甘肅省靖遠(yuǎn)縣第二中學(xué)2026屆數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，過拋物線的焦點的直線交拋物線于點，，交其準(zhǔn)線于點，準(zhǔn)線與對稱軸交于點，若，且，則此拋物線的方程為（）A. B.C. D.2．已知直線與垂直，則為（）A.2 B.C.-2 D.3．下列命題中正確的是（）A.拋物線的焦點坐標(biāo)為B.拋物線的準(zhǔn)線方程為x=?1C.拋物線的圖象關(guān)于x軸對稱D.拋物線的圖象關(guān)于y軸對稱4．有一機器人的運動方程為，(是時間，是位移)，則該機器人在時刻時的瞬時速度為（）A. B.C. D.5．在四面體中，點G是的重心，設(shè)，，，則（）A. B.C. D.6．過拋物線的焦點的直線交拋物線于不同的兩點，則的值為A.2 B.1C. D.47．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，，，直線AP，BP相交于點P，且它們斜率之積是.當(dāng)時，的最小值為（）A. B.C. D.8．在中，角、、所對的邊分別是、、.已知，，且滿足，則的取值范圍為（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)，若，，則實數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.10．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的的值為，則判斷框中應(yīng)填入（）A.？ B.？C.？ D.？11．已知等差數(shù)列前項和為，若，則的公差為（）A.4 B.3C.2 D.112．已知數(shù)列滿足，則（）A.32 B.C.1320 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等差數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的前2022項的和為___________.14．為和的等差中項，則_____________.15．函數(shù)y＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，則a＝________.16．如圖，在直三棱柱中，，為中點，則平面與平面夾角的正切值為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，水平桌面上放置一個棱長為4的正方體的水槽，水面高度恰為正方體棱長的一半，在該正方體側(cè)面有一個小孔（小孔的大小忽略不計）E，E點到CD的距離為3，若該正方體水槽繞CD傾斜（CD始終在桌面上）.（1）證明圖2中的水面也是平行四邊形；（2）當(dāng)水恰好流出時，側(cè)面與桌面所成的角的大小.18．（12分）已知數(shù)列的前項和，且（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)，記數(shù)列的前項和為，若，對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍19．（12分）如圖所示，在三棱柱中，，點在平面ABC上的射影為線段AC的中點D，側(cè)面是邊長為2的菱形（1）若△ABC是正三角形，求異面直線與BC所成角的余弦值；（2）當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時，求線段BD的長20．（12分）已知拋物線C的焦點為，N為拋物線上一點，且（1）求拋物線C的方程；（2）過點F且斜率為k的直線l與C交于A，B兩點，，求直線l的方程21．（12分）已知正項等差數(shù)列滿足：，且，，成等比數(shù)列（1）求的通項公式；（2）設(shè)的前n項和為，且，求的前n項和22．（10分）已知拋物線的焦點為，點為拋物線上一點，且.（1）求拋物線方程；（2）直線與拋物線相交于兩個不同的點，為坐標(biāo)原點，若，求實數(shù)的值；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)拋物線定義，結(jié)合三角形相似以及已知條件，求得，則問題得解.【詳解】根據(jù)題意，過作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，過作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，如下所示：因為，又//，，則，故可得，又△△，則，即，解得，故拋物線方程為：.故選：.2、A【解析】利用一般式中直線垂直的系數(shù)關(guān)系列式求解.【詳解】因為直線與垂直，故選：A.3、C【解析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)逐項分析可得答案.【詳解】拋物線的焦點坐標(biāo)為，故A錯誤；拋物線的準(zhǔn)線方程為，故B錯誤；拋物線的圖象關(guān)于x軸對稱，故C正確，D錯誤；故選：C.4、B【解析】對運動方程求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)意義即速度求得在時的導(dǎo)數(shù)值即可.【詳解】由題知，，當(dāng)時，，即速度為7.故選：B5、B【解析】結(jié)合重心的知識以及空間向量運算求得正確答案.【詳解】設(shè)是中點，.故選：B6、D【解析】本題首先可以通過直線交拋物線于不同的兩點確定直線的斜率存在，然后設(shè)出直線方程并與拋物線方程聯(lián)立，求出以及的值，然后通過拋物線的定義將化簡，最后得出結(jié)果【詳解】因為直線交拋物線于不同的兩點，所以直線的斜率存在，設(shè)過拋物線的焦點的直線方程為，由可得，，因為拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以根據(jù)拋物線的定義可知，，所以，綜上所述，故選D【點睛】本題考查了拋物線的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了拋物線的定義、過拋物線焦點的直線與拋物線相交的相關(guān)性質(zhì)，考查了計算能力，是中檔題7、A【解析】設(shè)出點坐標(biāo)，求得、所在直線的斜率，由斜率之積是列式整理即可得到點的軌跡方程，設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義，從而求出的最小值；【詳解】解：設(shè)點坐標(biāo)為，則直線的斜率；直線的斜率由已知有，化簡得點的軌跡方程為又，所以點的軌跡方程為，即點的軌跡為以、為頂點的雙曲線的左支（除點），因為，設(shè)，由雙曲線的定義可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線時取得最小值，因為，所以，所以，即的最小值為；故選：A8、D【解析】利用正弦定理邊角互化思想化簡得出，利用余弦定理化簡得出，結(jié)合，根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性可求得的取值范圍.