立體幾何：表面積問題、體積問題、外接球問題、內(nèi)切球問題專項(xiàng)訓(xùn)練

考點(diǎn)一表面積問題

1.（24?25高二下?廣西南寧?期中）球的表面積增大為原來的9倍，那么球的體枳增大為原來的（）

A.9倍B.18倍C.27倍D.81倍

【答案】C

【詳解】設(shè)原來球體的半徑為A,則原來球體的表面積為：S=4冗外,

4A

原來球體的體積為：V=

當(dāng)球的表面積增大為原來的9倍時，則此時球的半徑H=3R,

44V^27W

此時球體體積為：匕*二丁x2源，由1~—=27,

3nR

所以球的體積增大為原來的27倍.

故選：C.

2.（2025?江西?模擬預(yù)測）任意一圓錦的表面積與其側(cè)面積之比的取值范圍為（）

A.B,卜C.（1,2]D.（1,2）

【答案】D

【詳解】設(shè)某圓錐的底面圓半徑和母線長分別為八/,

則其表面積與其側(cè)面枳之比為也上工=1+2，

ntiI

在直角三角形中，易得/＞，,，故其取道范圍為（1,2）.

故選：D.

3.（24-25高一下?廣東佛山?期末）如圖，等邊三角形與直線,在同一平面，力。垂直/于A,AC=2,則△48C繞

/旋轉(zhuǎn)?周形成的面所圍成的幾何體的表面枳是（）

A.1071B.1171C.12nD.13n

【答案】C

【詳解】過點(diǎn)A作力。_L/,垂足為。，

△力8c繞/旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體是圓臺去掉同底圓錐，

幾何體的表面積是底面半徑分別為1,2,母線為2的圓臺表面積去掉上底面再加上底面半徑為1,母線為2的圓錐

的側(cè)面積，

則S=710+2）x2+4兀+7txlx2=12兀：

故選：C.

4.（24-25高三下?云南昭通?階段練習(xí)）已知某圓錐的軸截面是正三角形，從該圓錐高的一半處作平行于底面的平

面截圓推得一個小圓錐和一個小圓臺，則該小圓臺與原圓錐的表面積之比為（）

A.11:12B.5:6C.3:4D.2:3

【答案】A

【詳解】不妨設(shè)原圓錐的底面半徑為2,高為2相，則原圓錐的表面積為2?兀+4冗.4.g=12兀.

小圓臺的上下底面積為2?冗+仔兀=5冗，側(cè)面積為（4兀+2TT）X2X；=6兀，表面積為117r.

故選：A.

5.（24?25高一下?浙江?期中）水平桌面上放置了4個完全相同的半徑為1的小球（不疊起），四個小球的球心構(gòu)成

正方形，且相鄰的兩個小球相切.用一個半球形容器（容器壁厚度不計(jì)）罩住這四個小球，則這個半球形容器表

面積（不包含底面圓）的最小值為（）

A.k+4&）兀B,（8+4碼兀C.（3+2&）兀D.卜+29兀

【答案】B

如圖，4個小球球心構(gòu)成的正方形為中心為M

由題意。?=2,

半球形容器的球心為O,

顯然當(dāng)半球形容器與4個小球都相切時球。的半徑最小，半球形容器與球q的切點(diǎn)為4,

連接。V,則ON-小球的半徑=1,

22

球。的半徑=0/=0/+oq=1+^ON+O1N=i+6；

所以半球形容器表面積（不包含底面圓）的最小值為2花。+石『=（§+4后卜，

故選：B

6.（24-25高二下?陜西西安?階段練習(xí)?多選）有一塔形幾何體由若干個正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方

體卜底面的四個頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn)，已知最底層正方體的校長為2,且該塔形的表面積（不含最

底層正方體的底面面積）超過34,則該塔形中正方體的個數(shù)可以是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】BCD

【詳解】設(shè)從最底層開始的第〃層的正方體棱長為

22

q=2,a2=^x>/2+2=41,ay=yx^>/2）+（/）=1?

則｛為｝為以2為首頂，以乎為公比的等比數(shù)列，

是以4為首項(xiàng)，以上為公比的等比數(shù)列.

???塔形的表面積

I

41——

I2")

S=4Q；+4a；+4a；+…+4a：+a；=4x+4=36-—,

flT

32

令36-彳>34,解得〃>4,

???該塔形中正方體的個數(shù)至少為5個.

故選：BCD.

