第二章實數(shù)(壓軸專練)(十二大題型)

題型1:立方根的性質(zhì)

1.已知朗2戈+1-2x7=0,貝Ux=.

【答案】0或-1或

【分析】將原方程變形得到瘍訐=2x+l,根據(jù)一個數(shù)的立方根等于它本身得到這個數(shù)是0或I或-1,由

此化成一元一次方程，解方程即可得到答案.

【解析】??72X+1-2x7=0,

AV2x+1=2x+l,

A2x+l=1或2x+l=-1或2x+l=0,

解得x=0或x=-1或x=-；.

故答案為：0或-1或-

【點睛】此題考查立方根的性質(zhì)，解一元一次方程，由立方根的性質(zhì)得到方程是解題的關(guān)鍵.

2.已知］工-2+2=x,且與勁-2x互為相反數(shù),求x,y的值.

24

【答案】彳=3,y=2,或者x=l,y=-y或者x=2,y=-

【分析】將等式瘧I+2=x變型為打工=x-2,再兩邊同時立方，得到戈-2=(工-2丫，再采用因式分

解法求出x的值，再根據(jù)相反數(shù)的定義求出y的值，問題隨之解得.

［解?析1Nx-2+2=x,

yJx-2=x—2.

x-2=(x-2)3,

(x-2)-(x-2)=0,

-(A-2)2-1］(X-2)=0,

(x-2-l)(x-2+l)(.r-2)=0

(x-3)(x-l)(x-2)=0,

/.x-3=0,或者x-l=O,或者】一2二0,

x=3,或者x=l,或者x=2,

43y-1與%-2x?

.\s/3jv-l+^/l-2x=0,

：,py-\=-^ll-2x,

/.3^-1=2x-l,

.2*

當(dāng)x=3時，y=2,

2

當(dāng)x=i時，y=§，

4

當(dāng)了=2時，y=-,

24

即％=3,P=2,或者x=l,y=］，或者x=2,歹=§.

【點睛】本題主要考查了采用因式分解法解方程,相反數(shù)的定義，立.方根的性質(zhì)等知識，求出x=3,或者x=l,

或者x=2,是解答本題的關(guān)鍵.

題型2:立方根的實際應(yīng)用

3.一個正方體木塊的體積是343m3現(xiàn)將它鋸成8塊同樣大小的小正方體木塊，則每個小正方體木塊的

表面積是()

74949147

A.—cm2B.—cm2C.—cm2D.cm2

2482

【答案】D

【解析】由題意可得每個小正方體的體積為：=343cm3,

O

???每個小正方體的邊長為：杵=g,

???每個小正方體的表面積為：6X(2)2=手5科

故選D.

點睛：(1)正方體的棱長是其體積的立方根；(2)正方體的表面積=棱長的平方的6倍.

4.2024年的母親節(jié)來臨之際，小康和小明分別制作了一個如圖所示的正方體禮盒，準(zhǔn)備用禮盒裝好禮物送

給媽媽.已知小康制作的正方體禮盒的表面積為150cm2,而小明制作的正方體禮盒的體積比小康制作的正

方體禮盒小61cm3,則小明制作的正方體禮盒的表面積為()

A.36cm2B.54cm2C.96cm2D.144cm2

【答案】C

【分析】本題考查立方根的實際應(yīng)用；

設(shè)小康制作的正方體禮盒的邊長為“，根據(jù)表面積公式先求出。=5,從而求出小康制作的正方體禮盒的體

積，再根據(jù)小明制作的正方體禮盒的體積比小康制作的正方體禮盒小61cm3即可求解.

【解析1設(shè)小康制作的正方體禮盒的邊長為

則6/=150,解得：a=5

.??小康制作的止方體禮盒的體枳為：/=|25cnr

???小明制作的正方體禮盒的體積匕小康制作的正方體禮盒小61cn?

???小明制作的正方體禮盒的體積為125-61=64cm，

???小明制作的正方體禮盒的邊長為購=4cm

???小明制作的正方體禮盒的表面積為6x4?=96cm?

故選：C.

5.M是個位數(shù)字不為零的兩位數(shù)，將M的個位數(shù)字與十位數(shù)字互換后，得另一個兩位數(shù)N,若A/?N恰是

某正整數(shù)的立方，則這樣的數(shù)共一個.

【答案】6.

【分析】設(shè)兩位數(shù)M=10a+4則N=10b+a,并且a、為正整數(shù)，且1%,心,那么得到

A/-N=(104+b)-(10Ha)=9(a-/>)=/,進一步得到MV100,所以c*,而且d是9的倍數(shù)，所以c=3,然后

由此得到a-b=3,接著就可以解決問題.

【解析】設(shè)兩位數(shù)A/=IOa+/b則V=10/?+a,由〃、人為正整數(shù)，且1%,b<9,

.\M-N=(1Oa+b)-(10b+a)=9(a-b)=c3,

又c是某正整數(shù)，顯然c3<100,

???*,而且人是9的倍數(shù)，

所以c=3,即a-b=3,

???滿足條件的兩位數(shù)有41、52、63、74、85、96共6個.

故答案為：6.

【點睛】本題主要考查了數(shù)字問題，整數(shù)的混合運算，立方根的應(yīng)用，難度比較大，要求學(xué)生有比較好的

分析問題和解決問題的能力才能熟練地解決題目的問題.

