專題11不等式、復數

口題型概覽

題型01復數加減乘除運算

題型02復數相等

題型03復數的幾何意義

題型04不等式的綜合應用

題型05利用基本不等式求最值

題型01復數加減乘除運算

3+4i

1.（2025?天津武清?一模）i是虛數單位，則I三絲1=__________.

1+1

【答案】也《

22

【分析】根據或數的除法乘法運算結合模長公式計算即可.

3+4i(3+4i)(l-i)3+4i-3i-4i^2-bl25<T

【詳解】=

1+i(l+i)(l-i)F畀~2~

故答案為：延.

2

2.(2025?廣東深圳?一模)若z=l+i,則卜2-z卜()

A.0B.1C.42D,2

【答案】C

【分析】根據Z=l+i求出z2-Z，再根據公式求其模長.

【詳解】vz=l+i;

/.z2-z=(l+i)2-(l+i)=l+2i+i2-l-i=-l+i;

.-.|?-z|=7(-o2+i2=^.

故選：C.

3.(2025?寧夏銀川?一模)(2-i)(l-4i)=()

A.-9-2iB.-2-9iC.6-9iD.2-9i

【答案】B

【分析】根據條件，利用復數運算，即可求解.

【詳解】因為(2-i)(l-4i)=2-8i-i+4i2=-2-9i,

故選：B.

4.(2025?廣東湛江?一模)復數百，畛滿足馬+4=4,馬/2=8,則().

A.14Hz?|=8B.\Z.-Z2\=4

C.阮|+岡=4D.A=1

【答案】ABD

【分析】由題意根據韋達定理建立?元二次方程，求得復數，根據模長公式以及復數四則運算，可

得答案.

【詳解】依題意得，復數為，z?是方程X2_，4X+8=0的兩個根，

，-4》+8=0可得4=（-4）'-4x8=-16=（4i）',

解得x_4±44i『_4±4]_2+5,則4=2+2i,N,=2—2i,

22

所以㈤*|z2|="i7x"T7=20x2&=8,故選項A正確；

|zj-z2|=|4i|=4,故選項B正確;

匕|+㈤=2&+2&=4&,故選項C錯誤;

）=[=W=1'故選項D正確.

z22-214+48

故選：ABD.

5.（2025?黑龍江?一模）若zi=T-石i，則復數z的虛部為（）

A.-1B.1C.-石D.V5

【答案】B

【分析】由發(fā)數的除法得到代數形式，即可求解；

【詳解】由力=一1一退3可得：z=—~=-\/5+i?

i

所以及數Z的虛部為1.

故選：B

6.(2025?山東泰安?一模)已知i為虛數單位，若(1)(2+疝)是純虛數，則實數。=()

A.-4B.-2C.1D.2

【答案】B

【分析】利用復數的乘法運算化筒復數，再利用純虛數的概念，即可得答案；

【詳解】因為(l-i)(2+ai)=2-2i+ai-ai2=2+a+(a-2)i,

a+2=0

所以、八，解得〃=-2.

。一2W0

故選：B.

7.(2025?福建泉州?一模)已知復數z=〃+4i(aH0,〃eR)滿足卜-1|=1,則()

A.a<0B.a=V2C.z-z=V2D.z+z=2

【答案】D

【分析】根據復數的模得到方程求出。的值，即可求出z,再根據復數代數形式的運算法則判斷即

可.

【詳解】因為z=a+ai(a工0,aeR),所以z-1=〃一1+ai,

又上一1|=1,所以J(a7)2+“2=i，解得。=i或4=0(舍去)，

所以z=l+i,則2=]-i，所以z-z=(l+i)(l-i)=2,z+z=(l+i)+(l-i)=2.

故選：D

8.(2025?云南昭通?一模)己知復數z=&,則2i|=()

A.V2B.2C.10D.V10

【答案】A

【分析】先根據復數的除法運算求出復數z,再根據復數的模的計算公式即可得解.

2i2+2i.

【詳解】z=「=\」=工-=1+1,

1+1(l+i)(i-i)2

所以=卜也.

故選：A.