7.（23?24高三上?貴州遵義?階段練習(xí)?多選）在正四棱臺中，48=24片=46,44=Ji6,點(diǎn)P

在四邊形4BCD內(nèi),且4P=4,則（）

A.正四棱臺彳8。-481GA的體積是56

B.正四棱臺48CO-44G2的側(cè)面積是36a

C.正四棱臺ABCD-A^C.D.的外接球的表面積是145兀

D.P的軌跡長度是也

3

【答案】ACD

【詳解】A選項(xiàng)，取正方形48cA的中心?,正方形4BC。的中心0,

連接40,40,則。0_|_平面/8。。，

過點(diǎn)4作4M14O于點(diǎn)M,則4Ml平面48。。，4a=0M,4M=。?，

因?yàn)?B=24Bi=4百,A4=M,所以AB=45A\B\=2也,

故A0\=0M=瓜,40=2a,所以HM=/1O-OM=#，

因?yàn)獒?=加，由勾股定理得4”=54才_/必2=J|O_6=2,

故正四棱臺-4BCD-4片G4的體積為

1(2可+(4商+#可x(4南x2=56,A正確；

B選項(xiàng)，過點(diǎn)4作4%，彳8于點(diǎn)力，則力%=；(4?-4用)=6,

故4力=42—力皿2二幣,

iF四棱臺"CQ-4SGR的側(cè)面積是4*(2百+46卜'=]2后，B錯誤：

2

C選項(xiàng)，正四棱臺45。-45cB的外接球球心。在直線。。匕連接4。,4。,

則4。=4。=%

如圖所示，設(shè)。。=〃，則。q=oq+OQ=2+/?,

222

由勾股定理得力。2=40?+OQ=24+h,402=AO2+Q?2=6+(2+A),

所以24+/=6+（2+力f,解得力=g,

所以*=24+（Z[=受，故外接球表面積為4兀斤=145兀，C正確;

⑶4

D選項(xiàng)，由勾股定理得PW=產(chǎn)-4〃2=116-4=2百,

故點(diǎn)尸的軌跡為以M為圓心，以2石為半徑的圓在正方形內(nèi)部部分,

如圖，

其中MT=MK=>/5，故。7=8K=3后,

又SM=ML=20由勾股定理得2T=KA=J12-3=3,

由于￡=2=且，所以NSMT=NLWK=60。，

SMLM2

故NSML=150°,

故P的軌跡長度是返、2石=漁，D正確.

63

故選：ACD

8.（24?25高一下?北京昌平?期末）以邊長為2的正方形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周得到一個

圓柱，則該圓柱的體積是；表面積是.

【答案】8兀167r

【詳解】由題意可知圓柱的底面半徑/?=2,制7?=2,

所以圓柱的體積為V=5底乂〃=兀/二〃=兀*22乂2=8兀,

表面積為S=2S*+S]￥j=2nr2+2nrh=2x7ix22+2xnx2x2=16n.

故答案為：阮;16兀

9.（24?25高一下?湖北十堰?階段練習(xí)）若一個圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為弓，半徑為1的扇形，則這個圓錐的

側(cè)面積與表面積的比是.

【答案】3:4

【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為〃，網(wǎng)錐的側(cè)面展開圖扇形的半徑為5,

由題意可得，y/=2nr=>r=1/=l

圓錐的側(cè)面積為S=〃/=方，圓錐的表面積￡=S+“2=與,

故S:S尸3:4

故答案為：3:4

10.（2025?重慶?模擬預(yù)測）閱讀下面兩則材料解決問題：

材料一:2025年4月29日，長征火箭再次騰空，將“互聯(lián)網(wǎng)低軌衛(wèi)星”成功送入預(yù)定軌道.低凱衛(wèi)星距地面一

般為160-2000公里，與高軌衛(wèi)星相比，有速度快、回傳信號質(zhì)量高等特點(diǎn)，在半徑為6400公里的地球上空，

材料二：球面被平面所截得的一部分叫做球冠，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高（如圖）.當(dāng)球面半徑

為R,球冠高為〃時，球冠表面積S=2兀股.問題:若某低軌衛(wèi)星位于赤道正上方1600公里高度的軌道，保持

高度繞地球一圈（地球相對靜止），回傳信號沿直線傳輸（能直線觀測到衛(wèi)星的地面均可接收到信號），則該衛(wèi)星回傳

信號的地表覆蓋面積百分比為一.

【答案】60%

【詳解」令地球半徑R=4”，則低軌衛(wèi)星〃到球心。的距離為5a,過“作地球的切線，切點(diǎn)為為48,

AB交OM于。,則OW垂直平分45,OAA.AM,AM=3a,=當(dāng),

4O*M"5

低軌衛(wèi)星，“繞赤道旋轉(zhuǎn)一周沒有掃到的部分為以分別為球冠底面圓心，高為4a-早■的兩個球冠，

沒有掃到的面積為2?2兀心智詈巴，球的表面積為4江=64兀,

128m

所以該衛(wèi)星回傳信號的地表覆蓋面積百分比為兀—一1_3_

-----------=-二0U八

64兀5

11.（24-25高一下?湖南長沙?階段練習(xí)）如圖，圓錐P。的底面半徑和高均是a

（1）過線段P。的中點(diǎn)。作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱，求剩下幾何體的體積.

