2025新教材數(shù)學(xué)高考第一輪復(fù)習(xí)

11.2離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值、方差

五年高考

考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差

1.(2020課標(biāo)111理,3,5分，易)在一組樣本數(shù)據(jù)中』,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為“ggg,且

4

口=1,則下面四種情形中，對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是()

A./2|=/；4=0.1,〃2=P3=0.4

B.pi=p4=0.4,/72=P3=0.1

C.p?=T74=0.2,p2=p3=0.3

D.pi=p4=0.3,p2=p3=0.2

2.(2019浙江,7,4分，中)設(shè)0<”1,隨機(jī)變量X的分布列是

X0a1

111

P

333

則當(dāng)。在(0,1)內(nèi)增大時(shí)，()

A.DCV)增大

B.Q(㈤減小

C.Q(如先增大后減小

D.O(㈤先減小后增大

3.(2017浙江,8,4分，中)已知隨機(jī)變量。滿足P9=D=piF9=0)=LR,i=l,2.若0<〃?2總則

()

A.E?)<E(&)Q?)<。?)

B.E(^i)<E(e2)A6)W2)

C.Eq)>E(&),OK)vO(&

D.E?)>E@),Q?)>。?)

4.(2021浙江,15,6分，中)袋中有4個(gè)紅球,〃?個(gè)黃球,〃個(gè)綠球.現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的

紅球數(shù)為或若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為巳一紅一黃的概率為(則

m-n=,E&)=,

5.(2022北京,18,13分，中)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)

:iA到9.50m以上(含9.50m)的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng).為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主,

收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī),并整理得到如下數(shù)據(jù)(單位:m):

甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;

乙978,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;

丙985,9.65,9.20,9.16.

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立.

(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；

(2)設(shè)￥是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E(㈤;

(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰(shuí)獲得冠軍的概率估計(jì)值最大?(結(jié)論不要求證明)

6.(2021新高考H,21,12分，難)一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái)，設(shè)一個(gè)這

種微生物為第0代,經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第2代……該微生物每

代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)

數(shù),P(AW)=pG=0,1,2,3).

⑴已知20=0.4/1=0.3必=0.2/3=0.1,求E(X)\

⑵設(shè)〃表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕的概率,p是關(guān)于x的方

程:po+pix+pl+pM3f的一個(gè)最小正實(shí)根，求證:當(dāng)E(A：i<l時(shí)q=1,當(dāng)E(X)>\時(shí)?<1;

(3)根據(jù)你的理解說(shuō)明Q)問(wèn)結(jié)論的實(shí)際含義.

7.（2023新課標(biāo)1,21,12分，難）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下:若命中則此

人繼續(xù)投籃,若未命中則換為對(duì)方投籃無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為

0.6,乙每次投籃的命中率均為08由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙

的概率各為0.5.

（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第i次投籃的人是甲的概率；

⑶已知:若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且尸（X=l尸1?P（%=O）=%，=1,2,…,〃，則42口1X

￡二qi.記前〃次（即從第1次到第〃次投籃）中甲投籃的次數(shù)為匕求風(fēng)冷

三年模擬

綜合拔高練

1.（2024屆山東煙臺(tái)蓬萊兩校聯(lián)考,5）在某次考試中，多項(xiàng)選擇題的給分標(biāo)準(zhǔn)如下:在每題給

出的四個(gè)選項(xiàng)中，正確選項(xiàng)為其中的兩項(xiàng)或三項(xiàng),全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分，有

錯(cuò)選的得。分.甲、乙、丙三人在完全不會(huì)做某個(gè)多項(xiàng)選擇題的情況下，分別選了A,AB,ABC,

則三人該題得分的數(shù)學(xué)期望分別為（）

A.1,0.8,0.5B.1.2,0.8,0.6

C.1,090.6D.1.2,090.5

2.（2023廣東汕頭二?！?）某單位有10000名職工，想通過(guò)驗(yàn)血的方法篩查乙肝病毒攜帶者,

假設(shè)攜帶病毒的人占5%,如果對(duì)每個(gè)人的血樣逐一化驗(yàn)，就需要化驗(yàn)10000次.統(tǒng)計(jì)專家

提出了一種化驗(yàn)方法:隨機(jī)地按5人一組分組，然后將各組5個(gè)人的血樣混合再化驗(yàn)，如果

混合血樣呈陰性,說(shuō)明這5個(gè)人全部陰性;如果混合血樣呈陽(yáng)性，說(shuō)明其中至少有一人的血

樣呈陽(yáng)性，就需要對(duì)每個(gè)人再分別化驗(yàn)一次.按照這種化驗(yàn)方法，平均每個(gè)人需要化驗(yàn)

次.(結(jié)果保留四位有效數(shù)字)(0.955。0.7738,0.956^0.735,0.957~0.6983).

