第七節(jié)解三角形及其應(yīng)用舉例

5/課程標(biāo)準(zhǔn)/

會運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些簡單的實際問題.

體氽構(gòu)建I必備知識系統(tǒng)梳理基礎(chǔ)重落實課前自修

術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示

在目標(biāo)視線與水平視線（兩者在同一鉛垂面I/目標(biāo)視線

營＜扁角水平

仰角與內(nèi)）所成的角中,目標(biāo)視線在水平視線上方1

莞視線

俯角的角叫做仰角,目標(biāo)視線在水平視線卜,方的

、目標(biāo)視線

用叫做俯角

測

量從某點的指北方向線起按順時針方向到目標(biāo)北,」

中方位角方向線之間的夾角叫做方位角.方位用。的

的范圍是O°w8〈36（）。

幾

個北］+北1+

術(shù)正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳

方向角

語角，通常表達(dá)為北（南）偏東（西）。

北偏東a南偏西。

坡面與水平面所成銳二面角叫坡用（。為坡士

坡角與角）；坡面的垂宜高度與水平寬度之比叫坡

坡比

比（坡度）,即/=y=tan0

/

.對點自測.

1.兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站北偏東40。，燈塔8在觀察站南偏東60。，則燈塔

A在燈塔〃的（）

A.北偏東10°B.北偏西10。

C.南偏東10。D.南偏西10。

解析：B燈塔4,8的相對位置如圖所示，由已知得NAC4=80。,NC48=NCZM=50°,則〃=60°—5()°=l()°,

即北偏西10。,故選B.

2.為測量某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距30m的樓的樓頂C處測得塔頂A的仰角為30。，測得塔基B的俯角

為45。，則塔AB的高度為m.

答案：30+10次

解析：如圖所示，依題意NACE=30°,ZECB=45°,DB=30,所以CE=30,BE=30,由鼻=三加得AE=

sin30sin60

10百，所以A8=30+10V^(m).

3.加圖，在高速公路建設(shè)中需要確定隧道的長度，工程技術(shù)人員已測得隧道兩端的兩點A.8到點。的距離4C=

BC=\km,且C=120。，則A,8兩點間的距離為km.

答案：x/3

解析：在△"C中，易得A=3。。，由正弦定理券=就，得"=陪=2><住白遮km.

'考點?分類突破￡精選考點典例研析技法重悟通課堂演練

解三角形的應(yīng)用舉例

（定向精析突破;

考向/測量距離問題

【例1】如圖，為了測量4,C兩點間的距離，選取同一平面上4,。兩點，測出四邊形A4CO各邊的長度（單

位：km）：A6=5,8C=8,CD=3,0A=5,且角6與角?；パa(bǔ)，則AC的長為（）

A.7kmB.8km

C.9kmD.6km

解析：A在4c中，由余弦定理得AC2=432+8C2—248.4CCOS3,即AC?=25+64—2X5X8cos5=89—

80cos8.在^ADC中，由余弦定理得AC2=AD2-\-DC2~2ADDCCOSD,即/\C2=25+9-2X5X3cosD=34-30cos

D國為南B與角A）互補(bǔ)，所以cosB=-cos力，所以一"，解得AC=7（km）.

3080

解題技法

測量距離問題的類型及解法

（1）類型：①兩點間可視但不可達(dá)；②兩點間既不可視也不可達(dá).

（2）解法：選擇合適的輔助測量點，構(gòu)造三角形，將問題轉(zhuǎn)化為求某個三角形的邊長問題，從而利用正、余弦定

理求解.

考向2測量高度問題

【例2】（2021?全國甲卷8題）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單

位：m）,三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一.如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A,B,C三點，

且A,B,。在同一水平面上的投影A',8'，。滿足N4CB=45。，NABC=60。.由C點測得8點的仰角為15。，

8夕與CC的差為100：由8點測得A點的仰角為45。，則A,C兩點到水平面ABC的高度差A(yù)V—CC約為

（73^1.732）（）

I

A.346B.373

C.446D.473

解析：B如圖所示，根據(jù)題意過C作CE，交BB，于E,過8作/")〃47八交A/V于。，則8E=1()O,CE

=C￡：=T；.在△AC6葉，/CA'B'=75°,則6。=八B=空粵”,又在6點欠測得A點的仰角為45。，所以AD

tan150sin7S0

100x^

=8。=絲寫芋，所以高度差"，一cc=AO+BE=JW爐+100=益E吧100sin45°

sin75°sm75°sin750sinl50飄?F

+100=100(V3+1)+100和373.

