結(jié)構(gòu)力學(xué)必修·學(xué)科基礎(chǔ)課城市建設(shè)學(xué)院第十章影響線及其應(yīng)用10.1概述一、移動(dòng)荷載對(duì)結(jié)構(gòu)的作用:移動(dòng)荷載對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力作用:啟動(dòng)、剎車、機(jī)械振動(dòng)等。實(shí)例：橋梁承受火車、汽車的荷載；廠房中的吊車梁承受吊車荷載二、影響線是研究移動(dòng)荷載作用的工具

利用以前的方法解決移動(dòng)荷載對(duì)結(jié)構(gòu)的作用時(shí)，難度較大。例如吊車在吊車梁上移動(dòng)時(shí)，RB、MC的求解。RABAP1lRBP2dC

影響線是研究移動(dòng)荷載作用問(wèn)題的工具。根據(jù)疊加原理，首先研究一系列荷載中的一個(gè)，而且該荷載取為方向不變的單位荷載。

影響線是研究移動(dòng)荷載作用的基本工具。當(dāng)一個(gè)指向不變的單位集中荷載（通常為豎直向下）沿著結(jié)構(gòu)移動(dòng)時(shí)，表示某一指定截面某一量值（內(nèi)力或反力）變化規(guī)律的圖形，稱為該量值的影響線。三、影響線的定義：217頁(yè)例如：當(dāng)P=1在AB梁上移動(dòng)時(shí)，RA、RB、MC、QC的變化規(guī)律就分別稱為反力RA

、RB

、彎矩MC

、剪力QC的影響線。CBAP=110.2用靜力法繪制靜定結(jié)構(gòu)的影響線一、靜力法：

用靜力法繪制影響線，方法是以x表示移動(dòng)荷載的作用位置,根據(jù)靜力平衡條件確定所求量值(支座反力或內(nèi)力)與移動(dòng)荷載位置x之間的函數(shù)關(guān)系，這種關(guān)系式稱為影響線方程，然后根據(jù)影響線方程做出影響線。

二、靜力法繪制影響線的步驟：1.由靜力平衡方程求出量值的影響線方程。2.根據(jù)影響線方程作出影響線。三、繪制影響線的正負(fù)規(guī)定：

通常規(guī)定向上為正，正值的豎標(biāo)繪在基線的上方，并注明正號(hào)。向下為負(fù)，負(fù)值的豎標(biāo)繪在基線的下方，并注明負(fù)號(hào)。四、簡(jiǎn)支梁的影響線1.支座反力影響線(圖10-1)RA影響線RＢ影響線2、彎矩影響線(圖10-2)（1）P=1作用在AC段，研究CB段：

2、彎矩影響線(圖10-2)（2）P=1作用在CB段，研究AC段：2、彎矩影響線(圖10-2)（1）P=1作用在AC段，研究CB段：（2）P=1作用在CB段，研究AC段：MC影響線

左、右直線：3、剪力影響線(圖10-2)（1）P=1作用在AC段，研究CB段：3、剪力影響線(圖10-2)（2）P=1作用在CB段，研究AC段：3、剪力影響線(圖10-2)（1）P=1作用在AC段，研究CB段：（2）P=1作用在CB段，研究AC段：11b/la/lQC影響線五、外伸梁的影響線1.繪制跨內(nèi)部分和支座反力影響線時(shí)，方法同簡(jiǎn)支梁，只需保持斜率不變將簡(jiǎn)支梁的影響線延長(zhǎng)到桿端即可。2.繪制外伸部分的影響線時(shí)，取外伸部分的控制點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。1.支座反力影響線(圖10-3)作支座反力RA和RB的影響線：（1）寫出影響線方程：（2）根據(jù)影響線方程作出影響線。11RA影響線RB影響線l1CxBAP=1labl2EDl1CxBAP=1labl22、跨內(nèi)部分截面彎矩和剪力影響線(圖10-3)DEl1CxBAP=1labl2DE作MC和QC的影響線：（1）寫出影響線方程：當(dāng)P=1在C截面以左:當(dāng)P=1在C截面以右:l1CxBAP=1labl2（2）根據(jù)影響線方程作出影響線。a1a/lab/lb/l1bMC影響線QC影響線DE3、外伸部分截面彎矩和剪力影響線(圖10-4)作外伸部分MK和QK的影響線：（1）寫出影響線方程：當(dāng)P=1在K截面以左:當(dāng)P=1在K截面以右:（2）根據(jù)影響線方程作出影響線。4、A支座截面的剪力影響線(圖10-4)作A支座截面的剪力影響線：QA左可由QK影響線使截面K趨于截面A得到，QA右可由QC影響線使截面K趨于截面C得到。（2）根據(jù)影響線方程作出影響線。六、影響線與內(nèi)力圖比較：1、影響線：反映移動(dòng)荷載作用下結(jié)構(gòu)上某截面內(nèi)力的變化規(guī)律。2、內(nèi)力圖：反映固定荷載作用下結(jié)構(gòu)各截面內(nèi)力的分布情況。

