力的平衡問題】【模型構(gòu)建】如圖，A、B、C三個自由帶電體按照一定的位置排列后在不受除庫侖力以外的其他力的作用下處于平衡狀態(tài)，對于帶電體電性及所處位置的分析可依照力學(xué)問題一樣，具體方法是：確定研究對象，受力分析，列出平衡方程，聯(lián)立求解?！灸Ｐ推饰觥?.平衡條件：每個點電荷受到的兩個庫侖力必須大小相等，方向相反。2.平衡規(guī)律可概括為“三點共線”——三個點電荷分布在同一條直線上；“兩同夾異”——正、負(fù)電荷相互間隔；“兩大夾小”——中間電荷的電荷量最??；“近小遠(yuǎn)大”——中間電荷靠近電荷量較小的電荷。3.只要其中兩個點電荷平衡，第三個點電荷一定平衡，只需根據(jù)平衡條件對其中的兩個點電荷列式即可?！绢}目示例】如圖所示，電荷量分別為＋q和＋4q的兩點電荷固定在A、B兩點，已知A、B兩點相距L，問：(1)在何處放置點電荷C，才能使C處于平衡狀態(tài)？(2)C所帶的電荷量和電性對C的平衡有影響嗎？【推理過程】【答案】(1)在A、B連線上，在A點右側(cè)距A點eq\f(L,3)處【解析】(1)由平衡條件，對C進(jìn)行受力分析，C應(yīng)在AB的連線上且在A的右邊，設(shè)與A相距r，則eq\f(k·q·qC,r2)＝eq\f(k·4q·qC,L－r2)，解得r＝eq\f(L,3)。(2)電荷量的大小和電性對平衡無影響，距離A為eq\f(L,3)處，A、B合電場強(qiáng)度為0。(2)無影響【一題多變】若上例中A、B不固定，在何處放一個什么性質(zhì)的點電荷，才可以使三個點電荷都處于平衡狀態(tài)？【答案】在AB連線上，在A點右側(cè)，距A點eq\f(L,3)處，放一電荷量為eq\f(4,9)q的負(fù)電荷【解析】設(shè)放置的點電荷的電荷量為Q，分別對A、B受力分析，AB間作用力為斥力，放置的電荷對A和B的作用力為吸力，故放置電荷為負(fù)電荷，設(shè)放置電荷到A點距離為r，根據(jù)平衡條件對電荷A：eq\f(k·4q·q,L2)＝eq\f(kQ·q,r2)對電荷B：eq\f(k·4q·q,L2)＝eq\f(kQ·4q,L－r2)聯(lián)立可得：r＝eq\f(L,3)，Q＝eq\f(4,9)q(負(fù)電荷)即應(yīng)在AB連線上且在A的右邊，距A點電荷eq\f(L,3)處放置一個電荷量為eq\f(4,9)q的負(fù)電荷?！驹俅紊A】AA、B、C三個電荷要平衡，三個電荷必須在一條直線上；外側(cè)兩電荷間作用力大小等于中間電荷與外側(cè)電荷間作用力，所以外側(cè)電荷的電荷量大于中間電荷的電荷量；外側(cè)電荷受到另外兩電荷對其作用力的方向相反，則中間電荷與外側(cè)兩電荷電性相反，即三個電荷均平衡時滿足“兩大夾小”“兩同夾異”?！灸Ｐ?平面不共線庫侖力的靜態(tài)與動態(tài)平衡問題】【模型構(gòu)建】平面不共線庫侖力的平衡問題是電磁學(xué)與力學(xué)平衡結(jié)合的核心題型，需同時滿足庫侖定律（力的大小計算）和力學(xué)平衡條件（力的方向與矢量合成）。根據(jù)運(yùn)動狀態(tài)差異，可分為“靜態(tài)平衡”（物體靜止或勻速直線運(yùn)動）和“動態(tài)平衡”（物體緩慢移動、力的方向/大小隨位置變化但始終平衡）兩類，模型建立需遵循“明確研究對象→分析受力→列平衡方程→結(jié)合約束條件求解”的邏輯【模型剖析】庫侖力作用下平衡問題的分析方法與純力學(xué)平衡問題的分析方法是相同的，只是在原來受力的基礎(chǔ)上多了靜電力。