專題09概率

1.(2024福建)某高中開設(shè)7門課，3門是田徑，某學(xué)生從7門中選一門，選到田徑的概率為()

1134

A.-B.-C.-D.-

7377

【答案】C

【知識點(diǎn)】計(jì)算古典概型問題的概率

【分析】根據(jù)古典概型的概率公式求解即可.

【詳解】由題意，從7門中選一門，選到田徑的概率為戶=，.

故選：C.

2.(2022河北)從長度為1,2,3,4.5的5條線段中任取3條，則以這三條線段為邊能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率

是()

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

【答案】B

【知識點(diǎn)】計(jì)算古典概型問題的概率

【分析】利用列舉法列出所有可能結(jié)果，再由古典概型的概率公式計(jì)算可得.

【詳解】從長度為L2,3,4,5的5條線段中任取3條，

則可能結(jié)果有(123),(124),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)共

10種情況，

其中滿足這三條線段為邊能構(gòu)成一個(gè)三角形的有（2,3,4）,（2,4,5）,（3.4,5）共3種情況，

所以以這三條線段為邊能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率P=~.

故選：B

3.（2024云南）某同學(xué)通過摸球的方式選擇參加學(xué)校組織的社會實(shí)踐活動.摸球規(guī)則如下：在一個(gè)不透明

的袋子中有10個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個(gè)紅球，8個(gè)黃球.該同學(xué)從這個(gè)袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球.

若摸出的球是紅球，則參加社區(qū)植樹；若摸出的球是黃球，則參加社區(qū)衛(wèi)生大掃除.該同學(xué)參加社區(qū)植樹的

概率為（）

1111

A?—B?—C?—D.一

5432

【答案】A

【知識點(diǎn)】計(jì)算古典概型問題的概率

【分析】由古典概率公式求解.

【詳解】若摸出的球是紅球，則參加社區(qū)植樹，

則該同學(xué)參加社區(qū)植樹的概率為：焉=!，

故選：A

4.（2024新疆）袋子中有4個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個(gè)紅球，2個(gè)白球，從中不放回地依次隨機(jī)

摸出2個(gè)球，則兩次都摸到紅球的概率尸=（）

【答案】B

【知識點(diǎn)】計(jì)算古典概型問題的概率、有放回與無放回問題的概率

【分析】運(yùn)用列舉法，結(jié)合古典概型求解即可.

【詳解】2個(gè)紅球，設(shè)為A8；2個(gè)白球，設(shè)為。力.從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，

有{48},{4。},{4勿,{氏閨,（a0,{3小},{〃,知,佃,8},{。力},他閨,{瓦8},仍,4},共12種.

兩次都摸到紅球的情況為{48},{B,A},共2種.則概率P=

126

故選：B.

5.（2024湖南）某環(huán)保志愿者計(jì)劃從甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)中隨機(jī)選擇一個(gè)社區(qū)進(jìn)行“垃圾分類〃宣講,

則該志愿者選擇甲社區(qū)的概率為（）

1113

A.-B.-C.-D.-

4324

【答案】A

【知識點(diǎn)】計(jì)算古典概型問題的概率

【分析】利用古典概型概率公式進(jìn)行求解.

【詳解】因?yàn)槟抄h(huán)保志愿者計(jì)劃從甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)中隨機(jī)選擇一個(gè)社區(qū)進(jìn)行〃垃圾分類〃宣講,

共有四種選擇方法：甲、乙、丙、丁，所以該志愿者選擇甲社區(qū)的概率為

4

故選：A

6.（2024浙江）6個(gè)球中，2紅4黃，求隨機(jī)模到一個(gè)紅球的概率為（）

I112

A.-B.—C.-D.—

6323

【答案】B

【知識點(diǎn)】計(jì)算古典概型問題的概率

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解.

【詳解】由題意知，6個(gè)球中，2紅4黃，

2I

根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式，可得隨機(jī)模到一個(gè)紅球的概率為。=三二1

2+43

故選：B.

