13.3.1三角形的內(nèi)角（第二課時）

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)題

1.在RtZ\ABC中，ZC=90°,N8=55°,則N4的度數(shù)為（）

A.35°B.45°C.135°D.145°

2.直角三角形的一個銳角是另一個內(nèi)角的4倍，則這個銳角的度數(shù)為（）

A.72°B.22.5°C.90°D.18°

3.將一個含30°角的三角尺和直尺如圖放置，若Nl=50。，則/2的度數(shù)是（）

A.60°B.50°C.40°D.30°

4.如圖所示，在△A8C中，BD,CE是兩條高，NA=50°,則N8OC=（）

A.110°B.120°C.130°D.140°

5.在△/WC中，三個內(nèi)角度數(shù)之比為1：2：3,則△A4C最大角的度數(shù)為.

6.在△48C中，N4+N3=90。，那么△A8C是（填“直角三角形”、“鈍角三角形”

或“銳角三角形”）.

7.如圖，/XABC中，ED//AC,ZB=55°,/OE8=90°,則/A的度數(shù)為.

8.利用平行線的知識證明“直角三角形中兩銳角互余”的一種證法如下：

已知：△A8C中，ZC=90°.

求證：/B+NBAC=90°.

證明：如圖，過點A作人QJ_AC,(①)

則N￡>4C=90°.

VZC=90°,

???ND4C+NC=900+90°=180°.

：.DA//BC.(②)

???NB=NOA3.

：.ZB+ZBAC=ZDAB+ZBAC=ZDAC^O0.

上述證法中，為說明輔助線的做法合理，①處應(yīng)填寫的依據(jù)是；

證明過程中，②處應(yīng)填寫的依據(jù)是.

9.如圖，已知AO_LOC,BCLDC,若AM平分N84D,BM平分NABC,求NAMB的度數(shù).（不需要注明

文字理由）Ac

10.已知：如圖1,在△A8C中，CO是面，若NA=NOC8.

C

圖1

（1）試判斷△ABC的形狀，棄說明理由;

（2）如圖2,若A￡是△A8C的角平分線，AE.C。相交于點E求證：ZCFE=ZCEF.

B能力提升題

11.在下列條件中：①NA+NC=/8；②NA：ZB：ZC=2：3：5；③NA=90°-Zfi；@ZA=ZB=1zC

中，能確定aABC是直角三角形的條件有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

12.如圖，在RtZXANC中，NC'=9U°,NH4C的平分線A“交NC'于點。，NAHC1的平分線交AC于

點、E,且AD與8E相交于點F,過點。作QG〃/W,過點8作8G_LQG交。G于點G.下列結(jié)論中，

不一定正確的是（）

A.ZAFB=135°B./BDG=2NCBE

C.ZBEC=ZFBGD.8c平分N4?G

B

C

，

ABA------------------E~~C

第12題圖第13題圖

13.如圖，AC工BC,CDLAB,DE±AC,則結(jié)論:①/1=N2；②N2=N4；③DE〃BC；④NB+NDCE

=90°中，正確的結(jié)論為____________（填序號）.

14.如圖，將一個直角三角板。EF放置在銳角三角形ABC上,使得該三角板的兩條直角邊0￡,DF恰好

分別經(jīng)過點8,C,若NA=50'，求N48O+/AC。的度數(shù).

hA

BC

E

c

15.如圖一副三角板A80和三角板COD中(NAOB=90°,ZCOD=90°,NA=45°,ZC=60°),若

COLAB,則能用圖中字母表示出的角中互余的角有對.

16.定義：如果一個三角形有兩個內(nèi)角的差為90°,那么這樣的三角形叫做“準(zhǔn)直角三角形”.若△ABC是

“準(zhǔn)直角三角形"，且NA=40'，ZC>90°,求N8的度數(shù).

13.3.1三角形的內(nèi)角（第二課時）

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)題

1.在RtaABC中，ZC=90°,N8=55°,則N4的度數(shù)為（）

A.35°B.45°C.135°D.145°

【分析】根據(jù)二:角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計算即可.

【解答】解：在RtZVWC中，ZC=90°,NB=55°,

AZA=90°-N/3=90°-55°=35°.

所以NA的度數(shù)為35°.

故選：A.

【點評】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)

健.

