2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之挑戰(zhàn)壓軸題（解答題）：圖形的旋轉(zhuǎn)（10題）

一.解答題（共10小題）

1.（2025?青山區(qū)模擬）如圖是由小正方形組成的9X6網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫作格點(diǎn).AABC的三

個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成四個(gè)畫圖任務(wù)，畫圖過(guò)程用虛線表示，每個(gè)任務(wù)

的畫線不得超過(guò)三條.

（I）在圖1中，作N6AC的角平分線交ACT點(diǎn)。

（2）己知P是上一點(diǎn)，在（1）的基礎(chǔ)上，作點(diǎn)P關(guān)于4。的對(duì)稱點(diǎn)Q;

（3）在圖2中，畫線段8M交AC于點(diǎn)M,使平分△ABC的面積；

（4）在（3）的基礎(chǔ)上，將點(diǎn)M以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，取旋轉(zhuǎn)角等于N4BC,畫出旋轉(zhuǎn)后的

2.（2025?關(guān)嶺縣一模）綜合與探究

如圖，在△ABC中，NABC=90°,AB=BC,P是直線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，將線段8P繞點(diǎn)?逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90°得至IJPD.

【操作判斷】

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)夕與點(diǎn)。重合時(shí)，連接3。，根據(jù)題意，在圖1中畫出PO,BD,圖中四邊形A80c

的形狀是.

【問(wèn)題探究】

（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A,C都不重合時(shí)，連接。C,試猜想0c與的位置關(guān)系，并利用圖2證明你的猜

想.

【拓展延伸】

（3）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A,。都不重合時(shí)，若A8=6,AP=5,求CO的長(zhǎng).

3.(2025春?成都校級(jí)月考)△ABC是等邊三角形,點(diǎn)。為線段8C上任意一點(diǎn)，連接人。，石為直線

上一點(diǎn).

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。為BC中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E在48邊上，連接。E.若4E=1,BE=3,求。E的長(zhǎng);

(2)如圖2,若點(diǎn)E為A3延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且8E=CQ,點(diǎn)產(chǎn)為C8延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且/用。=60°.猜

想線段AREF,AO之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

(3)如圖3,在(1)的條件下，M為線段4。上一點(diǎn)，連接將線段ME繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。

得到線段EM連接MM求⑶V+ON的最小值.

4.(2025春?沐陽(yáng)縣校級(jí)期中)如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4(-2,3),B(-3,2),C

(-1,I).

(I)將△ABC關(guān)于O點(diǎn)中心對(duì)稱，試作出對(duì)稱后的△48iCi,并寫出點(diǎn)4的坐標(biāo)

(2)在y軸上找一點(diǎn)M,使WA+A/B最小，在圖中標(biāo)出點(diǎn)M；

(3)計(jì)算四邊形AB481的面積.

5.(2025春?吳江區(qū)月考)如圖，在△ABC中，AB=AC,/8AC=a，點(diǎn)。是直線8C上一點(diǎn)，連接AD,

將線段AO繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段A￡，連接CE,DE.

(1)如圖①，當(dāng)a=60°,且點(diǎn)。在線段BC上時(shí)，線段8。和CE之間的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖②，當(dāng)a=90°,且點(diǎn)。在線段8c上時(shí)，猜想線段8。、CD.。七之間的數(shù)量關(guān)系，并加以

圖②

6.(2025春?大連月考)如圖，8c和△OCE都是等腰直角三角形，其中NAC8=/OC￡=90°,AC

=BC,DC=EC,△OCE■繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn).

(1)如圖1,當(dāng)△QCE在△4C3的外部時(shí)，連接BD交于點(diǎn)、0,求證：AO2+BO2=AB2；

(2)如圖2,當(dāng)△COE旋轉(zhuǎn)到頂點(diǎn)。在△ABC的內(nèi)部時(shí)，連接40,BD,若乙4。。=135°,求證：

AD2+2CD2=^D2；

(3)若AC=3C=5,DC=EC=4,2XCQE繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)NACE=15°時(shí)，直線。E與直

線AC交于點(diǎn)F.

①如圖3,當(dāng)CE在△ACB的外側(cè)時(shí)，求4尸的長(zhǎng)；

②如圖4,當(dāng)CE在△AC8的內(nèi)部時(shí)，直接寫出4尸的長(zhǎng).

7.(2025?濟(jì)寧一模)如圖，△ABC中，A(1,-1)、3(1,-3)>C(4,-3).