9.(2025?黑龍江?一模)已知復數z滿足：9=1-"貝”z-2i卜()

A.垂)B.x[()c.MD.3A/2

【答案】D

【分析】根據復數的乘除法求出復數z,可得復數z-2i,由模長公式即可求得答案.

【詳解】由自=>i，得z=（l-i）（2+i）=3-i,

所以|z-2i|=|3—3i|=3'（7―二3①.

故選：D.

10.（2025?山東濟寧?一模）已知復數z=1^+2i,則|z|二（）

1+1

A.vB.—C.1D.2

22

【答案】B

【分析】根據復數的除法運算和復數模的計算公式即可得到答案.

【詳解】z=2zi+2i=f^M+2i=lz3i+2i=i4.ii

I+i(l+i)(I-i)222

故選：B.

題型02復數相等

1.（2025?山西呂梁?一模）已知a,bcR,a-2i=e-i）i（i為虛數單位），則（）

A.a=-\,b=-2B.a=-\,h=2

C.a=\,b=-2D.a=l,/?=2

【答案】C

【分析】利用復數乘法法則計算出（b-i）i=l+8i，根據復數相等得到答案.

【詳解】?-2i=(b-i)i=bi-i12=l+Z>i,

故”=1]=-2.

故透:C

2.(2025?江西南昌?一模)已知更數z滿足z+2彳=6+i,則2=()

A.2+iB.2-iC.l-2iD.l+2i

【答案】B

【分析1根據復數及共擾復數的定義結合復數的加法，應用復數相等得出參數.

【詳解】設復數2=。+加(〃]€1<),

滿足2+2彳=4+萬+2(。一歷)=31-加=6+1,

<7=2

所以—―?

故選：B.

3.(2025?江西贛州?一模)已知復數z滿足|z+l|=|z+3-2i|,且z在復平面內對應的點為(xj),則

()

A.x-y+3=0B.x+y+3=0C.5x-2y+6=0D.5x+2y+6=0

【答案】A

【分析】由2=%+爐(%)，€1<),代入|z+l|=|z+3-2i|,利用模長公式整理得z在復平面內對應點的

軌跡方程.

【詳解】Z在復平面內對應的點為(xj),則2=工+行(工)?1<),

由|z+l|=|z+3—2i|,f#(x+l)'+y=(X+3)2+(^-2)：,

化簡得x-y+3=0.

故選:A.

zr—2i

4.(2025?北京延慶?一模)已知awR,i為虛數單位，若不一為實數，則"二()

2+1

A.-1B.1C.-4D.4

【答案】C

【分析】根據復數的除法運算及復數的相關概念得解.

,?-2i_(?-2i)(2-i)_(2a-2)-(a+4)_2a-2a+4

【詳解】因為了?-c,—H--~T—-—7Z-1為實數，

2+1(2+i)(2-i)555

所以二一=0,解得〃=-4,

故選：C

5.(2025?陜西咸陽?一模)已知復數4，z2,則().

A.若|4|=上|,則4=Z2B.若4=224，則㈤="|

C.若.產2=0,則Iz-Zzbk+ZzlD.若㈤=憶|,則區(qū)一1|二卜+1|

【答案】BC

【分析】應用特殊值Z]=1/2=i判斷A、D；由|Z1F=Z]%=Z2Z=匕F判斷B；若Z[=。+〃*2=c+di,

且a/,c,deR,得卜T”：，分類討論判斷C.

aa=-be

【詳解】對于A、D：當馬=l/2=i時，|引=%|,但z尸Z2,故A錯誤;

又匕一1|=0=正=匕+|,故D錯誤；

對于B：由|馬|2=4￡=與耳=匕|2,可得㈤士21，故B正確；

對于C；設Z]=a+bi/2=c+di,且4,b,c,d￡R,

ac-bd

由zjz,(ad+bc)1=0,可得〈，則“cd=b/=一兒工，

ad=-be

若b=0,則a=0或c=d=0；若b<0,則。=d=0,

當G=8=0,則h-ZzbUTZ]+Z2I,

當b=c=d=0,則匕-Z2|=|NJ=B+Z2I,

當c=d=U,則R—Zzk卜|二k+Z2|,

綜上，|Z「Z2|=|Z]+Z2],故D正確.

故選：BC.

