專題突破練3解三角形

必備知識(shí)夯實(shí)練

1.（2024全國甲，文12）記△A8C的內(nèi)角的對邊分別為c已知B=60°，//互,則

4

sinA+sinC=（）

A.|B.V2

C.—D.—

22

2.（多選題）（2025重慶沙坪壩模擬）某興趣小組準(zhǔn)備對一座紀(jì)念碑的高度進(jìn)行測量,并繪制

出測量方案示意圖如圖/為紀(jì)念碑的最頂端方為紀(jì)念碑的基座出在4的正下方，即AB

，8C,ABJ_BQ）,在紀(jì)念碑所在廣場內(nèi)（與8在同一水平面內(nèi)）選取C,。兩點(diǎn)，測得8的長

為機(jī)興趣小組成員利用測角儀可測得的角有NAC氏NACDNBC。,ZADC,NAQ氏/

8DC,若已知〃z,NAC8,N3CR則下列各測量數(shù)據(jù)中，能計(jì)算出紀(jì)念碑高度A3的是（）

A.ZADBB.ZBDC

C.ZADCD.ZACD

3.（多選題）（2025浙江金華二模）已知△ABC的內(nèi)角A,8,C所對的邊分別為“仇c,滿足

次+層/色紋的其中以火是ZkAHC的面積，則下列條件能使3c成為銳角三角形的

是（）

A.A=-B.a=2,b=3

6

C.a=2,c=3D.b=3,c=2

4.（10分）（2023新高考H,17）記△ABC的內(nèi)角A,aC的對邊分別為a,瓦c,已知“3C面積

為心,D為BC的中點(diǎn)，且AD=1.乙一題多解）

（1）若求tanB;

3

⑵若〃+c2=8,求h,c.

5.（13分）（2025山東威海模擬）在ZkABC中，內(nèi)角48c所對的邊分別為c已知牛=

G-D

sinA+sinB

sinC,

⑴求A;

⑵已知M是邊8C上的點(diǎn)求28+c?的最小值.

6.（13分）（2025山東濟(jì)寧二模）在△ABC中，內(nèi)角4BC所對的邊分別為。力,c,且。（2-cos

B）=。（1+cosA）.

（1）證明:2〃=b+c;

⑵若“BC的面積為與c,證明:"BC為等邊三角形.

4

關(guān)鍵能力提升練

7.（13分）（2025江蘇蘇州模擬）在AABC中，內(nèi)角4,8,C所對的邊分別為a,b,c,已知（2a-

V3c）cosB=V3/?cosC.

（1）求角B的大小；

⑵若c=V5,a+/?=2,求△ABC的面積；

⑶若〃=2,且ZkABC為銳角三角形，求ZVWC的周長的取值范圍.

核心素養(yǎng)創(chuàng)新練

8.（多選題）（2025江蘇蘇北七市三模淀義:一個(gè)平面封閉區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)之間的距離的最

大值稱為該區(qū)域的“直徑”.在△居（7中,8C=1,8C邊上的高等于tanA,以08。的各邊為

直徑向△A8C外分別作三個(gè)半圓，記三個(gè)半圓圍成的平面區(qū)域?yàn)閃,其直徑為4見下列選

項(xiàng)正確的是（）

A.AB2+AC2=3

BZAOC面積的最大值為當(dāng)

4

C.當(dāng)NA8CJ時(shí)0二四■

22

D.d的最大值為"

答案：

1.C解析由得sinAsinC=-sin2i?=-,Xb2=a2^-c2-2accosB=a2+c2-ac=-ac,^[

4934

a2+c1=-ac^sin2A+sin2C=—sinAsin。=丫,則（sin4+sinC）2=sin2A+sin2C+2sinAsinC=-,

44124

所以sinA+sinC=壬故選C.

2.ABC解析由題意，因?yàn)榍?CTlBO=8,8Cu平面8co,8Ou平面

BCR所以48_L平面BCD對于A,在△ABC,A45O中，借助直角三角形用A8表示出

然后在△BC。中由余弦定理解三角形求得AB,故A正確;對于B,在△3CQ中，根據(jù)

m,NBCD,NBDC,可利用正弦定理求得BC,再根據(jù)tanNACB求得AB,故B正確;對于C,

由NAC8,/8CQ,借助直角三角形和余弦定理，用A8和CD表示出3c8QHCAD,然后

結(jié)合N40C在△ACO中利用余弦定理列方程，解方程求得A8,故C正確;對于D,根據(jù)加，

/ACB/BCD2ACD四不條件，無法通過解三角形求得43,故D錯(cuò)誤.故選ABC.

3.BC解析因?yàn)閍2

由余弦定理可得248cos。二印x那sinC,所以tanC=V5.因?yàn)镃￡（0,兀），所以。二/對于

A,當(dāng)4丹時(shí)乃三，此時(shí)△A8C是直角三角形，故A不符合題意;對于B,當(dāng)。二2/二3時(shí)，由余

62

弦定理可得c2=t72+/?2-2tzZ?cosC=4+9-2x2x3xcosH=7,所以c=V7,所以cosB=4+7~9_>（）,^f

32x2x77

以3為銳角，由b>c>a,所以8>C>4此時(shí)△A3C是銳角三角形，故B符合題意;對于C,當(dāng)

4=2,c=3時(shí)，由余弦定理可得9=b2+4-2x2x/?xcos；,解得〃=1+乃，所以cos

3

8=匕篝里>0,所以8為熨角，由人所以B>C>A,此時(shí)△ABC是銳角三角形，故C符

合題意;對于D,當(dāng)b=3,c=2時(shí)，由余弦定理可得4二標(biāo)十>2x3x”cu止即十5=0,由?

