專題3.1不等式的性質(zhì)

(1)通過(guò)具體情況，感受在現(xiàn)實(shí)世界和R常生活中存在著的大量的不等關(guān)系；

(2)了解不等式(組)的實(shí)際背景；

教學(xué)目標(biāo)

⑶理解不等式的性質(zhì).

(4)會(huì)利用數(shù)軸求無(wú)限集的交集、并集的運(yùn)算，體會(huì)數(shù)形結(jié)合在解決問(wèn)題中的作用.

1.重點(diǎn)

(1)比較兩個(gè)數(shù)的大??；

(2)不等式的性質(zhì)及應(yīng)用.

教學(xué)重難點(diǎn)

2.難點(diǎn)

(1)對(duì)不等式的性質(zhì)的理解：

(2)證明不等式.

知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01不等式的概念

在客觀世界中，量與量之間的不等關(guān)系是普遍存在的，我們用數(shù)學(xué)符號(hào)“*”">”“<”"2""4''連接兩個(gè)

數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系.含有這些_______的式子，叫做不等式.

自然語(yǔ)言大于小于大于或等小于或等至多至少不少于不多于

于于

符號(hào)語(yǔ)言><><<>><

【即學(xué)即練】

1.用不等式表示下列不等關(guān)系：

(1)某段高速公路規(guī)定機(jī)動(dòng)車限速80如?〃?至\20kmlh.

(2)x的5倍與7的差大于3.

(3)糖水中有Fg糖，若再添上糖，則糖水變甜了.

知識(shí)點(diǎn)02比較大小

1.作差法比較兩實(shí)數(shù)大小

如果一_?那么a>b.

依據(jù)如果一_____,那么a<b.

如果一______，那么a=b.

確定任意兩人實(shí)數(shù)小的大小美系，只需確定它們的扎—與

結(jié)論

______的大小關(guān)系.

2.作商法比較兩實(shí)數(shù)大小

設(shè)々>0,〃〉0

如果_____,那么

依據(jù)

如果_____,那么a<b.

如果_______,那么a=b.

確定任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)。力的大小關(guān)系，只需確定它們的商—與

結(jié)論

____的大小關(guān)系.

【即學(xué)即練】

1.（24-25高一上?河南信陽(yáng)?階段練習(xí)）試比較（x+l）（x+5）與"+3）2的大小

2.（23-24高一上?云南玉溪?期中）（1）比較（〃+3乂?！?）與（a+2）（a—4）的大小.

（2）已知（）</?<!,比較，心與〃+b-l的大小.

知識(shí)點(diǎn)03不等式的性質(zhì)

性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒

對(duì)稱性a>b0b<a<=>（等價(jià)于）

傳遞性a>h,b>c=>a>c=（推出）

可加性a>boa+c>〃+co（等價(jià)于

a>h

ac>be

c>0注意C的符號(hào)（涉及分類討

可乘性

a>b論的思想）

■nac<bc

c<()

a>b

同向可加性>=a+c>b+dn

Oil

a>b>0

同向同正可乘性f=>ac>bd=

c>d>0

可乘方性媒>2?>0=an>b'\nGN/N2)

〃同為正數(shù)

可開(kāi)方性a>b>0=>板>炳〃￡N,n>2)

【即學(xué)即練】

1.如果。<0,b>0,那么，下列不等式中正確的是（）

A-B.y[^i<y[b

C.a2<b1D.\a\>\b\

2.（多選）（23-24高一上?貴州黔南?期末）設(shè)，也cwR,則下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.若a>b,貝lj〃一c>8-cB.若/>〃，則a”

C.若ad>be?,則a"D.若a>>,則

知識(shí)點(diǎn)04不等式的拓展性質(zhì)（拓展）

1.取倒數(shù)性質(zhì)

倒數(shù)法則：若=

ab

（巧記：同號(hào)兩數(shù)，大數(shù)的倒數(shù)反而?。?/p>

2.有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)