題型3：算術(shù)平方根的性質(zhì)

6.若機滿足關(guān)系式y(tǒng)l3x+5y-2-m+"2x+3y-〃?=yj\99-x-y-“-199+y,則〃?=.

【答案】201

【分析】根據(jù)能開平方的數(shù)一定是非負數(shù)，得199-x-yK),x-199+y>0,所以199-x-y=x-199+y=0,即x+y=199

①,從而有yl3x+5y-2-m++=0,再根據(jù)算術(shù)平方根的非負件可得出?3x,5y-2-m=0②,2x3y-m=0

③，聯(lián)立①②③解方程組可得出m的值.

【解析】解：由題意可得，l99-x-y>0,x-199+y>0,

199-x-y=x-199+y=0,/.x+y=199?.

、/3x+5y-2-w+y)2x+3y-ni=0,

3x+5y-2-m=0@,2x+3y-m=0@,

x+y=199?

聯(lián)立①②③得，，3x+5y-2-機=0②，

2x+3y-m-0@

②-③x3得，y=4-m,

將y=4-m代入③，解得x=2m-6,

將x=2m-6,y=4-m代入①得,2m-6+4-m=199?解得m=201.

故答案為：201.

【點睛】本題考查了算術(shù)平方根的非負性以及方程組的解法，掌握幾個非負數(shù)的和為0時，這幾個非負數(shù)

都為0是解題的關(guān)鍵.

7.設(shè)X、小z是兩兩不等的實數(shù)，旦滿足下列等式：

yjxXy-x)3--x)3=y]y-x一x-z,則x3+y3+z3-3xyz的值為___.

【答案】0

【分析】利用二次根式被開方數(shù)非負性得到小六z大小關(guān)系，最后由符號之間的關(guān)系推導(dǎo)得到x=0及六

z等量關(guān)系，最后直接計算整式Y(jié)4-/+?-3xyz的值即可.

【解析】:正三及石二7且X、八z是兩兩不等的實數(shù),

，少7>0且x-z>0,

：.y>x>zf

vA3(^-X)3>0,X3(Z-X)3>0,

.?.>與(y-x)、(z-x)均同號，或x=0,

y.\y-x>0,z-x<0,故(y-x)、(z-x)不同號，

/.x=0,

-Jx“z_x)3=O=yjy-x-y/x-z=y[y-y/-z，

P+y3+z，-3*=0+y3+(一-0二0

故答案為0.

【點睛】本題考杳二次根式的運算，由二次根式被開方數(shù)的非負性推導(dǎo)求值，通常這類由一個含有二次根

式的式子進行求值的題，都能得到特殊大小或關(guān)系，從而求解目標(biāo)式子，正確的利用二次根式被開方數(shù)的

非負性推導(dǎo)字母符號和關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

題型4:實數(shù)的小數(shù)點移動規(guī)律性問題

8.閱讀下列材料：IO?<59319<100:93=729,3'<59<4\M^59319=39.請根據(jù)上面的材料回答下列問

題：V157464=.

【答案】54

【分析】利用類比的思想，對比確定個位數(shù)是4的立方根，應(yīng)該是個位數(shù)是4的數(shù)，再根據(jù)被開方數(shù)的前

兩位數(shù)或前三位數(shù)的范圍，確定最終結(jié)果.

【解析】?/10s<157464<100\43=64,53<157<6\則#157464=54,故答案為54.

【點睛】本題考查的知識遷移能力，能夠看懂題干是解題的關(guān)鍵.

9.觀察下列各式，并用所得出的規(guī)律解決問題：

(1)>/2?1.414,而5*14.14,V20000?141.4,...

V003?0.1732,1.732,7300^17.32,……

由此可見，被開方數(shù)的小數(shù)點每向右移動位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點向移動位.

（2）已知而=3.873，A/L5?1.225，貝U。_____:y/0A5

（3）W=l，Viooo=io,Vi000000=100,……

小數(shù)點的變化規(guī)律是.

（4）已知師*2.154,加力-0.2154,貝ljy=.

【答案】（1）兩；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被開方數(shù)的小數(shù)點向右（左）移三位，其立方根的小

數(shù)點向右（左）移動一位：（4）-0.01

【分析】（1）觀察已知等式，得到一般性規(guī)律，寫出即可；

（2）利用得出的規(guī)律計算即可得到結(jié)果；

（3）歸納總結(jié)得到規(guī)律，寫出即可；

（4）利用得出的規(guī)律計算即可得到結(jié)果.

【解析】解：（1）V2?1.414,V200?14.14,V20000a141.4.....

75而=0.1732,百p1.732,癡5~17.32，……

由此可見，被開方數(shù)的小數(shù)點每向右移動兩位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點向右移動一位.

故答案為：兩；右；一；

（2）已知厲n3.873，后才1.225,則71^^12.25：Vo?15?0.3873；

故答案為：12.25；（）.3873；

（3）折=1，Viooo=io.^/1000000=100....

小數(shù)點的變化規(guī)律是：被開方數(shù)的小數(shù)點向右（左）移三位，其立方根的小數(shù)點向右（左）移動一位；

（4）VV1O?2.154,V7。-0.2154,

V0XH?0.2154,

/.V-0.01?-0.2154,

Ay=-0.01.

【點睛】此題考查了立方根，以及算術(shù)平方根，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵.

