2026中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：幾何模型一一瓜豆模型專(zhuān)題

一、模型背景

初中數(shù)學(xué)有一類(lèi)動(dòng)態(tài)問(wèn)題叫做主從聯(lián)動(dòng)，也叫瓜豆原理，也可以稱(chēng)它為旋轉(zhuǎn)相似這類(lèi)問(wèn)題在解答的時(shí)候

需要有軌跡思想，就是先要明確主動(dòng)點(diǎn)的軌跡，然后要搞清楚主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系，進(jìn)而確定從動(dòng)點(diǎn)的

軌跡來(lái)解決問(wèn)題。

瓜豆原理」一個(gè)主動(dòng)點(diǎn)，一個(gè)從動(dòng)點(diǎn)（根據(jù)某種約束條件，跟著主動(dòng)點(diǎn)動(dòng)），當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，從動(dòng)點(diǎn)的

軌跡相同.

（占人云：種瓜得瓜，種豆得豆.“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”.）

二、模型解讀

1.兩動(dòng)一定

2、兩動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的連線夾角是定角

3、兩動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比值是定值

那么，兩動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是相似的，運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度的比和它們到定點(diǎn)的距離比相同。

（一）直線型瓜豆

已知：點(diǎn)C是線段AB外的定點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接PC,E是PC的中點(diǎn)（意味著定角是0°,

定值是1：2）

可以看出，隨著點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)就跡也是直線，且軌跡比等于它們到定點(diǎn)的距離比,

即EE':PP'=EC:PC

>直線型拓展

已知：點(diǎn)C是線段AB外的定點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，m0E是等腰直角畫(huà)且CP=EP（意味著定角是

45,,定值是1：五）

可以看出，隨著點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡也是直線，且軌跡比等于它們到定點(diǎn)的距離比,

即EE':PP'=EC:PC

例題1.已知邊長(zhǎng)為6的等邊團(tuán)ABC中，E是高AD所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BE,將線段BE繞點(diǎn)B順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)60。，得到BF,連接DF,則在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)線段DF長(zhǎng)度為最小值時(shí)，DE的長(zhǎng)度為（）

輯：連掙CF,

丁等邊▲A6C,「.A6=6C

「找段6EA點(diǎn),6顧時(shí)計(jì)表里60°得到6F

VCD=3,

ACE=6F,ZA6E=NC6F,???CF:竽

「?▲A6E8▲GCF（ASA）.

/.AE=

，CF=AE,N6CF二W。，

?「AD=3力

此F在直嫉CF上運(yùn)動(dòng)，

「.DE二亭

當(dāng)DF_LCF時(shí)，DF晶小，

-2-

（二）圓型瓜豆

已知：點(diǎn)A是圓外的定點(diǎn)，點(diǎn)P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP,點(diǎn)E是AP的中點(diǎn)（意味著定角是0°,定值是

1：2）

結(jié)論：同理，隨著點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡也是圓。且半徑是圓的一半。

例題2.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=9O°,AC=5,BC=12,D是以點(diǎn)A為圓心，3為半徑的圓上一點(diǎn)，連

接BD,M是BD的中點(diǎn)，則線段CM的最小值是（）。

A.3B.4C.5D.6

褥：加A6的中點(diǎn)注癌

OM,AD.

??力旦。6為中點(diǎn).，

,/OM//AD,OM二十AD,

：.AD二3

二.OM二Y

「.M點(diǎn),在MO力固心

牛化為國(guó)上

?.?NAC6:%°,AC

6C;It,

???A6:氏CO=

二.CM的是小值為-p-----=S,冰蓬C

-3-

三、專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

1.如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形A8CO中，。是邊4。的中點(diǎn),E是邊A8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A重合），以

線段AE為邊在正方形內(nèi)作等邊△AE/L用是邊防的中點(diǎn),連接RW,則在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的最

小值是（）

3x/3

D.3

2.如圖，在正方形A8C力中，力8=5,E為A8邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F在5C邊上，且8尸=1,將點(diǎn)E繞著點(diǎn)F

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)G,連接DG,則DG的長(zhǎng)的最小值為（）

A.3B.2.5C.4D.而

3.如圖，正方形A8CO的邊長(zhǎng)為4,/8CM=30。，點(diǎn)E是直線CM上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接班:，線段跳:繞點(diǎn)

B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到為方，連接D/，則線段O/長(zhǎng)度的最小值等于（）

A.4夜-4B.2x/2-2C.2屈-2+D.氐一也

-4-

4.如圖，長(zhǎng)方形468中，48=3,30=4,E為BC上一點(diǎn)，且小一1,F為八〃邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接￡尸,

將所繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。到EG的位置，連接CG,則CG的最小值為

5.如圖，矩形ABC。中，AB=6,4)=4,E是48的中點(diǎn)，廠是直線EC上一動(dòng)點(diǎn)，P為。尸的中點(diǎn),

則莊的最小值為.