【詳解】且，所以，由正弦定理得，即，，，所以，，則，由余弦定理得，，則，由于雙勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，所以，.因此，的取值范圍為.故選：D.【點睛】本題考查三角形內(nèi)角余弦值的取值范圍的求解，考查了余弦定理以及正弦定理邊角互化思想的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.9、A【解析】函數(shù)，若，，可得，解得或，則實數(shù)的取值范圍是，故選A.10、C【解析】本題為計算前項和，模擬程序，實際計算求和即可得到的值.【詳解】由題意可知：輸出的的值為數(shù)列的前項和.易知，則，令，解得.即前7項的和.為故判斷框中應(yīng)填入“？”.故選：C.11、A【解析】由已知，結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式、通項公式列方程組求公差即可.詳解】由題設(shè)，，解得.故選：A12、A【解析】先令，求出，再當(dāng)時，由，可得，然后兩式相比，求出，從而可求出，進(jìn)而可求得答案【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，由，可得，兩式相除可得，所以，所以，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中條件，求出首項和公差，得出前項和，再由裂項相消的方法，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，，所以，解得，因此，所以，所以數(shù)列的前2022項的和為.故答案：.14、【解析】利用等差中項的定義可求得結(jié)果.【詳解】由等差中項的定義可得.故答案為：.15、4【解析】∵y′＝3x2＋2ax＋b，∴或當(dāng)a＝－3，b＝3時，y′＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立，故舍去．所以a＝416、【解析】由條件可得均為等腰直角三角形，從而，先證明平面，從而，即得到為平面與平面夾角的平面角，從而可求解.【詳解】由，則，則在直三棱柱中,平面，又平面,則又，所以平面平面,所以由由條件可得均為等腰直角三角形，則所以，即,由所以平面,又平面所以，即為平面與平面夾角的平面角.在直角中,所以故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由水的體積得出，進(jìn)而得出，，從而證明圖2中的水面也是平行四邊形；（2）在平面內(nèi)，過點作，交于，由四邊形是平行四邊形，得出側(cè)面與桌面所成的角即側(cè)面與水面所成的角，再由直角三角形的邊角關(guān)系得出其夾角.【小問1詳解】由題意知，水的體積為，如圖所示，設(shè)正方體水槽傾斜后，水面分別與棱，，，交于，，，，則，水的體積為，，即，，故四邊形為平行四邊形，即，且又，，，四邊形為平行四邊形，即圖2中的水面也是平行四邊形；【小問2詳解】在平面內(nèi)，過點作，交于，則四邊形是平行四邊形，，，側(cè)面與桌面所成的角即側(cè)面與水面所成的角，即側(cè)面與平面所成的角，即為所求，而，在中，，側(cè)面與桌面所成角的為18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）利用可得答案；（2）利用錯位相減可得，轉(zhuǎn)化為對任意，恒成立，求出的最大值可得答案小問1詳解】當(dāng)時，由，得或（舍去），由，得，①當(dāng)時，，②由①－②，得，整理得，因為，所以所以是首項為1，公差為1的等差數(shù)列【小問2詳解】由（1）可得，所以，③，④由③－④，得，即，由得，所以，即，該式對任意恒成立，因此，所以的取值范圍是19、（1）（2）或【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線與所成角的余弦值.（2）結(jié)合直線與平面所成的角，利用向量法列方程，化簡求得的長.【小問1詳解】依題意點在平面ABC上的射影為線段AC的中點D，所以平面，，由于，所以，以為空間坐標(biāo)原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，當(dāng)是等邊三角形時，，.設(shè)直線與所成角為，則.【小問2詳解】設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)直線與平面所成角為，則，化簡的，解得或，也即或.20、（1）（2）或【解析】（1）拋物線的方程為，利用拋物線的定義求出點N，代入拋物線方程即可求解.（2）設(shè)直線的方程為，將直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及焦半徑公式可得或，即求.【小問1詳解】拋物線的方程為，設(shè)，依題意，由拋物線定義，即.所以，又由，得，解得(舍去)，所以拋物線的方程為.【小問2詳解】由（1）得，設(shè)直線的方程為，，，由，得.因為，故所以.由題設(shè)知，解得或，因此直線方程為或.21、（1）；（2）.【解析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式結(jié)合條件即求；（2）利用條件可得，然后利用錯位相減法即求.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d，由得，即，化簡得，又，，成等比數(shù)列，則，即，將代