具體步驟如下：【題目示例】如圖所示，用不可伸長的絕緣輕質(zhì)細(xì)絲將帶正電的小球B懸掛在固定點O，在O點正下方固定一帶正電的點電荷A，小球B靜止平衡穩(wěn)定后，AB間距離為r，AB間庫侖力大小為F。僅將小球B的電荷量減到原來的18，待小球B重新靜止平衡穩(wěn)定后（）A．細(xì)絲對小球B的拉力變小 B．細(xì)絲對小球B的拉力變大C．AB間庫侖力變?yōu)镕2 D．AB間距離變?yōu)椤就评磉^程】【答案】CD【詳解】對小球B進(jìn)行受力分析，如圖所示由三角形相似可得mg可得T=mgAB．根據(jù)T=mg可知在小球B的電荷量減小的過程中，小球B受到細(xì)線的拉力大小不變，故CD．根據(jù)F=k可得AB可知AB間距離變?yōu)閞2，AB間庫侖力變?yōu)镕2，故故選CD?！驹俅紊A】11、受力分析必“全”：無論靜態(tài)還是動態(tài)，都需包含“庫侖力+重力+約束反力”，不可漏力（如輕小帶電體忽略重力，但有質(zhì)量的小球必須考慮重力）；2、庫侖力方向必“沿連線”：平面不共線庫侖力的方向一定沿兩點電荷的連線，這是區(qū)別于其他力（如拉力、支持力）的核心特征，畫錯方向會導(dǎo)致后續(xù)方程全錯；3、動態(tài)平衡忌“代數(shù)法”：當(dāng)力的方向和大小同時變化時，代數(shù)分解會引入多個變量（角度、距離），而幾何法（相似三角形、力的三角形動態(tài)平移）是更高效的工具【模型3三維非共線庫侖力的平衡問題】【模型構(gòu)建】降維法是將一個三維圖變成幾個二維圖，即應(yīng)選兩個合適的平面去觀察，當(dāng)遇到一個空間受力問題時，將物體受到的力分解到兩個不同平面上再求解。由于三維問題不好想象，選取適當(dāng)?shù)慕嵌?，可用降維法求解。降維的優(yōu)點是把不易觀察的空間物理量的關(guān)系在二維圖中表示出來，使我們很容易找到各物理量之間的關(guān)系，從而正確解決問題?！灸Ｐ推饰觥糠治鲮o電力作用下點電荷的平衡問題時，方法仍然與力學(xué)中分析物體的平衡方法一樣，具體步驟如下：(1)確定研究對象：如果有幾個物體相互作用時，要依據(jù)題意，適當(dāng)選取“整體法”或“隔離法”。(2)對研究對象進(jìn)行受力分析，此時多了靜電力(F＝eq\f(kQ1Q2,r2))。(3)根據(jù)F合＝0列方程，若采用正交分解，則有Fx＝0，F(xiàn)y＝0。(4)求解方程?！绢}目示例】水平面上A、B、C三點固定著三個電荷量為Q的正點電荷，將另一質(zhì)量為m的帶正電的小球(可視為點電荷)放置在O點，OABC恰構(gòu)成一棱長為L的正四面體，如圖所示。已知靜電力常量為k，重力加速度為g，為使小球能靜止在O點，小球所帶的電荷量為()A.eq\f(mgL2,3kQ)B.eqB.q\f(2\r(3)mgL2,9kQ)C.eq\f(\r(6)mgL2,6kQ)D.eqD.q\f(2\r(2)mgL2,6kQ)【推理過程】【答案】C【解析】對小球進(jìn)行受力分析，小球受重力和A、B、C處正點電荷施加的庫侖力。將A、B、C處正點電荷施加的庫侖力正交分解到水平方向和豎直方向。