專題06一元二次方程

考點（）1一元二次方程的解法一一配方法

1.（2024.山東東營,中考真題）用配方法解一元二次方程/一2二-2023=0時，將它轉化為（1+編？=人的形

式，則的值為（）

A.-2024B.2024C.-1D.1

【答案】D

【分析】本題主要考杳了配方法解一元二次方程.熟練掌樨配方法步驟，是解出本潁的關鍵.

用配方法把12一21-2023=0移項，配方，化為（3-1『=2（）24,即可.

【詳解】解：??*-2%-2023=0,

移項得，d-2x=2023，

配方得，d-2.1+1=2023+1,

即（x-if=2024,

=A=2024,

（7）的=]

故選：D.

2.（2023?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）用配方法解方程/一41-1=0時，配方后正確的是（）

A.（X+2）2=3B.（x+2）2=17C.（x-2）2=5D.（x-2）2=17

【答案】C

【分析】根據(jù)配方法，先將常數(shù)項移到右邊，然后兩邊同時加上4,即可求解.

【詳解】解:X2-4X-1=0

移項得，x2-4.r=I

兩邊同時加上4,BPX2-4X+4=5

???（X-2）2=5,

故選：c.

【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題的關鍵.

3.(2023?湖北荊州?中考真題)已知關于x的一元二次方程依2T2k+4卜+攵-6=0有兩個不相等的實數(shù)根.

(1)求人的取值范圍；

(2)當攵=1時，用配方法解方程.

【答案】(1)&>一：且**()

(2)x,=3+Vl4,^=3-714

【分析】(1)根據(jù)題意，可得(象+4)2-〃(2-6)>0,注意一元二次方程的系數(shù)問題，即可解答,

(2)將女=1代入^利用配方法解方程即可.

k豐0

【詳解】(1〉解；依題意得：人e人24力C皿匕八，

△=(22+4)-4k(左一6)=40攵+16>0

2

解行Z>—不且A工0；

(2)解：當k=l時，原方程變?yōu)椋簒2-6.r-5=0，

則行：x2-6x+9=5+9,

/.(x-3)2=14,

.?.A-3=±V14*

，方程的根為％=3+715,%2=3-V14.

【點睛】本題考查了根據(jù)根的情況判斷參數(shù)，用配方法解一元二次方程，熟練利用配方法解一元二次方程

是解題的關鍵.

4.(2023?新疆?中考真題)用配方法解一元二次方程f—6x+8=0,配方后得到的方程是()

A.(r+6)2=28R.(r-6)2=2?C.(r+3)2=lD.(r-3)2=1

【答案】D

【分析】方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方即(gj計算即可.

【詳解】???/一6%+8=0，

“_6x+8+《j=(若

/.X12-6X+(-3)2=9-8,

2

???(X-3)=I,

故選D.

【點睛】本題考查了配方法，熟練掌握配方法的基本步驟是解題的關鍵.

考點02判斷一元二次方程根的情況

1.(2()25.廣東?中考真題)不解方程，判斷一元二次方程2/的根的情況是—.

【答案】有兩個不相等的實數(shù)根

【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式，利用一元二次方程的根的判別式判斷根的情況是解題的

關鍵.先計弟?元:次方程的根的判別式△="-Wc，得出A,。，即可得到結論

【詳解】解：???一元二次方程2f+x_1=0，

d=2?b=\,c=—\,

AA=Z?2-467(?=12-4X2X(-1)=9>0,

???方程+x-l=0有兩個不相筆的實數(shù)根.

故答案為：有兩個不相等的實數(shù)根.

2.(2025?安徽?中考真題)下列方程中，有兩個不相等的實數(shù)根的是()

A.x2+l=0B.x2-2x+l=0

C.x24-x+l=0D.x2+x-l=0

【答案】D

【分析】解題思路為利用一元二次方程根的判別式A=〃—4ac，分別計算四個選項方程的/值，根據(jù)/與0

的大小關系判斷根的情況.本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握根的判別式△=〃-4祀及

根據(jù)」判斷根的情況是解題的關鍵.

【詳解】解：選項A：x2+1=0

a=l,b=0,c=\>

A=02-4xlxl=^<0,無實數(shù)根，不符合題意；

選項B：x2-2x+l=0

。=1,b=~2fc=1>

A=(-2)2-4xlxl=4-4=0,有兩個相等的實數(shù)根，不符合題意；

選項C：X2+JT+I=0

a=\,b=l,c=l?

A=l2-4xlxl=l-4=-3<0,無實數(shù)根，不符合題意；

選項D：X24-X-1=0

a=1?b=\，c=-l,

A=l2-4xlx（-|）=l+4=5>0,有兩個不相等的實數(shù)根，符合題意；

故選：D.

