解析幾何：定點(diǎn)問題、定值問題、定直線問題專項(xiàng)訓(xùn)練

考點(diǎn)一定點(diǎn)問題

1.(2025高三下?甘肅白銀?學(xué)業(yè)考試)己知橢圓C：5+r=1(4>/,>0),點(diǎn)4(0,-G),A26，￥)，

4(0,￡j，中恰有兩點(diǎn)在c上

(1)求。的方程；

(2)C的左、右焦點(diǎn)分別為《，鳥，過點(diǎn)片且斜率存在的直線/與。交于P,。兩點(diǎn).

24

(i)若AP。鳥的面積為三，求/的斜率；

(ii)過點(diǎn)P作直線/'：x=T的垂線PH,垂足為H,試問直線OR是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若

不過定點(diǎn)，請說明理由.

2.(24-25高二下?湖南衡陽?期末)已知拋物線C：/=2必經(jīng)過點(diǎn)0(/,2&p),C的焦點(diǎn)廠在x軸的正半軸上,

點(diǎn)4,8在。上運(yùn)動(dòng).

(1)求。的方程.

(2)若直線AB的方程為y=x-2,求AJ5F內(nèi)切圓的半徑r.

(3)設(shè)點(diǎn)七(3,1),且E/平分//必，試問直線力&工=〃9+〃(〃/1)是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)：若不是,

請說明理由.

3.（24?25高二下?山西?期末）已知拋物線a：V=2px（p>0）的焦點(diǎn)為尸，。（2,〃）是G上一點(diǎn)，旦|。尸|=3.橢圓

22（3、

G：｝■+方■=ig6>o）的左、右頂點(diǎn)分別為力，B,右焦點(diǎn)為尸，氣叼是。2上一點(diǎn).

（1）求c，G的方程；

（2）已知/?為G上的一點(diǎn)（異于48兩點(diǎn)），直線4火，以分別與直線x=4相交于P,。兩點(diǎn)，求|P0|的最小值：

⑶已知直線/：x=〃?y+f（〃7工0）與G交于M,N兩點(diǎn)，直線KW和向V的斜率分別為尢，&，且尢+右=0，證明:

直線/過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

4.（24?25高二下?陜西西安?期末）已知雙曲線C:/-/=1（〃〉0）的左頂點(diǎn)為M,右焦點(diǎn)為F,A,8是C上的

兩點(diǎn)，線段彳8的中點(diǎn)為〃.當(dāng)6/LU/時(shí)，tan/8M/=2.

（I）求。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

<1Q\

⑵若求直線力4的斜截式方程；

⑶若M,A,〃三點(diǎn)不共線，且|力卻=2阿〃],證明：直線48過定點(diǎn).

5.(24?25高二下?浙江?期末)已知拋物線E：r=2px(p>0),且過拋物線焦點(diǎn)尸作直線/交拋物線于A,力兩

點(diǎn)，弦長最小值為4

(1)求拋物線后的方程；

(2)過點(diǎn)A作直線4C交拋物線于點(diǎn)C,且直線4C過定點(diǎn)23,0),連接直線CE并交拋物線于點(diǎn)。，請問直線4。是

否經(jīng)過定點(diǎn)，若是請求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是請說明理由.

6.(24?25高二下?云南?期末)已知雙曲線C:寸-口=1(力>0)的離心率為0,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)。的直線/交C

于尸，2兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P在第一象限.

(I)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)設(shè)|。4=5.

①求直線/的方程.

②過點(diǎn)P作斜率分別為配內(nèi)的兩條直線4,如且直線4與。交于另一點(diǎn)A,直線力與。交于另一點(diǎn)乩若

k、+k2=3,證明直線過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo).

7.（24?25高二下?河南南陽?期末）已知耳,行分別是雙曲線=2＞0）的左、右焦點(diǎn)，A是C的右頂

cT

點(diǎn)，|44|=3,且。與橢圓］+/=］有相同的焦點(diǎn).

⑴求。的方程；

（2）若更線/號(hào)=h+1與C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為1,求A的值：

（3）已知是C上不同的兩點(diǎn)，直線4%/IN的斜率分別為加〃2,力不在直線MV上，且〃色=3,證明：直線MN

過定點(diǎn).

