2026屆景山學(xué)校數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則下列說法正確的是（）A．的虛部為 B．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限C．的共軛復(fù)數(shù) D．2．函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且對(duì)于任意，滿足，則（）A． B． C． D．4．已知雙曲線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是()A． B． C． D．5．如圖，圓的半徑為，，是圓上的定點(diǎn)，，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，角的始邊為射線，終邊為射線，將表示為的函數(shù)，則在上的圖像大致為（）A． B． C． D．6．已知命題：使成立．則為（）A．均成立 B．均成立C．使成立 D．使成立7．已知中內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊依次為，若，則的面積為（）A． B． C． D．8．根據(jù)散點(diǎn)圖，對(duì)兩個(gè)具有非線性關(guān)系的相關(guān)變量x，y進(jìn)行回歸分析，設(shè)u=lny，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到線性回歸方程為=0.5v+2，則變量y的最大值的估計(jì)值是（）A．e B．e2 C．ln2 D．2ln29．已知F為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，則||FA|﹣|FB||的值等于（）A． B．8 C． D．410．某歌手大賽進(jìn)行電視直播，比賽現(xiàn)場(chǎng)有名特約嘉賓給每位參賽選手評(píng)分，場(chǎng)內(nèi)外的觀眾可以通過網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)給每位參賽選手評(píng)分.某選手參加比賽后，現(xiàn)場(chǎng)嘉賓的評(píng)分情況如下表，場(chǎng)內(nèi)外共有數(shù)萬名觀眾參與了評(píng)分，組織方將觀眾評(píng)分按照，，分組，繪成頻率分布直方圖如下：嘉賓評(píng)分嘉賓評(píng)分的平均數(shù)為，場(chǎng)內(nèi)外的觀眾評(píng)分的平均數(shù)為，所有嘉賓與場(chǎng)內(nèi)外的觀眾評(píng)分的平均數(shù)為，則下列選項(xiàng)正確的是（）A． B． C． D．11．已知實(shí)數(shù)、滿足不等式組，則的最大值為（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，若有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)的圖像上存在點(diǎn)，滿足約束條件，則實(shí)數(shù)的最大值為__________．14．展開式中項(xiàng)的系數(shù)是__________15．在中，角所對(duì)的邊分別為，為的面積，若，，則的形狀為__________，的大小為__________．16．已知復(fù)數(shù),其中是虛數(shù)單位．若的實(shí)部與虛部相等,則實(shí)數(shù)的值為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)，它們的前項(xiàng)和分別為，且，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求；（3）是否存在正整數(shù)，使得恰好是數(shù)列或中的項(xiàng)？若存在，求出所有滿足條件的的值；若不存在，說明理由.18．（12分）已知直線過橢圓的右焦點(diǎn)，且交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)是，（1）求橢圓的方程；（2）過原點(diǎn)的直線l與線段AB相交（不含端點(diǎn)）且交橢圓于C，D兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.19．（12分）設(shè)橢圓的離心率為，圓與軸正半軸交于點(diǎn)，圓在點(diǎn)處的切線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)圓上任意一點(diǎn)處的切線交橢圓于點(diǎn)，試判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由．20．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）設(shè)其中為常數(shù).若方程在上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）某省新課改后某校為預(yù)測(cè)2020屆高三畢業(yè)班的本科上線情況，從該校上一屆高三（1）班到高三（5）班隨機(jī)抽取50人，得到各班抽取的人數(shù)和其中本科上線人數(shù)，并將抽取數(shù)據(jù)制成下面的條形統(tǒng)計(jì)圖.（1）根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖，估計(jì)本屆高三學(xué)生本科上線率.（2）已知該省甲市2020屆高考考生人數(shù)為4萬，假設(shè)以（1）中的本科上線率作為甲市每個(gè)考生本科上線的概率.（i）若從甲市隨機(jī)抽取10名高三學(xué)生，求恰有8名學(xué)生達(dá)到本科線的概率（結(jié)果精確到0.01）；（ii）已知該省乙市2020屆高考考生人數(shù)為3.6萬，假設(shè)該市每個(gè)考生本科上線率均為，若2020屆高考本科上線人數(shù)乙市的均值不低于甲市，求p的取值范圍.可能用到的參考數(shù)據(jù)：取，.22．（10分）車工劉師傅利用數(shù)控車床為某公司加工一種高科技易損零件，對(duì)之前加工的100個(gè)零件的加工時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：加工1個(gè)零件用時(shí)（分鐘）20253035頻數(shù)（個(gè)）15304015以加工這100個(gè)零件用時(shí)的頻率代替概率.（1）求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）劉師傅準(zhǔn)備給幾個(gè)徒弟做一個(gè)加工該零件的講座，用時(shí)40分鐘，另外他打算在講座前、講座后各加工1個(gè)該零件作示范.求劉師傅講座及加工2個(gè)零件作示范的總時(shí)間不超過100分鐘的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