題型03

1.（2025?河南安陽?一模）若復數n滿足|z-l|=2,則在復平面內，復數z所對應的點組成的圖形的

周長為（）

A.兀B.2兀C.3nD.4兀

【答案】D

【分析】根據復數的幾何意義判斷在復平面內，復數z所對應的點是半徑為2的圓，進而求出其周

長.

【詳解】設2='+"（乂），￡切，

由|z-l|=2,則（x—l）2+/=4,

則在第平面內，復數z所對應的點組成的圖形為以（1,0）為圓心，2為半徑的圓，

故復數z所對應的點組成的圖形的周長為2兀x2=4幾.

故選：D.

2.（2025?北京平谷?一模）在復平面內，匆:數z滿足z.（l-i）=2i,則發(fā)數z對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.笫四象限

【答案】B

【分析】利用復數的除法運算化簡，即可根據幾何意義求解.

/、2i2i（l+i）

【詳解】由z?1-i=2i可得2=/一=目7r

'l-i（l-i）（l+i）

故復數z對應的點為（T,l）,位于第二象限.

故選：B

3.（2025?甘肅蘭州?一模）若復數z=i（2-i）,則|z|=（）

A.1B.V5C.3D.5

【答案】B

【分析】由復數的乘法整理其為標準式，再利用模長公式，可得答案.

【詳解】由2=《2-1）=212=1+21,則因=7[1？=括'.

故選:B.

4.（2025?江西萍鄉(xiāng)?一模）已知復數馬，Z2（4Z2H0）在復平面內對應的向量分別為該，OZ2（其

中。為原點），則下列命題正確的是（）

A.若碣J_西，則B+zhB-l

B.若|。置=5,則|馬-2|的最小值為3

C.若（西+區(qū)）_L（西一區(qū)），則4=z2

D.若兇卜,可，則Z1>Z2

【答案】AB

【分析】根據矩形的對角線相等和復數加減法的幾何意義可判斷A；設

z,=5cos<9+5isin<9,6?e[0,2K）,則卜一2|二,29-20cos夕,再根據cos。的范圍可判斷B；根據

（藥+區(qū)），（西-西）可得㈤=憶|,再舉反例可判斷c；兩個復數當且僅當它們同為實數時才能

比較大小可判斷D.

【詳解】對于A,若鬲_L西，則復平面內以有向線段西和因為鄰邊的平行四邊形是矩形，

根據矩形的對角線相等和復數加減法的幾何意義可知，選項A正確：

對于B,若|。,卜5,則點的軌跡是以。為圓心，以5為半徑的圓，

設馬=5cos+5isine[0,2n）,

則匕-2|=J（5cose-2）2+（5sin?=,29-20cos6，

因為-IWcosOWl,可得歸-2仁=129-20=3,故B正確：

對于C,（該+運）_L（函一四）o國+西）區(qū)—區(qū)4g

z

OZ^-OZ2'=0<=>|i|=k2h取Z[=l/2=i,顯然|4|="|,但Z尸z2,故C錯誤；

對于D,兩個復數當且僅當它們同為實數時才能比較大小，故D錯誤.

故選：AB.

5.（2025?四川巴中?一模）已知復數z在復平面內滿足慟力，則復數z對應的點Z的集合所形成圖

形的面積為（）

A.-B.兀C.-nD.2兀

22

【答案】B

【分析】結合復數的幾何意義，即可求解.

【詳解】由|z|Kl,可知在復平面內z對應的點Z的集合確定的圖形為以（0,0）為圓心，1為半徑的

圓環(huán)及內部，

故在復平面內Z對應的點Z的集合確定的圖形面積為冗X12=7C.

故選：B

2

6.（2025?黑龍江齊齊哈爾?一模）已知2=47,則I在復平面內所對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象艱C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】先根據復數的除法運算計算出n，然后根據共飩復數的定義求出三，由三的實虛部可知）對

應的點的坐標，即可得解.

【詳解】因為z=「=;'7所以Z=l+i，

l+i（l+i）（l-i）

所以￡對應的點的坐標是（1,1）,位于第一象限.

故選：A.