(1)△ASiG是△ABC關(guān)于)，軸的對(duì)稱圖形，則點(diǎn)A的對(duì)彌點(diǎn)A的坐標(biāo)是；

(2)將△A8C繞點(diǎn)(0,1)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A2&Q,則B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)比的坐標(biāo)是;

(3)AAIBICI與252c2是否關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱？若成軸對(duì)稱，則對(duì)稱軸的解析式

是.

y

8.（2025?武漢模擬）如圖是由小正方形組成的10X6網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，8c的三

個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，僅用無(wú)刻度直尺在給定的網(wǎng)格中完成下列四個(gè)作圖任務(wù)，每個(gè)任務(wù)的畫線不得超過(guò)三

條.

（1）在圖（1）中，將線段繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°得到線段CO（其中點(diǎn)B與點(diǎn)C對(duì)應(yīng)），畫出線段

CD.

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，CD交AB與點(diǎn)E,在圖（1）的線段AC上取點(diǎn)M,使得EM〃8c.

（3）在圖（2）中，P是邊BC上?點(diǎn),先將84繞著點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)NA8C的度數(shù)，得到線段8凡畫

出線段BF.

9.（2025?張店區(qū)一模）綜合與實(shí)踐：

【實(shí)踐操作】

（1）如圖/，將矩形A4CO市折，使4。與4c重合，得到折痕后凡展開(kāi)后再一次折疊，使點(diǎn)3落在

EF上的點(diǎn)、B'處，并使得折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,得到折痕人M.

【問(wèn)題提出】

（2）在（1）的條件下，已知A8=4,AD=S,求CM的長(zhǎng).

【問(wèn)題探究】

(3)如圖II,在(2)的條件下，若點(diǎn)P是射線8'E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△48'〃沿AP翻折，得△A8'

P，連接夕'D.設(shè)tanNAD*'=機(jī)，在點(diǎn)戶從點(diǎn)8'H發(fā)沿射線8'E方向運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)機(jī)

取得最大值時(shí)，解決下列問(wèn)題:

①求"’。的長(zhǎng)；

②直接寫出夕P的長(zhǎng).

【問(wèn)題拓展】

(4)如圖III,在(3)的條件下，延長(zhǎng)。A至點(diǎn)N,使4N=8'P,連接8,'N.問(wèn)在點(diǎn)P從點(diǎn)夕出

發(fā)沿射線)E方向運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在以A,P,B'，N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)

直接寫出8'P的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

10.(2025?東莞市校級(jí)模擬)綜合與實(shí)踐.

【主題】用三角形紙片折菱形.

【素材】一?張銳角三角形紙片A8C,如圖1.

【要求】以三角形的一個(gè)內(nèi)角作為菱形的一個(gè)內(nèi)角.

【實(shí)踐操作】步驟I：加圖2折登三角形紙片人AC,使A4邊和人C邊重合，折痕與原AC相交于點(diǎn)￡)：

步驟2：如圖3,繼續(xù)折疊折痕AD,使頂點(diǎn)A落到折痕上的點(diǎn)〃處，折痕與原AC相交于點(diǎn)F；

步驟3：如圖4,展開(kāi)三角形紙片，兩次折痕AD,E/相交于點(diǎn)。，連接HF.

【證明計(jì)算】

(1)如圖4,求證：四邊形是菱形；

(2)若"=3,BC=AC=4,以NA為菱形的一個(gè)內(nèi)角，如何折菱形，才能折出一個(gè)面積最大的菱形?

當(dāng)菱形面積最大時(shí)，求菱形的邊長(zhǎng).

圖1圖2圖3I84

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之挑戰(zhàn)壓軸題（解答題）：圖形的旋轉(zhuǎn)（10題）

參考答案與試題解析

一.解答題（共10小題）

1.（2025?青山區(qū)模擬）如圖是由小正方形組成的9X6網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫作格點(diǎn).aABC的三

個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成四個(gè)畫圖任務(wù)，畫圖過(guò)程用虛線表示，每個(gè)任務(wù)

的畫線不得超過(guò)三條.

（1）在圖1中，作/胡C的角平分線交8c于點(diǎn)。；

（2）已知P是A8上一點(diǎn)，在（1）的基礎(chǔ)上，作點(diǎn)P關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)Q；

（3）在圖2中，畫線段8M交AC于點(diǎn)M,使8M平分△ABC的面積；

（4）在（3）的基礎(chǔ)上，將點(diǎn)M以點(diǎn)8為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，取旋轉(zhuǎn)角等于/A8C,畫出旋轉(zhuǎn)后的

點(diǎn)N.

【考點(diǎn)】作圖-旋轉(zhuǎn)變換；角平分線的定義；三角形的角平分線、中線和高；作圖-軸對(duì)稱變換.

【專題】作圖題：幾何直觀.

【答案】見(jiàn)解析.