若a,b,mwR+,且,則：

（1）真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)（俗稱糖水小等式）：2〈空巴，2>2二巴的一〃z>o）；

aa+f?iaa-m

e八皿“工aci+maa—m,,八、

（2）假分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：一____________,—____________（Z?-m>0）

bb+mbb-m

【即學(xué)即練】

1.（24-25高一下?浙江?期中）設(shè)wR,若-1<人<〃<0,則下列不等式中不ip用的是（）

A.a1<b~B.—<-J-C.ab<b2D.a+b>-\

ab

題型精講

題型01用不等式（組）表示不等關(guān)系

【典例1】某汽車公司因發(fā)展需要，需購(gòu)進(jìn)一批汽車，計(jì)劃使用不超過(guò)1000萬(wàn)元的資金購(gòu)買單價(jià)分別為

4。萬(wàn)元、90萬(wàn)元的A型汽車和3型汽車，根據(jù)需要，A型汽車至少買5輛，8型汽車至少買6輛，設(shè)購(gòu)

買A型汽車和B型汽車分別為k輛，輛，寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式組_____________.

方法技巧

用不等式（組）表示不等關(guān)系時(shí)，要注意提取題中所有不筆關(guān)系的信息，再將它們“翻譯”成數(shù)學(xué)語(yǔ)

言，即得不等式（組）.

【變式】咖啡館配制兩種飲料,甲種飲料用奶粉、咖啡、糖分別為9g,4g,3g,乙種飲料用奶粉、咖啡、

糖分別為4g,5g,5g.已知每天使用原料分別為奶粉3600g、咖啡2000g、糖3000g,設(shè)每天配制甲種飲

料工杯，乙種飲料），杯，則滿足上述所有不等關(guān)系的不等式組為.

題型02由己知條件判斷所給不等式是否正確

【典例1］（23-24高一上?河北石家莊?階段練習(xí)）若|。|>|切，則下列不等式成立的是（）

A.a-h>0B.-<；-

ab

C.a>bD.a2>b2

【典例2】(24-25高一上?湖南益陽(yáng)?期末)已知a>b>0,c>d>0,則()

A.a+d>b+cB.a-d>c-b

C.ac2->be2D.ad>be

方法技巧

對(duì)于這類題型，一般有以下兩種方法：

（1）直接法：對(duì)于說(shuō)法正確的，要利用不等式的相關(guān)性質(zhì)證明；對(duì)于說(shuō)法錯(cuò)誤的只需舉出一個(gè)反例即可.

（2）特殊值法：注意取值一定要遵循三個(gè)原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡(jiǎn)單，便于驗(yàn)證計(jì)算：三

是所取的值要有代表性.

【變式1】（23-24高一上?北京?期中）若a,b是任意實(shí)數(shù)，且a>〃，則（）

A.a2>b'B.—<1C.a-b>\D.a-b>0

【變式2］（2025春?大名縣校級(jí)期末）如果a,b,c,JGR,則正確的是（）

A.若a>b,則一V工B.若a>b,貝！ac?〉。/

ab

C.若a>b,c>d,則a+c>b+dD.若a>b,c>d,則

【變式3］（2022?孝義市開(kāi)學(xué)）已知2<7<0,則下列結(jié)論正確的是（）

ab

A.a<bB.a+b<abC.\a\>\b\D.ab>lr

【變式4】（2025春?包頭期末）a,beR,下列命題正確的是（）

A.若a>b,則/>廬

B.c￡R,若a>b,則

C.若-3a>-3b,貝lja<b

D.a#）,1洋0,若a>b,則工

題型03由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小

【典例】（24-25高一下?重慶?期中）若“，b,ccR,a>b,則下列不等式成立的是（）

ab

A?州B.a1<b-C.D.a\(\>/?|c|

c2+lc2+\

方法技巧

利用不等式的性質(zhì)比較兩式的大小時(shí)，往往利用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行多次變形，從而得到所比較的

兩個(gè)式子的大小.

【變式1】(2025?孝義市開(kāi)學(xué))已知工＜7＜0,則下列結(jié)論正確的是()

ab

A.a＜hB.a+h＜abC.同＞|例D.ab＞b2

【變式2】已知abM,試比較■!■與《的大小.

ah

題型04作差法比較大小

【典例】(23-24高一上.貴州六盤水?期中)比較大小：

(1)=y/x-Vx-1,N=y/x+\-y/x,比較M.N的大小;

(2)設(shè)M=(x+3)(x+4),N=(x+2)(x+5),比較M,N的大?。?/p>

方法技巧

(1)作差法比較的步驟：作差一一＞變形一一＞定號(hào)一一＞結(jié)論.