7.（2025?江西上饒?一模）己知2=苫=，則—（）

1+r+1

A.-l-3iB.-l+3iC.l-3iD.l+3i

【答案】A

【分析】先根據虛數單位i的運算性質化簡分母，再對z進行化簡，最后根據共規(guī)復數的定義求出二

【詳解】3?。?11=31,其共扼復數5=-l—3i.

1+r+il-l+i-i-i

故選：A.

8.（2025?黑龍江哈爾濱?一模）復數z=/，則之在復平面內對應的點在（）

1+21

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】利用復數的除法化簡復數z,利用共規(guī)復數的定義結合復數的幾何意義可得出結論.

【詳解】因為2=3怖-4i=遇（3-4i）曷（1-2i）=-5一-10i一一,?％，則_―,

所以，復數』在愛平面內對應的點的坐標為（7,2）,位于第二象限.

故選：B.

9.（2025?江西?一模）設i為虛數單位，狂數z的共視狂數為5,若亍=需，則z在更平面內對應

的點位于第（）象限

A.—B.二C.三D.四

【答案】A

【分析】由亞數的運算性質化簡得W=l-2i，則z=l+2i,即答案可求.

【詳解】由題意得彳=法?=4=1—2i,

所以z=l+2i,則z在復平面內對應的點位于第一象限,

故選：A.

10.(2025?江西?一模)若z=」一+2i,則z2=()

2-1

A.5B.75C.—D.—

55

【答案】A

【分析】利用復數的除法運算化簡復數，再結合復數模的性質求解即可.

因為

【詳解】z="!—F2i=----------------F2i=2+j+2i

11J2-i(2-i)(2+i)4-f

2+i211.

+2i=—+2i=

4-H)5

所以結合復數模的性質得I，；）=5,故A正硝.

故選：A.

11.（2025?山東煙臺?一模）已知復數2=獸，其中acR,則“同＞1〃是“?！?”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】應用復數模的求法及0＞1得。＞1或。＜-1，再由充分、必要性定義即可得答案.

【詳解】由|2|=上生=/吐＞1,則匕且＞1,可得。＞1或。＜一1,

|l-i|V22

所以“|z|＞1〃是“4＞1〃的必要不充分條件.

故選：B

12.（2025?廣西?一模）已知復數z滿足（2-i）z=l+2i,則復數z的虛部為（）

33

A.-B.1C?一—D.—1

55

【答案】B

【分析】根據復數的除法先計算出z=a+bi,得虛部為近

【詳解】由（2—i）z=l+2i=z=W=i,則復數z的虛部為1.

故選：B.

13.(2025?山東荷澤?一模)在復平面內，向量而對應的復數為-1+3"向量X對應的復數為-2+i,

則向量元對應的復數為()

A.-3-4zB.-3+4iC.l+2iD.-l-2i

【答案】D

【分析】利用復數的幾何意義及復數的減法運算即可求解.

【詳解】因為向量而對應的復數為-l+3i,向量就對應的復數為-2+i,

所以元=就_荏=(_2+i)_(_l+3i)=_l_2i

所以向量而對應的復數為-l-2i.

故選:D.

14.(2025?遼寧?一模)若復數z滿足|z+2|+|z-2|=6,則復數z在復平面內對應點的軌跡的離心率

為.

【答案】j2

【分析】由橢圓的定義和離心率的定義可得.

【詳解】由|z+2|+|z-2|=6可得復數z在復平:面內對應點的軌跡是以(-2,0),(2,0)為焦點，長軸長為

6的橢圓，

所以c=2,a=3,

2

所以離心率為

2

故答案為：5

2

15.(2025?廣東江門?一模)已知i是虛數單位，復數N=[L,則[=()

-1+1

A.1+iB.1—iC.—1—iD.-1+i

【答案】D

【分析】根據復數的乘法與除法化簡復數z成代數形式，利用共規(guī)復數定義即得.

【詳解】由z=，-=2(-1)=一]_、貝匹=_]+i.

-1+11+1

故選:D.

題型04不等式的綜合應用

1.（2025?北京延慶?一模）設x,ywR,且0<x<y<l,貝lj（）

A.x2>y2B.sinv>sinj^C.4*>2VD.x+->y（2-y）

x

【答案】D

【分析[特殊值法分別判斷A,B,C,再結合基本不等式計算判D.