3.：2024?山東濰坊?中考真題）已知關于x的一元二次方程x2-〃達_/+〃〃?+]=0,其中〃?，〃滿足〃?一2〃=3,

關于該方程根的情況，下列判斷正確的是（）

A.無實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.有兩個不相等的實數(shù)根D.無法確定

【答案】C

【分析】本題本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程加+云+。=（）卜-0）,若

△=〃_4ac>0,則方程有兩個不相等的實數(shù)根，若△=〃2一4枇=0,則方程有兩個相等的實數(shù)根，若

△=加一4訛<0,則方程沒有實數(shù)根，據(jù)此先求出帆=2〃+3,再求出△=（-機）2-4（-/+加〃+]）的符號即

可得到結論.

【詳解】解：???，〃-2〃=3,

m=2〃+3,

:.A=（一"?）~-4（-〃2+nm+1）

=切？+4n'-4mn-4，

=（2〃+3）~+4/J-4n（2n+3）-4

=4〃2+12/2+9+4〃2一即/-12/7-4

=5>0,

???原方程有兩個不相等的實數(shù)根，

故選：C.

4.（2024?上海?中考真題）以下一元二次方程有兩個相等實數(shù)根的是（）

A.x2-6x=0B.x2-9=0

C.x2-6A+6=0D.x2-6^+9=0

【答案】D

【分析】本題考查了一元二次方程判別式判斷根的情況，解答本題的關鍵是熟練掌握一元二次方程

加+云+。=0卜20),當△="一4a>0時，方程有兩個不相等實數(shù)根；當△=從一4*=0時，方程的兩個

相等的實數(shù)根；當△=6-4。。<0時，方程沒有實數(shù)根.分別計算出各選項中的根的判別式的值，即可判斷.

【詳解】解：A.A=(-6)2-4xlx0=36>0,該方程有兩個不相等實數(shù)根，故A選項不符合題意：

B.A=02-4xlx(-9)=36>0,該方程有兩個不相等實數(shù)根，故B選項不符合題意；

C.A=(-6)2-4xlx6=12>0,該方程有兩個不相等實數(shù)根，故C選項不符合題意；

D.△=(-6)2-4x1x9=。,該方程有兩個相等實數(shù)根，故D選項不符合題意；

故選：D.

5.(2024?四川遂寧?中考真題)已知關于x的一元二次方程/-(〃?+2)4+m—1=0.

(1)求證：無論，〃取何俏，方程都有兩個不相等的實數(shù)根：

(2)如果方程的兩個實數(shù)根為王,占，且與與=9,求〃?的值.

【答案】(1)證明見解析；

⑵％=1或5=-2.

【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關系，解一元二次方程，掌握一元二次方

程根的判別式是解胭的關鍵.

(1)根據(jù)根的判別式證明△>()恒成立即可；

(2)由題意可得，%+々=m+2,=^-1,進行變形后代入即可求解.

【詳解】(1)證明：A=[-G〃+2)]2-dxlxG"1)3/+8,

???無論加取何值，機?+8>0，恒成立，

???無論加取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根.

(2)解：???3/2是方程丁一(m+2)戈+〃1=0的兩個實數(shù)根，

:.%+/=m+2,x,-x2=in-1,

工;+x1-xxx2=(玉+/)一3百工2=(〃?+2)2-3(w-l)=9,

解得：叫=1或呵=一2.

6.(2024?四川自貢?中考真題)關于x的一元二次方程/+區(qū)一2=()的根的情況是()

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.只有一個實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

【答案】A

【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式，熟知一元二次方程/+云+c=O(awO)中，當△>()時，

方程有兩個不相等的實數(shù)根是解題的關鍵.根據(jù)一元二次方程根的判別式解答即可.

【詳解】解：，.，△=V-4xlx(-2)=^+8>0,

方程有兩個不相等的實數(shù)根.

故選：A.

7.(2023?四川廣安?中考真題)已知mb,c為常數(shù)，點P(〃,c)在第四象限，則關于x的一元二次方程

ax12+bx+c=0的根的情況為()

A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.沒有實數(shù)根D.無法判定

【答案】B

【分析】根據(jù)點PQc)在第四象限得。>0工<0,川得acvO,則方程o?+辰+°=。的判別式

A=/?2-4?c>0?即可得.

【詳解】解：???點P(a,c)在第四象限,

/.</>0,c<0,

ac<0,

???方程公2+加+。=0的判另式△=〃-4ac>0，

???方程有兩個不相等的實數(shù)根，

故選：B.

【點睛】本題考查了點坐標的特征，根的判別式，解題的關鍵是掌握這些知識點.

考點03由根的情況求參數(shù)

1.(2025?四川廣安?中考真題)已知方程f—5x—24=0的兩根分別為〃和〃，則代數(shù)式片—船+力的值

為.

【答案】29

【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，根據(jù)方程f-5、-24=0的兩根分別為。和6,可得：

a+b=5,〃2_5〃=24,把/—40+〃整理可得：a2-4a+b=(a2-5a)+(a+b),再利用整體代入法求值即

可.

【詳解】解：?.?方程/一5工一24=0的兩根分另IJ為。和〃，

:.a+b=5,/一5〃-24=0,

/.cr-5a=24,

a2-4a+b

=a2-5a+a+b

=（/-5a）+（a+b）

=24+5

=29.

故答案為：29.