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義畫出圖形；

（2）如圖1中，在AC上取格點(diǎn)7,連接尸7交AO于點(diǎn)■/,連接8/,延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)Q,點(diǎn)Q即

為所求；

（3）如圖2中，取AC的中點(diǎn)M,連接8M即可；

（4）取格點(diǎn)7,連接"，取格點(diǎn)E,Q,連接EQ交"于點(diǎn)于點(diǎn)M連接BN即可（可以證明

△BCMgZiBTTV可得結(jié)論）.

【解答】解:（1）如圖1中,射線4。即為所求;

（2）如圖1中，點(diǎn)。即為所求；

（3）如圖2中，線段8M即為所求；

（4）如圖2中，線段8N即為所求.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換，軸對(duì)稱變換，三角形的用平分線，中線和高，角平分線的性質(zhì)，解

題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題.

2.（2025?關(guān)嶺縣一模）綜合與探究

如圖，在△ABC中，NABC=90°,AB=BC,P是直線4c上的一動(dòng)點(diǎn)，將線段BP繞點(diǎn)?逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90°得至IJPZ）.

【操作判斷】

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合時(shí)，連接8。，根據(jù)題意，在圖1中畫出PD,BD,圖中四邊形A3OC

的形狀是平行四邊形.

【問(wèn)題探究】

（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)4,C都不重合時(shí)，連接。C,試猜想0c與BC的位置關(guān)系，并利用圖2證明你的猜

想.

【拓展延伸】

（3）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A,C都不重合時(shí)，若AB=6,AP=5,求CQ的長(zhǎng).

【考點(diǎn)】幾何變換綜合題.

【專題】幾何綜合題；推理能力.

【答案】（1）平行四邊形；（2）DCLBC,證明見(jiàn)解析；（3）5近±6.

【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)可得C2=CO,ZBCD=90°,進(jìn)而可，導(dǎo)A3=CO,AB//CD,即可求解;

(2)證明四邊形E8CO是矩形即可求證；

(3)分點(diǎn)。在點(diǎn)A右側(cè)和左側(cè)兩種情況，分別畫出圖形解答即可求解.

VZABC=90°,AB=BC,

/.ZBCD=AABC,AB=CD,

J.AB//CD,

???四邊形ABOC是平行四邊形，

故答案為：平行四邊形；

(2)解:DCtBC,證明如下：

如圖2,過(guò)點(diǎn)P作PE_LAC交AB于點(diǎn)E,連接石。，則NA尸E=90°,

圖2

???N4BC=90,AB=BC,

：,ZBAC=ZBCA=45°,

???/8AC=NA￡P(guān)=45°,

：?AP=EP,

???將線段BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到PD,

:?PD=PB,

VZAPE=ZBPD=90°,

/.NAPE+NEPB=/BPD+/EPB,即/APB=NEP。,

在AAPB和△￡/"）中，

PA=PE

乙APB=乙EPD,

PB=PD

:.△APBmAEPD(SAS),

：.ZPAE=ZPED=45°,AB=ED,

1?NAED=NAEP+NPED=45°+45°=90

AZAED=ZABC=9()0,

：,ED//BC,

?：AB=BC,

:?ED=BC,

???四邊形E8CO是平行四邊形，

VZABC=90°,

???四邊形E8C。是矩形，

.\Z?CD=90°,

ADC1BC；

(3)解：YNB4c=45°,PELAC,

是等腰直角三角形，

：.AE=V2AP=5企，

由(2)可知，四邊形E8C。是矩形，

：.AB=AE-BE=AE-CD=5歷一CD,

???AB=6,6=5^2-CD,

：.CD=5V2-6：

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，如圖，

D

E「、/\

同理可得力8=BE-AE=CD-5V2,

：,6=CD-5y[2,

ACD=572+6；

綜上，C。的長(zhǎng)為5&±6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，矩形的判定和性質(zhì)，全

等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

3.（2025春?成都校級(jí)月考）△ABC是等邊三角形，點(diǎn)。為線段8C上任意一點(diǎn)，連接4。，E為直線4B

上一?點(diǎn).

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)。為8c中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E在A8邊上，連接?！耆鬉E=1,BE=3,求OE的長(zhǎng)；

（2）如圖2,若點(diǎn)石為"延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BE=CD,點(diǎn)尸為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，旦/胡。=60°.猜

想線段人F,EF,AD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（3）如圖3,在（1）的條件下，M為線段A。上一點(diǎn)，連接ME,將線段ME繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°

得到線段硒，連接MN.求8N+ON的最小值.

【考點(diǎn)】幾何變換綜合題.

【專題】綜合題；壓軸題；幾何圖形：運(yùn)算能力；推理能力；創(chuàng)新意識(shí).