題型5：算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律題

10.觀察下列各式：

那么/〃———=

Vn2+\

【答案】”屑，

【分析】根據(jù)已知等式，可以得出規(guī)律，猜想出第n個等式，寫出推導(dǎo)過程即可.

【解析】解：扁="倔.

故答案為：入口工.

【點睛】此題主要考查了平方根的性質(zhì)，利用已知得出數(shù)字之間的規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵.

11.請先在草稿紙上計算下列四個式子的值：①肝；②后方；③JF萬萬；④心2、33+43觀

察你計算的結(jié)果，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫出下面式子的值川3+2，+33+…+26=.

【答案】351

【分析】先計算題干中四個簡單式子，算出結(jié)果，找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律得出最后式子的的值.

【解析】"=1

Vl3+23=3

713+25+33=6

Vl3+23+33+43=10

發(fā)現(xiàn)規(guī)律：+2。+3,H---bn'=1+2+3+…+n

:.V13+234-3'+???+263=1+2+3??-+26=351

故答案為：351

【點睛】本題考查找規(guī)律，解題關(guān)鍵是先計算題干中的4個簡單算式，得出規(guī)律后再進行復(fù)雜算式的求解.

題型6：無理數(shù)的估算

12.我們知道，正是一個無理數(shù)，將這個數(shù)減去整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分，即起的整數(shù)部分是I,小

數(shù)部分是血-1，請回答以下問題：

(1)J記的小數(shù)部分是，5-后的小數(shù)部分是.

(2)若。是標(biāo)的整數(shù)部分，b是總的小數(shù)部分，求。+b-G+l的平方根.

(3)若7+V^=x+y,其中x是整數(shù)，且。〈Jv1,求x-y+6的值.

【答案】(1)而一3,4-V13;

(2)13：

(3)11.

【分析】（1）確定后的整數(shù)部分，即可確定它的小數(shù)部分；確定后的整數(shù)部分，即可確定5-拒的整

數(shù)部分，從而確定5-的小數(shù)部分；

（2）確定廊的整數(shù)部分，即知。的值，同理可確定石的整數(shù)部分，從而求得它的小數(shù)部分，即〃的值,

則可以求得代數(shù)式Q+6-G+I的值，從而求得其平方根；

（3）由2〈后<3得即9<7+后<10,從而得x=9,產(chǎn)岔-2,將x、y的值代入原式即可求解.

【解析】（1）解：V3<V10<4,

，府的整數(shù)部分為3,

???加的小數(shù)部分為J布-3,

??,3<而<4,

；?-3>-—4，

5-3>5-V13>5-4即1V2V13<2,

???5-的整數(shù)部分為1,

:.5-V13的小數(shù)部分為4一日，

故答案為：而-3,4-V13；

（2）解：?.?9（府<10,a是屈的整數(shù)部分，

:.61=9,

*/1<V3<2,

???石的整數(shù)部分為1,

??z是6的小數(shù)部分，

??I）—>/3—1>

???。+6-6+1=9+6-1-6+1=9

???9的平方根等于±3,

???a+b-G+l的平方根等于±3；

(3)解:<2<下<3,

A7+2<7+^<7+3BP9<7+75<10,

V7+V5=x+^,其中x是整數(shù)，且0<y<l,

，x=9,尸7+石-9=石-2,

.-.^-jF+V5=9-(V5-2)+V5=li.

【點睛】本題考查了無理數(shù)的估算、求平方根以及求代數(shù)式的值，關(guān)鍵是掌握二次根式的大小估算方法.

13.新定義：若無理數(shù)"的被開方數(shù)(T為正整數(shù))滿足/<丁<(〃+1)2(其中〃為正整數(shù))，則稱無理數(shù)"

的晴一區(qū)間”為(〃,〃+】)；同理規(guī)定無理數(shù)-"的“青一區(qū)間”為㈠一，-〃).例如：因為「<2<22,所以加

的“青一區(qū)間”為(1,2),—應(yīng)的“青一區(qū)間”為(-2,7),請回答下列問題：

(1)717的“青一區(qū)間”為二-V23的“青一區(qū)間”為「

(2)若無理數(shù)后(〃為正整數(shù))的“青一區(qū)間”為(2,3),而與的“青一區(qū)間”為(3,4),求心訂的值.

(3)實數(shù)x,y,滿足關(guān)系式：JT^+|2023+(y—4)[=2023,求百的“青一區(qū)間”.

【答案】(1)(4,5),(-5,-4)

⑵2或強

⑶[3,4)

【分析】(1)根據(jù)“青一區(qū)間”的定義和確定方法，進行求解即可；

(2)根據(jù)“青一區(qū)間”的定義求出a的值，再根據(jù)立方根的定義，進行求解即可：

(3)利用非負性求出X/的值，再進行求解即可.

【解析】(1)解：???42<17<52,

工后的“青一區(qū)間”為(4,5)；

V42<23<5\

???->/方的“青?區(qū)間”為(-5,-4)：

故答案為:(4,5),(-5,-4)；

(2)???無理數(shù)6“青一區(qū)間”為(2,3),

*,?2<y/a<3，

22<^<32?即4<a<9,

?.?無理數(shù)必5的喑?區(qū)間”為。，4),

/.3<夜+3<4,

/.32<?+3<42,即9<。+3<16.

二6vav13,

6<a<9,

;a為正整數(shù)，

a=7或a=8.