【詳解】因為

對于A：取x==所以/=：<V=；,A選項錯誤；

3294

對于B：取工=￡4=￡,所以sinx='<sin_y=^，B選項錯誤；

6422

對干C：取x='d=；，所以4、=2；<2，'=2；，C選項錯誤；

對于D,x+l>2^J=2,當且僅當x=l取等號，所以x+：>2,

因為J，、0,2—J，>0,所以）,（2y]<1'+（；—?）'）=1,當且僅當y=l取等號，所以），（2-j，）v1,

所以x+，>j，（2-y）,D選項正確.

A

故選：D.

2.（2025?廣東茂名?一模）下列命題正確的是（）

A.若a>6,則

B.若av6v0,則〃<ab<a?

C.右a〉b>。,一>----,貝lj<0

aa+ni

D.若2<a+b<3,-l<”6<2,貝i」3<3a+b<8

【答案】BCD

【分析】舉出反例即可判斷A,由不等式的性質代入計算即可判斷BD,由作差法即可判斷C.

【詳解】對于A,取。=11=-2,滿足a”,但是故A錯誤；

對于B,因為。<與<0,不等式兩邊同時乘以負數。，不等式方向改變，所以不>ab，

不等式兩邊同時乘以負數6,不等式方向改變，所以而>〃，

所以〃故B正確：

bb+mb（a+m）-a（b+m）bm-amm（b-a）

對于C,因為。>6>0,----------------------------------；----------7-------；--~7----；,

aa+mala+m\a\a+mala+m）

bb+mm(h-a)/、

又因為一〉——，所以一^——;>0,而〃>6〉0,即6-a<0,〃?(。+〃。<0,

aa+ma(a+in)

所以加<0,故C正確；

對于D,i^3a+b=x(a+b)+y(a-b),即3a+〃=(x+y)a+(x-y)6,

則x+':，解得x=2,y=],所以3。+力=2(4+6)+(4-6),

x-y=I

又2<a+6v3,則4v2(a+b)<6,且一1<〃一力<2,

所以3<2(。+9+(。一〃)<8,所以3<3〃+力<8,故D正確；

故選：BCD

3.(2025?廣東湛江?一模)已知定義在R上的函數/(力為奇函數，且當戈>0時，/(x)=e=a,若

VxeR,不等式/(-')+/0-|。-1|)40恒成立，則。的值不可能是().

A.-2025B.2025C.e2D.3

【答案】D

【分析】利用奇函數的性質求出〃力的解析式，再按。的不同取值分類討論/'(X)在R上的單調性

即可求解.

【詳解】囚為定義在R_L的函數/")為奇函數，口當x)0時，f(x)-cx-a,

所以當x<0時,-x>0,f(x)=-f(-x)=-e-v+a,當x=0時,/(x)=0,

令e'-aN-e+a，即a<,

2

因為Jjf二22、1、匚=1,當且僅當x=0時等號成立，所以aWl,

2V22

若則函數/(x)在R上單調遞增，

Xx-|a-l|<x,所以=

即“-耳+/卜-|。-1|)40恒成立，故心1滿足題意，排除選項A：

若。>1,則a-1>0,函數/(x)在R上不單調，圖象如圖所示，

可理解為函數/0-的圖象在函數/（x）的圖象下方，

所以由圖象可得。一1N2Ina,即21na-a+l?0,

令且（4）=2卜4-4+1（4>0）,

貝ijg（2025）=2In2025—2024<0,g（3）=21n3-2=2（ln3-l）>0,

g（e2）=21ne2-e2+1=5-e2<0.

故選：D

2222

4.12025?廣東湛江?一模）已知橢圓力：1+去=10叫>0）與雙曲線8:「-詈=10>0也>0）具

備牛a2h2

有相同的焦點大，石，點夕為橢圓力與雙曲線8位于第一象限的交點，且|兇=!正用（O為坐標

原點）.設橢圓力與雙曲線8的離心率分別為勺，e2,則2e；+e：的最小值為.