【答案】（1）夕；（2）AF=AD+EF,理由見(jiàn)詳解；（3）8N+ON的最小值為2百.

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作EFLAD于F,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到ADVBC,乙BAD=\LBAC=30°,

利用直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求得AF、EF、AD,進(jìn)而求得。凡然后利用勾股定理求解即可；

（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等二角形的判定與性質(zhì)分另J證明和得

到PF=EF即可得出結(jié)論；

（3）在4c上截取AG=AE=1,連接EG,則△AEG是等邊三角形，證明△AEMgZXGEN得到NE4M

=NEGN=3U°,AM=GN,進(jìn)而G/VJ_AC,則點(diǎn)N在過(guò)點(diǎn)G且垂直于AC的直線/上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)B關(guān)

于直線/的對(duì)稱點(diǎn)B',連接二。交直線/于N,交AB于H,連接88'交直線/于。，此時(shí)8N+ON

=BN'+DN=B'。的值最小，延長(zhǎng)。8,交直線/于點(diǎn)K,連接"K,過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)"作ZfJ_LCK于

點(diǎn)證明△8*K為等邊二角形，得出88,=8K=2,根據(jù)勾股定理求出8-=,BB'2-=遍,

DB'=。夕/+DJ2=2b即可得出答案.

【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)￡作所_LAD于尸，如圖,

*：AE=\,BE=3,

：.AB=AE+BE=4,

???△ABC為等邊三角形，

：.AB=BC=AC=4,

???△ABC是等邊三角形，點(diǎn)。為AC中點(diǎn)，

：.AD1BC,乙BAD=^/.BAC=30°,BD=CD=2,

：.AD=yjAB2-BD2=273,

VZAFE=90°,ZEAF=30c,

：.EF=^AE=^,

：,AF=yjAE2-EF2=卓，

：.DF=AD-AF=^-,

:.DE=VFF2+DF2=J(}2+(竽/=夕；

(2)AF=AD+EF,理由如下：

在4尸上截取AP=A。，連接BP,

A

「△ABC是等邊三角形，

：.AB=AC,ZABC=ZBAC=ZC=60°,

由條件可知NB4B=/D4C=60°-NBA。,

???△FB/Z\D4C(SAS),

：.BP=CD,NABP=NC=6C°,

AZPBF=60°,

JZPBF=ZABC=ZEBF,

,:BE=CD,

:?BP=BE,

乂BF=BF,

:?△PBFm4EBF(SAS),

；?PF=EF,

：,AF=AP+PF=AD+EF；

(3)在AC上截取AG=A￡=1,連接￡G,

ZEAG=60°,

A/\EG是等邊三角形,

???NAEG=/AGE=60°,AE=EG,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知EM=EM/MEN=6U：

AZAEM=ZGEN=60°+ZGEM,

0△G￡N(SAS),

：,ZEAM=ZEGN=30°,AM=GN,

，NAGN=NAGE+/￡：GN=90°，

即GMLAC,

???點(diǎn)N在過(guò)點(diǎn)G且垂直于AC的直線l上運(yùn)動(dòng)，

作點(diǎn)8關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)B',連接B'。交直線/于N,交AB于H,連接88,交直線/于。，則

ZNOB=ZNOB'=90°,OB=OBf,BN=B'N,此時(shí)BN+ON=BN'+DN=B,。的值最小，

如圖，延長(zhǎng)C8,交直線/于點(diǎn)K,連接夕K,過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)"作夕./_LCK于點(diǎn)J,

VAC=4,AG=AE=h

:?CG=3,

???NCGK=90°,NGCK=60°,

???NCKG=30°,

:?CK=2CG=6,

:,BK=CK-BC=2,

根據(jù)軸對(duì)稱可知:NB，KO=NBKO=30°,KOLBB,,

...NK2O=60°,NR'KR=6O0,

:?△BB，K為等邊三角形，

:?BB'=BK=2,

由條件可得叼=鼻/<=1,

:.B'J=y/BB，2-BJ2=V3,

，：DJ=DB+BJ=3,

：.DB'=yjB'J2+DJ2=2V3,

即BN+DN的最小值為2vs.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等腰三

角形的性質(zhì)、利用軸對(duì)稱求最短路徑問(wèn)題等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大，熟練掌握相關(guān)知識(shí)與聯(lián)系，并

添加輔助線構(gòu)造等邊三角形和全等三角形是解答的關(guān)鍵.

4.(2025春?沐陽(yáng)縣校級(jí)期中)如圖，已知△4BC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2,3),8(-3,2),C

(-1,1).