2.直角三角形的一個銳角是另一個內(nèi)角的4倍，則這個銳角的度數(shù)為（）

A.72°B.22.5°C.90°D.18°

【分析】設(shè)另一個內(nèi)角的度數(shù)是x，則這個銳角的度數(shù)是4x,由直角三角形的性質(zhì)得到x+4.r=90°,求

出x=18°,即可得到答案.

【解答】解：設(shè)另一個內(nèi)角的度數(shù)是x,則這個銳角的度數(shù)是4M

???這個三角形是直角三角形，

/..r+4x=90°,

???x=18°,

，這個銳角的度數(shù)是4x=72°.

故選：A.

【點評】本題考查直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握直角三角形的兩個銳角互余.

3.將一個含30°角的三角尺和直尺如圖放置，若Nl=50。，則N2的度數(shù)是（）

A.60°B.50°C.40°D.30°

【分析】由對頂角的性質(zhì)得到N3=N1=5O°,Z2=Z4,求出N4=90°-N3=40°,即可得到N2

的度數(shù).

【解答】解：如圖,

VZ3=Z1=5O°,

AZ4=90°-Z3=40°,

/.Z2=Z4=40°.

故選：C.

【點評】本題考查直角三角形，對頂角，關(guān)鍵是掌握對頂角相等，直角三角形的兩銳角互余.

4.如圖所示，在△ABC中，BD,CE是兩條高，NA=50°,則N80C=()

A.110°B.120°D.140°

【分析】由三角形內(nèi)角和得NA4C+NAC4=180°-ZA=130°,根據(jù)高線定義得NABQngO。-NA

=40°,NACE=90°-NA=40°,進(jìn)而解答即可.

【解答】解：???NA=50°,BD,CE是兩條高,

/.ZAEC=ZADB=9Q°,，NABC+N4c8=180°-N4=130°,

???N4BO=90°-ZA=40°,N4CE=90°-NA=40°,

則/0BC+N0C8=(NABC+乙4CB)-(ZABD+ZACE)=130°-80°=50°,

???N80C=I80°-50°=130°,

故選：C.

【點評】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理、高線的定義

是解題的關(guān)鍵.

5.在△A8C中，三個內(nèi)角度數(shù)之比為1：2：3,則△ABC最大用的度數(shù)為

【分析】在△ABC中，由三個內(nèi)角度數(shù)之比結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，即可求出△A8C最大用的度數(shù).

【解答】解：在△44。中，三個內(nèi)角度數(shù)之比為1：2：3,且三個內(nèi)角度數(shù)之和為180°,

???△ABC最大角的度數(shù)為180x1Tlz^=90°.

故答案為：90°.

【點評】本題考查/三角形內(nèi)用和定理，牢記”三角形內(nèi)角和是180?！笔墙忸}的關(guān)鍵.

6.在△ABC中，N4+NB=90°,那么AABC是直角三角形(填“直角三角形”、“鈍角三角形”或

“銳角三角形”).

【分析】根據(jù)直角三角形的判定解答即可.

【解答】解:VZA+ZB=90°,

AZC=180°-90°=90°,

J△ABC是直角三角形，

故答案為：直.角三角形.

【點評】此題考查直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)直角三角彩的判定解答.

7.如圖，△ABC中，ED//AC,/B=55°,ZDEfi=90°,則NA的度數(shù)為35°.

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NQ.再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可.求解.

【解答】解：VZB=55°,NDEB=90：

：.ZBDE=1800-ZB-ZDEB=180°-55°-90°=35°,

VED//AC,

/.ZA=ZBDE=35°,

故答案為:35°.

【點評】本題考直了三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)，熟記以上知識點是解題的關(guān)鍵.

8.利用平行線的知識證明“直角三角形中兩銳角互余”的一種證法如下：

已知：△A8C中，ZC=90°.

求證：NB+NBAC=90°.

證明：如圖，過點從作4。_1_42,(①)

則NOAC=90°.

VZC=90°,

/.ZDAC+ZC=900+90°=180°.

：,DA//BC.(@)

：.ZB=ZDAB.

???NB+NBAC=ND48+/A4C=ND4C=90°.