2.（2025?青海?中考真題）若x=l是一元二次方程V—4x+c=0的一個根，則。的值為.

【答案】3

【分析】此題考杳了一元二次方程的解，把x=l代入方程即可求解，熟練掌握一元二次方程的解是解題的

關鍵.

【詳解】解：將x=l代入原方程x2-4x+c=0得：I2-4xl+c=0?

解得：c=3,

故答案為：3.

3.（2025?四川瀘州?中考真題）若一元二次方程2『—6x-1=0的兩根為。，夕，則2a?-3a+3夕的值

為.

【答案】10

【分析】本題考查了一元二次方程的解，一元二次方程根與系數(shù)的關系，解題的關鍵是掌握如果一元二次

、bc

方程OV?+力X+C=0的兩根為，K2，則%+電=--,X]X,=一.

a'a

先根據(jù)題意得到2a2_6a—l=0,。+￡=-曰=3,貝IJ將2M-3。+34變形為2/—6々+3（。+4），即可求

解.

【詳解】解：???一元二次方程2f_6x-1=0的兩根為圖-，

**?2a2-6a-1=0，a+0=-胃=3,

*'?la2-6a=1?

???2<z2-3a+3/?=2?2-6a+3a+3/?=2?2-6?+3（?+/?）=1+3x3=10,

故答案為：10.

4.（2025?甘肅蘭州?中考真題）若關于x的一元二次方程f+21+。=0有兩個不相等的實數(shù)根，則。的值

可以是（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】D

【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式，當判別式大于。時，方程有兩個不相等的實數(shù)根.將方程化為標

準形式后，計算判別式并解不等式即可確定。的取值范圍.熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關

鍵.

【詳解】解:對于方程x2+2x+a=0,其判別式為

A=Z?2-4ac=2~-41。=4-4。，

???方程有兩個不相等的實數(shù)根，

???△＞（）,

即4-4〃＞0,

解得4＜1.

故選：D.

5.（2025?北京?中考真題）若關于x的一元二次方程o^+2x+l=0有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)。的值為

（）

A.-4B.-1C.1D.4

【答案】C

【分析】本題考查根的判別式，根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根，得到△=（），進行求解即可.

【詳解】解：由題意，得：△=2；-4a=0，

解得：4=1；

故選C.

6.（2025?上海?中考真題）已知關丁工的一元二次方程2『十X-/"=0沒有實數(shù)根，則小的取值范圍是.

【答案】

O

【分析】本題考查根的判別式，根據(jù)方程沒有實數(shù)根，得到△＜（）,進行求解即可.熟練掌握杈的判別式與

根的個數(shù)之間的關系，是解題的關鍵.

【詳解】解：由題意，得：△=/-4x2?（—利）＜0,

解得：“，<-q;

o

故答案為：me-；.

o

7.（2025?四川內(nèi)江?中考真題）若關于x的一元二次方程（a-l）/+2x+1=0有實數(shù)根，則實數(shù)〃的取值范

圍是（）

A.a<2B.a<2C.且awlD."2且awl

【答案】C

【分析】本題考查了一元二次方程.2+灰+。=。（a。。，ab,c為常數(shù)）的根的判別式△=從-4砒，根據(jù)

一元二次方程根的判別式進行判斷即可求解.當A>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=（）時，方程有

兩個相等的實數(shù)根；當4<0時，方程沒有實數(shù)根.根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式求解.首先確保

二次項系數(shù)不為零，再計算判別式并使其非負.

【詳解】解；???美于工的一元二次方程（al）fi2x"=0有實數(shù)根，

，一?次項系數(shù)。一1H（）,即awl.

△=2?—l=4-4（a-l）=8-4a.令A20,即8—船20，

解得a42.

，a?2且aH1

故選：C.

8.（2025?四川成都?中考真題）從-1,1,2這三個數(shù)中任取兩個數(shù)分別作為m8的值，則關于x的一元

二次方程ad+公'+1=0有實數(shù)根的概率為.

【答案】1/0.5

【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，樹狀圖法或列表法求解概率，根據(jù)判別式和一元二次

方程的定義可得］一"NO,則從之4〃且。工0,再列出表格得到所有等可能性的結果數(shù)，接著找到

a豐0

從之4a且。工0的結果數(shù)，最后依據(jù)概率計算公式求解即可.

【詳解】解：???關于x的一元二次方程欠2+云+1=0有實數(shù)根，

*A=Z?2-4?>0

??*，

a工0

，/24a且。W0.

列表如下:

ab-112

-1（T，l）（T，2）

1(2)（L2）

2（21）(2.1)

由表格可知，一共有6種等可能性的結果數(shù)，其中滿足從24。且〃工0的結果數(shù)有（L-1）,（2,-1）,（2J）,

共3種,

???關于x的一元二次方程?+法+1=0有實數(shù)根的概率為=3=不1

62

故答案為：y.