設(shè)α是A、B、C處正點電荷施加的庫侖力方向與豎直方向的夾角，將庫侖力分解到水平方向與豎直方向，根據(jù)豎直方向平衡條件得：在豎直方向3Fcosα＝mg，F(xiàn)＝keq\f(Qq,L2)，根據(jù)幾何關(guān)系得cosα＝eq\f(\r(6),3)，解得q＝eq\f(\r(6)mgL2,6kQ)，C正確?！驹俅紊A】在實際分析問題中，經(jīng)常遇到一些立體問題，而分析這類問題時，通常把立體轉(zhuǎn)化為平面，再抓住幾何特點，在實際分析問題中，經(jīng)常遇到一些立體問題，而分析這類問題時，通常把立體轉(zhuǎn)化為平面，再抓住幾何特點，利用三角函數(shù)、正弦定理或余弦定理，或根據(jù)對稱性解決問題?！灸Ｐ?兩電懸繩平衡問題】【模型構(gòu)建】+++)θ1αβθ2(l1l2m1、q1m2、q2如圖，比較m1和m2、q1和q2大小?(1)電荷間的庫侖力是相互作用力，無論q1和q2大小關(guān)系如何，二者間的庫侖力始終等值反向，所以q1和q2大小無法判斷；【要點解析】方法一、正弦定理法對m1、m2受力分析，三力平衡可構(gòu)成矢量三角形，根據(jù)正弦定理有，聯(lián)立解得m1gl1sinα=m2gl2sinβ特殊情況：若l1=l2，α=β，則m1=m2。方法二、力乘力臂法+++αβl1l2m1、q1m2、q2m1gm2gα以整體為研究對象，以懸點為轉(zhuǎn)動軸，兩根輕繩拉力的力臂均為零，根據(jù)轉(zhuǎn)動平衡知:動力乘以動力臂等于阻力乘以阻力臂，即m1g·l1sinα=m2g·l2sinβ。方法三、重心法+++αβl1l2m1、q1m2、q2重心以整體為研究對象，整體受重力和兩根輕繩的拉力，根據(jù)三力平衡必共點，因此整體的重心必過懸點正下方。所以有m1·l1sinα=m2·l2sinβ?！绢}目示例】(多選)兩個大小相同的小球帶有同種電荷，質(zhì)量分別為m1和m2，帶電量分別為q1和q2，且絕緣細(xì)線懸掛后，因靜電力而使兩懸線張開，分別與鉛垂線方向成夾角α1和α2，且兩球靜止時同處一水平線上，若α1＝α2，則下述結(jié)論正確的是()B.一定滿足eq\f(q1,m1)＝eq\f(q2,m2)C.m1一定等于m2D.必然同時滿足q1＝q2，m1＝m2【推理過程】【答案】AC【解析】題中電荷的電量可能不同，也可能相同，但各自所受的庫侖力大小卻相同，方向相反。由于它們與豎直線所成的角度相等，且兩球同處一水平線上，所以根據(jù)共點力平衡條件可確定，它們的質(zhì)量一定相等。故A、C正確，B、D錯誤。1．如圖所示，不可伸長的輕繩跨過光滑、輕質(zhì)定滑輪O一端與帶電荷量為+q的小球A相連，另一端連接空水桶，帶電荷量為+2q的小球B位于定滑輪O正下方，放置在絕緣、粗糙的水平面上，初始時水桶和小球A、B均處于靜止?fàn)顟B(tài)。若向水桶內(nèi)注入少量的水，水桶和小球A、B再次平衡，小球B仍然處于原位置，取無窮遠(yuǎn)處電勢為零。下列說法正確的是（）A．小球A、B連線上各點的電勢均大于零B．小球A、B之間的距離變小C．水平面對小球B的摩擦力變大D．水平面對小球B的支持力變大【答案】AC【詳解】A．沿電場線電勢逐漸降低，根據(jù)兩正電荷的電場線分布可知，正電荷的電場線由正電荷指向無窮遠(yuǎn)，所以小球A、B連線上各點的電勢均大于零，A正確；B．對小球A進(jìn)行受力分析，如圖所示，由相似關(guān)系得m重力不變，OB長度不變，可知比值為定值，所以AB長度不變，水桶加入少量水之后，繩子拉力變大，所以O(shè)A變長，B錯誤；CD．