上述證法中，為說明輔助線的做法合理，①處應(yīng)填寫的依據(jù)是在同一中面內(nèi)，過一點有且只有一條直

線與已知直線垂直；

證明過程中，②處應(yīng)填寫的依據(jù)是同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

【分析】由垂線的性質(zhì)，平行線的判定方法和性質(zhì)，即可得到答案.

【解答】解：①處應(yīng)填寫的依據(jù)是在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；

②處應(yīng)填寫的依據(jù)是同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

故答案為：在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

【點評】本題考查直角三角形的性質(zhì)，余角和補(bǔ)角，平行線的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握垂線的性質(zhì)，平

行線的判定方法和性質(zhì).

9.如圖，已知AQ_LQC,BCA.DC,若AM平分N84Q,4例平分NA3C,求的度數(shù).(不需要注明

文字理由)

【分析】由BCLDC,可得出入?！˙C,利用“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”，可得出N84D+

ZABC=180°,結(jié)合角平分線的定義，可求出N8AM+NABM=90°,再在△ABM中，利用三角形內(nèi)角

和定理，即可求出NAM4的度數(shù).

【解答】解：VAD1DC,BCIDC,

：,AD//BC,

：.ZBAD+ZABC=\SO°.

平分N54D,8M平分NA8C,

：.ZBAM=^ZBAD,ZABM=jzABC,

乙乙

1111

：.^BAM+^ABM=^BAD+^ABC=^（ZBAD+ZABC）=4x180°=90°.

乙一乙乙

在△48M中，NB4M+NABM=90°,

???/AM8=l80°-（NBAW+NABM）=180°-90°=90°.

【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、平行線的判定與性質(zhì)以及角平分線的定義，牢記“三角形內(nèi)角

和等于】80度”是解題的關(guān)鍵.

10.已知：如圖1,在△A4C中，。。是高，若NA=NDCB.

（2）如圖2,若AE是△4BC的角平分線，AE.CD相交于點立求證：/CFE=NCEF.

【分析】（1）根據(jù)題意可以求得NQCB+NACQ的度數(shù)，從而可以解答本題；

（2）根據(jù)題意和（1）中的結(jié)論，直角三角形中兩個銳角互余和對頂角相等，可以求得結(jié)論成立.

【解答】（1）解.：△ABC是直侑三角形，理由如下：

???在△ABC中，CO是高，ZA=ZDCB,

???NCD4=90°,

???NA+NACO=90°,

???/OCB+N4c0=90°,

，N4CB=90°,

???△ABC是直角三角形：

（2）證明：???AE是角平分線,

：,ZDAF=ZBAE,

VZFDA=90°,NACE=90°,

/.ZDAFiZAFD=90°,ZCAEiZCEA=90°,

ZAFD=ZCEA,

*/ZAFD=ZCFE,

：./CFE=/CEA,

即NCFE=NCEF.

【點評】本題考查三角形內(nèi)角和，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)

合的思想解答.

能力提升題

11.在下列條件中：?ZA+ZC=ZB；②/A：ZB：ZC=2：3：5；③乙4=90°-ZB；@ZA=ZB=1zC

中，能確定△A3。是直角三角形的條件有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據(jù)直角三角形的判定方法以及三角形內(nèi)角和定理逐個判定即可.

【解答】解：①因為NA+NC=NB,則2N8=I8O°,即NB=90°,所以△ABC是直角三角形；

②因為NA：NB：ZC=2：3：5,設(shè)N4=2x,則2x+3x+5x=180,解得：x=18°,則/C=18°X5=

90°,所以△人BC是直角.三角形；

③因為NA=90°-NB,即NA+NB=90°,則NC=180°-90°=90°,所以△ABC是宜角三角形；

④因為乙4二則=++=180。，解得：NC=90°,所以△48C是直角三角形.

/22

所以能確定△A3。是直角三角形的有①②③④，共4個.

故選：D.

【點評】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理、直角三角形的定義等知識點，掌握三角形的內(nèi)侑和為180°

是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，在RtZ\ABC中，ZC=90°,NB4C的平分線4。交于點。，NABC的平分線BE交AC于

點、E,且AO與8E相交于點F,這點。作過點月作8GJLOG交ZX7于點（7.下列結(jié)論中，

不一定正確的是（）

A.ZAFB=135°B./BDG=2NCBE

C.ZBEC=ZFBGD.8c平分/48G

【分析】由角平分線定義求出NA4r+NA8尸=45°,由三角形內(nèi)角和定理得到NA以=1800?45°=

135°,由平行線的性質(zhì)推出N8DG=/A8C,由角平分線定義得到NA8C=2/C8E,因此/8OG=2/

CBE,由余角的性質(zhì)推出N8EC=N/BG,N48C不一定等于45°,因此BC不一定平分/4BG.