9.（2024?江蘇宿遷?中考真題）規(guī)定：對于任意實數(shù)a、b、c,有【&b】^c=ac+b,其中等式右面是通

常的乘法和加法運算，如【2,3]★l=2xl+3=5.若關于x的方程1"+1】★（如）=0有兩個不相等的實數(shù)

根，則/〃的取值范圍為（）

A.m<-B.m>—C.〃？>,且〃7HoD.且〃7/0

4444

【答案】D

【分析】此題考查了一元二次方程的定義和根的判別式，根據(jù)題意得至打我2十/十1=0,再由有兩個不相等

的實數(shù)根得到△=12-4x〃?xl>0，且加=0,即可得到答案.

【詳解】解：V[x,x+l]★（/nr）=0,【〃，bl★c=ac+b

x/nr+x+l=0,即〃a2+4+1=0，

???關于x的方程[x,x+l]★（〃回=0有兩個不相等的實數(shù)根，

***A=12-4x/??x1>0>H0,

解得，〃<L且〃?w0,

4

故選：D.

10.（2024?廣東廣州.中考真題）關于x的方程丁-2.1+4-/〃=0有兩個不等的實數(shù)根.

（1）求加的取值范圍；

I-rn2tn-1m-3

（2）叱簡:

|一312rn+1

【答案】(1)加>3

(2)-2

【分析1本題考查的是一元二次方程根的判別式，分式的混合運算，掌握相應的基礎知識是解本題的關鍵;

(1)根據(jù)一元二次方程根的判別式建立不等式解題即可；

(2)根據(jù)(1)的結論化簡絕對值，再計算分式的乘除混合運算即可.

【詳解】(1)解：???關于x的方程f-2x+4-〃?=0有兩個不等的實數(shù)根.

???A=(-2)12-4X1X(4-/M)>0,

解得：機>3；

(2)解：Vm>3,

.1-w2m-\rn-3

Iw-312m+\

〃切-

=-_-(--?-+-l-)-(-----1)--2--t-n---3-

HI-3in—1，〃+1

=-2;

考點04根與系數(shù)的關系

1.(2025?四川眉山?中考真題)已知方程/一2工-5=0的兩根分別為/，則(司+。(9+1)的值為.

【答案】-2

【分析】本題考查根與系數(shù)之間的關系，熟練掌握根與系數(shù)之間的關系，是解題的關鍵.根據(jù)根與系數(shù)之

間的關系，得到王+9=2,%%2=-5,將代數(shù)式用多項式乘以多項式的法則展開后，利用整體代入法進行求

解即可.

【詳解】解.：由題意，得：王+&=23%=-5,

/.(%+l)(x2+l)=x1x,+x1+x2+1

=-5+2+1

=-2；

故答案為：-2.

2.(2025?四川南充?中考真題)設3，々是關于"的方程(xT)(x-2)=〃的兩根.

(1)當％=-1時，求它及〃?的值.

(2)求證：(x,-1)(^-1)^0.

【答案】（1）42=4,加=±6；

（2）詳見解析.

【分析】本題主要考查了根據(jù)一元二次方程的根的判別式判斷一元二次方程的根的情況，一元二次方程根

與系數(shù)的關系，解?元二次方程，方程的解，正確理解一元二次方程翻2+云+。=。（。工0）根的判別式

^=b2-4ac,當△>（）時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=（）時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當A<0時,

方程沒有實數(shù)根；熟記：一元二次方程加+6+。=0（。工。）的兩個根為七，七，則芭+電二-^，是

解題的關犍.

（1）把％=-1代入方程求出4=6,然后再解一元二次方程即可；

（2）利用根的判別式，根與系數(shù)的關系求解即可.

【詳解】（1）解：把苔=-1代入方程"一1）（工一2）=>得加2=6，

m=土瓜?

/.（x-l）（x-2）=6,1!|Jx2-3x-4=0-

解方程得，玉=-1,超=4,

收工2=4,in=±x/6;

（2）證明：方程（工一1）（工-2）=初'可化為.12-34+2-裙=0，

VA=W+l>0,

???原方程有兩個不相同實數(shù)根，

由根與系數(shù)的關系得百=3,再9=2-62,

22

,/（.^-l）（x2-l）=jf1x2-（x1+x2）4-l=2-7?2-34-l=-/n,

??f<0?

（玉-1）（毛—1）^0.

3.（2025?黑龍江綏化?中考真題）已知機，〃是關于x的一元二次方程f—2025x+l=0的兩個根，則

W+i）（〃+i）=.

【答案】2027

【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關系以及代數(shù)式求值，先求出根與系數(shù)的關系，將代數(shù)式變形

后代人計算即可.

【詳解】解：1”,〃是關于X的一元二次方程f-2025x+l=0的兩個根，

-20251,

/.m+〃=---j——=2025,mn=y=l,

「.（，〃+1）（〃+1）=，〃+〃+"幽+1=2025+1+1=2027,

故答案為：2027.

4.（2024.青海西寧?中考真題）已知方程丁+2工一1=0的兩根分別為。和。，貝IJ4C/+8曲+46的值為.

【答案】16

【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，若為，公為方程辦2+6?+。=0但工0）的兩個根，則為，

hC

聲與系數(shù)的關系式：%+占二一一，占?￡=一.

a'a

根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，得到。+8=-2,化簡所求代數(shù)式，代入即可得到結果.