利用的周期性先將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)為即可得到答案.【詳解】因?yàn)椋?，，所以的周期?，故，故的虛部為2，A錯(cuò)誤；在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第二象限，B錯(cuò)誤；的共軛復(fù)數(shù)為，C錯(cuò)誤；，D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，涉及到復(fù)數(shù)的虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模等知識(shí)，是一道基礎(chǔ)題.2、C【解析】

由題可知，曲線與有公共點(diǎn)，即方程有解，可得有解，令，則，對(duì)分類討論，得出時(shí)，取得極大值，也即為最大值，進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】解：由題可知，曲線與有公共點(diǎn)，即方程有解，即有解，令，則，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，取得極大值，也即為最大值，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，所以滿足條件．故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的基本方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，考查抽象概括、運(yùn)算求解等數(shù)學(xué)能力，屬于難題．3、D【解析】

利用數(shù)列的遞推關(guān)系式判斷求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后求解數(shù)列的和，判斷選項(xiàng)的正誤即可．【詳解】當(dāng)時(shí)，．所以數(shù)列從第2項(xiàng)起為等差數(shù)列，，所以，，．，，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用、數(shù)列求和以及數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．4、C【解析】

先求得的漸近線方程，根據(jù)沒有公共點(diǎn)，判斷出漸近線斜率的取值范圍，由此求得離心率的取值范圍.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由于雙曲線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，所以雙曲線的漸近線的斜率，所以雙曲線的離心率.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線，考查雙曲線離心率的取值范圍的求法，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

根據(jù)圖象分析變化過程中在關(guān)鍵位置及部分區(qū)域，即可排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，得到函數(shù)圖象，即可求解.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，P與A重合，則與B重合，所以,故排除C,D選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，由圖象可知選B.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，正確表示函數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.6、A【解析】試題分析：原命題為特稱命題，故其否定為全稱命題，即．考點(diǎn)：全稱命題.7、A【解析】

由余弦定理可得，結(jié)合可得a，b，再利用面積公式計(jì)算即可.【詳解】由余弦定理，得，由，解得，所以，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道容易題.8、B【解析】

將u=lny，v=(x-4)2代入線性回歸方程=-0.5v+2，利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)可得最大估計(jì)值.【詳解】解：將u=lny，v=(x4)2代入線性回歸方程=0.5v+2得：，即，當(dāng)時(shí)，取到最大值2，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則取到最大值.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了非線性相關(guān)的二次擬合問題，考查復(fù)合型指數(shù)函數(shù)的最值，是基礎(chǔ)題,.9、C【解析】

將直線方程代入拋物線方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和拋物線的定義即可得出的值．【詳解】F（1，0），故直線AB的方程為y＝x﹣1，聯(lián)立方程組，可得x2﹣6x+1＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由根與系數(shù)的關(guān)系可知x1+x2＝6，x1x2＝1．由拋物線的定義可知：|FA|＝x1+1，|FB|＝x2+1，∴||FA|﹣|FB||＝|x1﹣x2|＝．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．10、C【解析】

計(jì)算出、，進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可知，，由頻率分布直方圖可知，，則，由于場(chǎng)外有數(shù)萬名觀眾，所以，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)的大小比較，涉及平均數(shù)公式以及頻率分布直方圖中平均數(shù)的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，代入即可求解，得到答案．【詳解】畫出不等式組所表示平面區(qū)域，如圖所示，由目標(biāo)函數(shù)，化為直線，當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí)，此時(shí)直線在y軸上的截距最大，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，又由，解得，所以目標(biāo)函數(shù)的最大值為，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12、C【解析】

令，可得，要使得有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，即和有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合已知，即可求得答案.【詳解】令，可得，要使得有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，即和有兩個(gè)交點(diǎn)，，令，可得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，若直線和有兩個(gè)交點(diǎn)，則.實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的解法和根據(jù)導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性的步驟，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】由題知x>0，且滿足約束條件的圖象為由圖可知當(dāng)與交于點(diǎn)B(2,1)，當(dāng)直線過B點(diǎn)時(shí)，m取得最大值為1.點(diǎn)睛：線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一、準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二、畫標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò)；三、一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.14、-20【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，再分情況考慮即可求解．【詳解】解：展開式中項(xiàng)的系數(shù)：二項(xiàng)式由通項(xiàng)公式當(dāng)時(shí)，項(xiàng)的系數(shù)是，當(dāng)時(shí)，項(xiàng)的系數(shù)是，故的系數(shù)為；故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意分情況考慮，屬于基礎(chǔ)題．15、等腰三角形【解析】∵∴根據(jù)正弦定理可得，即∴∴∴的形狀為等腰三角形∵∴∴由余弦定理可得∴，即∵∴故答案為等腰三角形，16、【解析】