【答案】1+>/2

【分析】法一：由題意可得焦點三角形為直角三角形，根據橢圓的定義、雙曲線的定義與勾股定理,

建立方程組，利用基本不等式的“1〃的妙用，可得答案；法二：由題意可得焦點三角形為直角三角形，

根據橢圓與雙曲線焦點三角形面積的二級結論，建立方程，利用基本不等式的“1〃的妙用，可得答案.

法一：因為|OP|=glKEl，所以/月傳=g.

設|P用=/〃，儼周二〃（不妨設機＞〃），山用=2e,

m+n=2%

,,,11.

依題意有加一〃=22%+a；=2c~,—+—=2,

＜紇

m2+n2=4(;2

所以2（2e；+d）=（2e：+4）

當且僅當片=缶：時等號成立，所以2e；+$2T+&，

所以2e；+e；的最小值為^+及.

法二：因為|。尸|=；|尸尸21，所以/百空=].

對于焦點三角形AGPE，根據橢圓的性質可得其面積S=6；tan笑”■=/＞：,

S—區(qū)

根據雙曲線的性質可得》一tan/RPRJ所以叩=優(yōu)，

an之

所以4'c2=c2-d,整理可得二+1=2.

eie2

3+2①,

當且僅當封=0e：時等號成立，所以26：+或2?+及，

所以2e：+e；的最小值為5+拉.

故答案為：,1+V2.

5.（2025?廣西?一模）現使用一架兩臂不等長的天平稱中藥，操蚱方法如下：先將100g的祛偃放在

天平左盤中，取出一些中藥放在天平右盤中，使得天平平衡；再將100g的祛碼放在天平右盤中，再

取出一些中藥放在天平左盤中，使得天平平衡.則兩次實際稱得的藥品總重量（）

A.等于200gB.大于2CQgC.小于200gD.以上都有可能

【答案】B

【分析】用平衡條件得出x的表達式，結合基本不等式可得答案.

【詳解】設天平左臂長為相，右臂長為〃，，小〃＞0且，〃工〃,左盤放的藥品為陽克，右盤放的藥品

為々克，

100〃？="X,100/7100/H

則吶=1。。；,解得V,x2=

mn

x"+?幽+幽幽.嗎=2。。,

mnvnin

當且僅當〃?=〃時，取到等號,而〃?工〃，所以x>200.

故迄B

6.（2025?江西萍鄉(xiāng)?一模）已知直線e",x-y（e",+）+1=0（/H€R）的斜率為3則k的最大值為.

【答案】*

【分析】先求出直線的斜率k=而廣化簡可得一，再利用基本不等式即可求得k的

最大值.

K,__c_m__—____1___<

【詳解】一e+iyZ+；+2一4,

當且僅當昨。時取等號,所以人的最大值為？

故答案為：7-

4

7.（2025?山東煙臺?一模）己知正數X，）.滿足/十.1十4/-z=0,則三的最小值為__________:當

xy

z2z

二取得最小值時，不等式2e、+4〃w-axln-20恒成立，則實數。的取值范圍為__________.

xy5

【答案】5心-e

【分析】由已知有三=±+在+1,應用基本不等式求最小值，注意取值條件，進而有

xyyx

2e、+2.2-orln/20恒成立，問題化為。2--之一在x6。,”）上恒成立，應用導數求右側的

x-xlnx

最大值，即可得參數范圍.

【詳解】由題設三=二+如+1*土曳+1=5,當且僅當x=2y時等號成立,

xyyx\yx

所以j的最小值為5,此時不等式化為2e、+2ad-以皿/對0點開亙成立,

所以e'+a(x2-xinx)>0,即e*+iir(x-lnx)>0

1K-1

令/(x)=x-lnxJLx>0,則/'(x)=]__=---,

XX

0<x<1時/'(X)<o,%>1時f\x)>0,

所以/(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,y)上單調遞增,

故⑴=1>0,貝iJx(x—lnx)>0(x>0)

因此川一得在xc(O,E)I-.a>-—^-—恒成立,

x~-xlnx

令"幻=―-—且x>0,

x-xlnx

-xlnx-2x+lnx+l)ev(.v-l)(x-l-Inx)

所以如)=一

(x~-xlnx):(x2-xlnx)2

令『二x-Inx(x>0),/=l--(x>0),

x

"=1一：(X>o)在(O,+8)單調遞增，且川E=0，

則xe(O,l)時，y<0,函數y=x-l-lnx(x>0)在(0,1)單調遞減,

x?l,+8)時，y，>0.函數y=工一1一hix(x>0)在(1,+e)單調遞增,

因此可得X=l，Nmin=°，&|Jx-1-InX>0,

則當X€(O,1),h\x)>0,則〃(x)在(0,1)單調遞增,

當I?l,+8),/f(x)<0,則A(x)在(1,+8)單調遞減，

所以Mx)1nlx=MD=-e,故只需G-e.