【詳解】解：???方程f+2x—1=0的兩根分別為。和。，

??（1+b=-2,

4a2+Sab+4b2

=4（/+2cib+b~^

=4（^+Z?）2

=4x（-2）2

=16.

故答案為：16.

5.（2024.山東日照?中考真題）已知，實數(shù)%,9（西工W）是關于x的方程區(qū)?+2履+1=0（攵工0）的兩個根，

11C

若一+—=2,則々的值為（）

,0x?

A.1B.—1C.D.——

【答案】B

【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，對于一元二次方程?2+/"+c=0（aN0）,若勺々

是該方程的兩個實數(shù)根，則%+七=-幺中?=￡,據(jù)此得到％十七=一2小±=；,再由‘+'=2得到

aak%占

-2K=2,據(jù)此可得答案.

【詳解】解：?.?小電是關于X的?元二次方程收+2履+1=0（〃/0）的兩個根,

C1

..A)+X,=-2,工/>=—.

K

,"=2,

...%+3=2

中2

.-.T=2

~k

:.-2k=2,

解得A=T，

經(jīng)檢驗，攵=-1是原分式方程的解，

故選:B.

6.（2024?四川巴中?中考真題）已知方程/-2》+々=0的一個根為-2,則方程的另一個根為.

【答案】4

【分析】本題主要考查了?元二次方程的根與系數(shù)的關系.設方程的另?個根為〃?，根據(jù)兩根之和等于-

a

即可得出關于〃?的一元一次方程，解之即可得出結論.

【詳解】解：設方程的另一個根為〃?，

???方程d—2x+攵=0有一個根為-2,

?'?-2+m-2,

解得：“7=4.

故答案為:4.

7.（2024?黑龍江綏化?中考真題）小影與小冬一起寫作業(yè)，在解一道一元二次方程時，小影在化簡過程中

寫錯了常數(shù)項，因而得到方程的兩個根是6和1；小冬在化簡過程中寫錯了一次項的系數(shù)，因而得到方程的

兩個根是-2和-5.則原來的方程是（）

A.<+6x+5=0B.x2-7.r+10=0

C..r-5x+2=0D.X2-6X-10=0

【答案】B

【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，根據(jù)題意得出原方程中石+9=7,A,X2=I0,逐項分

析判斷，即可求解.

【詳解】解：???小影在化簡過程中寫錯了常數(shù)項，得到方程的兩個根是6和1；

+%2=6+1=7,

又?,?小冬寫錯了一次項的系數(shù)，因而得到方程的兩個根是-2和-5.

:,工吊=10

A.W+6x+5=0中，x,+x2=-6,X]X2=5,故該選項不符合題意；

B./一7%+10=0中，X,+X2=7,Xix2=\0,故該選項符合題意；

C.丁_5%+2=0中，x,+x,=5,A,X2=2,故該選項不符合題意；

D.丁-6%-10=0中，%+%=6,x.x2=-10,故該選項不符合題意；

故選：B.

8.(2023?浙江紹興?中考直撅)已知關干x的方程f+3x+〃=0的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于3,R關干工的

方程("l*+3x-勿=0有實數(shù)版.當后為正整數(shù)時，求不等式:產(chǎn)；￡；〈一1的解.

K13K1U

【答案】=3或xv-2；

43

【分析】本題綜合考查了根的判別式和根與系數(shù)的關系，分式有意義、解一元二次方程等知識點，在解方

程時一定要注意所求出的值與方程判別式的關系.要注意該方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程.

由于關于x的方程f+3x+a=0的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于3,利用根與系數(shù)的關系可以得到關于。的方程

求出“，又由于關于x的方程(kT)f+3x-2a=()有實數(shù)根，分兩種情況討論，該方程可能是?次方程、有

可能是一元二次方程，又攵為正整數(shù)，利用判別式可以求出上最后代入所求代數(shù)式計算即可求解.

【詳解】解.：設方程/+3]+。=0的兩個根為王,%2，

A=9-4"20

由條件知'+'=上上豆=3,即H=3且。4六，

K]x2X)x2a4

故〃=-1.

則方程(攵-1)/+3%-2。=。為伏-1)/+31+2=0.

當々-1=0,即左=1時，關于x的方程伐-1)一+3工-2。=0為3x+2=0有實數(shù)根,

不等式黑舒＜T即為四/

WJ12X2-X-6>0,

32

.x>—或XV——

43

當1工0時,A=9-8a-l)=17-8^>0,

%*

又?,?2是正整數(shù),且JhO,

.■/=2,但使不等式一」：＜—1的分母公+34—10=0無意義.

公+310

綜上，不等」的解為:或彳＜一￡

k2+3k-\043

9.（2023?湖北襄陽?中考真題）關于x的一元二次方程/+21+3-%=（）有兩個不相等的實數(shù)根.

（1）求k的取值范圍;

（2）若方程的兩個根為。，P，且產(chǎn)=3+3%,求人的值.