當(dāng)。=7時，標(biāo)口=41=我=2，

當(dāng)a=8時，際1=圾工T=酶，

，而工的值為2或衿.

(3)V4^3+|2023+(JF-4)2|=2023

，7x^3+2023+(y-4)2=2023,

即+4『=0,

/.x=3,y=4,

/.y[xy=V12,

*/32<12<4\

???歷的“青一區(qū)間”為(3,4).

【點睛】本題考杳無理數(shù)的估算，非負性，求一個數(shù)的立方根.理解并掌握“青一區(qū)間”的定義和確定方法,

是解題的關(guān)鍵.

題型7:程序框圖問題

14.有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，流程如下：

是無理數(shù),是

輸出y<無

取算術(shù)平方根理

輸入X是有理數(shù)J數(shù)

取立方根

是有理數(shù)

當(dāng)輸入的X值為64時，輸出的y值是（）

A.4B.五C.2D.次

【答案】B

【分析】依據(jù)運算程序進行計算即可.

【解析】解：764=8,是有理數(shù)，8的立.方根是2,是有理數(shù)，2的算術(shù)平方根是0.

故選：B.

【點睛】本題考查了立方根、算術(shù)平方根的定義，熱練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

15.如圖是一個無理數(shù)生成器的工作流程圖，根據(jù)該流程圖，下面說法：

帖Ax

輸出y

①當(dāng)輸出值y為3時，輸入值x為3或%

②當(dāng)輸入值x為16時，輸出值y為&:

③對于任意的正無理數(shù)y,都存在正整數(shù)x,使得輸入后能夠輸出y.

④存在這樣的正整數(shù)x,輸入人之后，該生成器能夠一直運行，但始終不能輸出尸值.其中錯誤的是（）

A.①②B.②@C.①④D.①③

【答案】D

【分析】本題主要考查了無理數(shù)的定義，算術(shù)平方根，根據(jù)運算規(guī)則即可求解.

【解析】解：①x的值不唯一.x=3或x=9或81等，故①說法錯誤；

②輸入值x為16時，Ji石=4,〃=2,即y=&,故②說法1E確：

③對于任意的正無理數(shù)乃都存在正整數(shù)X，使得輸入X后能夠輸出門如輸入后，算術(shù)平方根式是兀，輸

出的y值為兀，故③說法錯誤；

④當(dāng)x=l時，始終輸不出y值.因為1的算術(shù)平方根是1，，「1,有理數(shù)，故④原說法正確.

其中錯誤的是①③.

故選：D.

16.某計算器中有因、叵、回三個按鍵，以下是這三個按鍵的功能.①囚：將屏幕顯示的數(shù)變成

它的算術(shù)平方根；②口引：將屏幕顯示的數(shù)變成它的倒數(shù)：③回：將屏幕顯示的數(shù)變成它的平方.輸入

一個數(shù)據(jù)后，按照以下步驟操作，依次按照從第1步到第3步循環(huán)按鍵.例如：當(dāng)輸入5時，第1步操作

的結(jié)果是25,第2步操作的結(jié)果是白，第3步操作的結(jié)果是:，….下列說法：

①若開始輸入的數(shù)據(jù)為2,那么第5步操作之后，顯示的結(jié)果是4；

②若開始輸入的數(shù)據(jù)為。（">。），那么第2025步操作之后，顯示的結(jié)果是??；

a

③若開始輸入一個數(shù)據(jù)。（4>0）,經(jīng)過若干步操作后，得到的結(jié)果為16,則。有6種不同的值；

正確的個數(shù)是（）

輸入x

第1步操作第2步操作第3步操作

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】本題主要結(jié)合計算器的使用考查規(guī)律，根據(jù)題中的按鍵順序確定出顯示的數(shù)的規(guī)律，對各說法逐

一判斷即可.

【解析】解：①若開始輸入的數(shù)據(jù)為2,那么

第1步操作后顯示的結(jié)果是22=4，

第2步操作后顯示的結(jié)果是:，

第3步操作后顯示的結(jié)果是"口=’,

V42

第4步操作后顯示的結(jié)果是=；,

1=4

第5步操作后顯示的結(jié)果是，，故說法①止確：

4

②若開始輸入的數(shù)據(jù)為。(。＞0),那么

第I步操作后顯示的結(jié)果是

第2步操作后顯示的結(jié)果是二，

a'

第3步操作后顯示的結(jié)果是』￡

Va"a

第4步操作后顯示的結(jié)果是=J

=&2

第5步操作后顯示的結(jié)果是1一，

第6步操作后顯示的結(jié)果是3，

a~

第7步操作后顯示的結(jié)果是/工=',

Vaa

由此可以發(fā)現(xiàn)，操作后結(jié)果是按照二每4步一個循環(huán)，

a~aa-

???2025+4=506……1,

???第2025步操作之后，顯示的結(jié)果是故說法②錯誤；

③若開始輸入的數(shù)據(jù)為＞0)，輸入經(jīng)過若干步操作后，得到的結(jié)果為16,則

，=16或二=16或，=16,

aa

???“=4或或。=上.故說法③錯誤.

416

綜上，說法正確的只有1個.