7.（2023吉林）袋中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個(gè)紅球、3個(gè)黃球，從中不放回地依次隨機(jī)摸

出2個(gè)球，則兩次都摸到黃球的概率為（）

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.6

【答案】C

【知識點(diǎn)】計(jì)算古典概型問題的概率

【分析】利用占典概型的概率公式求解即可

【詳解】設(shè)兩次都摸到黃球記為事件八，2個(gè)紅球記入,4，3個(gè)黃球記與，層，層，

從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球包含的樣本點(diǎn)為

（44）,（A，4MA，5）（AW），（&，4），（4,4），（4W）,（4，%）,（%BJ（49）

（4,4）,（4,4卜（男，人），（%4），（％4），（斗4，卜（紜，4），（%4），（4，月）,（見4）

共20種，其中A包括的樣本點(diǎn)為（4,旦），（匹耳）,（昂耳）,（與出）,（國也）,（區(qū)由）共6種,

P（A）=—=0.3

V720

故選:C

8.（2023浙江）從集合｛1,2,3,4,5｝中任取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的和不小于5的概率是（）

3749

A.-B.—C.—D.一

510510

【答案】C

【知識點(diǎn)】計(jì)算古典概型問題的概率

【分析】列出所有可能結(jié)果，再日古典概型的概率公式計(jì)算可得.

【詳解】從集合｛123,4,5｝中任取兩個(gè)數(shù)所有可能結(jié)果有（1,2）、（1,3）、（1,4）、

（1,5）、（2,3）、（2,4）、（2,5）、（3,4）、（3,5）、（4,5）共10個(gè),

其中滿足兩個(gè)數(shù)的和不小于5的有（1,4）、（1,5）、（2,3）、（2,4）、（2,5）、（3,4）、（3,5）、（4,5）共8個(gè)，

所以這兩個(gè)數(shù)的和不小于5的概率P=^=1.

故選：C

9.（2024天津）在8張獎券中有一等獎1張，二等獎2張，其余5張無獎.現(xiàn)從中隨機(jī)抽取1張，則沒

有中獎的概率為（）

51.31

A?-B.-C?一D.一

8288

【答案】A

【知識點(diǎn)】計(jì)算古典概型問題的概率

【分析】根據(jù)古典概型概率計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)?張獎券中，有5張無獎，

所以從中抽取1張，沒有中獎的概率為1

O

故選：A.

10.（2024湖南）某中學(xué)高二年級從甲、乙兩個(gè)紅色教育基地和丙、丁、戊三個(gè)勞動實(shí)踐基地中選擇一個(gè)

進(jìn)行研學(xué)，則選擇紅色教育基地的概率是（）

1211

A.—B.-C.—D.—

6532

【答案】B

【知識點(diǎn)】計(jì)算古典概型問題的概率

【分析】根據(jù)給定條件，利用古典概率公式計(jì)算即得.

【詳解】依題意，任選一個(gè)基地有5種方法，選擇紅色教育基地有2種方法，

所以選擇紅色教育基地的概率是:

故選：B

11.（2024北京）故宮文創(chuàng)店推出了紫禁城系列名為“春〃、“夏〃、“秋〃、”冬〃的四款書簽，并隨機(jī)選擇一

款作為紀(jì)念品贈送給游客甲，貝峭客甲得到“春〃或“冬〃款書簽的概率為（）

11I1

A.-B.-C.-D.-

2346

【答案】A

【知識點(diǎn)】計(jì)算古典概型問題的概率

【分析】直接根據(jù)古典概型的計(jì)算公式求解即可.

【詳解】由已知得隨機(jī)選擇一款作為紀(jì)念品贈送給游客甲有4種贈法，

其中游客甲得到“春''或"冬''款書簽的有2種贈法，

則游客甲得到“春”或"冬〃款書簽的概率為:=1.

故選：A.