(2)變形的方法：①因式分解；②配方；③通分：④分母或分子有理化；⑤分類討論.

【變式1】如果xyeR,比較(/+V)2與x),*+),)2的大小并證明

題型05作商法比較大小

【典例】（24-25高一下?黑龍江鶴崗?期末）設(shè)—匕較舞與鬻的大小

方法技巧

當(dāng)所比較的兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式含有寤、指數(shù)式或分式時(shí)，常考慮作商法.

【變式1】比較〃7/與。力>0）的大小；

【變式2】（23-24高一?江蘇?假期作業(yè)）已知,試比較知=疝斤-布和N=斤的大小.

題型06利用不等式性質(zhì)求值或取值范圍

【典例1】（2025湖北武漢高一上聯(lián)考）已知-3<?<4,2<b<5,求及:的取值范圍.

b

【典例2】已知-l0+yW2,-2<x-y<\t求1-2），的取值范圍.

方法技巧

利用性質(zhì)求范圍問(wèn)題的基本要求

（1）利用不等式性質(zhì)時(shí)，要特別注意性質(zhì)成立的條件，如同向不等式相加，不等號(hào)方向不變，兩邊都是正

數(shù)的同向不等式才能相乘等.

（2）要充分利用所給條件進(jìn)行適當(dāng)變形來(lái)求范圍，注意變形的等價(jià)性.

【變式I】（24-25高一上?四川德陽(yáng)?階段練習(xí)）若一1<々<戶<1,則a-Q的范圍為（）

A.{x|-2<x<0}B.{R-2Vx<-1}

C.（A]-1<x<0）D.{x|O<x<1}

【變式2】（2025高二下?湖南株洲?學(xué)業(yè)考試）若實(shí)數(shù)x,y滿足-2<rv-1,3<），<5,則的取值范圍

是—.

【變式3】（24-25高一上?四川眉u?期末）已知一1<。+匕<3,2<a-b<4tP=a+3bt則P的取值范圍

是.

題型07證明不等式

【典例】（1）已知a>0>0,c<d<0,e<0,求證：—^―>,：

a-cb-d

（2）證明：y]a-y/a-2<>la-\-yla-3（a>3）.

方法技巧

（1）利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式.解決此類問(wèn)題一定要在理解的基礎(chǔ)二，記準(zhǔn)、記

熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用.

（2）應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，

更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則.

【變式1】求證：-X-X-X...X—―-</1.

2462n\2n+\

【變式2】（24-25高一上?陜西渭南?階段練習(xí)）⑴已知c<d<0,”0,求證:

a-cb-d

(2)已知〃>0,b>0,c>0,a-ib+c=\,求證：—+y+->9.

abc

題型08等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)的綜合運(yùn)用

"則方程T十;2=3的解得

【典例】（24-25高三下?浙江?階段練習(xí)）已知人，）'，z為正整數(shù),

個(gè)數(shù)為（）

A.8B.10C.11D.12

方法技巧

不等式的性質(zhì)常與方程綜合，判斷方程根的個(gè)數(shù)的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，注意結(jié)合不等式的性質(zhì),

求得某個(gè)變量的取值,分類討論求得結(jié)果.

【變式1】（24-25高一下?四川成都?期中）實(shí)數(shù)。，b,。滿足a=2a+c—人1且4+//+J0,貝U下列關(guān)系

成立的是（）

A.b>a>cB.c>a>bC.b>c>aD.c>b>a

【變式2】（2023高一?上海?專題練習(xí)）給定無(wú)理數(shù)。￡（0，1）.若正整數(shù)皿,c,d滿足

ba

⑴試比較三數(shù)"，:的大??；

b+dbd

（2）若丘證明下面三個(gè)不等式中至少有個(gè)不成立

①卜張卷,②"靄"國(guó)力T班沖嘉?