項(xiàng)目影響線內(nèi)力圖荷載單位集中荷載實(shí)際荷載荷載位置變化的固定的橫坐標(biāo)意義表示移動(dòng)荷載P=1的位置表示豎標(biāo)所在截面的位置豎標(biāo)意義表示指定量值表示豎標(biāo)所在截面量值圖形范圍P=1移動(dòng)的桿段整個(gè)結(jié)構(gòu)作圖一般規(guī)定正號(hào)量值繪在基線上方，并注明符號(hào)M圖繪在受拉側(cè)，不標(biāo)符號(hào)；剪力、軸力圖與內(nèi)力影響線規(guī)定相同。表10-1影響線與內(nèi)力圖的比較CBAP=1EDMC影響線yDyEyCCBAPl/2l/2lEDM圖yEyCyD分析以上兩種情況，豎標(biāo)物理意義不同。l/2l/2l10.3用機(jī)動(dòng)法繪制（靜定結(jié)構(gòu)）影響線一、機(jī)動(dòng)法：

欲作某一量值的影響線，將該量值相應(yīng)的聯(lián)系（約束）去掉，并使所得體系沿該量值的正方向發(fā)生單位位移，由此得到的荷載作用點(diǎn)的豎向位移圖就是該量值的影響線。這種繪制影響線的方法稱為機(jī)動(dòng)法。二、優(yōu)點(diǎn)：不需要計(jì)算就能快速繪出影響線的輪廓。三、原理：虛功原理

繪制RA的影響線:以x代替A支座作用，使其發(fā)生如圖所示的虛位移，根據(jù)虛功原理：令P

=1，則四、機(jī)動(dòng)法繪影響線步驟1.作某量值的影響線，將與該量值相應(yīng)的約束去除，以未知量x代替；2.令所得機(jī)構(gòu)沿x正方向發(fā)生單位位移；3.由此所得虛位移圖即為所求量值的影響線。例10-1：用機(jī)動(dòng)法作圖示外伸梁C截面的彎矩和剪力影響線。解：1.繪制MC影響線。（1）繪制虛位移圖：令

+

=1，則虛位移圖即為所求MC影響線的輪廓。（2）根據(jù)單位位移確定控制點(diǎn)的豎標(biāo)：又2.繪制剪力影響線。（1）繪制虛位移圖：令C1C+CC2=1，則虛位移圖即為所求QC影響線的輪廓。（2）根據(jù)單位位移確定控制點(diǎn)的豎標(biāo)：令由比例關(guān)系又可求得：例：用機(jī)動(dòng)法作圖示外伸梁上截面D的彎矩和剪力影響線。解：1.繪制彎矩影響線。（1）繪制MD虛位移圖：令

=1，則虛位移圖即為所求MD影響線的輪廓。dlABP=1l2l1D

MDdEC例：用機(jī)動(dòng)法作圖示外伸梁上截面D的彎矩和剪力影響線。dlABP=1l2l1D

MDdE（2）根據(jù)單位位移確定控制點(diǎn)的豎標(biāo)：右側(cè)桿端E的豎標(biāo)=ddlABP=1l2l1DQDQD１12.繪制剪力影響線。（1）繪制QD虛位移圖。（2）根據(jù)單位位移確定控制點(diǎn)的豎標(biāo)：繪制QD影響線。E