【答案】（1））＞2

⑵攵=3

【分析】（1）根據(jù)一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，得出/一根。〉。，把字母和數(shù)代入求出上的取值

范圍;

（2）根據(jù)兩根之積為：把字母和數(shù)代入求出化的值.

a

【詳解】（1）解：b2-4ac=22-4xlx（3-k）=-8+4k,

???有兩個不相等的實數(shù),

T+4Q0,

解得:k＞2；

（2）???方程的兩個根為a,。，

??.尸=3—左+3%,

解得：匕=3,七=-1（舍去）.

即：k=3.

【點睛】本題主要考查根與系數(shù)的關系、根的判別式，解題的關鍵是掌握王，修是方程公?+取+c=0的兩

bc

根時，-V|+x=----，Xy-x,=—.

2a*a

考點05一元二次方程的實際應用

1.(2023?浙江衢州?中考真題)某人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有36人患了流感.設每一輪傳染中平均

每人傳染了工人，則可得到方程()

A.x+(l+文)=36B.2(l+x)=36C.l+x+x(l+x)=36D.\+x+x2=36

【答案】C

【分析】患流感的人把病毒傳染給別人，自己仍然患病，包括在總數(shù)中.設每一輪傳染中平均每人傳染了％

人，則第一輪傳染了x個人，第二輪作為傳染源的是(x+1)人，則傳染Mx+D人，依題意列方程：

l+x+x(l+x)=36.

【詳解】由題意得：1+X+M1+幻=36,

故詵：C.

【點睛】本題考查的是根據(jù)實際問題列一元二次方程.找到關鋌描述語，找到等量關系準確地列出方程是

解決問題的關鍵.

2.(2025?黑龍江?中考真題)隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車已經(jīng)逐漸成為人們喜愛

的交通工具.某品牌新能源汽車的月銷售量由一月份的8000輛增加到三月份的12000輛，設該汽車一月至

三月銷售量平均每月增長率為x，則可列方程為()

A.8(XX)(1+2.r)=12(X)B.8000(1+x)2=12000

C.8000+8000(1+x)+8OOO(1+X)2=I2000D.8(XX)x2(l+x)=l2(X)0

【答案】B

【分析】本題考查平均增長率問題，屬于一元二次方程的應用.已知一月份銷量為8000輛，三月，分增至12000

輛，需建立平均每月增長率”的方程.根據(jù)連續(xù)增長模型，每月銷量為前一個月的(1+力倍，故三月份銷量

為8(XX)(l+x)?,據(jù)此列方程即可.

【詳解】設每月增長率為x,則二月份銷最為8000(1+司，三月份銷最為二月份的(l+x)倍，即8OOO(1+X)2.

根據(jù)題意，三月份銷量為12(XX)輛，“J■得方程為：8000(1+x)2=12000.

故選B.

3.(2025?重慶?中考真題)某景區(qū)2022年接待游客25萬人，經(jīng)過兩年加大旅游開發(fā)力度，該景區(qū)2024年

接待游客達到36萬人，那么該景區(qū)這兩年接待游客的年平均增長率為()

A.10%B.20%C.22%D.44%

【答案】B

【分析】本題考查了一元二次方程的應用，設該景區(qū)這兩年接待游客的年平均增長率為芭利用該景區(qū)2024

年接待游客人次數(shù)=該景區(qū)2022年接待游客人次數(shù)M1+該景區(qū)這兩年接待游客的年平均增長系『，可列出

關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論.找準等量關系，正確列出一元二次方程

是解題的關鍵.

【詳解】解：設年平均增長率為工，

可得方程25。+x>=36,

解得x=0.2或X=一2.2（舍去負值），

所以該景區(qū)這兩年接待游客的年平均增長率為20%,

故選：B

4.（2025?福建?中考真題）為加強勞動教育，增加學生實踐機會，某校擬用總長為5米的籬笆，在兩邊都

足夠長的直角圍墻的一角，圍出一塊6平方米的矩形菜地作為實踐基地，如圖所示.設矩形的一邊長為x

C.x(5-x)=6D.5(1+x)2=6

【答案】C

【分析】本題考杳一元二次方程的實際應用，先用x表示出矩形的另一條邊長，利用矩形的面積公式，列

出方程即可.

【詳解】解：設矩形的一邊長為）米，則另一邊長為（5-司米，由題意，得：

x（5-x）=6；

故選：C.

5.（2025?山東威海?中考真題）如圖，某校有一塊長20m、寬14m的矩形種植園.為了方便耕作管理，在

種植園的四周和內(nèi)部修建安度相同的小路（圖中陰影部分）.小路把種植園分成面積均為24nl2的9個矩形

地塊，請你求出小路的寬度.

<20m>|

Boon

口口口產(chǎn)

loaali

【答案】

【分析】本題主要考查了?元二次方程的實際應用，設小路的寬度為根據(jù)題意可知種植園的面枳等于

一個長為（20-4x）m,寬為（14-4x）m的矩形面積，據(jù)此建立方程求解即可.

【詳解】解：設小路的寬度為加，

由題意得,（20-4^）（14-4x）=24x9,

整理得2W-17X+8=0，

加《得x=!或不一8（含去），

答：小路的寬度為gm.