（2）若過線段PO上的任意一點(diǎn)作平行于底面的截面，并以該截面為底面挖去一個圓柱，求剩下幾何體的最大表面

積.

【答案】⑴卷商

（八3+2歷2

⑵一--7U7

【詳解】（I）如圖，設(shè)圓錐母線總與圓柱交點(diǎn)為力，連接02.

依題意，乙POB吟,則有/=J/+q2=缶,

又。為P。中點(diǎn)，設(shè)圓柱的高為4則=R=解得〃=：尸0=〈4.

/（7（zZ>22Z

設(shè)圓柱半徑為八^\r=O'A=^a,

因?yàn)閳A錐內(nèi)部挖去一個圓柱，故剩下幾何體的體積必^。-7^（:4）2'：。=工冗/

32224

（2）設(shè)圓柱半徑為八高為〃.

則依題意，有與?二￡，其中R為圓錐的底面半徑，即i=2.

PORaa

所以〃=a-r.

又圓錐內(nèi)部挖去一個圓柱，所以剩下幾何體的表面積5=兀/+兀外、仿4+2兀x/x〃

=na2+716/xJ2a+2nxrx（tz-r）=-2nx（r-y）2+-^a2+近荷

故〃=W時，S取到最大值士也1叫2

22

12.（24-25高一下?廣東廣州?期中）如圖，圓錐P0的底面直徑和高均是2cm,過PO上的一點(diǎn)。’咋平行于底面的

截面，以該截面為底面挖去一個圓柱.

（1）若。是P。的中點(diǎn)，求圓錐挖去圓柱剩下幾何體的表面積和體積；

（2）當(dāng)。。為何值時，被挖去的圓柱的側(cè)面積最大？并求出這個最大值.

【答案】⑴表面積（逐+2）兀，體積,；

1/

（2）0。'=1,兀.

【詳解】（1）設(shè)圓柱的底面半徑為尸，由三角形中位線定理知，〃二；,圓柱母線長00=1,

而圓錐的母線長為』后丁=6，因此圓錐挖去圓柱剩下幾何體的表面積為

圓錐的表面積加上圓柱的側(cè)面積，即S=+九」?逐+2"；」=（若+2）兀,

圓錐挖去圓柱剩下幾何體的體積等于圓錐的體積減去圓柱的體積，

即/=!冗?12?2—大（；）2」=得冗.

2-r/?

(2)設(shè)OO'=x,則一^=’，角軍得『=1一

YIO_Y

因此被挖去的圓柱的側(cè)面積為S'=2兀療=m(2-x)<7T(-^-)2=兀,

當(dāng)且僅當(dāng)X=1時取等號，

所以。。'=1時，被挖去的圓柱的側(cè)面積最大值為4.

考點(diǎn)二體積問題

1.（24?25高一下?福建廈門?期末）某組合體的上、下部分分別是圓臺和圓柱.圓臺和圓柱的高相等，且圓臺的下底

面與圓柱的上底面重合，圓臺的上底面半徑是下底面半徑的一半，則圓臺與圓柱的體積之比為（）

5757

A?丘B(yǎng).丘C,-D,-

【答案】B

【詳解】設(shè)圓臺的上底面半徑為小高為力，則圓臺和圓柱的底面半徑為2廠，

則圓臺體積匕=+4,+2，）h=#h,圓柱體積匕=4口號,

72

所以圓臺與圓柱的體積之比為乂=亡—

匕4萬力12

故選：B

2.（24.25高三上?遼寧沈陽?階段練習(xí)）祖的原理：“幕勢既同，則積不容異”這里的“幕”指水平截面的面積，“勢”

指高.這句話的意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面枳相等，則這兩個幾何體體積相等.利用

祖咂原理可以將半球的體積轉(zhuǎn)化為與其同底等高的圓柱和圓錐的體積之差.如圖，是一“四腳帳篷’形狀的幾何體的

示意圖，其中曲線4OC和80。均是以3&為半徑的半圓，平面40C和平面80。均垂直于平面48CQ,用任意

平行于底面48CQ的平面截該幾何體，所得截面四邊形均為正方形，請利用祖咂原理試求該幾何體的體積是（）

（提示：可以構(gòu)造一個與帳篷同底等高的正四棱柱）

A.36yliB.72>/2C.36兀D.72兀

【答案】B

【詳解】作正四棱柱MN'GH',正四棱柱的邊長與帳篷底面正方形力88邊長相等,

在正四棱柱，作四棱錐Q—MN'G'"',

?為底面正方形A/MG'"'的中心，

作截面平行于帳篷底面48C。，與帳篷和正四棱柱與正四棱錐相截，

截面分別為四邊形430,四邊形.4圈0。，四邊形4打。2。2,如圖所示,

設(shè)截面與底面的距離為〃，設(shè)底面X8CQ中心為0,

截面48'C'。'中心為。，則oc=3&，O,C'=V18-/12，

所以B'C'=V2V18-F，所以截面A'B'C'D'的面積為36-2/r.