6.如圖，正方形ABCO的邊長(zhǎng)為2加。是邊8C的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且比=2,連接。心

將線段OE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段。尸，連接AEORCF,則線段O尸的長(zhǎng)的最小值為

7.如圖,正方形A8CD中,45=4,點(diǎn)E為邊3C上一動(dòng)點(diǎn),將點(diǎn)A繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)F,則。尸

的最小值為_(kāi)_________

B

-5-

8.如圖，在矩形A3CD中，A8=5,改?=5有，點(diǎn)P在線段〃。上運(yùn)動(dòng)（含B,C兩點(diǎn)），連接AT,以點(diǎn)

A為中心，將線段相逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到4。，連接OQ,則線段QQ的最小值為.

9.如圖，在矩形48co中，A8=2,BC=4,F為BC中點(diǎn)、,。是線段8C上一點(diǎn)，設(shè)8P=〃z（0<〃7W4）,

連結(jié)A尸并將它繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段正，連結(jié)。區(qū)EF,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)4向點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,

有下面四個(gè)結(jié)論：①點(diǎn)E到邊的距離為“；②當(dāng)〃時(shí)，ZEFP=135°；③直線所不經(jīng)過(guò)點(diǎn)。;

④原的最小值為0.其中結(jié)論F確的序號(hào)是

10.如圖，在平行四邊形ABCD中，A8=6,8c=10,/8=60°,點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)（含B、（:兩點(diǎn)）.連

接AE,以點(diǎn)A為中心，將線段AE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到AF,連接DF,則線段DF長(zhǎng)度的最小值為

11.如圖，已知正方形A8CD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E是A8邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接EO,將E。繞點(diǎn)七順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。

到防，連接。尸,b,則+b的最小值是.

12.如圖，已知NMCW=30。，B為OA/上一點(diǎn)，BAION于A,四邊形A2CZ）為正方形，P為射線8W上

一動(dòng)點(diǎn)，連接CP,將CP繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得CE,連接BE,若八3=2,則BE的最小值為

13.如圖，在菱形A8CO中，ZB=60°,AO=4,點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，ZDEF=60°,DF八EF于

點(diǎn)F,連接C7＜在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，長(zhǎng)的最小值為.

14.如圖，已知線段AB=12,點(diǎn)C在線段AB上，HZ\ACD是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，以CD為邊的右側(cè)

作矩形CDEF,連接DF,點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，連接MB,則線段MB的最小值為.

E

M

CB

-7-

15.(1)如圖①，在邊長(zhǎng)為5的等邊中，點(diǎn)。為“。上一點(diǎn)，BD三2,過(guò)￡>作。￡//48,垂足為E,

點(diǎn)2是線段AE上一動(dòng)點(diǎn)，以P。為邊向右作等邊△叨”.

(i)過(guò)點(diǎn)尸作尸GJL8C于G,證明：DE=FG.

("D當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，求點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng).

(2)如圖2,在長(zhǎng)方形A8CQ中，8c=2夜+1，CD=2五，ZDCB=90°.E為8C上一點(diǎn)，且8E=1,F

為A8邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作頂角N在G=45。的等腰工FEG,連接CG,求CG的最小值.(提示：等腰直

角三角形的三邊長(zhǎng)。，b>C滿(mǎn)足4：〃：c=1：1：&)

16.如圖，四邊形ABCD中，AD//BC,ZABC=60-,AD=AB=2,BC=4,E為射線CB上的動(dòng)點(diǎn)，將線段

AE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到設(shè)CE=xABEE，的面積為S.

(1)當(dāng)x=3時(shí)，求4￡的長(zhǎng)：(2)當(dāng)工工4時(shí)，求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式：⑶求力￡的最小值.