3.(2023湖北十堰四調(diào),19)現(xiàn)有4個(gè)紅球和4個(gè)黃球，將其分配到甲、乙兩個(gè)盒子中，每個(gè)盒

子中4個(gè)球.

(1)求甲盒子中有2個(gè)紅球和2個(gè)黃球的概率；

(2)已知甲盒子中有3個(gè)紅球和1個(gè)黃球，若同時(shí)從甲、乙兩個(gè)盒子中取出4=1,2,3)個(gè)球進(jìn)

行交換，記交換后甲盒子中的紅球個(gè)數(shù)為XX的數(shù)學(xué)期望為EQ0.證明:昌(㈤+E3(㈤=4.

4.(2024屆廣東佛山順德質(zhì)檢(一),20)在十一黃金周期間，某商場(chǎng)規(guī)定單次消費(fèi)超過(guò)500元

的顧客可參與如下的游戲.活動(dòng)規(guī)則如下:現(xiàn)有甲，乙，丙三個(gè)游戲，每位參與者從中隨機(jī)選

擇一個(gè)游戲，若不通過(guò)，則游戲結(jié)束，若通過(guò),則從剩下的兩個(gè)游戲中隨機(jī)選擇一個(gè)游戲，若

不通過(guò)，則游戲結(jié)束，若通過(guò)，則進(jìn)行最后一個(gè)游戲,最后一個(gè)游戲無(wú)論是否通過(guò)都結(jié)束游戲.

每通過(guò)一個(gè)游戲都可獲得對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)金，且參與游戲的順序由顧客確定，顧客是否通過(guò)每個(gè)

游戲相互獨(dú)立，己知通過(guò)游戲的概率以及獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)金如表所示.

游戲甲乙內(nèi)

通過(guò)的概率0.80.60.4

獲得的獎(jiǎng)金金額/元100200300

(1)求參與游戲的顧客沒(méi)有獲得獎(jiǎng)金的概率；

(2)現(xiàn)有王先生、李先生兩名顧客分別以甲一乙一丙、丙一乙一甲的順序進(jìn)行游戲,請(qǐng)問(wèn)哪

位顧客獲得獎(jiǎng)金的期望值較大？

11.2離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值、方差

五年高考

考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差

1.(2020課標(biāo)in理,3,5分，易)在一組樣本數(shù)據(jù)中』,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為piggg,且

4

sf=1“=1,則下面四種情形中，對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是()

A./?I=P4=0.1，P2=P3=O.4

B.pi=p4=0.4,/72=P3=0.1

C.〃i=p4=0.2,p2=p3=0.3

D.pi=774=0.3,/72=p3=0.2

答案B

2.(2019浙江,7,4分，中)設(shè)隨機(jī)變量X的分布列是

X0a1

111

P

333

則當(dāng)。在(0,1)內(nèi)增大時(shí)，()

A.。(㈤增大

B.Q(㈤減小

C.QCY)先增大后減小

D.O(㈤先減小后增大

答案D

3.(2017浙江,8,4分，中)已知隨機(jī)變量。滿足Pq=l)=p,,P(6=0)=l-p41,2.若?！础ā暌粤Γ瑒t

()

A.E(^i)<￡(*),Z)(e，)<Z)(c2)

B.E?)VE?)Q?)>D?)

C.E(&)>E(8),D?)vO(&)

D.E(占)>瓜々),。?)>。(。)

答案A

4.(2021浙江,15,6分，中)袋中有4個(gè)紅球〃個(gè)黃球,〃個(gè)綠球.現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的

紅球數(shù)為或若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為：，一紅一黃的概率為:，則

o3

m-n=,E(0=?

答案1；1

5.(2022北京,18,13分，中)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)

達(dá)到9.50m以上(含9.50m)的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主,

收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī),并整理得到如下數(shù)據(jù)(單位:m):

甲980,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;

乙978,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;

丙985,9.65,9.20,9.16.

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立.

(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；

⑵設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E(X);

⑶在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰(shuí)獲得冠軍的概率估計(jì)值最大?(結(jié)論不要求證明)

解析⑴甲以往參加的10次比賽中，有4次比賽成績(jī)達(dá)到獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的標(biāo)準(zhǔn).

設(shè)A為事件“甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)”，則「⑷二=|.