根據(jù)以上分析可知，AB球之間的庫侖力大小不變，當(dāng)再次平衡時，∠ABO變大，設(shè)∠ABO=θ，對B球進(jìn)行受力分析，如圖所示，根據(jù)平衡關(guān)系可知f=F所以水平面對小球B的摩擦力變大，支持力變小，C正確，D錯誤。故選AC。2．如圖所示，粗糙水平面上放置兩個可視為質(zhì)點的小球m1和m2，兩個小球的帶電量分別為q1和q2，電性相反，與水平面間的動摩擦因數(shù)分別為μ1和μA．m1對m2的萬有引力大小為Gm1m2B．水平地面對m1的摩擦力大小為C．水平地面對m1的摩擦力大小為D．水平地面對m2的摩擦力大小為【答案】AD【詳解】A．m1對m?的萬有引力大小為F引力=Gm1m2LBCD．根據(jù)平衡條件可知，水平地面對m1、m2的摩擦力大小都為f=k故選AD。3．如圖所示，A、B兩個帶電小球分別用絕緣細(xì)線懸于水平天花板上，兩球靜止時在同一水平線上，懸線a比b長，不計小球的大小，下列說法正確的是（）A．兩球帶同種電荷B．B球帶電荷量大于A球帶電荷量C．A球受到的庫侖力大于B球受到的庫侖力D．懸線a上拉力小于懸線b上拉力【答案】D【詳解】A．由圖可知，兩球相互吸引，帶異種電荷，A項錯誤；BC．兩球所受庫侖力等大反向，兩球帶電荷量大小無法確定，B、C項錯誤；D．設(shè)懸線a上拉力大小為Fa，與水平方向夾角為α，懸線b上拉力大小為Fb，與水平方向的夾角為θ，由題可知，α<θ，根據(jù)平衡條件有F可得Fa<F故選D。4．如圖所示，在直角三角形ABC的頂點A、B分別固定有點電荷Q1、Q2，現(xiàn)將一試探電荷q固定于頂點C，測得q所受電場力與AB邊垂直。已知AB:AC:BC=5:4:3，則（A．Q1Q2=34 B．Q【答案】B【詳解】根據(jù)電荷q受到的電場力方向，可以判斷出點電荷Q1、Q2對q的電場力分別為F1根據(jù)庫侖定律，有F1=k根據(jù)幾何關(guān)系A(chǔ)B:AC:BC=5:4:3可知∠A=37°聯(lián)立可得Q故選B。5．如圖所示，豎直墻面與水平地面均光滑且絕緣，兩個帶有同種電荷的小球A、B分別處于豎直墻面和水平地面，且共處于同一豎直平面內(nèi)。若用圖示方向的水平推力F作用于B，則兩球靜止于圖示位置，如果將B稍向左推過一些，兩球重新平衡時的情況與原來相比（）A．推力F將增大 B．地面對B的彈力減小C．墻面對A的彈力將減小 D．兩小球之間的庫侖力減少【答案】CD【詳解】CD．對小球A進(jìn)行分析，受到重力、墻面彈力與庫侖力。令A(yù)、B連線與豎直方向夾角為θ，則有FBA=當(dāng)將B稍向左推過一些時，θ減小，可知，墻面彈力F墻A減小，庫侖力FBAAB．對A、B兩小球整體進(jìn)行分析有F地B當(dāng)將B稍向左推過一些時，θ減小，可知，推力F將減小，地面對B的彈力不變，故AB錯誤。故選CD。6．如圖所示，用兩根等長的絕緣細(xì)線把帶同種電荷的A、B小球（可視為質(zhì)點）懸掛在天花板同一位置處，兩球靜止時細(xì)線與豎直方向間的夾角α、β相等。設(shè)A、B球質(zhì)量，電荷量分別為mA、mB、qAA．mA>mB，qAC．mA=mB，qA【答案】C【詳解】根據(jù)牛頓第三定律A、B兩球所受的庫侖力屬于作用力和反作用力，它們是大小相等，方向相反的，與帶的電荷量的大小無關(guān)；對A，由幾何關(guān)系可知tan對B，由幾何關(guān)系可知tan因α=β，故m故選C。7．如圖，兩小球M、N帶電量相同、質(zhì)量均為m，其中M用長度為L的絕緣細(xì)線懸掛于O點，N固定在絕緣彈性桿的頂端，M、N均處于靜止?fàn)顟B(tài)且在同一水平線上。已知細(xì)線OM及O、N連線與豎直方向的夾角均為45°，重力加速度大小為g，兩球均可視為質(zhì)點，靜電力常量為k，則下列說法正確的是（