設(shè)四棱柱底面"NG”中心q與截面432c2a中心牡之間的距離為°。?=人，

在正四棱柱中，底面正方形邊長為6,高為3加，

所以乙Wa4=NGOC2=45Q,所以/4。。2=90。，zUzaG為等腰直角三角形，

所以4c2=26,所以四邊形//2c2。:邊長為友人

所以四邊形482c24的面積為2/,

所以圖2中陰影部分的面積為與監(jiān)向=36-2肥，與截面HB'C'Z）'面積相等，

由祖晅原理知帳篷體積為正四棱柱的體積減去正四棱錐的體積，

即'帳篷=匕下四梭柱一/四梭誰=6?x3&--x6*x3A/2=72>/2.

故選:B.

3.（2025?湖南邵陽?模擬預(yù)測）在正方體力8C'。一4與GR中，E,HG分別是CR,AD,CG的中點(diǎn)，過巴

F,G三點(diǎn)的截面把正方體分成兩部分，則體積較大的部分與正方體體積之比為（）

【答案】C

【詳

如圖所示，延長相較于〃，連接交BC于J,相同方法，做出此，

則五邊形EKE/G為截面，

不妨設(shè)正方體楂長為1,

則△"CGrHgE,所以GC=LC，=J,在AHCJTIDF,所以JC=L

226

同理可得?！?R/=1，KR=，，

26

可知截得較小部分體積〉=匕DFH-2匕KD,￡,邊長代入得尸=2-工=,

32222322621672144

較大部分體積為1-￡25=711797,立方體體積為1，所以較大部分與總體積之比為1大19.

144144144

故選：C.

4.（24?25高一下?河北邢臺?階段練習(xí)）已知正四棱臺"C。-力內(nèi)GR的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，且球心0

在平面/8C。內(nèi)，若48=5應(yīng)，44=4五,則正四棱臺月4CO-44GA的體積是（）

A.61B.122C.183D.366

【答案】B

【詳解】如圖，設(shè)上底面的中心為O',連接O4O'4,O'O,

由題中數(shù)據(jù)可知。力=5,。'4=4.

因?yàn)檎臉O臺ABCD-44G2的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，所以力。=OA.,

即5=4否后，解得。0'=3,即正四棱臺48co—4AGA的高為3,

則正四棱臺月BCD-44GA的體積

=1x[(5揚(yáng)2+(4偽2+50X4@X3=122.

故選：B.

B

5.（24?25高一下?浙江溫州?期末）已知正四棱臺的上下底面邊長分別為2和4,側(cè)棱長為4,則它的體積是

()

A28714cU2

B.---C.28V14D.112

3

【答案】A

分別是上下底面中心，作4A/14C,

2222

由題意可知：AAi=4,OA=->]AB+BC=174+4=272,

22

同理可得=72,故AM=OA-OM=04-04=2母-立=五,

4也=〃42fMz=J(4『_(板)=>/16-2=V14,

E，S?示上下底面面積，E=2x2=4,$2=4x4=16,

所以棱臺的體積??(￡+廊7+S2)=lxEx(4+/^+16)=二"

333

故選：A.

6.（2025?四川綿陽?模擬預(yù)測?多選）正方體力8。。-48￡"棱長為2,E為CC1中點(diǎn)，b為平面8。。蜴上的動點(diǎn)

（在四邊形8CG耳內(nèi)部及其邊界）且滿足4尸//平面力則下列正確的是（）

A.動點(diǎn)尸的軌跡長度為日

'?4~

B.三棱錐4-CGF的體積范圍為

JJ

C.三棱錐尸-力。七的體積為定值

D.當(dāng)三棱錐4-CC/的體積最小時，其外接球的表面積為147c

【答案】BCD

【詳解」對于A,取BC的中點(diǎn)的中點(diǎn)為九連ME,AM,NT,AT,過4作4N//〃￡交于N,連AT,

如下圖所示:

因?yàn)槭癁镃GU，點(diǎn)，由正方體性質(zhì)可知?"石〃力R，因此可得四點(diǎn)共面；

由4N"AE可知N為〃片的中點(diǎn)，

又因?yàn)?NU平面4M￡〃，D】Eu平面力MER,

所以4M〃平面4UE。；

又AG的中點(diǎn)為7,所以NT//ME,

又NFC平面力ME),MEu平面力MEQ,

所以zr〃平面

因?yàn)锳】NcNT=N,4N,N7u平面4NT,

所以可得平面4N7//平面，

又因?yàn)樾铦M足4"〃平面AD}E,且F為平面BCCR上的動點(diǎn)，

所以動點(diǎn)尸的軌跡為線段NT,此時長度為及，即A錯誤；

對于B.顯然三棱錐A.-CC.F的頂點(diǎn)4到底面CC7的距離為=2,

所以當(dāng)aCG廠的面積最小時，體積最小，其面積最大時，體積最大：

又因?yàn)閏q=2,所以當(dāng)尸在r時，點(diǎn)尸到cq的距離最小為1,

112

此時體積最小，即〃ya-的最小值為\'5)＜以2又2=5，

當(dāng)尸在N時，點(diǎn)尸到CG的距離最大為2,

I]4

此時體積最大，即〃”尸的最大為之、5x2x2x2=a；

■■

因此三棱錐4-CG/的體積范圍為,即B正確；

對于C由十NT"ME,所以點(diǎn)尸到平面42七的距離等十點(diǎn)7到平面力。￡的距離，為定值;

又因?yàn)榈酌娴拿娣e為定值，所以三棱錐尸-/。破的體積為定值，

即/E=匕的不變，可得C正確;

X'iJ--D,當(dāng)三棱錐4-CC/的體積最小時，根據(jù)B中分析可知此時F與7重合，

即求A,-CCJ的外接球的半徑即可,

設(shè)外接球的球心為O,半徑為凡ACGT的外接圓圓心為q,半徑為9,q為CT3點(diǎn),

如下圖所示：

則。Qj/月蜴，在直角梯形44ao和直角三角形0。?中,

易知BR=

［出的+苧解得爐=二四二5；

所以可得

14

所以外接球表面積為s=47r/?2=47cx-=14兀,

4

因此當(dāng)三棱錐4-CG尸的體積最小時，其外接球的表面積為14兀，可得D正確.

故選：BCD

7.（24-25高二下?廣東揭陽?期末?多選）用半徑為A的圓形鐵皮剪出圓心角為。的扇形（以圓形鐵皮的半徑為半徑

的扇形），制成一個圓錐形容器S。，底面圓。的半徑為，則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)〃=］，且圓錐SO的側(cè)面積為37t時，圓錐的體積修=也

28

B.當(dāng)，,二］,且圓錐SO的側(cè)面積為37r時，過圓錐SO的頂點(diǎn)S所作的截面中，截面面積的最大值為地

24

C.當(dāng)A=3,.且圓錐SO的側(cè)面積為3兀時，圓錐SO能在棱長為4的正四面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動

D.當(dāng)6=偵兀時，圓錐SO的體積最大

3

【答案】AD

【詳解】設(shè)圓錐的母線長為/,高為力，

3

對于A選項(xiàng)，該圓錐的側(cè)面積為=Q兀/=3兀，解得/=2,

所以該員1錐的高為人廬彳

故該圓錐的體積為P=J=J兀X(2丫*也=￡1兀

A對?:

33⑴28

對于B選項(xiàng)，當(dāng)「=?時，1=2,此時圓錐的軸截面如圖所示,

22+22-I-X2

cos4s3=ST+板-次[2所以4s8為鈍角,

ISASB2x2x28

令P、。是圓錐SO的底面圓周上任意的不同兩點(diǎn)，則0</內(nèi)。<4§?,

所以S,，s0=；SPS2sin/PS2W；x2x2xl=2,

當(dāng)且僅當(dāng)NPS?！?時，取等號，Bt昔;