故選：B

題型8:算術(shù)平方根的應(yīng)用

17.數(shù)學(xué)活動課上，數(shù)學(xué)興趣小組的幾名同學(xué)探究用〃個面積為l(dm，的小正方形紙片剪拼成一個面枳為

〃(dnf)的大正方形.下面是他們探究的部分結(jié)果:

D2

BI

圖1圖2圖3

（1）如圖1,當(dāng)〃=2時，拼成的大正方形力8C。的邊長為一

如圖2,當(dāng)〃=5時，拼成的大正方形48CQ的邊長為一

如圖3,當(dāng)〃二10時，拼成的大正方形482GA的邊長為一

（2）小李想沿著正方形紙片其及CQ邊的方向能否裁出一塊面積為2.42（dn?）的長方形紙片，使它的長寬之比

為2：1?他能裁出嗎？請說明理由.

⑶小周想沿著正方形紙片4層G4邊的方向能否裁出一塊面積為4.86（dm2）的長方形紙片，使它的長寬之

比為3：2,且要求長方形的四周至少留出0.36加的邊框？若能，清給出一種合適的裁剪方案；若不能，請說

明理由.

【答案】（1）&dm;V5dm；VlOdm

（2）能，見解析

（3）小能,見解析

【分析】（1）①先得出〃=2時圖形的面積，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)，求得邊長；②先得出〃=5時圖形的面

積，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)，求得邊長；③先得出〃=10時圖形的面積，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)，求得邊長;

（2）假設(shè)可行，設(shè)長方形的長寬分別為2x和x,則根據(jù)面積可求得工的值，發(fā)現(xiàn)2工的值比正方形的邊長小,

故可能：

（3）假設(shè)可行，設(shè)長方形的長寬分別為3x和2x,則根據(jù)面積可求得》的值，3x=2.7,發(fā)現(xiàn)加邊框后的長

至少要2.7+2x0.3=3.3（力〃），3.3而?比正方形的邊長大，故不可能.

【解析】（1）解：當(dāng)〃=2時，則正方形的面積為2dm2,邊長為J5dm;

當(dāng)k=5時，則正方形的面積為5dm2,邊長為J5dm：

當(dāng)N=10時，則正方形的面積為10dm?,邊長為Jjidm.

（2）能裁出這樣的長方形，理由如下：

設(shè)長方形的長為2xdm,則寬為xdm

:.2x-x=2.42

解得：x=\A

???2x=2.2=>/4^84<V5

???能裁出這樣的長方形.

（3）不能裁出這樣的長方形，理由如下：

設(shè)長方形的長為3xdm,則寬為Zvdm

:.3x-2x=4.86

解得：x=0.9

:.3x=2.7

又，?要求長方形的四周至少留出0.3dm的邊框

因此加邊框后的長至少要2.7+2xO.3=3.3（而）

V3.3=y/TF=V1O.89>M

，不能裁出這樣的長方形.

【點睛】本題考查圖形的探究，利用長寬比設(shè)未知數(shù)是解題的技巧，根據(jù)題意列方程是解題的關(guān)鍵.

18.單項式“/，，可表示邊長為。的正方形的面積，這就是數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn).康康由此探究0

的近似值，以下是他的探究過程：

面積為2的正方形邊長為正,可知正>1,因此設(shè)&=1+八畫出示意圖：圖中正方形的面積可以用兩

個正方形的面枳與兩個長方形面積的和表示，即S正方形=/+2勺+1,另一方面S正方形=2,則/+2x〃

+1=2,由于戶較小故略去，得2廠+1=2,則30.5,即0R.5

（1）為照康康上述的方法，探究我的近似值.（精確到0.01）（畫出示意圖，標(biāo)明數(shù)據(jù)，并寫出求解過程）；

⑵繼續(xù)仿照上述方法，在（1）中得到的g的近似值的基礎(chǔ)上，再探究?次，使求得的近的近似值更加準(zhǔn)

確，精確到0.001（畫出示意圖，標(biāo)明數(shù)據(jù)，并寫出求解過程）；

（3）綜合上述具體探究，已知非負整數(shù)”，小，b,若〃且/）=〃2+〃?，試用含〃?和〃式子表示正

的估算值.

【答案】（1）2.65

（2）2.646

（3）4b=n+—

2n

【分析】（1）'設(shè)幣=2.6+/，面積為7的正方形由一個邊長為2.6的正方形和一個邊長為/-的正方形以及兩

個長方形組成，根據(jù)圖形建立等式即可得到答案：

（2）設(shè)g=2.64+r,面積為7的止方形由一個邊長為2.64的正方形和一個邊長為,?的正方形以及兩個長

方形組成，根據(jù)圖形建立等式即可得到答案；

（3）設(shè)揚=〃+/?,面積為6的止方形由一個邊長為〃的正方形和一個邊長為，?的正方形以及兩個長方形組

成，根據(jù)圖形建立等式即可得到答案.

【解析】⑴解：???2.6?=6.76,

???、萬＞2.6,設(shè)近=2.6+尸，

如下圖所示，面積為7的正方形由一個邊長為2.6的正方形和一個邊長為，,的正方形以及兩個長方形組成，

2.6r

2.66.762.6r

2.6r

/.SF,福=f'+5.2r+6.76,

?"較小故略去,得5.2H6.76M,

A；^0.05,即77H2.65：

（2）V2.642?6.970.