3

/=9-4x5<0,方程無實(shí)根，所以不存在△A8C,故D不符合題意.故選BC.

4.解（1）（方法一正弦定理十余弦定理）由題意可知故6/csinB=2\[3.

①

在“8Q中，有n

sinBsxnLADB

由NAOCt，得所以2=f,故csin②

33sinBsin—2

將②式代入①式，得。=4.

在"QB中,由余弦定理得=c?=4。2+必.24。.瓦比05拳即c2=l2+22-2xlx2x（-0=7,

得c=y/7.

在△八BD中,cosB=AB+BDAD=7Tl=-^=>0,故BQ（0,E）,則sin^=^|=,tanB=—.

2ABBD277X22夕，\、2）205

（方法二余弦定理）因?yàn)锳D為&ABC的中線，所以SMBC=2S^ADC=2X；X^X1xin^=

乙（so

—a=V3,ik。=4.

4

在AAOC中,由余弦定理知〃=12+22-2X1x2xcos-=3.

3

在AABD中,C2二A所=12+22-2X1X2XCOS—=7.

3

在NBC中,COS8上答=黑=*>0,故加（04），有sinfi=^,tan8咚

（2）（方法一）在△ABC中，由方=-AB+-AC^\AD\2=-\AB+前|三工（|南/+|照F+2而?

2244

AC）.

由余弦定理得2四,前二1同產(chǎn)+|前臼前|2.

故|而F，（2|四產(chǎn)+21前|2?|麗F）,

4

即4。2=與按+/）42,得〃=26.

24

11

由SAA8c=?csinA和b2+c2-a2=2bccosA,得S”8c=1^十廿-白方匕。A,

得tanA二-V5<0,故AE（］，n），有^=~~-

又因?yàn)镾UBC二/csinA,所以/?c=4.

由b2+c2=S和板=4,得b=c=2.

（方法二幾何法）過點(diǎn)A作A〃_L8C交3C于點(diǎn)〃（圖略）.

在△ABC/kABO中,由余弦定理得cos■‘+//='）+c"：

2acac

解得/=2（序+（?）4

將b2+c2=S代入a2=2(b2+c2)-4中得a=2\/3.

S^ABC=^BCAH=^X2V5A“=V5,貝I」AH=\.

又因?yàn)锳D=1,所以點(diǎn)“與點(diǎn)。重合，

即AD為邊8c的中垂線，所以b=c=^AD2+停了=A/TT3=2.

5.解(1)因?yàn)槿A=碼上等所以筆=空即屬+上標(biāo)二兒,可得8$八=咚等=當(dāng)W，

a-bsinCa-bc2bc2bc2

因?yàn)?<4<兀,所以A片.

(2)由S^ABC=S^ABM+S^ACM可得如、，=1c-V3+V3?

即股=2c+4可得？+工=1,

bc

所以2人+c=(2力+c)(；+-)=4+^+-+1與9,

DcbC

當(dāng)且僅當(dāng)b=c=3時(shí)，等號(hào)成立，

所以乃+c的最小值為9.

6.證明⑴由正弦定理得sinA(2-cosB)=sinB(1+cosA),

即2sinA-sinAcosB=sinB+sinBcosA,

所以2sinA=sinB+sinAcosB+cosAsinB、

所以2sinA=s\n8+sin(A+8),

所以2sinA=sinB+sinC,由正弦定理得2a=b+c.

⑵因?yàn)??sinA所以sinA￥，因?yàn)?〃=/?+c,所以易知A為銳角，所以A=?.由余弦

2423

定理得a'/^+d-Zbccos4=從+。2_%，又代入化笥得/;二g所以〃二6=。，所以AABC

2

為等邊三角形.

7.解⑴：(2〃-BC)COSB=\j3bcosC,

由正弦定理可得(2sinA-V3sinC)cosB=V3sinBcosC,

/.2sinAcosB=V3(sinBcosC+cosBsinC)=V3sin(B+O=V3sinA,

???A￡(0m,則sin>4>0,AcosB號(hào)又Be(0,7t),/.B=7.

26

(2)：c=V5,a+Z?=2,由余弦定理b*2=a2+c2-2accosB,得a2+3-2axV3xy=/?2,/.tz2+3-

3"=(2-〃)2,解得a=\,.\S^ABC=-acsinB=-x1xV3xi=—.

2224

⑶在"8C中,由正弦定理高=焉=高，得扁=|匕+c

sin(i4+1).sinS+「

.l+2sin(71+-)

??b+c=.人

l+2(^sin/l+^cos7l)

sin/1

百sin4+l+cos4_+1+cos/l

sin/lsin4

域+三2=唐+士.

又△ABC為銳角三角形，

Ay；ZBIT4nTC>1nV3,A1

nTT解傳一<八<一,二—<—<—一<tan—<1,

0<7T->l--<-,32，624，32

62'

???1喻