對于C選項(xiàng)，當(dāng)A=3時，即當(dāng)/=3時，該圓錐的側(cè)面積為“/=3"=3兀，可得,?=1,

高A=，3-2=2&,

設(shè)圓錐SO的外接球球心為C,圓錐SO的外接球半徑為&,

9x/2

=9=>/?,=—，

■8

棱長為4的正四面體8DMV可以補(bǔ)成正方體G8HO-MEA戶，如圖所示,

則正方體的棱長BG=—BD=2yf2,

2

正四面體BOMN的體積為心則H2五)【4'」.(2&丫?2&=謔,

323

正四面體BDMN的表面積為4乂,*4*4乂二=16>/3,

22

設(shè)正四面體BOMN的內(nèi)切球半徑為與，

則由等體積法可知gx16jJx弓=%-DMN=4^2=3f=弓=當(dāng)，

注意到旦=迤>).,=也,

8*3

所以圓錐S。不能在棱長為4的正四面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，C錯；

np

對于D選項(xiàng)，由題意可知，圓錐底面周長為2口=〃R,故〃二丁，

27t

該圓錐的高為方=4R，—戶,

所以，員1錐S。的體積為展9心，故9片二小32=兀2叫浦―/),

令/⑺=///—.2)=兀2(氏2/一百，其中0<YR,

則/'(「)=冗2(4爐/-6/)=2舟3(2衣2—3產(chǎn)),由/(?)=(),可得「=凈,

當(dāng)Ov/v乎R時,r(r)>0,即函數(shù)/⑺在(0,當(dāng)R上單調(diào)遞增,

當(dāng)當(dāng)/?<〃</?時，/(?)<(),即函數(shù)/⑺在［9凡火上單調(diào)遞增，

當(dāng)尸=竺=逅R時，即當(dāng)。=亞兀時，/('■)取最大值，此時/=:向萬取最大值，D對.

27c333

故選：AD.

8.(2025?湖北黃岡?二模)在正三棱臺力8C-44G中，<4=6,44=3,力/與平面所成角的正切值為1,則

該棱臺的體積.

【答案】v

4

【詳解】如圖，將正三棱臺力8C-44G補(bǔ)成正三棱錐P-/8C,

則A.A與平面ABC所成角即為21與立面力8c所成角,

設(shè)點(diǎn)P在平面ABC上的射影為o,在平面44G上的射影為G，

則o為的中心，q為4G的中心,

則/尸力。即為棱A}A與底面ABC所成的角，而tan/尸力。=1,

設(shè)zMBG的高為力，由等面積公式得_Lx3x/?」x巫x3x3,

222

解得力=手，由等邊三角形的性質(zhì)得。/=：〃=百，

POpo

同理可得04=2石，故tanN40=7U=7，=l,

AO

故PO\=AQI=6,PO=AO=26,

所以棱臺的高。。=?！?。3二百，因?yàn)檎馀_44。-43￡的上底面邊長44=3,

下底面邊長/B=6,所以=L@X3X3=速，

△455224

同理可得S處,='x@x6x6=9jj,

22

則棱臺的體積P=g乎+$岳苧+96xV3=y,

\/

故答案為：―.

4

9.（2025?遼寧?二模）我國古代《九章算術(shù)》中將上、下兩面為平行矩形的六面體稱為芻童，關(guān)于“芻童”的體積計(jì)

第日：“倍上袤，下袤從之，亦倍下袤，上袤從之.各以其廣乘之，并以高乘之，六而一其計(jì)算方法是：將上

底面的長乘二，與下底面的長相加，再與上底面的寬相乘，將下底面的長乘二，與上底面的長相加，再與下底面

的寬相乘，把這兩個數(shù)值相加，與高用乘，再取其六分之一.已知芻童48CQ-EFG”的外接球（球心在該芻童體

內(nèi)）半徑為5,且力8=36,40=3,4/=46,E/=4,則該芻童的體積是.

【答案】型叵

3

【詳解】取上下底面的中心為a，a,外接球的球心為o,連接。反。匕

由于4B=3百M(fèi)D=3,EH=4百,EF=4,所以。/=；dAB，+力D?=3,0/々EF2+EH』,

2222

所以。。=yl0B-0}0=552-32=4,0Q=yjOF-O2O=正孑=3,

故OR=7,

因此V=,[（2A8+E〃）/O+（2E〃+/8）M]O2q=3（6G+4G）＞：3+（86+3/）x4

故答案為：誓

10.（2025?湖南永州?模擬預(yù)測）三棱柱的體積為1,P點(diǎn)為四邊形88CC的中心，則四面體

A「B\PB的體積與三棱柱48C-48c的體積比為.

【答案】!

O

」-V

【詳解】由題意有S.叫時，所以〃〃一映G2八8C""A%CiG，

V\_

所以

匕!8C-%b|G6

故答案為：，

6

11.（2025?河南?三模）如圖,在三棱柱45C-44G中,IB1平面8CC4,四邊形BCg耳為菱形.

（1）證明：

（2）若N8/C=60。，AB=4,二面角4一4G-4的余弦值為』H,求三棱柱力4。一力白。1的體枳.

7

【答案】（1）證明見解析

⑵16G

【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅?CG4為菱形，所以與C_L〃G.

因?yàn)閃8_L平面8CG4，80u平面8CC?,所以48_18c.

又因?yàn)?8u平面/8G，8&€=平面,484，ABCBq=B,

所以4cL平面48G.

因?yàn)椤℅u平面月3G，所以4c_L/iG.