(1)將△ABC關(guān)于0點(diǎn)中心對(duì)稱，試作出對(duì)稱后的△AiBiCi,并寫出點(diǎn)Ai的坐標(biāo)(2,-3)；

(2)在)，軸上找一點(diǎn)M,使M4+M8最小，在圖中標(biāo)出點(diǎn)M；

【考點(diǎn)】作圖-旋轉(zhuǎn)變換；軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題.

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；幾何直觀；應(yīng)用意識(shí).

【答案】(1)(2,-3)；

(2)見(jiàn)解析；

(3)10.

【分析】(1)先求出4(2,-3)、於(3,-2)、Ci(1,-1),再描點(diǎn)作圖；

(2)作A點(diǎn)關(guān)于)，軸的對(duì)稱點(diǎn)連接AB交)，軸于點(diǎn)M,即M為所求；

(3)四邊形ABAIBI為矩形，川勾股定理求出此矩形的長(zhǎng)與寬，再計(jì)算面積即可.

【解答】解：(1)(-2,3),8(-3,2),C(-1,1),

把A、B、C三個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后的點(diǎn)依次為4(2,-3)、Bi(3,-2)、C\(1,-1),

如圖1所示，

故答案為：（2,-3）；

（2）作A點(diǎn)關(guān)于），軸的對(duì)稱點(diǎn)4,連接A8交），軸于點(diǎn)M,

（3）連接84,AB\t如圖3所示,

可得四邊形A84/1為矩形，矩形的寬4B=Vm=&,

矩形的長(zhǎng)為AB\=V52+52=5vL

則S四邊形ABA}B\=AB*AB\=企?5&=10.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)的對(duì)稱規(guī)律，軸對(duì)稱最短路徑問(wèn)題，勾股定理，矩形的面積公式，熟練掌握以上

內(nèi)容是解題關(guān)鍵.

5.(2025春?吳江區(qū)月考)如圖，在△A4C中，AB=AC,Z13AC=a,點(diǎn)。是直線4c上一點(diǎn)，連接A。，

將線段人。繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段人￡連接CE,DE.

(1)如圖①，當(dāng)a=60°,且點(diǎn)。在線段BC上時(shí)，線段8。和CE之間的數(shù)量關(guān)系是BD=CE；

(2)如圖②，當(dāng)a=90°,且點(diǎn)。在線段BC上時(shí)，猜想線段跳人CD.OE之間的數(shù)量關(guān)系，并加以

圖②

【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理.

【專題】圖形的全等；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；幾何直觀.

【答案】(1)BD=CE.

(2)BD2+CD2=DE1,證明見(jiàn)解答.

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)得，AD=AE,NDAE=NBAC=60°,可得NBAD=NCAE,可證明

ACE,即可得8Q=C￡

(2)由題意得，N8=N8CA=45°.證明△ABOgAACE,可得NB=NACE=45°,BD=CE,則N

DCE=^DCA+ZACE=90Q.在RlZXCDE中，由勾股定理得，CE2+CD2=DE，即

【解答】解：(1)???將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段A￡,

：,AD=AE,NQA￡=NRAC=600,

：.ZBAD=ZCAE,

在△48。與△ACE中，

AB=AC

4BAD=^.CAE?

AD=AE

丁?△AB。gZiACE(SAS),

：,BD=CE,

故答案為：BD=CE.

(2)BD2+CD2=DE2.

證明：,：AB=AC,N8AC=90°,

???N8=N8C4=45°.

由旋轉(zhuǎn)得，AD=AE,ZDAE=ZBAC=90a,

:./BAD=/CAE,

在〃。與△ACE中，

(AB=AC

△8/1。=Z.CAE,

(AD=AE

???△ABD/ZXACE(SAS),

，NB=/ACE=45°,BD=CE,

???NOCE=NOCA+NACE=9D°.

在RtZXCDE中，由勾股定理得，。產(chǎn)+。。2=。廣，

:,BD1+CD2=DE1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角

形的判定與性質(zhì)、勾股定理是解答本題的關(guān)鍵.

6.(2025春?大連月考)如圖，△ABC和△OCE都是等腰直角三角形，其中NAC8=NQCE=90°,AC

=BC,DC=EC,△OCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn).

(1)如圖1,當(dāng)△OCE在aACB的外部時(shí)，連接AE,BO交于點(diǎn)。，求證：AO2+BO2=AB2；

(2)如圖2,當(dāng)△COE旋轉(zhuǎn)到頂點(diǎn)。在△A3C的內(nèi)部時(shí)，連接AQ,BD,若NAOC=135",求證：

AD1+2CD1=BD1；

（3）若AC=BC=5,DC=EC=4,△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)NACE=15°時(shí)，直線。E與直

線AC交于點(diǎn)足

①如圖3,當(dāng)C￡在△AC4的外側(cè)時(shí)，求A廠的長(zhǎng)；

②如圖4,當(dāng)CE在△ACB的內(nèi)部時(shí)，直接寫出4尸的長(zhǎng).