???">2.64,設(shè)6=2.64+廠，

如下圖所示，面積為7的正方形由一個邊長為2.64的正方形和一個邊長為r的正方形以及兩個長方形組成,

2.64

6.9702.64〃

2.64〃r

/.，〃影=r2+5.28r+6.970,

???科較小故略去,得5.28,+6.970=7,

A^0.006,BPV7=2.646：

(3),.,〃<〃V〃+l,且3=/+〃？

***設(shè)y[b=〃+，.，

如下圖所示，面積為b的正方形由一個邊長為〃的正方形和一個邊長為〃的正方形以及兩個長方形組成,

nr

7

療nr

n-rr

???$正方形=〃2+2〃〃+〃,，

Vr較小故略去>得2nr+n2?h,

.b-n2

..r?-----，

2/7

L—n2-\-m,

m

?八五’

:―.

In

【點睹】本題考查二次根式、正方形、矩形的面積，解題的關(guān)鍵是仿照案例畫出圖形，再根據(jù)圖形建立等

式.

題型9：實數(shù)與數(shù)軸

19.如圖，已知正方形48CQ的邊長為逐.

（1）有4x4的網(wǎng)格，每個方格的邊長為1,把正方形4ACQ畫在網(wǎng)格中，要求頂點在格點上.

（2）如圖，把正方形48CO放到數(shù)軸上，使得點力與數(shù)-I重合，邊力。在數(shù)軸上，那么點。數(shù)軸上表示的數(shù)

為.

（3）在（2）的條件下，如果。和/）分別表示點。對應(yīng)的無理數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分，求。-力的值.

【答案】（1）圖見詳解

（2）-l-V5;

（3）-5+6

【分析】（1）根據(jù)勾股定理療了=石，即可找到相應(yīng)的格點，即可得到答案;

（2）根據(jù)數(shù)軸上點表示的數(shù)字及點到原點距離關(guān)系直接求解，即可得到答案；

（3）根據(jù)夾逼法得到點。表示數(shù)字的范圍得到。和力，即可得到答案.

【解析】（1）解：根據(jù)勾股定理可得，

B+f=亞'

???正方形48CO在網(wǎng)格中的圖如下圖，

（2）解：???點力與數(shù)T重合，邊力。在數(shù)軸上，邊長為JL

:.點D表示的數(shù)為：-1-6；

故答案為：-1-^5;

（3）解：?：6〈舊＜M，

—3<~\[s<-2>

A-4<-l-V5<-3,

??Z和b分別表示點。對應(yīng)的無理數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分，

：,a=-3,/,=-|->/5-(-3)=2-V5,

(i—h——3—(2—>/5)=-5+5/5.

【點睛】本題考查勾股定理，數(shù)軸上數(shù)的表示，無理數(shù)小數(shù)部分及整數(shù)部分計算，解題的關(guān)鍵是找到點。

代表的數(shù)字.

20.下面是小敏寫的數(shù)學(xué)日記的一部分，請你認真閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù).

2023年9月22日天氣：晴

無理數(shù)與線段長.

今天我們借助勾股定理，在數(shù)軸上找到了一些特殊的無理數(shù)對應(yīng)的點，認識了“數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)”

這一事實.

回顧梳理：要在數(shù)軸上找到表示土行的點，關(guān)鍵是在數(shù)軸上構(gòu)造線段0/1=04=&.如圖1,正方形的邊

長為1個單位長度，以原點。為圓心，對角線長為半徑畫弧與數(shù)軸上分別交于點兒則點/對應(yīng)的數(shù)

為收，點4對應(yīng)的數(shù)為-五.

類似地，我們可以在數(shù)軸上找到表示土石，土J歷，…的點.

拓展思考：如圖2,改變圖1中正方形的位置，用類似的方法作圖，可在數(shù)軸上構(gòu)造出線段與OE,其

中。仍在原點，點8,"分別在原點的右側(cè)、左側(cè)，可由線段08與。8’的長得到點8,"所表示的無理數(shù)！

按照這樣的思路，只要構(gòu)造出特定長度的線段，就能在數(shù)軸上找到無理數(shù)對應(yīng)的點！

,,，一

-2A'-\01423-2-1夕012B3

圖1圖2

任務(wù)：

(1)在圖3中畫圖確定表示J歷的點M.

-5-4-3-2-1012345

圖3

(2)乃5個小正方形按圖中位置擺放，并將其進行裁剪，拼成一個大正方形.請在圖中畫出裁剪線，并在圖4

中畫出所拼得的大正方形的示意圖.

圖4

（3）小麗想用一塊面積為36cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為20cm2的長方形紙片如圖5,使

它的長是寬的2倍.小麗能用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？請你通過計算說明理由.

（4）在圖6中的數(shù)軸上分別標(biāo)出表示數(shù)-0.5以及—3+逐的點，并比較它們的大小.

-5-4-3-2-1012345

圖6

【答案】（1）見解析

（2）見解析

⑶不能，理由見解析

（4）數(shù)軸見解析，一3+6<-0.5

【分析】（I）由10=9+1,可作出單位長度以3和1為長和寬的矩形，其對角線即是如，然后以原點為圓

心，以J而為半徑畫弧，即可解答；

（2）設(shè)1個小正方形的面積為1,則5個小正方形的面積為5,即所拼成的大正方形的邊長為右，進而即

可畫出裁剪線和所拼得的大正方形；

（3）由題意可求出正方形紙片的邊長為6cm.設(shè)長方形紙片的寬為xcm,則長為2xcm,則可列出關(guān)于x

的方程，再利用平方根解方程，即得出長方形紙片的長為2折cm,最后比較即可；

⑷由5=4+1,可作出單位長度以2和1為長和寬的矩形，其對角線即是然后以表示-3的點為圓心,

以后為半徑畫弧，與數(shù)軸右側(cè)的交點即為-3+石.再畫出表示-0.5的點，根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)比較即可.