12.（2023北京）在核酸檢測中，“10合1〃混采檢測是指將10個(gè)人的樣本混合在一個(gè)采集管中進(jìn)行檢測.采

集時(shí)，將采集管發(fā)放給10人中的第一個(gè)人.某同學(xué)參加“10合1〃混采，他拿到采集管的概率為（）

9111

A.—B.-C.-D.—

102910

【答案】D

【知識點(diǎn)】計(jì)算古典概型問題的概率

【分析】根據(jù)古典概型求解.

【詳解】因?yàn)槟惩瑢W(xué)參加“10合1”混采，他在10人組中的位置是等可能的，

有10個(gè)位置可排，成為第一個(gè)人的可能性為些,

所以他拿到采集管的概率為看

故選：D

13.（2023遼寧）擲一顆股子（一種各面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1,2,3,4,5,6的正方體），出現(xiàn)3點(diǎn)或5點(diǎn)

的概率為.

【答案】;

【知識點(diǎn)】計(jì)算古典概型問題的概率

【分析】利用古典概型的概率公式解答即可.

【詳解】出現(xiàn)3點(diǎn)或5點(diǎn)的概率為P=：2=1

63

故答案為：

14.（2024安徽）某商場隨機(jī)抽取了100名員工的月銷售額”（單位：千元），將i的所有取值分成[5,10）,

[10,15）,[15,20）,[20,25）,[25,30]五組，并繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中人=為.

,頻率/組距

0.07......「

0.06——1—

0.01

051015202530月銷售機(jī)

(1)求m0的值；

(2)求這100名員工月銷售額的第70百分位數(shù)；

⑶若月銷售額在［25,30］這一組中男女職工人數(shù)為3:2,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2人，求所抽取的2人中至少有一

名女職工的概率.

【答案】⑴。=0.02,/?=0.()4

(2)19.3

⑶1

10

【知識點(diǎn)】計(jì)算古典概型問題的概率、總體百分位數(shù)的估計(jì)、補(bǔ)全頻率分布直方圖、由頻率分布直方圖計(jì)

算頻率、頻數(shù)、樣本容量、總體容量

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖中各小長方形面積和為1,并結(jié)合〃=2〃即可求解；

(2)根據(jù)百分位數(shù)的概念求解；

(3)根據(jù)古典概型列出基本事件計(jì)算得解.

【詳解】(1)由已知得(“+0.06+0.07+〃+001)x5=1,

所以a+〃=0.06,又因?yàn)閆?=2a,

所以"0.02,〃=0.04.

(2)由于樣本在［5,15］的頻率為(0.02+0.06)x5=0.4,在［5,20：的頻率為(0.02+0.06+0.07)x5=0.75,

07-04

所以這100名員工月銷售額的第70百分位數(shù)為15+5X=W=H19.3.

0.07x5

(3)月銷售額在［25,30］這一組的人數(shù)為100x0.01x5=5.

其中男職工3人，記為A,B,C,女職工2人，記為a,b,

從中隨機(jī)抽取2人，基本事件有A",ACfAafAbfBC,Ba,Bb,CatCbtabt共10個(gè)，

其中，事件“至少有一名女職工”包含的基本事件有Am4瓦Ba,BbtCa,Cb,ab,共7個(gè)，

所以，所抽取的2人中至少有一名女職工的概率為

15.(2024廣東)在一次猜燈速的活動中，共有20道燈謎，甲同學(xué)知曉其中16道燈謎的謎底，乙同學(xué)知

曉其中12道燈謎的謎底，兩名同學(xué)之間獨(dú)立競猜，假設(shè)猜對每道燈謎都是等可能的.

⑴任選一道燈謎，求甲和乙各自猜對的概率；

⑵任選一道燈謎，求甲和乙至少一人猜對的概率.

43

【答案】(1)甲猜對概率為不，乙猜對概率為三

(2)—

一25

【知識點(diǎn)】計(jì)算古典概型問題的概率、利用對立事件的概率公式求概率

【分析】(1)根據(jù)古典概型的知識求得正確答案.