-8-

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtA4Q3的一條直角邊在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6/）；Rt二COZ）中，

ZCOD=90°,00=46,NO=30。，連接8C,點(diǎn)M是8c中點(diǎn)，連接AM.將Rt&COD以點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中

心按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段AM的最小值是（）

A.3B.6及-4C.2V13-2D.2

18.如圖，已知正方形A8CO的邊長(zhǎng)為4,以點(diǎn)A為圓心，1為當(dāng)徑作圓，E是A上的任意一點(diǎn)，將OE繞

點(diǎn)D按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到。尸，連接AF,則町的最小值是（

A.4x/3-lB.4x/2-lC.4庠2D.4如

19.如圖，在矩形A8CD中，AB=2,/＞是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C,。繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)E,

F,若在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中/E4/的度數(shù)最大值恰好為90。，則8C的長(zhǎng)度為.

20.在菱形A8CO中，ZD=60°,CD=4,以A為圓心2半徑作0A,交對(duì)角線AC于點(diǎn)E,點(diǎn)F為CM上

一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)O7,點(diǎn)G為C/中點(diǎn)，連結(jié)3G,取3G中點(diǎn)H,連結(jié)A”，則A”的最大值為.

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21.如圖，點(diǎn)M是等邊三角形A3C邊6c的中點(diǎn)，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，連接廿，將線段“以A為中心逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AQ,連接MQ.若A8=4,MP=\,則MQ的最小值為.

22.如圖，在RlZ\ABC中，4CB=9O。，AC=3,BC=6,BD=2,以點(diǎn)8為圓心，BO長(zhǎng)為半徑作圓.點(diǎn)

E為24上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)EC,作/C_LCE,垂足為C,點(diǎn)尸在直線3C的上方，且滿(mǎn)足?！?3。石，連結(jié)

BF,點(diǎn)E在。歸上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，班'存在最大值為.

23.如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,以點(diǎn)A為圓心，2為半徑作圓，點(diǎn)E是OA上的任意一點(diǎn)，將點(diǎn)

E繞點(diǎn)D按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)F,連接AF、DF,則AF+^DF的最小值是.

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24.如圖，點(diǎn)A,C,N的坐標(biāo)分別為(-2,0),(2,0),(4,3)，以點(diǎn)C為圓心、2為半徑畫(huà)QC，點(diǎn)P在上運(yùn)

動(dòng)，連接AP，交0c于點(diǎn)Q，點(diǎn)M為線段。2的中點(diǎn)，連接MN，則線段MN的最小值為?

25.如圖，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(2,0),B(0,2),點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=L點(diǎn)M為線段

AC的中點(diǎn).連接OM?則OM的最大值為.

26.如圖，在矩形/WCO中，A8=4,AQ=8,。是矩形A4c。左側(cè)一點(diǎn)，連接入。、BQ，且4QB=90°，

連接。Q,E為。。的中點(diǎn)，連接CE,則CE的最大值為.

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27.如圖，在平面直角坐標(biāo)系”3,中，半徑為4的：。與x軸的正半軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)。是：。上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)

3

。為弦”的中點(diǎn)，直線產(chǎn)T?6與x軸、,軸分別交于點(diǎn)"E,則&COE面積的最大值為一

3

28.如圖，在正方形A8CO中，34,EC=-,以點(diǎn)七為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形/無(wú)尸（DEE

為順時(shí)針排列），連接AF,則M的長(zhǎng)為，AF的最大值為.

29.已知矩形A38,/W=6,3C=4,P為矩形A8C力內(nèi)一點(diǎn)，且/8PC=135。，若點(diǎn)。繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。

到點(diǎn)Q,則產(chǎn)。的最小值為

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30.如圖，/W是正方形八3CZ）邊C。的中點(diǎn)，〃是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接R>,線段〃/）以“為中心逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90。得到線段8Q,連接MQ.若44=4,M~=l,則M。的最小值為

31.如圖，在RtZSABC中，ZABC=90°,N84C=30°,BC=4,點(diǎn)。是半徑為4的A上一動(dòng)點(diǎn)，連接

C。，點(diǎn)七是CD的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)。落在線段4C上時(shí)，則CE的長(zhǎng)度為；若點(diǎn)。在04上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)8￡

取最大值時(shí)，CE的長(zhǎng)度是

32.如圖，正方形A8CO中，AB=4,M是CO邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以CM為直徑的圓與相交于點(diǎn)Q,P

為CO上另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接40，PQ,則AP+R2的最小值是.

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33.(1)如圖①，銳角uSC中，A8=4,Z￡MC=45°,的平分線交。。于點(diǎn)。，E,〃分別是

人8和AO上的動(dòng)點(diǎn)，則4尸+￡廠的最小值為；

(2)如圖②，在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCO中，ZA=60°,尸是人。邊的中點(diǎn)，若線段上4繞點(diǎn)P旋