6.（2025?山東威海?中考真題）如圖，小明同學將正方形硬紙板沿實線剪開，得到一個立方體的表面展開

圖.若正方形硬紙板的邊長為12。〃，則折成立方體的校長為cm.

【答案】興,竽

【分析】本題考查了正方體的展開圖、正方形的性質、勾股定理以及一元二次方程的求解等知識;

如圖，設BC=x,則===根據(jù)勾股定理列出方程求解即可.

【詳解】解：如圖，設AC=x,則AA=4E=12-r,AD="r,HE=4jL;

則在直角三角形A8E中，由勾股定理可得：AE2+A82=8￡：2,

即（12+（12-x）2=卜岳『，

12

解得：x=7或x=-4（舍去），

.*?正方體的棱長為BD=\[2x=^-\[2c\x\,

故答案為：yV2.

7.（2024.青海西寧?中考真題）如圖，小區(qū)物業(yè)規(guī)劃在一個長60m,寬22m的矩形場地人8CZ）上，修建一

個小型停車場，陰影部分為停車位所在區(qū)域，兩側是寬加的道路，中間是寬2Am的道路.如果陰影部分的

總面積是600m2,那么x滿足的方程是（）

A.X2-4IX+180=0B.x2-41x+225=0

C.X2-41X+30=0D.X2-41X-270=0

【答案】A

【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關

鍵.

根據(jù)矩形場地的長、寬及道路的寬度，可得出停車位（即陰影部分）可合成長為（60-2x）m,寬為（22-2x）m

的矩形，結合陰影部分的總面積是600m,即可列出關于x的一元二次方程，此題得解.

【詳解】解：???矩形場地A8C。的長為氏60m,寬22m，且所修建停車位的兩側是寬xm的道路，中間是

寬2Am的道路，

???停車位（即陰影部分）可合成長為（60-2x）m,寬為（22-2x）m的矩形.

根據(jù)題意，得（60-2x）（22-2x）=6（X）,

化簡，得筒一41x+180=0.

故選：A.

8.（2025?四川達州?中考真題）為弘揚達州地方文化，讓更多游客了解巳人故里，某文旅公司推出多款文

創(chuàng)產(chǎn)品.已知某款巴小虎吉祥物的成本價是30元，當售價為40元時，每天可以售出60件，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，

售價每降價1元，每天可以多售出10件.

(1)設該款巴小虎吉祥物降價工元，則每天售出的數(shù)量是______件；

(2)為讓利于游客，該款巴小虎吉祥物應該降價多少元，文旅公司每天的利潤是630元；

⑶文旅公司每天售賣該款巴小虎吉祥物的利澗為W元，當售價為多少元時，每天的利潤最大？最大利潤是

多少？

【答案】(I)(60+10x)

(2)3元

(3)哲價為38元時，每天的利潤最大，最大利潤是640元

【分析】本題考查了一元二次方程的應用和二次函數(shù)的應用，正確理解題意、列出方程與函數(shù)關系式是解

題的關鍵；

(1)根據(jù)原來每天售出的60件，再加上多售出的件數(shù)即可得到答案；

(2)設該款巴小虎吉祥物降價x元，根據(jù)每件的利潤x銷售數(shù)量=銷售利潤即可列出方程，解方程即可得解;

(3)設該款巴小虎吉祥物降價x兀，根據(jù)每件的利潤x銷售數(shù)量;銷售利潤即nJ列出二次函數(shù)關系式，再根

據(jù)二次函數(shù)的性質解答即可.

【詳解】(1)解：設該款巴小虎吉祥物降價x元，則每天售出的數(shù)量是(60+10%)件；

故答案為：(60+10A)；

(2)解：設該款巴小虎吉祥物降價x元，

根據(jù)題意可得：(40—30—x)(60+10x)=630,

整理可得：x2-4x+3=0?

解得：*=Lx2=3,

由于要讓利于游客，％=1舍去，

???該款巴小虎吉祥物降價3元時文旅公司每天的利潤是630元.

(3)解：設該款巴小虎吉祥物降價x元，

則W=(40-30-x)(60+10x)

=(IO-x)(6O+lOx)

=-10x2+40x+600

=-10(X-2)2+640,

V-1()<(),

???當x=2時，W取最大值為640元，此時銷售價為38元，

答：售價為38元時，每天的利潤最大，最大利潤是640元.