(2)方法一：因?yàn)镹44C=60。，所以△4/C是等邊三角形,

取4c中點(diǎn)連接則8MJ.8C，

以用為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AM,BG，所在的直線為x軸，y軸和z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

設(shè)網(wǎng)=4則4(0,0,0),一5,4,G(0,4,0).

所以雨=當(dāng)，一夕4)而=(0,4,0).

設(shè)平面48?的法向量為玩=x,y,z,則J」_

而BC=0

邪a。4八(R\

rn---4—y+4z=0.xp,-.,3a

即J22-，令x=l,得〃?=1,A0,---

ay=0IJ

由條件知瓦彳=(0,0,4)為平面8c8的一個法向量.

設(shè)二面角力-8c-8的平面角為8,易知。為銳角.

I___Iyf^a

冊44FV2?

貝色麗";二〒‘解得".

因?yàn)槿庵鵑〃c-4eG的高為4加，且4M=2百，

所以其體積p=S“8C4必=gX4X4X26=1.

方法二：因?yàn)镹4/C=60。，所以NB4c=120。.

過8做8。_L交G4的延長線于0,連接A。,

小

因?yàn)?B14G，所以4G_1面4以九所以4O_LqG，

所以NAOB是二面角A-B￡-B的平面角.

所以cos/4O8=4^1,所以lan//OB=馬叵，即^^=冬叵，

73。83

因?yàn)榱?=4,所以?！?2行.

在"(洱中,解得〃4=4.

又80」平面44G,所以三棱柱ABC-44G的高為0B,

所以其體積P=S捻8cO8=gx4x4x26=166.

12.(24-25高一下?安徽阜陽?期中)如圖，在直三棱柱力8c中，AB1AC,D,￡分別為8C,的中

點(diǎn).

(1)求證：〃平面4/CG；

(2)求證：ABIDE.

(3)若44=3,AB=AC=2,求三棱錐力-8CE的體積.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

(3)2

【詳解】(1)證明：取4G的中點(diǎn)連接￡1戶，

又。，E分別為〃C,44的中點(diǎn),

所以易得E/3/OC,且E尸一。。，

所以四邊形EFC。為平行四邊形，

所以DE//CF,又DEa平面44CC\,。/匚平面耳/^。一

所以。E〃平面4/CG；

(2)證明：取中點(diǎn)〃，連接￡〃，HD,

則易知44_LE〃，AB±HD,EHf)HD=H,E〃,〃Qu平面￡770,

所以48_L平面￡770,QEu平面EHD,

所以彳B1OE；

(3)幺4=3,AB=AC=2,則三棱錐4—8CE的體積

匕.8CE=/.”c=gSj8c?E〃=；X；X2X2X3=2.

考點(diǎn)三外接球問題

1.（24?25高一下?浙江衢州?期末）在△48。中，43=2,0=45。，尸力，平面48C,且4=2,則三棱錐P-48c

外接球狗表面積為（）

A.2兀B.4jLrC.12冗D.36兀

【答案】C

【詳解】由已知得，作下圖，設(shè)△48。外接圓的半徑為，

己知［8=2,C=45°,sinC=sin45'=巫.

2

oAB2r-

2-=.=-="=2V2.—

根據(jù)正弦定理可得sinCV2，解得〃=拒.

因?yàn)?_L平面ABC,所以三棱錐p-ABC外接球的球心到平面ABC的距離d=；尸力=1,

所以外接球半徑R=7（V2）2+12=vm=Q.

所以三棱錐P-48C外接球的表面積為S=4兀x（百丫=4兀x3=12兀.

2.（23?24高三上?天津東麗?階段練習(xí)）在直三棱柱力8c-4片G中，44=2,AB=\,AC=B

NA4c=15（）。，該直三棱柱的外接球表面積為（）

A.16兀B.297cC.32TID.36兀

【答案】C

【詳解】在△力8c中，由余弦定理可得cosl50。='+（6）二＞?=8c=J7，

2xV3

設(shè)&ABC外接圓半徑為r,再由正弦定理2r=—^―=＞，?=不，

sinl500

因?yàn)槿庵?c-4耳G是直三棱柱，設(shè)外接球半徑為R,

所以R=J/+（4'=可=2加,

所以外接球表面積為4兀xR2=32兀，

故選：C

3.（24-25高三上?云南昆明?階段練習(xí)）在三棱錐尸-W8C中，△48c為等邊三角形，PA=PB=PC=3,

PALPB,則三棱錐尸-的外接球的體積為（）

27o*7A

A.—乃B.士以兀C.27瓜D.27開

22

【答案】B

【詳解】，；PA=PB=3,PA工PB,.JB=3g.