五、機(jī)動(dòng)法口訣:

一個(gè)剛片,一段直線;

豎向鏈桿,豎標(biāo)為零;(求支座反力的影響線除外)

鉸接點(diǎn)處,有一尖角。六、機(jī)動(dòng)法繪制多跨靜定梁的影響線步驟：1.根據(jù)簡(jiǎn)支梁或外伸梁繪出基本部分的影響線；2.根據(jù)口訣繪出附屬部分的影響線；3.根據(jù)相似三角形的比例關(guān)系確定控制點(diǎn)的影響線豎標(biāo)。例10?2：用機(jī)動(dòng)法繪制圖示多跨靜定梁MK、RC的影響線。10.4間接荷載作用下的影響線一、間接荷載（結(jié)點(diǎn)荷載）對(duì)結(jié)構(gòu)的作用

間接荷載對(duì)結(jié)構(gòu)的作用可以視為結(jié)點(diǎn)荷載作用，只不過(guò)該荷載的大小隨P=1的位置改變而變化。dlAP=1DabECFB縱梁橫梁主梁二、間接荷載作用下影響線的步驟：1、先繪制出直接荷載作用下的影響線。2、將直接荷載作用下各個(gè)結(jié)點(diǎn)處的影響線豎標(biāo)頂點(diǎn)用直線逐一相連，就得到間接荷載作用下的影響線。三、間接荷載作用下繪制影響線的依據(jù)（1）影響線定義；（2）疊加原理。MF影響線yCyDADEB原體系dlAP=1DabECFB縱梁橫梁BA

主梁主梁FdlAP=1DabECFB縱梁橫梁QF影響線yCyD原體系dlAP=1DabECFB縱梁橫梁BA

主梁主梁F11例：繪制圖示結(jié)構(gòu)的ME、QE影響線。15/8ME影響線5/43/25/43/43/45/83/81/21/41/41/41/4例10-3：作圖10-9所示梁在間接荷載作用下RB、QG左、QG右、QB左、M1、Q1右的影響線。10.5桁架的影響線一、桁架上的荷載可視為結(jié)點(diǎn)荷載（間接荷載）桁架上的荷載一般也是通過(guò)橫梁和縱梁作用于桁架的結(jié)點(diǎn)上，故可按“間接荷載作用下的影響線”對(duì)待。

二、桁架影響線的繪制方法1、將P=1依次放在它移動(dòng)過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)上，分別求出每一個(gè)結(jié)點(diǎn)處影響線的豎標(biāo)。2、用直線將每個(gè)結(jié)點(diǎn)的豎標(biāo)逐一相連，即得所求量值的影響線。三、上承式桁架和下承式桁架：繪制桁架的軸力影響線時(shí)，應(yīng)注意單位荷載P=1是沿下弦移動(dòng)還是沿上弦移動(dòng)，通常將沿上弦移動(dòng)稱為上承式桁架，沿下弦移動(dòng)稱為下承式桁架，這兩種情況所做出的影響線是不同的。

例10-4:作如圖所示桁架，CE桿、DE桿、DF桿、EF桿的內(nèi)力影響線。假設(shè)單位荷載在桁架的下弦桿移動(dòng)。ⅠEⅠFHDABl=8dGCIP=1h1hRARARBRARBRARBRAⅠEⅠFHDABl=8dGCIP=1h1h解：（一）繪制NCE影響線：

1、作Ⅰ-Ⅰ截面，當(dāng)P=1在Ⅰ-Ⅰ截面左側(cè)移動(dòng)，研究右半部：RARB2、作Ⅰ-Ⅰ截面，當(dāng)P=1在Ⅰ-Ⅰ截面右側(cè)移動(dòng)，研究左半部：ⅠFHDABl=8dGCEIP=1h1ⅠhRARB2d/h16d/h1NCE影響線3d/2h1ⅠFHDABl=8dGCEIP=1h1ⅠhRARB（二）繪制NDE影響線：