解題技法

測量高度問題的三個注意點

(1)要理解仰角、俯角、方向(位)角的概念；

(2)在實際問題中，若遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖

形；

(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.

考向3測量角度問題

【例3】甲船在八處觀察乙船，乙船在它的北偏東60。的方向，相距。海里的8處，乙船向正北行駛，若甲船是

乙船速度的百倍，甲船為了盡快追上乙船，朝北偏東夕方向前進(jìn)，則。=.

答案：30。

解析：如圖，設(shè)兩船在。處相遇，則由題意得NA8C=180。-60。=120。，且躇=百，由正弦定理得型端=

DCDCSinKBAC

遍，所以sin/BAC，又因為0。</847<60。，所以N8AC=30。.所以甲船應(yīng)沿北偏東30。方向前進(jìn).

解題技法

測量角度問題的求解策略

(1)測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離,

再用正、余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解；

(2)方向角是相對于某點而言的，區(qū)此在確定方向角時，必須先弄清走是哪一個點的方向角.

E訓(xùn)練

1.（2O2L全國乙卷9題）魏晉時期劉微撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測量海島的高.

如圖，點E,H,G在水平線AC上，DE和bG是兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，

EG稱為“表距”，GC和E”都稱為“表目距”，GC與E”的差稱為“表目距的差”，則海島的高A8=（）

表高X表距R表高X表HE_

A?表日距的差+表高”.我目距的差表高

△表高X表距C表高X表距壬Q方

C?嬴際+表距D.而麗府一表距

解析：A因為〃G〃A&所以籌=器所以GC=*CA.因為。所以啜=警，所以即=得4”.又?！?

ABCZABABAHAB

FG,所以GC—E”=^?（C4-A"）=器乂〃。=器X（"G+GC）=器義（EG-EH+GC）.由題設(shè)中信息可得，

ABABABAB

表目距的差為GC-E”，表高為OE,表距為EG,則上式可化為，表目距的差=誓乂（表距+表目距的差），所

以但3X（表距+表目距的差）=著黑+表高，故選A.

2.（多選）某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75。，距離12后nmile；在A處看燈塔。在貨輪北偏西30。，距離

86nmiIe.貨輪由A處向正北航行到。處時，再看燈塔8在南偏東60。，則下列說法正確的是（）

A.A處與。處之間的距離是24nmile

B.燈塔C與D處之間的距離是16nmile

C.燈塔C在。處的西偏南60。

D.O在燈塔8的北偏西30°

解析：AC由題意可知NAQ4=60。，NBAD=75。,NCAD=30。，A4=12連，AC=8百，所以乙44。=180。一

60°-75°=45°,在△A8。中，由正弦定理得一^；=—所以—盧=24（nmile）,故A正確：在

S\X\￡.ABDSin￡ADB”

2

2222

△AC。中，由余弦定理得CO=jAC+AD-2ACADcos￡CADf即CQ=J（873）+24-2x8A/3x24xy=

8V3（nmile）,故B錯誤；因為CD=AC,所以NCD4=NCAO=30。，所以燈塔C在。處的西偏南60。，故C正

確；由乙4。8=60。，。在燈塔8的北偏西60。處，故D錯誤.故選A、C.

三角形中的最值（范圍）問題

（師生共研過關(guān)1

【例4】在AA8C中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,sin2A—sin2B—sin2C=sinBsinC.

（1）求A；

（2）若8c=3,求△ABC周長的最大值.

解：（1）由正弦定理可得：a2—b2—c2=bc,

b2+c2—a2

cosA—

2bc2'

VAS（0,7t）,

（2）法一（利用基本不等式求最值）由余弦定理得，序=從+/—2AcosA=〃+c2+bc=9,

即（b+c）2一%=9,

*：bc&（手）2（當(dāng)且僅當(dāng)方=c時取等號），

，9=7+c）2一仇?2（力+c）2—（*）23（b+c）2

2=4

解得力+cW2d5（當(dāng)且僅當(dāng)8=c時取等號），???“+力+cW3+2^,

???△ABC周長的最大值為3+2

法二（利用三角函數(shù)性質(zhì)求最值）設(shè)B=?+a,C=^-?,則一^VaVg

6666

根據(jù)正弦定理可得-^-=-^-=-^-=2、區(qū)?'./?+c=26（sin5+sinC）=26[sin（-+?）+sin（--a）]=

s\nAs\nBsinC66

2百cosaW2百，當(dāng)且僅當(dāng)a=0,即8=。=?時，等號成立.