(2)X所有可能的取值為0」,2,3,

設(shè)8為事件“乙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)”，。為事件“丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中

獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)”，

則P⑻V=i,P(C)4=]由(1)知尸(/法

OZ4Z3

則P(X=0)=P(A)P(B)P(C)

=(1-汴。-汴(V，

P(右1尸尸(⑷尸(B)尸(C)+P(A『(5)尸(C)+P(4)P(B)P(C)\x-x^+^x-x-+^x^x-=^

———2112113117

P(X=2)=P(mP(B)P(C)+P(4)P(B)P(C)+P(A)P(B)?P(C)Gx7x7+Zx7x7+Zx7x7=

2111

P(X=3)=P(A)P(B)P(Q=-x-x-=-

O垢4JLU

/.￡C￥)=0x^-+ix§+2x]+3x4=1

v720520105

⑶內(nèi)獲得冠軍的可能性最大.(依據(jù):在收集的以往的比賽成績(jī)中兩的最高成績(jī)?yōu)?.85m,

是三人中最高的)

6.(2021新高考H,21,12分灘)一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái)，設(shè)一個(gè)這

種微生物為第0代,經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第2代……該微生物每

代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)

數(shù)代￥=i)=pM=032,3).

(1)已知po=O.4,〃|=0.3,〃2=0.2,〃3=0.1,求E(X);

⑵設(shè)夕表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕的概率中是關(guān)于X的方

程:po+pix+p2x2+p3x3=x的一個(gè)最小正實(shí)根，求證:當(dāng)E(A^I<1時(shí)夕=1,當(dāng)E(X)>1時(shí)夕<1；

(3)根據(jù)你的理解說(shuō)明(2)問(wèn)結(jié)論的實(shí)際含義.

解析(1)￡(A)=OxO.4+lxO.3+2xO.2+3xO.l=l.

(2)證明:設(shè)於尸p#+p2r2+Q]?1)x+po,

由題易知〃3+〃2+〃I+〃0=1,

故/00=P算3+pWg十pg十〃3)力0,

/''(X尸3〃3%2+2p2X-g2?()十小)，

￡(X)=07?o+1p1+2p2+3p3=p1+2/22+3^3,

若EQ0S1,則pi+2P2+3〃3二1,故p2+2p&o,

因?yàn)閒，(O)=-(p2+po+p3)<O,

.廣(1)=P2+2〃3-〃OWO,

所以/Q)有兩個(gè)不同零點(diǎn)工g,且X|<O<1<r2,

當(dāng)(-8K1)U(X2,+8)時(shí),/<X)>0,

當(dāng)X￡(XI/2)時(shí),/'(x)<0,

故/(x)在(-8R),(X2,+8)上為增函數(shù)，

在(Xp2)上為減函數(shù),

若X2=1，因?yàn)?(X)在(迫,+8)上為增函數(shù)，在(?/2)上為減函數(shù)，且./(1尸0,

所以段)>/8)=/0尸o,

故1為關(guān)于x的方程:〃o+pix+pl+p^f的一個(gè)最小正實(shí)根即0二],故當(dāng)￡：(X)<1時(shí),p=l.

若也>1,因?yàn)?(I尸0且/(外在(0典)上為減函數(shù)，

故1為關(guān)于X的方程:po+pix+pM+pNr的一個(gè)最小正實(shí)根.

綜上，若鳳A閆，則p=l.

若則0+20+3.3>1,則P?+2p3>po,

,r

此時(shí)/(O)=-(P2+po+p3)<O,/(1)=p2+2p3-po>O,

故/。)有兩個(gè)不同零點(diǎn)X3/4且X3<0<X4<1,

故/(X)在(-8陽(yáng)),(14,+8)上為增函數(shù)，在(X344)上為減函數(shù)，

而/⑴=0,故、/4)<0,

又7(O)=po>O,所以.危)在(0四)上存在一個(gè)零點(diǎn)X0,且XO<1,

所以X0為關(guān)于X的方程po+piX+p4+pMr的一個(gè)最小正根，即/?<1,

故當(dāng)E(R>1時(shí)w〈L

⑶意義:若一個(gè)該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過(guò)1,則若干代后會(huì)臨近滅絕，若繁殖后

代的平均數(shù)超過(guò)1,則若干代后還有繼續(xù)繁殖的可能.

7.(2023新課標(biāo)1,21,12分，難)甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃，規(guī)則如下:若命中則此

人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對(duì)方投籃.無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為

0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙

的概率各為05

(1)求笫2次投籃的人是乙的概率；

(2)求第i次投籃的人是甲的概率；

(3)已知:若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且尸(X=l)=l-P(%=0尸4尸1,2,…幾則￡(￡二Xj

E二q.記前〃次(即從第1次到第n次投籃)中甲投籃的次數(shù)為匕求E(Y).

解析記第i次投籃的人是甲”5=“第i次投籃的人是乙”

(1)因?yàn)镻(7?2尸P(小&)+P(辦4尸P(m)P(&|4)+PSI)P(R2|%)=05X(1-06)+05X0￡=06,

所以第2次投籃的人是乙的概率為0.6.

(2)設(shè)Q4)=p?則P(8)=l九所以尸(4+D=0(44+I)+P(84+I尸尸(4)P(4+i|4)+P(R)尸(4+1回),

即pl+i=0.6p,+(l-0.8)x(1-p,)=0.4p升0.2.