（2）利用對立事件的知識求得正確答案.

【詳解】（1）甲猜對的概率為那=：,乙猜對的概率為會=］.

（4、（3、2

（2）甲乙都沒有猜對的概率為1--x1--=—,

所以甲和乙至少一人猜對的概率為I-卷2=言23?

16.（2024廣東）某校高三年級50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，根據(jù)他們的成績繪制了如圖所示的頻率分布直

（2）這50名學(xué)生成績的中位數(shù)（精確到0.1）；

⑶若分?jǐn)?shù)高于60分就能進(jìn)入復(fù)賽，從不能進(jìn)入復(fù)賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名，求兩人來自不同組的概率.

【答案】（1）3

（2）76.7

*

【知識點(diǎn)】由頻率分布直方圖估計(jì)中位數(shù)、補(bǔ)全頻率分布直方圖、計(jì)算古典概型問題的概率、由頻率分布

直方圖計(jì)算頻率、頻數(shù)、樣本容量、總體容量

【分析】（1）設(shè)分?jǐn)?shù)在［50,60）的頻率為x,根據(jù)頻率之和為1得到方程，求出分?jǐn)?shù)在［50,60）的學(xué)生人數(shù)；

（2）先得到中位數(shù)落在第四組，設(shè)中位數(shù)為心根據(jù)面積為0.5得到方程，求出答案；

（3）求出分?jǐn)?shù)在［40,50）的人數(shù)，再利用列舉法求出概率.

【詳解】（1）設(shè)分?jǐn)?shù)在150,60）的頻率為x,

由所有的矩形面積和為1可得：10x（（HXM+0.02+0.03+0.024）+0.16+x=l,

解得x=0.06,

故分?jǐn)?shù)在［50,60）的頻率為0.06,

故分?jǐn)?shù)在［50,60）的人數(shù)是50x0.06=3人，

（2）10x（0.004?0.006I0.02）=0.3<0.5,

10X（0.004+0.006+0.02+0.03）=0.6>0.5,故中位數(shù)落在第四組，

設(shè)中位數(shù)為X,則（x-70）x0.03=0.5-0.3,解得x=年。76.7,

則中位數(shù)為76.7.

（3）分?jǐn)?shù)在［40,50）的人數(shù)為0.004x10x50=2,記為4〃，

在［50,60）共有3人,記為c,d,e,

從分?jǐn)?shù)在［40,60）的5名學(xué)生任選2人的方法有：ab,ac,ad,ae,bc,bd.be,cd,ce,de,共10種，

兩人來自不同組的有ac,ad,ae,bc,bd.be共6種，

故兩人來自不同組的概率4=］

17.（2023黑龍江）立德中學(xué)籃球隊(duì)10名男籃運(yùn)動員身高數(shù)據(jù)如下：（單位：cm）

175178182182182184186189192195

⑴直接寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；

（2）如果從上表里身高超過185cm的運(yùn)動員中隨機(jī)抽取兩名運(yùn)動員，求這兩名運(yùn)動員身高都超過190cm的概

率.

【答案】⑴182,183；

畤

【知識點(diǎn)】計(jì)算幾個(gè)數(shù)的眾數(shù)、計(jì)算古典概型問題的概率、計(jì)算幾個(gè)數(shù)的中位數(shù)

【分析】（1）利用眾數(shù)、中位數(shù)的定義直接求解.

（2）求出身高超過185cm的運(yùn)動員數(shù)并編號，利用列舉法求出概率即得.

【詳解】（1）數(shù)據(jù)175,178,182,182,182,184,186,189,192,195中，

182現(xiàn)出次數(shù)最多，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是182；

這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是?；的=］§3.

（2）表里身高超過185cm的運(yùn)動員有4人，其中兩人身高低于190cm,記這兩人為。力，

另兩人身高超過190cm,記這兩人為C。，

從抽取出的4人中任取兩人，不同結(jié)果有：ab,aC,aD,bC,bD,CD,共6個(gè)，

其中身高都超過190cm的事件有CO,1個(gè)結(jié)果，

所以這兩名運(yùn)動員身高都超過190cm的概率是g.