6

故A/WC周長的最大值為3+2百.

解題技法

三角形中最值（范圍）問題的解題策略

利用正、余弦定理以及周長（面織）公式化簡整理，構(gòu)造關(guān)于關(guān)一個角或某一條邊的函數(shù)或不等式，利用三

角函數(shù)的性質(zhì)或基本不等式求最值（范圍）.

E訓(xùn)練

1.在△A8C中，內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為小b,c.已知sinA-sinA=3inC,3b=2a,2W/+acW18,設(shè)

△A8。的面積為5,〃=/〃一5,則〃的最小值是（）

A.2B.這

99

C.V2D.—

8

解析：B由正弦定理得a—0=L,又3b=2a,設(shè)c=3k,其中心>0,則。=32,〃=22.由2忘蘇+成<18得，

3

2W18FW18,gWdWl,[WkWl,S=：X2kxJ（3k）2一妙=2&~,〃=3其后一2企d=一2企乂（L》2+

呼弓WZW1）,則當(dāng)女=；時，〃取最小值，〃的最小值是3夜X；-2ax（1）2=乎，故選B.

833339

2.（2022?全國甲卷16題）已知AABC中，點。在邊8C上，ZADB=\20°,4。=2,C￡>=2BD當(dāng)當(dāng)取得最小值

AB

時，BD=.

答案：73-1

解析：設(shè)（4>0）,則CO=2N.根據(jù)題意作出大致圖形，如圖.在△48。中，由余弦定理得

一2%。8。8$/八。8=22+爐-2義2攵乂（-3=標(biāo)+2&+4.在4從。。中，由余弦定理得4。2=43+。02-

2ADCDcosZADC=2^⑵）2_2X2X2kX、4d—4Z+4,則與喀竺4衣+2廣）72…=「『2

=4—I?㈠+了=4—I??.乂+1+222/5（當(dāng)且僅當(dāng)攵+1=告，即攵=遮一1時等號成立），工學(xué)24一

（k+1）+3H1+懸k+1k+1收

+=4-275=（V3-1）2,???當(dāng)年取得最小值75—1時,BD=k=V3-l.

A

2

//\

BDC

解三角形與三角函數(shù)的綜合問題

(師生共研過關(guān))

【例5】已知函數(shù)/(x)=cos2x+sinxsin(*)

(1)求函數(shù)/(x)的對稱中心及/(i)在［0,兀］上的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)在銳角AA8C中，已知/(C)=±AC=8,sin8=等，。為邊8。上一點，且。。=2。8,求A。的長.

解：(1)函數(shù)/(x)=cos2x+sinxsin(x+j)—1

=sinxdsinx+&osx)+cos2x--=-sinxcosx+^cos2x=-(-sin2J+^COS2X)+-=-sin(2r+-)

222222224264

由2x+P=E,kGZ,解得％=如一工，&￡Z.

6212

故/(x)的對稱中心為(務(wù)三?、kwz.

4JL4*r

由2E—ke,L,解得E—EWXWE+3kSZ.

26236

令k=0,有一:后；，令2=1,有又x￡［0,捫，所以所求的單調(diào)遞增區(qū)間為［0,,［午，4.

36J6c3

(2)因為/(C)=:，所以;sin(2C+7)+：=:，

22642

即sin(2C+-)=-,

62

又在銳角△48。中?！?0,-),所以C=E,

23

在AABC中，由正弦定理可得：芻=告，

sinCsinB

所以名=編，解得八e=2，n,

Sin-2V39

313

又由余弦定理得4B2=4C2+BC2-24C8CCOS會解得BC=6或2,

當(dāng)BC=2時，4?2+^C2-AC2=-8<0,

此時△A4C為鈍角三角形，與題設(shè)矛盾，

所以4c=6,又CD=2DB,所以C￡>=4,

在△A0C中，由余弦定理可得

AD=jAC2+CD2-2ACCDcos^=4y/3,

故AD=4V3.