【解析】（1）解：如圖，點"即為所作:

理由：由題意可知這個面積為36cm2的正方形紙片的邊長為6cm,

設(shè)面積為20cm2的長方形紙片的寬為xcm，則長為2xcm,

x-2x=20,

解得：x=VTo（舍去負值），

，長方形紙片的長為2jI6cm.

2V10>6，

，小麗不能用這塊紙片裁出符合要求的紙片；

（4）解.：在數(shù)軸上表示數(shù)-0.5和—3+石的點如圖，

-5-4-3-2-10.5012345

有數(shù)軸可知：-3+A-0.5.

【點睹】本題主要考查勾股定理，數(shù)軸和利用平方根解方程.利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.

題型10:新定義題

21.閱讀理解題：定義：如果一個數(shù)的平方等于T,記為『=-1,這個數(shù)i叫做虛數(shù)單位，把形如。+方

（。，〃為實數(shù)）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中。叫這個復(fù)數(shù)的實部，6叫做這個復(fù)數(shù)的虛部，它的加，減，乘法運

算與整式的加，減，乘法運算類似.

例如計算:（2T）+（5+3i）=（2+5）+（T+3）i=7+2t；

(l+/)x(2-/)=lx2-/+2x/-z2=2+(-1+2)z+1=3+/；

根據(jù)以上信息，完成下列問題：

(1)填空：『=,/=;

(2)計算:(l+/)x(3-4Z).

(3)計算：i+產(chǎn)+-+...+產(chǎn)23.

【答案】(1)T,1

(2)7-

⑶T

【分析】本題考查了整式的混合運算，復(fù)數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握整式的混合運算順序和運算法

則，以及正確理解題目所給的復(fù)數(shù)的定義.

(1)把，2=一1代入即可求解：

(2)根據(jù)多項式乘以多項式的運算法則，將括號展開，再根據(jù)『=_1計算即可；

(3)先歸納出每4個數(shù)為一組，每組按照的順序排列，即可進行計算.

【解析】(1)解：??,產(chǎn)=7,

***z3=i2?i--i?i4=(/2)=(-1)-1?

故答案為：T,1；

(2)解：(l+/)x(3-4/)

=1X3-1X4/+/X3-/X4/

=3-i-4兒

=3-/-4x(-l)

=7-f；

(3)解：根據(jù)題意可得：

??

??2/?If=-13>I=-*I?*4I=11,?5I=*I>*6/=—11?-7I=—?I>I=11.....

???每4個數(shù)為一組，每組按照，?，-LTJ的順序排列；

2023+4=505…3,

???2/+尸+...+嚴23

=(:-l-z+l)x505+(z-l-/)

22.規(guī)定：Max{再，與，…5}表示取一組數(shù)據(jù)中的最大的數(shù)，例如：Max{-l,2,^}=V5.

(l)Max{g,4，6折}=.

(2)若Max{卜3+。|,|1一2。|}=3,求。的值：

(3)①若Max[|-1+四,|3-耳=n,則〃的最小值為；

②已知點C'當(dāng)死江”〃小:加-21最小時，求點C的坐標(biāo).

【答案】(1)而

(2)。=2或。=0；

(3)?V2-1:②點0

【分析】(1)找出口，萬，百,J萬中最大數(shù)即可求解：

(2)根據(jù)題意分卜3+a|4"2a|=3和|1-2-3+寸=3兩種情況討論,即可求解;

(3)①根據(jù)題意分卜1+網(wǎng)>|3-。|和卜1+閩引3/兩種情況討論，得到〃之后—1，據(jù)此即可求解;

②根據(jù)題意得當(dāng)同="-2時，同小-21才能取最小，據(jù)此即可求解.

【解析】(1)解：???g=-l,

:?口<『”后，

???Max|m，兀,粗,后\=后，

故答案為：J萬；

(2)解：當(dāng)卜3+a|母"24=3時，

?二a=2或。=-1,

當(dāng)a=2時，卜3+。卜卜3+2卜1<3,滿足條件;

當(dāng)°=-1時，|-3+?|=|-3-1|=4>3,不滿足條件，舍去；

當(dāng)|1-2。閆-3+4=3時，a=0；

，a=0或a=6,

當(dāng)。=0時，|1-2?|=1<3,滿足條件；

當(dāng)a=6時，|l-2a|=12x6|=ll>3,不滿足條件，舍去;

綜上所述，〃=2或。=0；

(3)解：①當(dāng)卜1+&卜|3_4時，n=|-1+>/2|=^2-1；

當(dāng)卜1+血卜|3-a|時，w=|3-fl|>|-l+V2|=V2-l；

綜上所述，〃之虛-1:

，"的最小值為近-1；

②當(dāng)帆=1w-2時，何，(用一21才能取最小，

8

切=,或-8；

當(dāng)陽=—8時，Max，帆|,■|〃-2卜8：

8

當(dāng)陽=,時，Max-|w|,

而g<8,因此〃?=3時，加0￥伽|,；3〃?-21最小,

4

則點c(g,-；

【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集、理解新定義列出不等式組是基

礎(chǔ)，熟知“同大取大：同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

題型11：實數(shù)的運算

23.已知一列數(shù)：％,%，%，%，%滿足對為一切正整數(shù)〃都有

11I?1I1?I?11

旗2^^'67^72y[a承3'M瘋M2yja^'

11111111111

石+質(zhì)+西+歷=訪:"+歷+西+歷一直二k成立，且“”

(1)求。2,%的值;

（2）猜想第〃個數(shù)4（用〃表示）;

(3)求Jqa?+。2a3+J/%+…?+a2021a2022的值?