題型09不等式性質(zhì)與充分必要性的綜合

【典例】（24-25高三下?江西贛州?階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)"〃，則">0"是哼<產(chǎn)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

方法技巧

對(duì)于不等式與充分性、必要性綜合的問(wèn)題，一般利用不等式的性質(zhì)推證充分性或必要性是否成立，即不

等式的性質(zhì)在解題中取到解題工具的作用.

【變式1】（2025.山東泰安?模擬預(yù)測(cè)）己知x,"R,則冷是,一"二國(guó)+|"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必聚條件

【變式2】（24?25高一下?廣東湛江?期中）%>b>c”是“a+b>c”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

題型10不等式性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用

【典例】（2025春?蕪湖期末）甲、乙兩人同時(shí)從寢室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半時(shí)間

步行，一半時(shí)間跑步，如果兩人步行速度、跑步速度均相同，則（）

A.甲先到教室B.乙先到教室

C.兩人同時(shí)到教室D.誰(shuí)先到教室不確定

方法技巧

實(shí)際問(wèn)題中的比較兩個(gè)量的大小問(wèn)題，往往能轉(zhuǎn)化為不等式中的比較兩個(gè)數(shù)（或式）的大小問(wèn)題，再作

差或作商得到結(jié)果.

【變式1】某次全程馬拉松比賽中，選手甲前半程以速度。勻速跑，后半程以速度〃速跑：選手乙前一半時(shí)

間以速度〃勻速跑，后半時(shí)間以速度〃勻速跑（注：速度單位加s）,若。孫，則（）

A.甲先到達(dá)終點(diǎn)B.乙先到達(dá)終點(diǎn)

C.甲乙同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)D.無(wú)法確定誰(shuí)先到達(dá)終點(diǎn)

【變式2】（2021秋?楊浦區(qū)校級(jí)期中）現(xiàn)有4,B,C,。四個(gè)長(zhǎng)方體容器，4,B的底面積均為高分別

為工產(chǎn)C,。的底面積均為y，高分別為x,>（其中.存現(xiàn)規(guī)定一種兩人的游戲規(guī)則：每人從四種

容器中取兩個(gè)盛水，盛水多者為勝.問(wèn)先取者在未能確定x與），大小的情況下有沒(méi)有必勝的方案？若有

的話，有兒種？

【變式3】（24-25?懷仁市校級(jí)月考）某單位組織職工去某地參觀學(xué)習(xí)需包車前往.甲車隊(duì)說(shuō)：“如領(lǐng)隊(duì)買全

票一張，其余人可享受7.5折優(yōu)惠”.乙車隊(duì)說(shuō)：“你們屬團(tuán)體票，按原價(jià)的8折優(yōu)惠”.這兩車隊(duì)的原價(jià)、車

型都是一樣的，試根據(jù)單位去的人數(shù)，比較兩車隊(duì)的收費(fèi)哪家更優(yōu)惠.

題型11與不等式有關(guān)的新定義題

【典例】（2024?河北邯鄲?三模）記mi例x,y,z｝表示％,y,z中最小的數(shù).設(shè)。>0,8>0,則

mi的最大值為.

方法技巧

與不等式有關(guān)的新定義題求解的關(guān)鍵是：通過(guò)讀題、審題，充分挖掘問(wèn)題中所隱含的信息，弄懂新定義

的含義，再借助新定義及不等式的性質(zhì)去解決問(wèn)題.

【變式】（2025屆北京五十五中高一上期中）定義max{〃，b，c}為。，b,c中的最大值，設(shè)

y=maxJx2,-jx,6-x,,則y的最小值為.

題型12與不等式有關(guān)的開(kāi)放探究題

【題型】（24-25高三上?北京通州期末）已知“禍+〃?均為大于0的實(shí)數(shù)，給出下列五個(gè)論斷:①心〃，②

"仇③〃?>0,④E<0,>2.以其中的兩個(gè)論斷為條件，余下的論斷中選擇一個(gè)為結(jié)論，請(qǐng)你寫出一

a+m（i

個(gè)正確的命題_________.

方法技巧

此題考查根據(jù)不等式的性質(zhì)比較大小，在已知條件中選擇兩個(gè)條件推出第三個(gè)條件，屬于開(kāi)放性試

題，寫出一個(gè)符合要求的答案即可.