8.（2025?河北邢臺(tái)?三模）橢圓C：?+〉15＞力＞0）的離心率為9點(diǎn)3，石在。上.

⑴求C的方程；

（2）圓。：r+3—百）2=產(chǎn)在橢圓c內(nèi)，過c的右頂點(diǎn)，作圓。的兩條切線卜4,斜率分別為尢，七，且分別與

C交于A,8兩點(diǎn)（均不與點(diǎn)尸重合）.

①求匕?用的值;

②當(dāng)/變化時(shí)，證明：直線45與x軸交于定點(diǎn).

考點(diǎn)二定值問題

1.(24?25高二下?江西新余?期末)已知雙曲線「：，-￡=1(。>0,方>0)的左頂點(diǎn)為A,離心率為當(dāng)，過點(diǎn)

(-2,-2)作直線/與「交于8,C兩點(diǎn)，當(dāng)直線/的斜率為0時(shí)，的面積為4石.

(1)求雙曲線「的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若4B上AC,求直線/的方程;

\PD\

(3)若直線力8,力。分別與直線x=2交于。，E兩點(diǎn),試探究在直線x=2上是否存在定點(diǎn)?，使得匕]為定值?

\PE\

若存在，求出定點(diǎn)P的坐標(biāo)和定值；若不存在，請說明理由.

《_￡=]("(),6>0)的焦距為2后，且點(diǎn)

2.(24?2S高二下?廣西崇左?期末)已知雙曲線C：

b~

在。上.

(1)求。的方程;

(2)若直線/：y=z(x+l)與c的右支交于點(diǎn)￡(4,%)(4>2),求『的取值范圍;

(3)若M,N是C上不同的兩點(diǎn)(異于點(diǎn)A),4V的平分線垂直于08(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，證明：直線MN的傾

斜角為定值.

3.(24?25高二下?上海閔行?期末)在直角坐標(biāo)系xQy中，已知橢圓「，+￡=I(a>/)>0)的長軸長為2G離

心率為半，直線/與x軸交于點(diǎn)M(%0),與「相交于A、B兩點(diǎn).

⑴求「的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若/的斜率為1,且夕.麗=0,求小的值;

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(3)是否存在加，使南'+恒為定值兄？若存在，請求出〃?與力的值，若不存在，請說明理日.

4.(2025?安徽蕪湖?模擬預(yù)測)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，雙曲線°：￡一￡=1(。>0力>0)的左、右焦點(diǎn)分別為

百，鳥，離心率為2,過點(diǎn)必(0,〃/)(/〃>())口傾斜角為45度的直線4交雙曲線于A,6兩點(diǎn)(A在)'軸右側(cè))口

AM=3MB?046^=3.

(1)求雙曲線。的方程：

(2)若直線，2是過C的右支上點(diǎn)。的切線，且，2不與X軸垂直，過月，瑪分別作直線，2的垂線，垂足為(，T2.

①求證：點(diǎn)(，4均在以。為圓心的定圓上，旦OT/PF：OTJIPF,.

②求證：|用IM乙是定值.

5.（24?25高二下?上海青浦?期末）已知橢圓「：「+/=1（。>8〉0）,用，層分別是橢圓短軸的上下兩個(gè)端點(diǎn)，片是

橢圓左焦點(diǎn)，M是橢圓上異于點(diǎn)4,4的點(diǎn)，片層是邊長為2的等邊三角形.

（1）寫出橢圓r的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；

（2）當(dāng)直線"用的一個(gè)法向量是時(shí)，求以"用為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑶設(shè)點(diǎn)P滿足:P4_LM4，P82_LM%求證:S8A,鳳B>:S4PB&為定值.

6.（2025?湖北武漢?模擬預(yù)測）已知圓￡：（X+1）2+/=1,圓月：（工-1）2+/=9.若動(dòng)圓。與圓片外切，且與圓g

內(nèi)切，設(shè)動(dòng)圓圓心C的軌跡為E.不過原點(diǎn)。的動(dòng)直線/與曲線E交于48兩點(diǎn)，平面上一點(diǎn)。滿足次=而，連

接BD交E于點(diǎn)F（點(diǎn)尸在線段6。上且不與端點(diǎn)重合），若興業(yè)=}.