【考點(diǎn)】幾何變換綜合題.

【專題】幾何綜合題；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

（2）見(jiàn)解析；

15-476

（3）-------：

3

（4）4A/2-5.

【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到NOCE+NACD=NACB+NAC。，求得N4CE=NBCD,

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NC4E=NCB，求得408=90°,根據(jù)勾股定理得到

（2）如圖2,連接8E,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到/4CE=N8CQ,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到

AE=BD,求得?！?或。。，艱據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；

（3）過(guò)。作于〃，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到NO=NE=45°,求得/。5。=18（）°-

75°-45°=60°,得到/。67/=/。=45°,求得CH=DH=^CD=2也根據(jù)勾股定理即可得到

結(jié)論；

（4）過(guò)C作C，J_OE于，，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到//5=NCEO=45°,NECH=45：求

得NHCF=60°,得至I]C”=E"=￥C￡=2VL根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】（I）證明：???△人和△QCE都是等腰直角三角形，4CB=NOCE=90°,

,ZDCE+ZACD=NACB+NAC。,

???/ACE=/BCD,

\'BC=AC,EC=DC,

:.△ACE9XB3(SAS),

:?/CAE=/CBD,

???NC/1B+NA8C=NCA4+NA8O+NC8O=NC48+N/\BO+NC4O=NA8O+NOA4=9()°,

AZAOB=9(r,

：.AO1+Iid1=AB1x

(2)證明：如圖2,連接BE,

:△ABC和△QCE都是等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,

/DCE-NACD=NACB-NACD,

：./ACE=/BCD,

'：BC=AC,EC=DC,

?'.△ACE絲△BCD(SAS),

：,AE=BD,

VZDCE=90t>,CE=CD,

：.DE=>/2CDt

'：ZADE=ZCDA-ZCDE=135°-45°=90°,

.?.AD2+DE2=AE2,

：,AD1+2CD1=BD1；

(3)解：過(guò)。作C”J_O￡于”，

C

(圖3)

VZACB=ZDCF=90°,AC=BC,DC=EC,

???NO=NE=45°,

VZACE=\5°,

AZDCF=75",

AZDFC=180°-75°-45°=60°,

VCH1DF,

:?/DHC=/CHF=90°,

工NDCH=/D=45°,

:.CH=DH=誓。。=2遮，

VZFC//=30°，

:?CF=2FH,

二CmH+CHj

1i

ACF?2=(-CF)2+8,

2

??.CF=崢,

：,AF=AB-CF=15-4v6

o

(4)解：過(guò)。作C”J_OE于H,

VZACB=ZDCE=90°，AC=BC,DC=EC,

/.ZD=ZCED=45O,/￡C〃=45°.

VZACE=\50，

；?NHCF=60"，

'/CHIDF,

/.ZC/7F=90°，

CH=EH=,CE=2V2,

VZFCH=60°,

：.CF=2CH=4V2,

：.AF=CF-AC=4y[2-5.

【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換的綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全

等三角形的判定和性質(zhì)，正確地作山輔助線是解題的關(guān)鍵.

7.(2025?濟(jì)寧一模)如圖，/XABC中，A(1,-I).B(I,-3),C(4,-3).

(1)△46C1是△A/3C關(guān)于)，軸的對(duì)稱圖形，則點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)4的坐標(biāo)是(7,7)；

(2)將△/WC繞點(diǎn)(0,I)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△人282c2,則B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)班的坐標(biāo)是：4,2)；

(3)AAiBiCi與△上/C2是否關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱？若成軸對(duì)稱，則對(duì)稱軸的解析式是y=-

x+1.

【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)；坐標(biāo)與圖形變化-對(duì)稱.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】(1)根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)及關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征解答即可.

(2)利用網(wǎng)格，將圖形旋轉(zhuǎn)90°,即可得到近的坐標(biāo).

(3)連接用。與AAzB2c2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線即為所求直線.

【解答】解：(1)由圖可知，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Ai的坐標(biāo)為(-1,-1).

故答案為：(-1,-I).

y

（3）由圖可見(jiàn)，直線過(guò)（0,1）和（1,0）,

設(shè)函數(shù)解析式為y=kx+b,

將（0,1）和（1,0）分別代入解析式得，

（k+b=0

U=1,

故的函數(shù)解析式為y=-A+1.