?;PA=PB=PC,

P在底面ABC的射影為△力8c的中心。，

OP=、/PA2-OA2=5

設(shè)三棱錐P-48c的外接球球心為M,

:OP<OA,..M在尸。延長線上，

設(shè)。M=4,則A^=JO/+N=OP+/?,

.?.6+川=（石+4，解得〃=且，

2

「?外接聚的半杼r=^+>A=—

22

???外接球的體積P=3勿3=士4%（拽了=%叵兀.

3322

故選：B.

4.（24?25高二下?湖南永州?期末）如圖，在正方體力8co中，AB=2,夕是正方形48co內(nèi)部（含邊界）

的一個動點(diǎn)，若麗=；麗，則三棱錐。-44C外接球的表面積為（）

A.8兀B.67rC.4\[2TCD.

【答案】A

——1—

【詳解】若DP=QDB,則P為DB中點(diǎn),△PBC為等腰直角三角形，

如圖，3C中點(diǎn)￡是428。的外心，8c的中點(diǎn)。是aBC耳的外心，

正方體中易知OEJ?平面心C,因此。是棱錐尸-四。外接球的球心,

所以三棱錐P-BB.C外接球的半徑為V2，

所以三棱錐尸-880外接球的表面積為4兀（五『=8兀.

5.（24-25高一下?吉林長春?期末?多選）已知正三棱臺力8。-44G是由一個平面截棱長為6的正四面體所得，其

中力3=6,4公2,以點(diǎn)A為球心，2"為半徑的球面與側(cè)面8CGA的交線為曲線「，尸為「上一點(diǎn)，則（）

A.點(diǎn)A到平面"G4的距離為2KB.曲線『的長度為471

C.線段CP的最小值為26-2D.所有線段所形成的曲面面積為警

【答案】ACD

【詳解】設(shè)截得已知三棱臺的正四面體為48CQ,根據(jù)正四面體的性質(zhì)，點(diǎn)A到平面8CCM的距離40J■平面

BCC\B\,垂足為0,

AO=7AB?一OB?=卜一gx6x曰=2〃，A選項(xiàng)正確；

以點(diǎn)A為球心，2行為半徑的球面與惻面8CG用的交線為曲線「，。為「上一點(diǎn)，則

OP7Ap2-4。2=#近)2—(2府=2,

點(diǎn)尸軌跡為以正△力8C中心0為圓心半徑為2的圓在梯形8CC'3’內(nèi)的部分，為兩段圓弧G，C、2,每一段的圓心角都

是:，瑞點(diǎn)都是正△Q8C邊的三等分點(diǎn)，如圖所示.

線段CP的最小值OC—2=@x6xN_2=2jJ—2,C選項(xiàng)正確；

23

所有線段月P所形成的曲面是以A為頂點(diǎn)，圓。為底面的圓錐的側(cè)面的r2小部分，其面積為面積

"工2b=生色，D選項(xiàng)正確.

233

故選：ACD

6.(24-25高一下?甘肅白銀?期末?多選)在四棱錐P-/4C力中，尸CJL平面45CQ,ZABC=ZADC=90\

NBCD=12(T,PC=46,AB=10,力D=8,則()

A.四邊形/48CO外接圓的半徑為2將

B.四邊形4BC7)外接圓的半徑為8夜

C.四棱錐〃-力8C。外接球的體積為288/r

D.四棱錐尸-"。。外接球的體積為144所

【答案】AC

【詳解】連接力C,BD,設(shè)力C的中點(diǎn)為4,過Q作直線/I平面48C。，

因?yàn)镹ABC=ZADC=90,所以力。是△/18C和AADC的公共斜邊，

即?是四邊形ABCD的外接圓圓心，

所以直線/上的點(diǎn)到點(diǎn)A,B,C,。的距離相等,

故球心O一定在直線/上，即平面力68,現(xiàn)在只要保證OP=OC即可，

即球心。也在PC的垂直.平分線上.設(shè)PC的中點(diǎn)為M,連接。M,^\0MLPC.

因?yàn)?BCO=12(r,所以/44。=60;所以8O=Jl()2+82-2>d0x8cos60"=2后，

則=4>/7=2r=JC(r為四邊形ABCD外接圓的半徑)，

sin60

即r=2",故A正確，B錯誤.

因?yàn)镻CJL平面438,OQJ平面/18CD,所以O(shè)Q//PC.

又0歷_LPC,所以四邊形OQCW為矩形，OO、=CM=2五,

所以該四棱錐外接球的半徑H=JoC+OQ；=V28+8=6,

4

故四棱錐尸-。。外接球的體積噎=1M=28阮，故C正確，D錯誤.

故選：AC.

7.(2025?陜西西安?模擬預(yù)測)已知圓臺的高為3