）A．兩球間的庫侖力大小為mgB．絕緣細(xì)線OM的拉力大小為mgC．M、N兩球的電荷量均為LD．絕緣彈性桿對小球N的作用力大小為mg【答案】AC【詳解】A．對M研究，受重力、拉力以及庫侖力作用，其處于平衡位置，由圖可得兩球間的庫侖力大小為F=mg，故A正確；B．絕緣細(xì)線OM的拉力大小為T=mgsin45°C．根據(jù)F=kq2則q=L2mgk，故D．對N研究，其受到重力、絕緣彈性桿對小球N的作用力以及庫侖力的作用，其處于平衡狀態(tài)，則FN=m故選AC。8．如圖，兩帶電小球的質(zhì)量均為m，小球A用一端固定在墻上的絕緣輕繩連接，小球B用固定的絕緣輕桿連接。A球靜止時，輕繩與豎直方向的夾角為60°，兩球連線與輕繩的夾角為30°，整個系統(tǒng)在同一豎直平面內(nèi)，重力加速度大小為g。下列說法正確的是（）A．A球靜止時，輕繩上拉力為2mgB．A球靜止時，A球與B球間的庫侖力為2mgC．若將輕繩剪斷，則剪斷瞬間A球加速度大小為gD．若將輕繩剪斷，則剪斷瞬間輕桿對B球的作用力變小【答案】C【詳解】AB．根據(jù)題意A球靜止時，對A球受力分析，如圖所示由平行四邊形定則及幾何關(guān)系，輕繩上拉力為T=mgA球與B球間的庫侖力F=2mg故AB錯誤；C．若將輕繩剪斷，則剪斷瞬間A球受到輕繩的拉力消失，其它兩力保持不變，根據(jù)三力平衡知識，此時A球的合外力大小為mg，則加速度大小為g，故C正確；D．若將輕繩剪斷，則剪斷瞬間B球受到的庫侖力、重力不變，小球仍然處在靜止?fàn)顟B(tài)，則輕桿對B球的作用力不變，故D錯誤。故選C。9．如圖所示，電荷量為q的帶電小球A用長為l的絕緣細(xì)線懸掛于O點，帶有電荷量為2q的小球B固定在O點正下方絕緣柱上，OB之間距離為3l，小球A平衡時與小球B位于同一豎直平面內(nèi)，此時懸線與豎直方向夾角θ=30°，已知帶電小球A、B均可視為點電荷，靜電力常量為k，重力加速度為gA．細(xì)線拉力大小為3B．小球A的質(zhì)量為2C．剪斷細(xì)線瞬間，小球A的加速度大小為gD．剪斷細(xì)線，小球A做勻加速運(yùn)動【答案】B【詳解】AB．以小球A為研究對象，受力情況如圖所示由幾何關(guān)系可知AB連線與豎直方向夾角為30°；由庫侖定律得F=k由共點力平衡條件得FTcos30°+Fcos30°=mg聯(lián)立解得m=23k故A錯誤，B正確；C．剪斷細(xì)線瞬間小球A受的合外力為FT，可知加速度a=故C錯誤；D．剪斷細(xì)線之后，小球A受不變的豎直向下的重力和不斷變化的庫侖力，合外力不斷變化，可知加速度不斷變化，小球A做非勻加速運(yùn)動，故D錯誤。故選B。10．如圖所示，光滑輕環(huán)O用輕繩懸掛在天花板的O1點，一根不可伸長的絕緣輕繩穿過輕環(huán)O，兩端連接質(zhì)量分別為m1、m2的A、B兩個帶電小球，小球可視為質(zhì)點，當(dāng)兩球靜止時過O點的豎直線與AB的連線交于C點。A、B兩點到C點距離分別為LAC、LCB，到OA．