故答案為：y=-x+l.

yt

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了坐標(biāo)變化旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱，作Hl圖形，根據(jù)對(duì)稱與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找到關(guān)鍵點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

8.（2025?武漢模擬）如圖是由小正方形組成的10X6網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，△然0的三

個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，僅用無(wú)刻度直尺在給定的網(wǎng)格中完成下列四個(gè)作圖任務(wù)，每個(gè)任務(wù)的畫線不得超過(guò)三

條.

（1）在圖（1）中，將線段84繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°得到線段C。（其中點(diǎn)B與點(diǎn)C對(duì)應(yīng)），畫出線段

CD.

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，CD交AB與點(diǎn)E,在圖（1）的線段AC上取點(diǎn)M,使得

（3）在圖（2）中，。是邊6c上一點(diǎn)，先將ZM繞著點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)NA3C的度數(shù)，得到線段6F,畫

出線段BF.

（4）在圖（2）的基礎(chǔ)上，在線段人A上取點(diǎn)Q,使得尸Q_L力&

圖?圖2

【考點(diǎn)】作圖■旋轉(zhuǎn)變換；平行線分線段成比例；平行線的判定與性質(zhì)；作圖■軸對(duì)稱變換.

【專題】作圖題：幾何直觀.

【答案】見(jiàn)解析.

【分析】（I）旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)O,作出線段C。即可；

（2）取格點(diǎn)K,Q,P,連接BK,PQ交于點(diǎn)J,作射線交AC于點(diǎn)M,線段EM即為所求；

（3）取格點(diǎn)K,作射線CK,取格點(diǎn)J,L,連接〃交CK于點(diǎn)心作射線BR取格點(diǎn)AW,作射線

WT交BR于點(diǎn)F,線段B尸即為所求.連接PR交AB于點(diǎn)N,作射線CN交BQ于點(diǎn)M,連接PM交

48于點(diǎn)Q,線段PQ即為所求.

【解答】解：（1）如圖1中，線段。即為所求；

（2）如圖1中，線段EM即為所求；

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換，平行線的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，軸對(duì)稱變換的性

質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題.

9.（2025?張店區(qū)一模）綜合與實(shí)踐：

【實(shí)踐操作】

（1）如圖/,將矩形ABCD右折，使4。與8c重合，得到折痕ER展開(kāi)后再一次折疊，使點(diǎn)B落在

E尸上的點(diǎn)夕處，并使得折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,得到折痕4M.

【問(wèn)題提出】

（2）在（1）的條件下，已知A8=4,AQ=8,求CM的長(zhǎng).

【問(wèn)題探究】

（3）如圖II,在（2）的條件下，若點(diǎn)P是射線）石上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△AB'尸沿AP翻折，得△A"'

P，連接夕'D.設(shè)lan/AQB''=〃?，在點(diǎn)尸從點(diǎn)夕H發(fā)沿射線B'E方向運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)機(jī)

取得最大值時(shí)，解決下列問(wèn)題：

①求夕’。的長(zhǎng)；

②直接寫出8,P的長(zhǎng).

【問(wèn)題拓展】

(4)如圖III,在(3)的條件下，延長(zhǎng)OA至點(diǎn)N,使4N=B'P,連接8,'M問(wèn)在點(diǎn)P從點(diǎn)"出

發(fā)沿射線夕E方向運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在以4,P,B'',N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)

直接寫出夕P的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【專題】展開(kāi)與折疊；推理能力.

【答案】(2)8-竽.

(3)①4百；②2舊-2.

(4)2技

【分析】(2)先根據(jù)折登圖形的軸對(duì)稱性質(zhì)判定AAB'B是等邊三角形，并求出NBAM=30°,再由

三角函數(shù)求出8M的長(zhǎng)度，進(jìn)而得到CM的長(zhǎng)度.

(3)①先判定點(diǎn)1T的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)機(jī)取最大值時(shí)確定AZT_L8"D,在RtZ\A。*'中由勾股定理

求得4〃。的長(zhǎng)度；

②根據(jù)①的結(jié)論求出NB〃AD=60°,然后折疊的性質(zhì)求得/力石=45°,結(jié)合三角函數(shù)由夕P=B'

E-PE求出結(jié)果.

(4)如(3)中圖示，判定點(diǎn)尸與點(diǎn)E重合時(shí)，A,P,夕'，N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，此時(shí)夕P

=B'E=AB'*sin60°,即可求出答案.

根據(jù)折疊圖形的軸對(duì)稱性質(zhì)易得：BB'=AB'=A&△A*8是等邊三角形，ZBAM=^ZBAB,=

30".

???8M=/W?tan3（）°=審.

J

故CM=8C-8M=8-挈

J

（3）①如圖，當(dāng)點(diǎn)P在射線E上時(shí)?，點(diǎn)8"的軌跡在以點(diǎn)4為圓心4B為半徑的方麗上，NB'AD

=/HAD.