9.（2023?山東臨沂?中考真題）綜合與實踐

問題情境

小瑩媽媽的花卉超市以15元/盆的價格新購進了某種盆栽花卉，為了確定售價，小瑩幫媽媽調(diào)查了附近A,

B,C,。，￡五家花卉店近期該種盆栽花卉的售價與日銷售量情況，記錄如下：

售價（元/盆）日銷售量（盆）

42050

B3030

C1854

D2246

E2638

數(shù)據(jù)整理

（1）請將以上調(diào)查數(shù)據(jù)按照一定順序重新整理，填寫在下表中:

售價（元/盆）

日銷售量（盆）

模型建立

（2）分析數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，找出口銷售量與伐價間的關系；

拓廣應用

（3）艱據(jù)以上信息，小瑩媽媽在銷售該種花卉中，

①要想每天獲得400元的利潤，應如何定價？

②售價定為多少時，每天能夠獲得最大利潤？

【答案】（1）見解析

（2）售價每漲價2元，日銷售量少賣4盆

（3）①定價為每盆25元或每盆35兀時，每天獲得400元的利潤；②售價定為30元時，每天能夠獲得最大利

潤

【分析】（1）按照從小到大的順序進行排列即可;

（2）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，進行求解即可；

（3）①設定價應為％元，根據(jù)題意，列出一元二次方程，進行求解即可;

②設每天的利潤為卬，列出二次函數(shù)表示式，利用二次函數(shù)的性質，進行求解即可.

【詳解】（1）解：按照售價從低到高排列列出表格如下：

售價（元/盆）1820222630

日銷售量（盆）5450463830

（2）由表格可知，售價每漲價2元，日銷售量少賣4盆；

（3）①設：定價應為x元，由題意，得：

（x-15）=400,

整理得：-2f+120x-1750=0，

解得：玉=25,%2=35,

???定價為每盆25元或每盆35元時，每天獲得400元的利潤；

②設每天的利潤為卬，由題意，得：

vv=（x-15）54—卜普X4=-2X2+120X-1350,

???w=-2x2+120x-1350=-2（x-3O）2+450,

V-2<0,

???當x=3O時，卬有最大值為450元.

答：售價定為30元時，每天能夠獲得最大利潤.

【點睛】本題考杳一元二次方程和二次函數(shù)的實際應用.從表格中有效的獲取信息，正確的列出方程和二

次函數(shù)，是解題的關鍵.

1（）.（2025?天津?中考真題）四邊形48CD中，AD//BC,Zfi=90°,AB=8cm,AD=10cm,BC=16cm.動

點歷從點〃出發(fā)，以2cm/s的速度沿邊B4、邊A。向終點力運動；動點N從點。同時出發(fā)，以lcm/s的

速度沿邊。向終點8運動.規(guī)定其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動.設運動的時間為

is.當，=2s時，點M,N的位置如圖所示.有下列結論：

①當t=6s時，CN=DM；

②當1WY2時，△BMN的最大面積為26cm2；

③/有兩個不同的值滿足△8MN的面積為39cm2.其中，正確結論的個數(shù)是（）

【答案】C

【分析】本題主要查了二次函數(shù)的性質，一元二次方程的應用.當r=6s時，點M在/W）上，求出DM,CN,

可判斷①；當1K/W2時，點M在A8上，利用三角形面積公式求出的面積，利用二次函數(shù)的性質，

可判斷②；分兩種情況：當點M在A8上時，點M在A。上，結合△8MN的面積為39cm,列出方程，可

判斷③.

【詳解】解：根據(jù)題意得：點M在A8上的運動時間為|=4s,點M在A0上的運動時間為4=5s,點N

在CB上的運動時間為16s,

①當t=6s時，點M在AO上，

此時AM=2x6-8=4cm,CN=6cm,

DM=AD-AM=6cm,

:?CN=DM,故①正確；

②當1W2時，點M在A8上，

此時BM=2/cm,CN=/cm,

BN=(16-/)cm,

???§3用於=g8Mx8N=gx2M16—f)=—/+16r=-(f—8『+64,

V-l<0,

，當，＜8時，S?N隨，的增大而增大，

???當/=2時，SjMN取得最大值，最大值為-（2-8）2+64=28,

即當1W2時，△AMN的最大面積為28cm2,故②錯誤;

③當點M在48上時，

??）8MN的面積為39cm,

S.BMN=-BMxBN=-x2t（\6-t）=-r+\6t=39,

22

解得：L=3,q=13（舍去），

???當7=3時，0MN的面積為39cm2；

當點M在AO上時，

VAD//BC,?B90?,

AZA=180°-ZB=90°,即

此時S/你.='A8xaV=，x8（16—/）=64-4/=39,

22

解得：/=2=5,

4

25

*,*'zif=—時，ABMN的面積為39cm12：

4

???7有兩個不同的值滿足△BMN的面積為39cm2,故③正確.

故選：C

考點06一元二次方程與二次函數(shù)的綜合

1.（2024?內(nèi)蒙古?中考真題）下列說法中，正確的個數(shù)有（）

①二次函數(shù)）:潑+云+c（a>0）的圖象經(jīng)過（2,l）,（-4』）兩點，根，〃是關于x的元二次方程

的兩個實數(shù)根，且機<〃，則Tv〃2<〃<2恒成立.

②在半徑為「的0。中，弦A8,。互相垂直于點P,當0P=m時，則”、。、城-七".

③VA8C為平面直角坐標系中的等腰直角三角形且NA8c=90。，點A的坐標為（1,0）,點8的坐標為（0,5）,

點C是反比例函數(shù)）=工0）的圖象上一點，則女=±30.

④三知矩形的一組鄰邊長是關于x的一元二次方