【變式】（23-24高一上.北京西城?期中）已知a,b,c為實(shí)數(shù)，能說(shuō)明"若則/>權(quán)」為假命題的

一組a,h,c的值是.

強(qiáng)化訓(xùn)I練

一、單選題

1.為安全燃放某種煙花，現(xiàn)收集到以下信息：

①此煙花導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.6厘米；

②人跑開(kāi)的速度為每秒4米；

③距離此煙花燃放點(diǎn)50米以外（含50米）為安全區(qū).

為了使導(dǎo)火索燃盡時(shí)人能夠跑到安全區(qū)，導(dǎo)火索的長(zhǎng)度x（厘米）應(yīng)滿足的不等式為（）

YYYY

A.4X部<5。B.4X^>50C.4x<50D.4x蕊>5°

2.設(shè)M=2a（〃-2）,N=（a+l）（a—3）,則（）

A.M>NB.M<NC.M=ND.不確定

3（2025?山西臨汾?二模）若3W，”5,-2?8W1,則加一力的范圍是（）

A.[8,9]B.[4,8]C.[5,8]D.[5,12]

4.（24-25高一上?北京?期中）若a,b,c為非零實(shí)數(shù)，且b>c,則（）

A.a+b>cB.ab>c2C.a+b>2c

5.若a>b>C,a+2Z?+3c=0,則(

A.ab>acB.ac>beC.ab>be碓|>明

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.（21-22高?上?遼寧大連?期中）近來(lái)豬肉價(jià)格起伏較大，假設(shè)第一周、第二周的豬肉價(jià)格分別為。元/斤、

8元/斤，甲和乙購(gòu)買豬肉的方式不同，甲每周購(gòu)買20元錢的豬肉，乙每周購(gòu)買6斤豬肉，甲、乙兩次平均

單價(jià)為分別記為叫，機(jī)2,則下列結(jié)論正確的是（）

A.叫=叫B./?)>m-.

班，叫的大小無(wú)法確定

C.m2>叫D.

8.（2025?廣西南寧?模擬預(yù)測(cè)）DeepSeek由杭州深度求索人工智能基礎(chǔ)技術(shù)研究有限公司推出，該公司是

一家專注于人工智能（AI）的中國(guó)初創(chuàng)公司.其AI模型于2024年年底發(fā)布，此模型足以媲美ChalGPT,

一經(jīng)推出便成為全球熱門話題.利用AI進(jìn)行學(xué)習(xí)已經(jīng)成為一種學(xué)生自主學(xué)習(xí)的全新方式，但是目前市場(chǎng)各

種AI模型運(yùn)算參差不齊.技術(shù)人員對(duì)〃個(gè)AI模型進(jìn)行測(cè)試，測(cè)試由〃2道題組成，每個(gè)AI模型都對(duì)這，〃道

題逐一進(jìn)行求解.若一道題至少有:〃個(gè)AI模型未解對(duì)，則稱此題為難題；若一個(gè)AI模型至少解出了

JJ

99

道題，則該AI模型測(cè)試成績(jī)合格.如果測(cè)試至少有《〃個(gè)AI模型成績(jī)合格，且測(cè)試中至少有彳，〃道題為難

題，那么加〃的最小值為（）

A.6B.9C.18D.27

二、多選題

9.（25-26高一上?全國(guó)?課后作業(yè)）設(shè)P=&,Q=行-瓜R="-曰則P,Q,R的大小關(guān)系是（）

A.P>RB.R>QC.P<RD.R<Q

10.十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先抄'今作為等號(hào)使用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利

奧特苜次使用“V”和符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若

則下列命題正確的是（）

A.若w0且”〃，則一>一B.若0V。v1,貝JB<a

C.若a>b>0,則>-D.若c<0<a且wvO,則

a+\a

H.（24-25高一下?廣西柳州?開(kāi)學(xué)考試）在下列四個(gè)命題中，正確的是（

A.若ac2<be2,貝lja>h

b+ca+d

B.若a>b>O,cvdvO,則西^匹了

919

C.已知一l?a+Z?<4,2<a-b<3,則一<3。一2〃4一