解題技法

解三角形與三角函數(shù)綜合問題的一般步驟

：正確分析題意，提煉相關(guān)等式，利用等

轉(zhuǎn)化公式的邊角關(guān)系合理地將問題轉(zhuǎn)化為三

uI:角函數(shù)問題

用定理、公,:利用正弦定理、余弦定理、二倍角公式、

輔助角公式等進(jìn)行三角形中邊角關(guān)系

式、性質(zhì).i

1的互化

：利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、三角形內(nèi)角和

得結(jié)論-i定理等知識求函數(shù)解析式、角、三角函

:數(shù)值，或討論三角函數(shù)的忠本性質(zhì)等

□訓(xùn)練

已知向量〃?=(-2,sin2x),n=(cos2x,V3),且函數(shù)f(x)=mn.

(1)求f(x)的最小正周期及對稱軸方程；

(2)在aABC中，內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,角A為銳角，a=y[7,若/+1=，加inC,且

△A8C的面積為苧，求△A8c的周長.

解：(l).f(x)=mn=—2cos2x+V3sin2x=—1—cos2v+V3sin2x=2sin(2A—7)—1,

6

由7=至=?=冗，故最小正周期為兀

u)2

由2X-?=；+E，?7=?+?，&￡Z,

6232

；,.f(x)的對稱軸方程為,k^Z.

(2)由于/(U+4)+1=2sin-)—I+1=2sinA,

21266

故2sinA=/〃sinC,于是2a=/〃c,

又〃二夕，解得兒=6.

ABc=/csinA=當(dāng)，解得sinA=g故A=T或A=g(舍去).

由余弦定理a~—b2-\-(r—2Z?ccosA,則7—〃+/—6,

化簡得：Z?24-c2=13,:.(〃+c)2—2bc=13,，b+c=5,

???△AEC的周長為。+。+。=5+6.

'課時1關(guān)犍能力分層施練素養(yǎng)重提升……|課后練習(xí)

A級?基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.一般船航行到點A處時，測得燈塔C與其相距30海里，如圖所示.隨后該船以20海里/小時的速度，沿直線向東

南方向航行1小時后到達(dá)點B,測得燈塔。在其北偏東25。方向，貝!sinZACB=()

A亭in70°B.-sin75°

3

C.jcos70°D.漁

3

解析；A由題意可知，乙討。=45。+25。=70。，AZ7=20海里，由正弦定理可得一^=Y^，代入數(shù)據(jù)得

sin￡ABCsinz/lCB

sinZACB=|sin700,故選A.

2.彬塔，又稱開元寺塔、彬縣塔，民間稱“雷峰塔”，位于陜西省彬縣城內(nèi)西南紫薇山下.某同學(xué)為測量彬塔的高

度AB,選取了與塔底8在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C與。，觀測得N8CO=15。，ZBDC=135°,CD=20

m,在點C測得塔頂A的仰角為60。，則塔高48=()

A.30mB.2(h/2m

C.20V3mD.20V6m

_RCDC

解析：D由題設(shè)知：AB1BC,又NDBC=l8()o-NBOC-N8CD=30。，在△BCD中，,二「=.二,可得

sinzBDCsinzDBC

BC=2(\\/2在中，則遙故選

m,RtAABCtanZ.4CT=—BC=V3,AB=20m.D.

3.已知燈塔A在海洋觀測站。的北偏東2()。的方向上，A,。兩點間的距離為5海里.某時刻貨船4在海洋觀測站C

的南偏東40。的方向上，此時從C兩點間的距離為3海里，該時刻貨船3與燈塔A間的距離為()

A.3海里B.4海里

C.6海巨D(zhuǎn).7海里

解析：D根據(jù)題意畫出簡圖，如圖所示，可知N3C4=180。一(40°+20°)=120°,在△A4C中，AC=5,BC=

3,3序=3七+Ad-2?82ACcosN8C4=32+52-2X3X5Xcos120。=49,解得A3=7,故選D.