【解答】解：??YD平分N84C,8E平分NA8C,

?'與NZMC,NABF=#ABC,

：.ZI3AF+ZABF=1(ZBAC+ZABC)=1x(1800-ZC)=1x(180°-90°)=45°,

乙乙乙

AZAra=180°-45°=135°,

故A不符合題意；

*：DG//AB,

：.ZBDG=ZABC,

〈BE平分N4BC,

???NABC=2/CBE,

:?NBDG=2/CBE,

故B不符合題意；

?：DG〃AB,BGLDG,

/.UGA-Ali,

AZABF+ZFBG=90°,

VZC=90°,

:?/CBF+/BEC=9N,

〈BE平分/ABC,

???NABF=NCBF,

：.Z1BEC=乙FBG,

故C不符合題意；

???4GJ_A4,

8G=90°,

如果8c平分NA8G,那么乙4BC=2N4BG=45°,

但NA8C不一定等于45°,

故。符合題意.

故選：。.

【點評】本題考查三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，角平分線定義，余角和補(bǔ)用，關(guān)鍵是由角平分線

定義得至IJN84尸+NA8尸=45°,由三角形內(nèi)角和定理求出NAFB的度數(shù)，由余角的性質(zhì)推出N8EC=N

FBG.

13.如圖，ACLBC,CD1AB,DELAC,則結(jié)論：①N1=N2；②N2=NA；?DE//BC^④NB+NDCE

=90°中，正確的結(jié)論為（D@③（填序號）.

【分析】根據(jù)平行線的判定可得DE//DC,由此即可判斷③正確；根據(jù)平行線的性質(zhì)即可判斷①正確；

過點4作4/_L4C,則AF〃QE,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/。4/=乙40￡再根據(jù)垂直的定義可得N84C+

ZD4F=90°,Z2+ZADE=90°,由此即可判斷②正確；假設(shè)NB+NOCE=90°,則/B=NBAC,再

根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/B=/D4F,從而可得NBAC=NDA尸=45°,由此即可判斷④錯誤.

【解答】解：*：DELAC,ACLBC,

：.DE//BC,

，③正確：

■:DE//BC,

AZ1=Z2,

???①正確；

如圖，過點4作AFJ_AC,

：.AF//DE,

：?/DAF=4ADE,

*：AFA-AC,CD±AB,

：.ZBAC+ZDAF=90°,N2+NAOE=90°,

?：ZDAF=ZADE,

???N2=NBAC,

???②正確；

假設(shè)NB+NOCE=90°,

9：ACIBC,

，N1+NQCE=9O0,

，N4=N1,

由①②可知，Z\=Z2=ZBAC,

：,ZB=ZBAC,

?：Ar//DE,

，N8=ND4F,

：,ZBAC=ZDAF,

'：AFLAC,

???/行1C=9O°，

：.ZBAC=ZDAF=450,但杈據(jù)已知條件不能得出N8AC=45°,

，假設(shè)不成立，

???結(jié)論④錯誤；

故答案為：①②③.

【點評】本題主要考查了垂直、平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

14.如圖，將一個直角三角板DE/放置在銳角三角形ABC上，使得該三角板的兩條直角邊。E,DF恰好

分別經(jīng)過點B,C,若NA=50',求NABD+/ACO的度數(shù).

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出NA8ONAC8的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余的關(guān)系得到

ZD13C+ZDCB=90°,由此即可得到答案.

【解答】解：如圖所示，連接8C,

VZA+ZABC+ZACfi=180°,NA=50°，

/.ZABC+ZACB=180°-ZX=130°,

VZBDC=90°，

??.NO8C+NQCB=90°，

：.ZABD+ZACD=(NABC+/AC8)(NDBC+NDCB)=130°-90°=40°,

【點評】此題考查三角形的內(nèi)角和定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握直角三角形兩銳角互余的關(guān)系.

C

15.如圖一