O

18.（2023新疆）已知袋中有大小相同的紅球3個(gè)，黃球2個(gè)，從中任取兩個(gè)，求下列事件的概率：

⑴兩個(gè)都是紅球；

（2）一個(gè)黃球一個(gè)紅球；

【答案】⑴喧3

【知識點(diǎn)】計(jì)算古典概型問題的概率

【分析】（1）先列出所有的基本事件確定出基本事件的總數(shù)，然后可知“兩個(gè)都是紅球”對應(yīng)的基本事件數(shù)，

根據(jù)基本事件數(shù)量比求得結(jié)果；

（2）先確定“一個(gè)黃球一個(gè)紅球”對應(yīng)的基本事件數(shù)，然后根據(jù)基本事件數(shù)量比求得結(jié)果.

【詳解】（1）設(shè)袋中的3個(gè)紅球分別為％,%,6,2個(gè)黃球分別為生均,

則從中任取兩個(gè)的所有基本事件為：4%，4%，3,她，。必，她，。力2，2，。也，她，

共10個(gè)基本事件，記“摸到兩個(gè)球都是紅球〃為事件A,

事件A包含的基本事件有：a1a2,%a3M2a3，共3個(gè)基本事件，

所以2（4）=左

（2）記“摸到一個(gè)黃球一個(gè)紅球”為事件B,

事件8包含的基本事件有：仇,生偽,外打，4也,%打，共6個(gè)基本事件，

所以p⑻

19.（2024廣東）某校隨機(jī)抽取部分學(xué)生的體重為樣本繪制如圖所示的頻數(shù)分布直方圖（每組數(shù)據(jù)含最小

值，不含最大值），己知從左至右前四組的頻率依次為0.05,0,10,0.25,0.35,結(jié)合該圖提供的信息回答

下列問題：

,人數(shù)/人

AI_____________________A

o38434853586368體重/千克

⑴抽取的學(xué)生人數(shù)共有人，體重不低于58千克的學(xué)生有人；

（2）這部分學(xué)生體重的中位數(shù)落在第_____組；

⑶在這次抽樣測試中，第一組學(xué)生的體重分別記錄如下：40,40,41,42,43.如果要從這組學(xué)生中隨機(jī)

抽取2人，求被抽到的2人體重都不低于41千克的概率.

【答案】⑴100:25

（2）四

【知識點(diǎn)】由頻率分布直方圖估計(jì)中位數(shù)、計(jì)算古典概型問題的概率、由頻率分布直方圖計(jì)算頻率、頻數(shù)、

樣本容量、總體容量

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)求解；

(2)根據(jù)中位數(shù)的概念求解；

(3)按古典概型求解.

【詳解】解：⑴抽取的學(xué)生人數(shù)共有x人，貝0=0.05,求得工=100,

x

體重不低于58千克的學(xué)生有人數(shù)為：100(1-0.05-0.1-0.25-0.25)=25人；

⑵前四組的人數(shù)分別為5,100x0.1=10,100x0.25=25,100x0.35=35,

抽查的100個(gè)學(xué)生的體重從小到大進(jìn)行排序，排在第50位和51位的學(xué)生都落在第四組，這部分學(xué)生體

重的中位數(shù)落在第四組；

(3)解：根據(jù)題意知從這組學(xué)生中隨機(jī)抽取2人有(40,40),(40,41),(40,42),(40,43),(40,41),

(40,42),(40,43),(41,42),(41,43),(42,43)共10種情況，

被抽到的2人體重都不低于41千克有(41,42),(41,43),(42,43)共3種情況,/.所求事件的概率為尸=噂.