1、作Ⅰ-Ⅰ截面，當(dāng)P=1在Ⅰ-Ⅰ截面左側(cè)移動(dòng)，研究右半部：EⅠFHDABl=8daGCIOⅠP=1h2hRBRA2、作Ⅰ-Ⅰ截面，當(dāng)P=1在Ⅰ-Ⅰ截面右側(cè)移動(dòng)，研究左半部：EⅠFHDABl=8daGCIOⅠP=1h2hRBRA(8d+a)/h2a/h2NDE影響線EⅠFHDABl=8daGCIOⅠP=1h2hRBRA作圖示平行弦桁架NdD的影響線。解：（一）繪制NdD影響線：

1、（1）假設(shè)P=1在上弦桿移動(dòng)，作Ⅰ-Ⅰ截面，當(dāng)P=1在截面左側(cè)移動(dòng)，研究右半部：P=1（2）假設(shè)P=1在上弦桿移動(dòng)，作Ⅰ-Ⅰ截面，當(dāng)P=1在截面右側(cè)移動(dòng)，研究左半部：P=12、（1）假設(shè)P=1在下弦桿移動(dòng)，作Ⅰ-Ⅰ截面，當(dāng)P=1在截面左側(cè)移動(dòng)，研究右半部：P=1RBRA（2）假設(shè)P=1在下弦桿移動(dòng)，作Ⅰ-Ⅰ截面，當(dāng)P=1在截面右側(cè)移動(dòng)，研究左半部：P=1RBRA例10-5作如圖10-11a所示的平行弦桁架N24,N35的影響線解：（1）繪制N24的影響線作I-I截面，當(dāng)P=1在A1之間移動(dòng)時(shí)，取I-I截面右側(cè)部分為隔離體，由，并設(shè)N24為拉力，得

（10-15）由式（10-15）可知，只要將RB的影響線豎標(biāo)乘以4d/h，并取負(fù)號(hào)，取A1部分，即得N24影響線的左直線（圖10-11c）。當(dāng)P=1在3B之間移動(dòng)時(shí)，取I-I截面左側(cè)部分為隔離體，仍由

，設(shè)N24為拉力，得由式（10-16）可知，只要將RA的影響線豎標(biāo)乘以2d/h1，并取負(fù)號(hào)，取BD部分，即得

影響線的右直線（圖10-10b）。由圖10-10b可看出，左右兩直線的交點(diǎn)正好在矩心D點(diǎn)。我們可將式（10-15）和式（10-16）統(tǒng)一寫成：（2）繪制

的影響線同理，作Ⅱ-Ⅱ截面，由

得

，即得N35影響線的影響線（圖10-11d）。10.6利用影響線求量值一、繪制影響線的目的：1.當(dāng)荷載位置固定時(shí)，利用影響線來(lái)確定某量值的大小;2.當(dāng)荷載位置變化時(shí)，利用影響線來(lái)確定最不利荷載位置，以確定該量值的最大值。

二、集中荷載位置固定時(shí)利用影響線求某量值y1y2y3ab/lMC影響線y1y2y3b/lQC影響線a/lABbClaP1P2P3DEF三、均布荷載位置固定時(shí)利用影響線求某量值