故答案為：5,e

8.(2025?吉林延邊?一模)已知正實數x,N滿足x+y-gw=0,且不等式工+)一。>0恒成立，則。

的取值范圍是()

A.a<2B.a<8C.a<6D.a<4

【答案】B

【分析】對題目等式變形得再利用乘"1”法即可得到答案.

xy2

【詳解】因為正實數xj滿足x+y-g個=0,所以‘+,=?，

2xy2

_L]=2"

則:x+y=2(x+y)—>8,

y)Ix)

當且僅當x=y=4時取等號，因為不等式x+y-a>0恒成立，所以a<8.

故選：B.

9.（2025?黑龍江哈爾濱?一模）下列命題中正確的為（）

A.若隨機變曷*服從二項分布4〃.；），且E（3X+1）=6.則。（X）=g

B.若。>01>0,且2〃+6=1,則1-4R>+的最大值為?

16

C.若隨機變量g服從正態(tài)分布N（0Q2）,且。（4>2）=0.023,則尸（-24"2）=0.954

D.若命題“*eR,（心-l）/+4（l-￡）x+340〃是假命題，則女的取值范圍為（1,7）

【答案】BC

【分析】利用一項分布的期望、力差公式和期望的性質判斷A,利用基本不等式判斷B,根據王太

密度曲線的性質判斷C,根據一元二次不等式在實數集上恒成立列不等式組求參數范圍判斷D.

【詳解】選項A,由期望的性質可知E（3X+1）=3E（X）+1=6,解得￡（X）=g,

因為隨機變量X服從二項分布所以E（X）=]=；,解得〃=5,

所以。（X）=5x；x（l—；）吟，A說法錯誤；

選項B：因為。力>0,2a+b=\,

所以1-4ab+=（1-4\/a6）+144-1=>

當且僅當卜府二一瘋，即卜/時等號成立，

12。+八1[2a+b=\

所以1-4"+瘋的最大值為B說法正確；

16

選項C：因為隨機變量J服從正態(tài)分布N（o,/）,且尸2）=0.023,

所以P('<_2)=尸(>2)=0.023,所以尸(_240?2)=1_P(7<_2)_尸(4>2)=0.954,C說法正

確；

選項D：若命題“mxwR,("2—i)/+4(i-〃)x+340"是假命題，

2

貝ljV.rGR,(左，-l).r+4(1-Zr).r+3>0,

當上2一1=。時，解得左=±],

當￡=1時，3>0恒成立，滿足題意；當々=7時，8x+3>0不恒成立，不滿足題意；

公-1>0

當產一1工0則《「/>/,、，解得

[4（1-切-4伏2一1卜3<0

綜上左的取值范圍為[L7）,D說法錯誤；

故選：BC

10.（2025?云南昆明,一模）已知函數/（力=國+向的圖象與y有兩個交點，則。的最小管

為.

【答案】3

【分析】由函數解析式可知/（x）為偶函數，再結合對勾函數性質以及基本不等式可求出函數單調性,

利用偶函數對稱性畫出函數圖象，采用數形結合求得。的取值范圍可求得結果.

【詳解】根據函數解析式/（力=忖+麗”知函數的定義域為R，

且滿足/（一、）=卜才+卜;+]=N+p77=/（x），故得/（X）為偶函數,

當xw[0,+<o）時，pg-^/（JV）=x+_i-=x+i+_i-_i>2^（x+l）.-^-l=3,

4

當且僅當、+1==三，即x=l時，等號成立，

X+1

由對勾函數的性質可知：函數/（X）在[0/）上單調遞減，在（l,x）單調遞增，

且在x=l時，/（力取得最小值：/⑺1nto=八1）=3；

由對稱性可得/（-1）=3,又/（0）=4；

再由偶函數性質可知其圖象如下圖所示：

因函數/（x）的圖象與丁=0有兩個交點，由圖象可知。=3或。>4：

因此。的最小值為3.