國考點(diǎn)二：頻率基本性質(zhì)

1.(2023上海)某射手在一次射擊中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別是0.2,0.3,0.1,則該射手在

一次射擊中不夠8環(huán)的概率為()

A.0B.0.3C.0.6D.0.4

【答案】D

【知識點(diǎn)】利用對立事件的概率公式求概率、確定所給事件的對立關(guān)系

【分析】由題意可知一次射擊中不夠8環(huán)與射中10環(huán)或9環(huán)或8環(huán)是對立事件，利用對立事件的概率公式

求解即可

【詳解】因?yàn)槟成涫值囊淮紊鋼糁?，射?0環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別為0.2,0.3,0.1.

所以在一次射擊中不夠8環(huán)的概率為1-0.2-0.3-0.1=0.4,

故選：D

2.(2023廣東)某人連續(xù)投籃兩次，則他至少投中一次的對立事件是()

A.至多投中一次B.兩次都投中

C.只投中一次D.兩次都沒投中

【答案】D

【知識點(diǎn)】寫出某事件的對立事件

【分析】根據(jù)對立事件的定義判斷.

【詳解】至少投中1次的反面是沒有一次投中，因此選項(xiàng)D正確.

故選：D.

3.（2021湖北）明明同學(xué)打靶時(shí)連續(xù)射擊三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）

A.三次均未中靶B.只有兩次中靶

C.只有一次中靶D.三次都中靶

【答案】A

【知識點(diǎn)】判斷所給事件是否是互斥關(guān)系

【分析】根據(jù)互斥事件的概念分析判斷.

【詳解】樣本空間為：”三次均未中靶"，”只有一次中靶〃，“只有兩次中靶”和“三次都中靶”，

事件“至少有一次中靶”包含"只有一次中靶”、”只有兩次中靶〃和“三次都中靶〃，

所以選項(xiàng)B、C、D中的事件與事件“至少有一次中靶〃不互斥，

事件“三次均未中靶〃與事件”至少有一次中靶”互斥，故A正確，B、C、D錯誤；

故選：A.

4.（2024福建）已知下雨的概率為0.8,則不下雨的概率為

【答案】0.2/（

【知識點(diǎn)】利用對立事件的概率公式求概率

【分析】根據(jù)對立事件的概率公式計(jì)算即可.

【詳解】由題意可知不下雨的概率為1-。8=0.2.

故答案為：0.2

國考點(diǎn)三：事件的相互獨(dú)立性

12

1.（2023廣西）甲、乙兩人在罰球線投球命中的概率分別是5與;.甲、乙兩人在罰球線各投球1次，

假設(shè)兩人投球是否命中互不影響，則甲、乙兩人投球都命中的概率為（）

1I1I

A.-B.-C.-D.-

3456

【答案】A

【知識點(diǎn)】獨(dú)立事件的乘法公式

【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式即可.

【詳解】根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式得甲、乙兩人投球都命中的概率為

4JJ

故選：A.

2.（2024福建）甲、乙兩人獨(dú)立破譯某個(gè)密碼，若每人成功破譯密碼的概率均為0.3,則密碼不被破譯的

概率為（）

A.0.09B.0.42C.0.49D.0.51

【答案】c

【知識點(diǎn)】獨(dú)立事件的乘法公式

【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)槊咳顺晒ζ谱g密碼的概率均為0.3,且甲、乙兩人獨(dú)立破譯某個(gè)密碼，

則密碼不被破譯的概率p=（1-0.3）x（1-0.3）=0.49.

故選：C

3.（2023北京）甲，乙兩人在罰球線進(jìn)行投籃比賽，甲的命中率為0.7,乙的命中率為0.8,甲、乙命中

與否互不影響.甲、乙兩人各投籃1次，那么“甲、乙兩人都命中”的概率為（）

A.0.08B.0.14C.0.24D.0.56

【答案】D

【知識點(diǎn)】獨(dú)立事件的乘法公式

【分析】根據(jù)題意，由相互獨(dú)立事件的概率公式求解.