【答案】(1)出=;,%=3

(2)^=4

n

、2021

(3)------

2022

【分析】（1）根據(jù)所給公式進行求解即可；

（2）先計算出。4即可發(fā)現(xiàn)，%=4：

\n）n-

（3）先推出向區(qū)二=5-士據(jù)此求解即“J.

11

【解析】（I）解：「%=1，丁=,/，

1_1

1

一了

1|11

，瓜2〃必

1111

⑵解：二"+赤+西=訴

.1+2+3=亍

⑶解…4

〃2(〃+1)2'

..｛?；?J〃2”3+'**■J02021a2022

,11111

=1---F-----1---1-

22320212022

=1,

2022

2021

-2022,

【點睛】本題主要考查了與實數(shù)運算有關(guān)的規(guī)律題，正確理解題意找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

24.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：30=2x3x5,由于30沒有大于1的平方約數(shù)，因此J型為有理數(shù)的條件是正整數(shù)a=30/

（其中f為正整數(shù)）.

（1）若正整數(shù)a使得則a的值為

2

（2）已知〃、從c是正整數(shù)，滿足當(dāng)=1時,稱（aAc）為“三元數(shù)組

①若（。，"c）為“三元數(shù)組”，且。二6二c,則a=b=

②若（4,270,c）為“三元數(shù)組、且則。=

③“三元數(shù)組”共有個.

【答案】(1)120

(2)?270；②〃=120,c=1080；③3

【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根的定義即可求解;

⑵①由a=b=cN得楞噌=秒］,

即可解答;

112

②設(shè)a=30/，c=30nr（t,刑為正整數(shù)而且，<"?）,由6=270可得-+—=彳，進行求解即可;

tm3

③設(shè)"3-修。涔c=30z-x，九z為正整數(shù)而且p<z）,可*+卜），根據(jù)分子為I的

分數(shù)和為1的分數(shù)的特點進行討論求解.

【解析】（1）解：：秒=g，

/.<7=120,

故答案為：120；

(2)CD,?a=b=c,

又?:

*.a-b—c—270,

故答案為：270,

②?.?/)=270,

設(shè)“=3()/2,C=30〃?2(/,加為正整數(shù)而且/</〃),

.112

263

.11一

??a=120,c=1080：

故答案為：120,1080；

③設(shè)a=30Y,h=30y2,c=30i（x,九z為止整數(shù)而且x<”z）,

???一_―LJ，——，

x3z3

當(dāng)2時,

-=—=-=1,此時x=y=z=3,a=b=c=270,

xyz

當(dāng)號…1-i—1——1?1一>1—1>_

x2yz2'2y~4f

當(dāng)L=寸，同②，a=120,/）=270,c=1080；

y3

當(dāng),二!時，-=-?〃=120,/?=480,c=480；

y4z4

綜上所述：“三元數(shù)組”共有3個.

故答案為：3.

【點睛】本題土要考查了算術(shù)平方根的應(yīng)用，埋解題干所給的提示，將1轉(zhuǎn)化為幾個分

子為1的分數(shù)和為1的分數(shù)的式子求解是解題關(guān)鍵.

題型12：二次根式難點分析綜合

25.定義:我們將(后+刈與(右-6)稱為一對“對偶式”.因為g+@)=(硒_耐=a—b,

可以有效的去掉根號，所以有一些問題可以通過構(gòu)造“對偶式”來解決.

例如：已知7[=-肝二=1,求Vi=+0T=7的值，可以這樣解答：

因為(J18-x—Ji1-x)x(J]8-x+JiI-x)=(jl8-x)—(J11-x)=18—x—1l+x=7,

所以Jl8—x+，1—x=7.

(1)已知：V20-x+V47r=8,求j20—x—"^7的值:

(2)結(jié)合已知條件和第①問的結(jié)果，解方程：V20-x+V4^x=8；

")計算：3笠+石++3H+7石+5行**2023ao2i+2。21&023

【答案】(1)2

⑵丫=-5

⑴--------

24046

【分析】(1)仿照題意，進行計算即可得到答案：

(2)根據(jù)二次根式有意義的條件列出方程組，解方程組即可得到答案；

(3)利用平方差公式，對原式進行變形后，即可得到答案.

此題考查了二次根式的性質(zhì)、二次根式的混合運算、二次根式有意義的條件、平方差公式以及分母有理化,

熟練掌握二次根式的運算法則和靈活變形是解題的關(guān)鍵.

【解析】(1)解：V(V20-.r+V4^7)(V20-x-V4^7)=(V20-x)2-(>/4^7)2=20-x-4+x=i6,

目.《20—x+<4—x=8?

V20-x—YA-x—2:

JV20-X+5/4^7=8

(2)解:

|V20-X-V4^7=2

:.274^7=6*

化簡后兩邊同時平方得：4-x=9,

:.x=-5