設(shè)口+1+2=|(///1),解得%=-右則〃計(jì)《=!,一0,

因?yàn)?=*?=/所以卜一是首項(xiàng)為也公比為|的等比數(shù)列，所以1x電二即

PWx(I

所以第，?次投籃的人是甲的概率為:xg)-4-i

o\b/3

⑶因?yàn)?I)+?=12…小

o\oz□

所以當(dāng)〃￡N-時(shí),E(y)=pi+p2+...+p〃WX+=-^[1-(I)]+*

o1—3lo\bzJ

故E⑺磊[1_G)]+?

三年模擬

綜合拔高練

1.(2024屆山東煙臺(tái)蓬萊兩校聯(lián)考,5)在某次考試中，多預(yù)選擇題的給分標(biāo)準(zhǔn)如下:在每題給

出的四個(gè)選項(xiàng)中，正確選項(xiàng)為其中的兩項(xiàng)或三項(xiàng),全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分，有

錯(cuò)選的得。分.甲、乙、丙二人在完全不會(huì)做某個(gè)多項(xiàng)選擇題的情況下，分別選了A,AB,ABC,

則三人該題得分的數(shù)學(xué)期望分別為()

A.1,0.8,0.5B.1.2,0.8,0.6

C.1,0.9,0.6D.1.2,0.9,0.5

答案D

2.（2023廣東汕頭二?！?）某單位有10000名職工，想通過(guò)驗(yàn)血的方法篩查乙肝病毒攜帶者,

假設(shè)攜帶病毒的人占5%,如果對(duì)每個(gè)人的血樣逐一化驗(yàn)，就需要化驗(yàn)10000次.統(tǒng)計(jì)專家

提出了一種化驗(yàn)方法:隨機(jī)地按5人一組分組，然后將各組5個(gè)人的血樣混合再化驗(yàn)，如果

混合血樣呈陰性,說(shuō)明這5個(gè)人全部陰性;如果混合血樣呈陽(yáng)性，說(shuō)明其中至少有一人的血

樣呈陽(yáng)性，就需要對(duì)每個(gè)人再分別化驗(yàn)一次.按照這種化驗(yàn)方法，平均每個(gè)人需要化驗(yàn)

次（結(jié)果保留四位有效數(shù)字）（0.955y0.7738,0.956~0.735,0.95M.6983）.

答案0.4262

3.（2023湖北十堰四調(diào),19）現(xiàn)有4個(gè)紅球和4個(gè)黃球，將其分配到甲、乙兩個(gè)盒子中，每個(gè)盒

子中4個(gè)球.

（1）求甲盒子中有2個(gè)紅球和2個(gè)黃球的概率；

（2）已知甲盒子中有3個(gè)紅球和1個(gè)黃球，若同時(shí)從甲、乙兩個(gè)盒子中取出源=1,2,3）個(gè)球進(jìn)

行交換，記交換后甲盒子中的紅球個(gè)數(shù)為XX的數(shù)學(xué)期望為瓊㈤.證明￡（田+￡（㈤=4.

解析（1）由題意可知，甲盒子中有2個(gè)紅球和2個(gè)黃球的概率片等=最

（2）證明:當(dāng)z=l時(shí)W的可能取值是2,3,4,

P佯2）皆=白P（六3）=^=.（X=4）鑼=2則B（X）=2x^+3x|+4x^=|.

L4C41OC4C4oC4L41O1Oo10Z

當(dāng)i=3時(shí)力的取值可能是0,1,2,

尸（六°）嗡=M（X=1）嘴，

「（六2）鐲=白

則E3（R=OX/+1X3+2X4=3

1OO10L

故EiCY）十E3（㈤=4.

4.（2024屆廣東佛山順德質(zhì)檢（一）,20）在十一黃金周期間，某商場(chǎng)規(guī)定單次消費(fèi)超過(guò)500元

的顧客可參與如下的游戲.活動(dòng)規(guī)則如下:現(xiàn)有甲，乙，丙三個(gè)游戲，每位參與者從中隨機(jī)選

擇一個(gè)游戲，若不通過(guò)，則游戲結(jié)束，若通過(guò),則從剩下的兩個(gè)游戲中隨機(jī)選擇一個(gè)游戲，若

不通過(guò)，則游戲結(jié)束，若通過(guò)，則進(jìn)行最后一個(gè)游戲,最后一個(gè)游戲無(wú)論是否通過(guò)都結(jié)束游戲.

每通過(guò)一個(gè)游戲都可獲得對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)金，且參與游戲的順序由顧客確定，顧客是否通過(guò)每個(gè)

游戲相互獨(dú)立，已知通過(guò)游戲的概率以及獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)金如表所示.

游戲甲乙丙