【詳解】根據(jù)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式可知，

“甲、乙兩人都命中”的概率為〃=0.7x（）.8=0.56,

故選：D

4.（2023黑龍江）甲、乙兩名運(yùn)動員進(jìn)行一次射擊比賽，若甲中靶的概率為:，乙中靶的概率為:，甲乙

射擊互不影響，則兩人都中靶的概率為（）

I1c12

A.-B.-C.-D.-

6323

【答案】A

【知識點(diǎn)】獨(dú)立事件的乘法公式

【分析】根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)榧滓疑鋼艋ゲ挥绊?，所以兩人都中靶的概率?/p>

236

故選：A.

5.（2023江蘇）天氣預(yù)報(bào)元旦假期甲地降雨的概率為0.4,乙地降雨的概率為0.7,假定這段時(shí)間內(nèi)兩地

是否降雨相互獨(dú)立，則這段時(shí)間甲乙兩地至少有一個(gè)降雨的概率為（）

A.0.12B.0.42C.0.58D.0.82

【答案】D

【知識點(diǎn)】獨(dú)立事件的乘法公式、利用對立事件的概率公式求概率

【分析】根據(jù)題意，先求出兩地均不下雨的概率，在結(jié)合對立事件的概率公式，即可求解.

【詳解】由題意，甲地降雨的概率為0.4,乙地降雨的概率為0.7,且兩地是否降雨相互獨(dú)立，

所以甲乙兩地均不下雨的概率為。-0.4）（1-0.7）=0.18,

所以，這段時(shí)間甲乙兩地至少有個(gè)降雨的概率為2-1-0.18-0.82.

故選：D.

6.(2023浙江)甲、乙兩名射擊運(yùn)動員進(jìn)行射擊比賽，甲中靶的概率為孫乙中靶的概率為0.9,且兩人

是否中靶相互獨(dú)立.若甲、乙各射擊一次，恰有一人中靶的概率為0.26,則()

A.兩人都中靶的概率為0.63B.兩人都中靶的概率為0.70

C.兩人都中靶的概率為0.72D.兩人都中靶的概率為0.74

【答案】C

【知識點(diǎn)】獨(dú)立事件的乘法公式

【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式，先求得3然后求得正確答案.

【詳解】依題意xx(l-0.9)+(1-力0.9=。.9-0.8%=。.26,

解得x=0.8,

所以兩人都中靶的概率為0.8x0.9=0.72.

故選：C

7.(多選)(2024浙江)現(xiàn)有A,8兩個(gè)相同的箱子，其中均有除了顏色不同外其他均相同的紅白小球各

3個(gè)，先從兩個(gè)箱子中各取出一個(gè)小球，Jb,再將兩箱子混合后取出一個(gè)小球％事件M：“小球。為紅

色”，事件N：“小球人為白色〃，事件“小球。為紅色〃，則下列說法鐐誤的有()

A.M發(fā)生的概率為:B.M與N互斥

c.M與N相互獨(dú)立D.P發(fā)生的概率為g

【答案】ABD

【知識點(diǎn)】計(jì)算古典概型問題的概率、相互獨(dú)立事件與互斥事件

【分析】根據(jù)古典概型公式判斷A,根據(jù)互斥事件的定義判斷B,根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義判斷C,對于D,

分兩種情況討論，若取出顏色相同與顏色不同，分別計(jì)算出概率即可判斷.

【詳解】根據(jù)題意可得=故A錯誤；根據(jù)互斥事件的定義可知M與N不互斥，故B錯誤；

由題可得P(N)=g,P(MN)=￥|=!=P(M)RN),所以M與N相互獨(dú)立，故C正確；

26x64

對于D,事件。分為兩類：第一類，若先從兩個(gè)箱子取出顏色相同的小球，

3

1、顏色都為白球，則混合后袋中有白球4個(gè)，紅球6個(gè),取出紅球概率E；

2

2、顏色都為紅球，則混合后袋中有白球6個(gè)，紅球4個(gè)，取出紅球概率為:?