y1y2y3ab/lMC影響線y1y2y3b/lQC影響線a/lABbClaq(x)DF利用影響線求MC若q(x)為均布荷載，則上式成為：利用影響線求QCE四、集中荷載與均布荷載同時(shí)作用，位置固定時(shí)，利用影響線求某量值。五、荷載位置固定時(shí)利用影響線求某量值的步驟1.繪制直接荷載作用下的影響線圖形。2.利用公式進(jìn)行計(jì)算，注意正負(fù)號(hào)的選取。例10-6:利用影響線求C截面的彎矩和剪力。15kN8kN/m2m2m4m2mABC2110.50.50.250.25DE（2）利用公式進(jìn)行計(jì)算：10.7最不利荷載位置一.最不利荷載位置：234頁(yè)移動(dòng)荷載作用下，結(jié)構(gòu)中所有量值都隨著移動(dòng)荷載的位置的變化而變化，當(dāng)移動(dòng)荷載移動(dòng)到某一位置時(shí)，某個(gè)量值達(dá)到最大值，包括最大正值和最大負(fù)值(最小值），則此位置稱為該量值的最不利荷載位置。二.確定最不利荷載位置的步驟1.先繪制所求量值的影響線；2.根據(jù)技巧確定量值的最不利荷載位置。三、移動(dòng)均布荷載作用時(shí)最不利荷載位置1.任意斷續(xù)分布的均布荷載作用：當(dāng)均布荷載布滿影響線正號(hào)部分時(shí)，有Smax。當(dāng)均布荷載布滿影響線負(fù)號(hào)部分時(shí)，有Smin。2.一段固定長(zhǎng)度為d的移動(dòng)均布荷載：ab/lABbClaqddxdxy1y2均布荷載從當(dāng)前位置向右移動(dòng)微段dx，MC的增量為：當(dāng)dMC／dx＝0時(shí)，MC有極值。所以有：y1＝y(tǒng)2dMC＝q(y2dx–y1dx)圖10-16結(jié)論：一段固定長(zhǎng)度為d的移動(dòng)均布荷載，當(dāng)移動(dòng)至兩端點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的影響線豎標(biāo)相等時(shí)，即y1＝y(tǒng)2時(shí)，所對(duì)應(yīng)的影響線面積最大，此時(shí)量值S有最大值。四、移動(dòng)集中荷載作用時(shí)最不利荷載位置1.只有一個(gè)移動(dòng)集中荷載P作用：235頁(yè)當(dāng)P移動(dòng)至影響線最大豎標(biāo)處，產(chǎn)生Smax。當(dāng)P移動(dòng)至影響線最小豎標(biāo)處，產(chǎn)生Smin。例：用影響線求圖示簡(jiǎn)支梁在移動(dòng)集中荷載P作用下,C截面的彎矩最大值。

解：1.繪制所求量值的影響線；2.根據(jù)技巧確定量值的最不利荷載位置。P作用在C點(diǎn)時(shí)，MC最大，2.一組相互平行且間距不變的移動(dòng)集中荷載作用：根據(jù)影響線圖形判別。A.影響線圖形不是三角形：(1)將某一集中荷載置于影響線一個(gè)頂點(diǎn)上(2)令荷載向左或向右稍移動(dòng)，計(jì)算

的數(shù)值。如果變號(hào),則此荷載為臨界荷載，若不變號(hào)，應(yīng)換一個(gè)集中荷載，重新計(jì)算。(3)將所有臨界位置的極值求出，從中選出最大值或最小值，該位置即為最不利荷載位置。例10-7:求圖示簡(jiǎn)支梁在移動(dòng)荷載作用下，K截面的最大彎矩。P1=70KN，P2=130KN，P3=50KN，P4=100KNGFEGFE解：（1）作

的影響線如圖10-19b所示，各直線段的斜率分別為（2）確定臨界位置①試將

放在C點(diǎn)荷載向左移：荷載向右移：GFEGFE（2）確定臨界位置②試將

放在D點(diǎn)（圖10-19d）。荷載向左移：荷載向右移：（3）當(dāng)

在D點(diǎn)時(shí)為

的最不利荷載位置，此時(shí)有B.影響線圖形是三角形：只有一個(gè)頂點(diǎn),讓某一集中荷載位于頂點(diǎn)，通過(guò)下列判別找到臨界位置:再根據(jù)臨界位置求出極值,確定最不利荷載位置。例10-8:求圖示連續(xù)梁在荷載作用下，B支座的最大支座反力，P1=P2=295KN,P3=P4=435KN經(jīng)檢驗(yàn),P2在B點(diǎn)不是臨界荷載:解：(1)考慮P2在B點(diǎn)的情況經(jīng)檢驗(yàn),P3在B點(diǎn)是臨界荷載:(2)考慮P3在B點(diǎn)的情況經(jīng)檢驗(yàn),P3在B點(diǎn)是臨界荷載:結(jié)論:P3在B點(diǎn)時(shí),為RB的最不利荷載位置。RBmax=298.125KN經(jīng)檢驗(yàn),P2在B點(diǎn)不是臨界荷載:10.8簡(jiǎn)支梁的絕對(duì)最大彎矩及內(nèi)力包絡(luò)圖一、簡(jiǎn)支梁的絕對(duì)最大彎矩