4.設(shè)/,/+1,/+2是鈍角三角形的三邊長，則/的取值范圍是()

A.O</<1B.1</<3

C.3</<4D.4</<6

解析：B??Z/+1,/+2是鈍角三角形的三邊長，，/>0,且/+2</+(/+1),?">1.設(shè)最長邊所對的角為

22

C,由題意知，cosC<0,即cosC="3+i>_"+2)VO,.?J22L3即/一2/—3V0,-l</<3,A1</<

21(Z+l)21(Z+l)

3.

5.在△人BC中，內(nèi)角人，B,C的對邊分別為a,b,c,且sinB+sinC=2sinA,則4的最大值為()

A.空B.H

36

C.2-D.3-

解析：D因為sinB+sinC=2sinA,則由正弦定理得力+c=2a.因為〃十廿力色受一=2",泛（等）2=a2,

所以cosl+25斗當(dāng)且僅當(dāng)人=c時，等號成立，所以A的最大值為半

「2bC2bC23

6.（多選）銳角△ABC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為mb,c,若/，=「一2反0$4,則（）

A.A=2B

B.B的取值范圍是（0,-）

4

C.若》=3,c=4,則4=遮1

D?的取值范圍是（企，V3）

b

解析：ACD對于A,由正弦定理及/?=c—2/>cosA得sin/3=sinC-2sin4cosA.因為A+8+C=T:,所以sinC=

sin（A+B）,所以sinC=sinAcos8+sin8cosA,所以sin8=sin（A—3）.所以8+A—8=兀（舍去）或3=從一

r0<A<-,fo<2F<-,

B,即A=28.故A正確；對于B,因為△ABC為銳角三角形，所以?0V8V；,所以｛o<8V?解得已<8

|o<C<^,

故B錯誤；對于C,因為A=2B,號=」，所以;一^=上，所以cos8=白因為8=3,c、=4,cosE=

4sin/1sinB2smBcosBsmB2b

一E,所以?=必產(chǎn)，艮啖=叱4/,即/=2],解得,；=⑸（〃=一同舍去）.故c正確；對于

2ac2b2ac2x32ax4

D,由正弦定理，得衿當(dāng)=曾=也胃=2cos8.因為所以rVcosBV與所以&<2cos8<b，即

bsinBsinesinB6422

W的取值范圍是（企，百）.故D正確.故選A、C、D.

0

7.（2024?紹興模擬）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若sinAsinBcos（7=20/。，則胃尤=,

sinC的最大值為.

答案：51

解析：,.?$in4sinBcosC=2sin2C.由正弦定理可得ahccifi（7=2/.又\*cosC=--：,，,A——4~—=2r,-2,整

2ab2

理可得乎=5.??.cosC=M：b：d=。2+。：二^二2弋2）2答=也當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，???sinC的最

c22ab2abSabSab5

大值為Jl-（g）2=3,當(dāng)且僅當(dāng)〃=人時等號成立.

8.在AA5c中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知cos2A+cos26—cos2C=l—2sinAsin3.

（1）求角。的大小；

（2）求sinA+sin8+sinC的取值范圍.

解：(1)因為cos2A+cos28—cos2C=1—2sinAsin8,

所以1—2sii?A+1—2sin汩一(1—2sin2C)=1—2sinAsinB,

整理得sin2A4-sin25—sin2C=sinAsinB,

由正弦定理得/+/一/=,心，

由余弦定理得cosC=M"7：-c2=X因為CW(O,兀)，所以C=弓.

2ab23

(2)sinA+sinB+sinC=sinA+sin(——A)+—

32

..?.2n.2n...V5

=sinA+sinycosA—cos—sinA4--

=^sinA+^cosA+^=V3sin(A+三)+竺，在AABC中,因為C=：所以0<4〈q,

2226233

所以上4+卬萼，所以；<sin(A+9W1,

66626

所以6<6sin(A+白十哼W呼，

所以sinA+sinB+sinC的取值范圍為(，5,誓］.

B級?綜合應(yīng)用

9.某漁輪在航行中不幸遇險，發(fā)出呼救信號，海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁輪在方位角為45。距離為10

海里的C處，并測得漁輪正沿方位角為105。的方向，以9海里/小時的速度向小島靠攏，海軍艦艇立即以21海里/

小時的速度前去營救，則艦艇靠近漁輪所需的時間為()

A.Lj、時B.?小時

23

C.M、時D.1小時

4

解析：B如圖，設(shè)艦艇在夕處靠近漁輪，所需的時間為f小時，則A*=21/,CB，=9f.在△48C中，根據(jù)余弦定

理，則有/W'2=AC2+BC2-2AC/TCCOS120。，可得2用=g+giF+z/Og弓.整理得360產(chǎn)-901—100=0,解得/

=；或/=一5(舍去).故艦艇靠近漁輪需9卜時.故選B.