第二類，若先從兩個(gè)箱子顏色不同的小球，則混合后袋中有白球5個(gè)，紅球5個(gè)，取出紅球概率為:，故D不

對，

故選：ABD

8.（多選）（2024浙江）甲袋中有20個(gè)紅球，10個(gè)白球，乙袋中紅球、白球各有10個(gè)，兩袋中的球除

了顏色有差別外，再沒有其他差別，現(xiàn)在從兩袋中各取出1個(gè)球，下列結(jié)論正確的是（）

2

A.2個(gè)球都是紅球的概率為:

B.2個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為:

2

C.2個(gè)球不都是紅球的概率為彳

9

D.2個(gè)球都不是紅球的概率為1

【答案】BC

【知識點(diǎn)】利用對立事件的概率公式求概率、計(jì)算古典概型問題的概率、獨(dú)立事件的乘法公式

211——

【分析】設(shè)出事件，得到尸（4）=鼻，P（A）=-,A選項(xiàng)，P（A4）=P（A）P（4）=3B選項(xiàng)，求事件A4+A&

的概率即可；C選項(xiàng)，根據(jù)對立事件概率公式得到C正確；D選項(xiàng)，=

【詳解】記事件4：從甲袋中任取1個(gè)球?yàn)榧t球，事件從乙袋中任取1個(gè)球?yàn)榧t球，

21

則P（A）=§，尸（&）=5,

對于A選項(xiàng)，即求事件AA的概率，p（AA）=P（A）P（A）=g，所以A錯誤；

對于B選項(xiàng)，即求事件AA+^4的概率，

P（A4+A4）=P（A）尸（4）+尸（4）尸（4）=丁11-2+1-5;5=5.所以B正確，

對于c選項(xiàng)，由于“都是紅球”與“不都是紅球”互為對立事件，

12

所以概率為1-尸（442）=1-3=3,C正確；

對于D選項(xiàng)，即求事件4%的概率，P（4Q=H）x（l-所以D錯誤.

故選：BC.

9.（多選）（2024浙江）已知隨機(jī)事件A,4的概率都大于0口表示事件4的對立事件，則（）

A.當(dāng)P（A）+P（8）=1時(shí)，B=A

B.當(dāng)時(shí),P（A）＞P（B）

C.當(dāng)P（,8）=P（,）.P（8）時(shí)，A,8相互獨(dú)立

D.當(dāng)P（A8）＞0時(shí)，P（AB）＜P{B）

【答案】CD

【知識點(diǎn)】確定所給事件的包含關(guān)系、確定所給事件的對立關(guān)系、獨(dú)立事件的判斷

【分析】對于選項(xiàng)A,根據(jù)對立事件的定義，可以判斷A是錯誤的；

對于選項(xiàng)B,借助韋恩圖可以分析，B選項(xiàng)不一定成立；

對于選項(xiàng)C,根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義，可判斷C是正確的；

對于選項(xiàng)D,借助韋恩圖可以分析，D選項(xiàng)是成立.

【詳解】對于選項(xiàng)A,根據(jù)對立事件的定義，P（A）+P（力=1,又P（4）+P（砌=1,所以P（8）=P（a，概率

相等，不一定事件相等，故A錯誤；

對于選項(xiàng)B,如圖，陰影部分代表事件A,無法判斷RA）與P（B）的大小，故B錯誤：

對于選項(xiàng)C,因?yàn)槭?8）=P（由P（8）,所以瓦8相互獨(dú)立，因此A,4相互獨(dú)立，故C正確；

對于選項(xiàng)D,根據(jù)題意，得到如圖所示，陰影部分代表事件彳4，由圖可知，故D正確;

10.（2024湖南）某射擊運(yùn)動員在一天的射擊訓(xùn)練中射靶100次，訓(xùn)練成績統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示.

⑴請估計(jì)這名運(yùn)動員射擊成績的眾數(shù)；

⑵請估計(jì)這名運(yùn)動員射擊一次命中9環(huán)的概率；

⑶如果這名運(yùn)