^SOAB4

（1）求軌跡E的方程；

（2）試問：直線。408的斜率乘積是否為定值，若是，求出定值；若不是，說明理由.

（3）試問：四邊形O4F8的面積否為定值，若是，求出定值；若不是，說明理由.

（24?25高二下?北京順義?期中）橢圓片+匕

7.=1的左、右頂點(diǎn)分別為月，6過右焦點(diǎn)尸的直線/與橢圓交于C,

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。兩點(diǎn)（與力，4重合），設(shè)“*=（，噎=&?

（I）求橢圓的離心率e與右焦點(diǎn)F的坐標(biāo).

（2）求證：+為定值.

8.（2025?甘肅甘南?模擬預(yù)測）已知雙曲線從￡-_/=］（。＞0）過點(diǎn)分別為圓C：

a

(x-2)2+y2=r20<r<的兩條切線，且分別交雙曲線E于點(diǎn)H0.

（1）求雙曲線E的離心率：

（2）證明：直線產(chǎn)。的斜率為定值.

考點(diǎn)三定直線問題

1.(24?25高二下?廣西桂林?期末)已知橢圓C:￡+^=1(Q>6>0)的右焦點(diǎn)為尸(1,0),左、右頂點(diǎn)分別為A,

ab

B,且14T=3|尸耳.

⑴求C的方程；

(2)設(shè)過點(diǎn)尸的直線/與C交于P,。兩點(diǎn)(不與A,B兩點(diǎn)重合).

(i)若的面積為JF,求/的方程；

(ii)若直線力夕與直線4Q交于點(diǎn)T,證明：7在一條定直線上.

2.(24-25高二下?安徽宣城?期末)已知橢圓^+《=1(。>力>0)的離心率為正，48分別為橢圓的左，右頂

a~o2

點(diǎn)，C為橢圓的上頂點(diǎn)，且瓦.赤=-3.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

⑵過點(diǎn)上(1,0)作斜率不為0的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)P.

(i)證明：點(diǎn)尸在定直線上；

(ii)求/力尸8的最大值.

3.(2025?日肅白銀?三模)已知橢圓C：/點(diǎn)■二1(">>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳，鳥，上、下頂點(diǎn)分別為用，

與，四邊形4々與鳥為正方形，點(diǎn)/2。,0),且小田層的面積為4應(yīng).

(I)求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(41h)\ME\\MF\

(2)過月［;一,0的直線/與C交于M，N兩點(diǎn)，求證：p^|-=p^|；

(3)已知直線/：歹=6+2交橢圓。于乙Q兩點(diǎn)，直線PB-。風(fēng)相交于點(diǎn)A.試判斷點(diǎn)A是否在定直線上，若在，

請求出定直線的方程；若不在，請說明理由.

4.(2025?安徽蚌埠?三模)已知橢圓C:］+A=l(a>Z)>0)的離心率為:，點(diǎn)小1］在橢圓。上.

a~b~2\2；

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：

⑵過點(diǎn)。(0,6)的直線(非y軸)交橢圓于/,B兩點(diǎn),過點(diǎn)力作y軸的垂線與直線相交于點(diǎn)。，求證：線段

力。的中點(diǎn)在定直線上.

5.(24?25高二下?重慶渝中?期中)已知雙曲線「：鳥-4=1(。＞0,力＞0)的離心率和焦距分別為和2&，設(shè)點(diǎn)

cro

4&C的坐標(biāo)分別為(-d0),(。,0),(2。,0).

(1)求雙曲線「的方程；

(2)已知〃是雙曲線「的左支上異于點(diǎn)A的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線CM交「的右支于點(diǎn)P,。是坐標(biāo)原點(diǎn).

(i)記△4和△OCP的面積分別為￡,$2,且|SLS2|=&,求直線CW的方程；

(ii)設(shè)直.線4W與直線5P的交點(diǎn)為N,證明：點(diǎn)N在條定直線上.

6.(24?25高二下?上海寶山?階段練習(xí))已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為(2后,0),離心率為行.記。

的左、右頂點(diǎn)分別為4、4.

(1)求雙曲線。的方程：

⑵雙曲線上任意一點(diǎn)E