當(dāng)點(diǎn)A到。4'的距離〃等于。人的半徑/W時(shí)，4取最大值.此時(shí)48"A.B"D.

An"AD"

在RtZLADB"中，m=^nAADB"=^-=.

BDJ加-業(yè)2

當(dāng)〃?取最大值時(shí)，/W"取得最大值A(chǔ)8=4.

B"D=>JAD2-AB2=4V3.

AR”1

②由①知cos/ZTAQ=%=務(wù)則N8〃AQ=60°,

:?/B'AB"=NB'AQ+/BAB'-NBAO=30°.

根據(jù)折疊的性質(zhì)，4尸平分N8‘ABH,=15°.

/.ZME=60°-15°=45°.

：.B'P=B'E-PE=4E?tan60°-4E?lan450=絆（8-1）=273-2.

（4）如（3）中圖示，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E時(shí)，點(diǎn)8〃運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)”，

由垂徑定理得8'E=HE=AN,結(jié)合“E〃4N且/ANE=90°,則四邊形AE”N為矩形.

???存在以4,P,B'',N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形.

止匕時(shí)S'P=B'E=AI3'?sin600=26.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn).熟練掌握折疊的性質(zhì)是

解答本題的關(guān)鍵.

10.（2025?東莞市校級(jí)模擬）綜合與實(shí)踐.

【主題】用三角形紙片折菱形.

【素材】一張銳角三角形紙片ABC,如圖1.

【要求】以三角形的一個(gè)內(nèi)角作為菱形的一個(gè)內(nèi)角.

【實(shí)踐操作】步驟1：如圖2折疊三角形紙片A8C,使AB邊和AC邊重合，折痕與原8c相交于點(diǎn)。；

步驟2：如圖3,繼續(xù)折疊折痕AD,使頂點(diǎn)A落到折痕上的點(diǎn)”處，折痕與原AC相交于點(diǎn)尸；

步驟3：如圖4,展開(kāi)三角形紙片，兩次折痕AO,反相交于點(diǎn)0,連接HF.

【證明計(jì)算】

（1）如圖4,求證：四邊形力日/尸是菱形;

（2）若AB=3,BC=AC=4,以N4為菱形的一個(gè)內(nèi)角，如何折菱形，才能折出一個(gè)面積最大的菱形？

當(dāng)菱形面積最大時(shí)，求菱形的邊長(zhǎng).

【考點(diǎn)】幾何變換綜合題.

【專題】矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；推理能力.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析:

【分析】（1）由折疊可知由菱形的判定可得出結(jié)論;

（2）當(dāng)A”最大時(shí)，菱形面積最大，即以△ABC的角平分線AD為菱形的對(duì)角線折疊時(shí)，所折疊菱形

的面積最大，證明=二二7，ADFCsABAC,得出二=二7=二？則可得出答案.

【解答】（1）證明：由折疊可知AE=EH="/=EH,

???四邊形是菱形；

（2）解：???四邊形尸是菱形，

：.EF±AH,0A=0H=^AH,OE=OF=1EF,ZEAO=ZFAO=^ZBAC,

：,OE=OA*tanZEAO=；A”?tan；N8AC,

]1111111

，卜*刁方

S5/EAH—3Lx2xLAHtanLZ.BAC=LAtanLz.BACWLAD^tcmLZ.BAC>

?,?當(dāng)A"最大時(shí)，菱形面積最大，

即以△A4C的角平分線為菱形的對(duì)角線折疊時(shí)，所折疊菱形的面積最大,

如圖，

A

???N8=NG4B,

丁四邊形AE”產(chǎn)是菱形，

：,AE=DE=DF=AF,DF//AB,DE//AC,

:./HEB=/CAB=NB,

DE=BD=AF=DF=AE,

*：DF//AB,

BDAFDF

△DFCsgC,

CD~CF~CF'

ABDFBD

AC~CF~CD

DE

BP-=

44-DE'

12

:?DE=亍

???菱形面積最大時(shí)，菱形的邊長(zhǎng)苗.

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于幾何變換綜合題，考查r菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，直.角三角形的性質(zhì)，相似三角形

的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí).

考點(diǎn)卡片

1.角平分線的定義

(I)角平分線的定義

從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線.

(2)性質(zhì)：若0C是NA08的平分線

貝叱A0C=N80C=^ZAOB^ZAOB=2ZAOC=2ZBOC.

(3)平分角的方法有很多，如度顯法、折疊法、尺規(guī)作圖法等，要注意積累，多動(dòng)手實(shí)踐.

2.平行線的判定與性質(zhì)

(I)平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系.平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來(lái)尋找角的數(shù)

量關(guān)系.

(