1、定義:當(dāng)移動(dòng)荷載作用在簡(jiǎn)支梁上時(shí)，可使簡(jiǎn)支梁的任一截面產(chǎn)生最大彎矩，在整個(gè)簡(jiǎn)支梁的所有最大彎矩中，有一個(gè)截面的最大彎矩是最大的，稱為絕對(duì)最大彎矩。（1）絕對(duì)最大彎矩必是該截面的最大彎矩。（2）絕對(duì)最大彎矩必然發(fā)生在某荷載之下。2、如何確定簡(jiǎn)支梁的絕對(duì)最大彎矩（1）PK位置的確定(假定R位于PK的右方)

K點(diǎn)的彎矩值：M=RA

×x－MK(1)式中MK為PK以左所有荷載對(duì)k截面的力矩之和。MB=0:RA×l－R(l－x－a)=0

RA=R(l－x－a)/l

(2)P1PkRPnABP2Pn-1l/2l

/2xakRARBl－x－aa

/2a

/2代(2)入(1):

M=R(l－x－a)x/l－Mk求M的極值:

dMk(x)/dx=R(l－2x－a)/l=0此時(shí),PK截面的彎矩達(dá)最大值。（2）假定R位于PK的左方

K點(diǎn)的彎矩值：M=RA

×x－MK

(1)式中MK為PK以左所有荷載對(duì)k截面的力矩之和。MB=0:RA×l－R(l－x+a)=0

RA=R(l－x+a)/l

(2)P1PkRPnABP2P3l/2l

/2x-aakRARBl－xxa

/2a

/2代(2)入(1):

M=

R(l－x+a)x/l－MK求M的極值:

dMk(x)/dx=R(l－2x+a)/l=0此時(shí),PK截面的彎矩達(dá)最大值。3、確定簡(jiǎn)支梁絕對(duì)最大彎矩的步驟：（1）確定使簡(jiǎn)支梁的中點(diǎn)截面發(fā)生最大彎矩的臨界荷載PK；（2）使PK與梁上移動(dòng)荷載的合力R對(duì)稱于梁的中點(diǎn)，算出該截面的彎矩，即為簡(jiǎn)支梁的絕對(duì)最大彎矩。二、簡(jiǎn)支梁的內(nèi)力包絡(luò)圖1.定義:簡(jiǎn)支梁承受移動(dòng)荷載時(shí)，需要確定出各截面的內(nèi)力最大值(最大正值和最大負(fù)值）作為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的依據(jù)。我們把簡(jiǎn)支梁各截面內(nèi)力的最大值按比例標(biāo)在圖上，連成曲線，該曲線稱為簡(jiǎn)支梁的內(nèi)力包絡(luò)圖。2.簡(jiǎn)支梁內(nèi)力包絡(luò)圖繪制方法:將梁沿跨度分成若干等份,求出各等分點(diǎn)的內(nèi)力最大值和最小值;用光滑的曲線將最大值相連成線,將最小值也相連成線。解：1.繪制彎矩包絡(luò)圖(1)將梁分成十等份；(2)求各分點(diǎn)截面彎矩最大值；(3)用光滑的曲線將最大值相連成線。692.212mAB280kN4.8m4.8m1.44280kN280kN280kN1182.71471.71639.7例：繪制圖示簡(jiǎn)支梁的內(nèi)力包絡(luò)圖。12mAB280kN4.8m4.8m1.44280kN280kN280kN660.8576.8-28492.8-56408.8324.8218.4-84-134.4-218.4-324.8-492.8-408.8-576.8-660.8134.4845628解：2.繪制剪力包絡(luò)圖(1)將梁分成十等份；(2)求各分點(diǎn)截面剪力最大值和最小值；(3)用光滑的曲線將最大值和最小值相連成線。(以上數(shù)值未計(jì)恒載影響)