故答案為：3.

題型05利用基本不等式求最值

1.(2025?云南昆明?一模)懸鏈線是一根目睹均勻的繩子或鐵鏈兩端固定在水平桿上，受重力的作

用自然下垂后形成的曲線，建立適當的平面直角坐標系后，得到懸鏈線的函數解析式為

/(x)=acosh(￡ja>0),其中cosh(x)=W二，則下列說法正確的是()

A./("是偶函數B./(x)在(Y,+W上單調遞增

C.VxeR,f(x)>aD.cosh(2x)=2[cosh(-1

【答案】ACD

【分析】對A,根據偶函數的定義判斷；對B,通過導數可判斷；對C,由基本不等式判斷；對D,

直接計算可判斷.

e

【詳解】對A,由題知y(A.)=acosh.°°(a>0)定義域為R，

所以/(機e二十/=/。),/(x)是偶函數，故選項A正確.

AT-xX-K

對B,函數cosh(x)=c—的導數(cosh(x))'=C—,

所以當xe(—8,0)時(cosh(x))'<0，當*《(。，+8)時(cosh(.r))'>0，

所以cosh(x)=等二單調遞減區(qū)間為(e,0),單調遞增區(qū)間為(0,+oo).

又”>0,所以函數丁='在(-8,0)單調遞增，

a

由復合函數的單調性，可知/(X)在(-2。)上單調遞減，故選項B錯誤.

XXrXX

對C,由基本不等式可知〃2V二口,當且僅當x=0時取等號，故選項C

正確.

2x,p-2x

對D,cosh(2x)=-------

*r千.e'+er.e'T+e"r+2.e2'+e

2[cosh(x)J-1=2——-——-1=------------1=----—

則cosh（2x）=2[cosh（x）J-1,故選項D正確.

故選：ACD.

32

2.（2025?安徽?一模）已知x>0/>0,x+3y=;<y2,則的最小值為（）

A.2x/2B.無C.276D.2G

【答案】D

【分析】先化簡得出一3+-I=/,?,再應用基本不等式計算(士4+上°V的最小值即可求解.

xV(xy)

31,

【詳解】己知x>0,y>0,x+3y=所以；+了=*，，

m"32?941294門3、9429,.底口

則一+—=—+—+—=—―??一=-x”麥丁+4xw>2V36=12,

\xyJx~y~xyx~xJx~yx~

q9

所以一+—226，

xy

當且僅當3=4/,即x=』E,y=?拽時等號成立，所以三十2的最小值為2行.

廠23Ky

故選：D.

3.(2025?江西?一模)已知事函數/(x)=(〃2-6〃+9)x"-3在((),+司上單調遞增，若正數。、/)滿足

43

3a+4/?=〃，則一+丁的最小值為___________.

ab

【答案】12

【分析】由轅函數的定義與單調性可得出關于實數〃的等式或不等式,解出〃=4,可得出3〃+4分=4,

43143

將代數式一+：與代數式：z(3a+43)相乘，展開后利用基本不等式可求得—+；的最小值.

ab4ab

【詳解】因為累函數/3=(〃2-6〃+9卜1在(0,+8)上單調遞增，

/-6〃+9=1,,

則《”3>。'解得〃=4'

正數。、6滿足3。+4-,則卜常陽+如鴻_.9。166）

24+——+—

7ba）

19a…

>-24+2--------12,

4ba

9a\6b

-r=12

baa=—

當且僅當3o+4b=4時,即當；

時,等號成立,

?>(),/>>()b=-

因此，24+：3的最小值為12.

ab

故答案為：12.

4.（2025?山西呂梁?一模）正數工力滿足x+則x+9y的最小值是.

【答案】16

【分析】根據給定條件，利用基本不等式“1〃的妙用求出最小值.

【詳解】由正數'J滿足盯，得'+,=1,