JL4O

10.(2024?綿陽一模)在aABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若函數(shù)/(x)=^+/??+(?2+^+

V2ac)工無極值點，則角8的最大值是()

A.史Bl

42

Vc，-4UD-'6

解析：A因為=43+加+(/+。2+四℃)x無極值點，所以/(x)=/+2法+(d2+c2+V2flc)=0無

解或有兩個相等的解，所以/=(2〃)2—4(a2+/+J^ac)W0,所以cosB=±^_—^――,因為8W(0,

2ac2

兀)，所以0VB〈生.故選A.

4

11.(2024,遵義模擬)在△ABC中，角A,B,。所對的邊分別為小b,c,若〃sin等=asin8,〃=迎，則△ABC

周長的最大值為()

A.V2B.V3

C.3V2D.3V3

解析：C因為加ing^=asin8,所以由正弦定理得sinAsin(^―^)=sinAsin又sinB#0,故sin0―?)=

sinA,即cosA=sinA.由二倍角公式有cosd=2sin4osA,因為((),-),故cosdHO,所以sin2=2,所以2=工

22222222226

即A=；.由余弦定理得(五)2=/?24-r—2/?ccos^,結(jié)合基本不等式有2=(b+c)2—3權(quán)、2(匕+c)2—

3X(0)2,化簡得工(b+c)2<2,即(b+c)2^8,故8+cW2/,當(dāng)且僅當(dāng)。=c=&時取等號.故△ABC周

24

長的最大值為a+2&=3，1

12.(多選)如圖，AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,若a=b,且V5(?cosC+ccosA)=2/?sin

B,。是△ABC外一點，DC=I,D4=3,則下列結(jié)論正確的是()

JC

Dr^7\

AB

A4AH。是等邊三角形

B.若4C=2百，則A,B,C,。四點共圓

C四邊形4BCD面積最大值為竽+3

D.四邊形ABCO面積最小值為手一3

解析：ACV-\/3(r/cosC+ccosA)=2/?sinB,V3(sinAcosC+sinCeosA)=2sin2B,即VSsin(A+C)=

2

V3sin^=2sinfi,由sin8W0,可得sin8=3,，8=工或2，又。=b,：,B=ZCAB=ZACB=-t故A正確；若

2333

A,B,C,。四點共圓，則四邊形對角互補(bǔ)，由A知。=§,若AC=2g,在△ADC中，VDC=1,D4=3,cos

D=DC-D2-AC2=12+32-(2、$2=一三與cos空,故B錯誤；等邊6c中，設(shè)AC=x(x>0),在AAOC中，由余

2DCAD2X1X333

弦定理，得4。2=4》+82-24￡)<7>8$。，把4。=3,。。=1代入上式，得『=10—6cos。，.\S^ABCD=

5AABC+5AC/?=--v-xsin-+-X3sinD=-x24--sinD=3sin(D--)+—,TDW(0,兀),/.——<sinCD—

A23242322

；)Wl,???四邊形人BCQ面積的最大值為￥+3,無最小值，故C正確，D錯誤.

13.如圖是某商業(yè)小區(qū)的平面設(shè)計圖，初步設(shè)計該小區(qū)輪廓是半徑為200米，圓心角為120。的扇形AO&。為南門位

置，。為東門位置，小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD,若。。=喑米，則圓弧AC的長為一米.

OA

答案：50兀

解析：連接OC,因為。O〃OA,所以NOCO=NCOA,NCOO=180。一NQOA=60。.在△OC。中，由正弦定理可

200后2007675廠

得—^7=—^7?即鬻,則sinNOCO=^^=￥，因為NDCO=/COA,且。。<NCOAV120。，

sinzDCOsinzCDOsinzDCO農(nóng)2002

2

所以NDCO=NCO4=45。，所以詫=2X200=5071米.

4

OA

14.(2024?西安模擬)已知在銳角△