直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn),結(jié)合已知條件即可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】解：的實(shí)部與虛部相等,所以,計(jì)算得出.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）存在，1.【解析】

（1）利用基本量法直接計(jì)算即可；（2）利用錯(cuò)位相減法計(jì)算；（3），令可得，，討論即可.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，因?yàn)椋?，即，解得，或（舍去?所以.（2），，所以，所以.（3）由（1）可得，，所以.因?yàn)槭菙?shù)列或中的一項(xiàng)，所以，所以，因?yàn)?，所以，又，則或.當(dāng)時(shí)，有，即，令.則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即.由，知無整數(shù)解.當(dāng)時(shí),有，即存在使得是數(shù)列中的第2項(xiàng)，故存在正整數(shù)，使得是數(shù)列中的項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，涉及到等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，數(shù)列中的存在性問題，是一道較為綜合的題.18、（1）（2）【解析】

（1）由直線可得橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,由中點(diǎn)可得,且由斜率公式可得,由點(diǎn)在橢圓上,則,二者作差,進(jìn)而代入整理可得,即可求解；（2）設(shè)直線,點(diǎn)到直線的距離為,則四邊形的面積為,將代入橢圓方程,再利用弦長(zhǎng)公式求得,利用點(diǎn)到直線距離求得,根據(jù)直線l與線段AB（不含端點(diǎn)）相交,可得,即,進(jìn)而整理換元,由二次函數(shù)性質(zhì)求解最值即可.【詳解】（1）直線與x軸交于點(diǎn),所以橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,故,因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)是,設(shè),則,且,又,作差可得,則,得又,所以,因此橢圓的方程為.（2）由（1）聯(lián)立,解得或,不妨令,易知直線l的斜率存在,設(shè)直線,代入,得,解得或,設(shè),則,則,因?yàn)榈街本€的距離分別是,由于直線l與線段AB（不含端點(diǎn)）相交,所以,即,所以,四邊形的面積,令,,則,所以,當(dāng),即時(shí),，因此四邊形面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查橢圓中的四邊形面積問題,考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查運(yùn)算能力.19、（1）；（2）見解析.【解析】

（I）結(jié)合離心率，得到a,b,c的關(guān)系，計(jì)算A的坐標(biāo)，計(jì)算切線與橢圓交點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，計(jì)算參數(shù)，即可．（II）分切線斜率存在與不存在討論，設(shè)出M,N的坐標(biāo)，設(shè)出切線方程，結(jié)合圓心到切線距離公式，得到m,k的關(guān)系式，將直線方程代入橢圓方程，利用根與系數(shù)關(guān)系，表示，結(jié)合三角形相似，證明結(jié)論，即可．【詳解】(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為，由橢圓的離心率為知，，∴橢圓的方程可設(shè)為.易求得，∴點(diǎn)在橢圓上，∴，解得，∴橢圓的方程為.(Ⅱ)當(dāng)過點(diǎn)且與圓相切的切線斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)切線方程為，由(Ⅰ)知，，，∴.當(dāng)過點(diǎn)且與圓相切的切線斜率存在時(shí)，可設(shè)切線的方程為，，∴，即.聯(lián)立直線和橢圓的方程得，∴，得.∵，∴，，∴.綜上所述，圓上任意一點(diǎn)處的切線交橢圓于點(diǎn)，都有.在中，由與相似得，為定值.【點(diǎn)睛】本道題考查了橢圓方程的求解，考查了直線與橢圓位置關(guān)系，考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，難度偏難．20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（I）零點(diǎn)分段法，分，，討論即可；（II），分，，三種情況討論.【詳解】原不等式即.當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得.解得；當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得.此時(shí)無解；當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得.解得.綜上，原不等式的解集為由題意，設(shè)方程兩根為.當(dāng)時(shí)，方程等價(jià)于方程.易知當(dāng)，方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.此時(shí)方程在上無解.滿足條件.當(dāng)時(shí)，方程等價(jià)于方程，此時(shí)方程在上顯然沒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.當(dāng)時(shí)，易知當(dāng)，方程在上