∠AOC大于∠BOC B．LC．LOALOB=m2【答案】C【詳解】BC．設(shè)繩上張力為T，兩球間的庫侖力為F，兩球均受力平衡，根據(jù)相似三角形關(guān)系，分別對A、B兩個帶電小球分別分析有L聯(lián)立解得LACLCB=m2mA．分別對A、B整體，根據(jù)平衡關(guān)系有m結(jié)合L可得∠AOC=∠BOC，故A錯誤；D．如果漏電，根據(jù)庫侖定律知，F(xiàn)=kqAqBLAC+知∠AOC與∠BOC均減小，繩長不變，分析幾何關(guān)系知，為維持平衡，AB距離必改變，故D錯誤。故選C。11．如圖所示，在一個半球形的絕緣光滑球殼內(nèi)，有M、N兩個半徑較小的均勻帶電的絕緣小球。N球固定，M球靜止時如圖所示，球殼球心為O，OC為過圓心的豎直線，交MN的連線于Q點?，F(xiàn)M球的電荷量緩慢減小（仍分布均勻），下列說法正確的是（）A．兩小球間的庫侖力將增大 B．M球受到的彈力減小C．OC和MN的交點Q不會移動 D．OC和MN垂直時，庫侖力大小等于M球的重力【答案】B【詳解】ABC．對兩球受力分析，并構(gòu)建矢量三角形，如圖所示由于三角形相似可得mg由于電荷量減小，小球之間的庫侖力減小，M球下移，Q點也下移，OQ長度增加，又因為mg、OM不變，所以k值減小，N1減小，MQ減小，庫侖力也減小，故AC錯誤，BD．OC和NM垂直時，庫侖力和重力的合力不一定沿兩者角平分線，所以庫侖力不一定等于M球的重力，故D錯誤。故選B。12．一帶正電的球A用絕緣細(xì)線懸掛在O點，另一帶正電的球B固定在O點正下方的水平地面上，在靜電力的作用下，細(xì)線偏離豎直方向，球A處于平衡狀態(tài)。兩球均可視為點電荷。若球A的電荷量緩慢減小為原來的12，則在此過程中（

A．小球間靜電力逐漸減小 B．細(xì)線上的拉力逐漸減小C．θ角減小為原來的12 D．小球間距減小為原來的【答案】A【詳解】D．設(shè)A、B的電荷量為q1，q2，兩球之間的距離為R，球B與懸點之間的距離為h，繩長為L，兩球之間的庫侖力為FE，細(xì)線的拉力為F，對小球A受力分析如圖結(jié)合三角形相似得mg由庫侖定律可得F聯(lián)立兩式可得R3由上式可知，其中k、q2、h、mg均為定值，所以當(dāng)球A的電荷量緩慢減小為原來的12，R逐漸減小，可得故D錯誤；B．由相似比可得F=故拉力保持不變，故B錯誤；A．由相似比可得F當(dāng)R逐漸減小，靜電力逐漸減小，故A正確；C．無法確定θ角減小的情況，故C錯誤。故選A。13．如圖所示，絕緣斜面體ABC靜止于粗糙的水平面上，∠B=37°，∠C=53°，兩個可視為質(zhì)點的帶電物體P、Q分別靜止在AB和AC面上，且PQ連線水平。已知AB、AC面均足夠長且光滑，斜面體和P、Q的質(zhì)量分別為M、m1、mA．P、Q的質(zhì)量之比是4:3B．P、Q帶異種電荷，且Q的電荷量大于P的電荷量C．水平面對斜面體的支持力等于M+D．若改變P、Q質(zhì)量和電荷量使得P沿靜止斜面加速上滑而Q加速下滑（斜面體保持靜止），則在P、Q運(yùn)動過程中斜面受到的靜摩擦力水平向右【答案】CD【詳解】A．由庫侖力F、重力mg和傾角θ的關(guān)系式為F=mg可知，P、Q質(zhì)量之比為m故A錯誤；B．P、Q兩物體都是三力平衡，且P、Q在水平方向受到的是大小相等的庫侖引力，P、Q一定是帶異種電荷，電荷量大小關(guān)系不能確定，故B錯誤；C．由斜面和P、Q所